文档内容
5.4 分式方程
课堂知识梳理
1.分式方程：分母含有未知数的方程
2.增根：使最简公母为零的根是原方程的增根
3. 解分式方程的一般步骤:
①去分母，在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;
②解这个整式方程;
③把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的
增根,
必须舍去.
4. 列分式方程解应用题的一般步骤:
①审清题意; ②设未知数;
③根据题意找相等关系,列出(分式)方程;
④解方程,并验根; ⑤写出答案.
课后培优练
培优第一阶——基础过关练
1−9x2 x x2 2 2
1．已知方程：① =0，② + =1，③x+ =2+ ，④
x2 2 2 x+2 x−2
4
(x+ )(x−6)=−1．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
5
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】分母中含有未知数的方程叫分式方程，根据定义判断即可．
1−9x2
【详解】解：① =0，是分式方程；
x2
x x2
② + =1，是整式方程；
2 2
2 2
③x+ =2+ ，是分式方程；
x+2 x−2
4
④(x+ )(x−6)=−1，是整式方程，
5
则分式方程的个数是2．
故选：C．
2．某工程队在滨江路改造一条长3000米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，
13000 3000
施工时“×××”，设原计划每天改造人行道x米，则可得方程 = −10 ，根据已
x+20 x
有信息，题中用“×××”表示的缺失的条件应补充为（ ）
A．实际每天比原计划多铺设20米，结果提前10天完成 B．实际每天比原计划多铺设
20米，结果延迟10天完成
C．实际每天比原计划少铺设20米，结果提前10天完成 D．实际每天比原计划少铺设
20米，结果延迟10天完成
【答案】A
【分析】根据题意和题目中的方程，可以写出“×××”表示的缺失的条件．
【详解】解：由题意可得，
“×××”表示的缺失的条件应补充为：实际每天比原计划多铺设20米，结果提前10天完成，
故选：A．
3．2023重庆马拉松在重庆市南岸区海棠烟雨公园鸣枪开跑．小南、小开参加5千米的迷你
马拉松比赛，两人约定从A地沿相同路线跑向距A地5千米的B地．已知小南跑步的速度是
小开的1.5倍．若小开先跑12.5分钟，小南才开始从A地出发，两人恰好同时到达B地，设
小开跑步的速度为每小时x千米，则可列方程为（ ）
5 5 5 5
A． = +12.5 B． = −12.5
x 1.5x x 1.5x
5 5 12.5 5 5 12.5
C． = + D． = −
x 1.5x 60 x 1.5x 60
【答案】C
5 5 12.5
【详解】解：根据题意，得 = + ，
x 1.5x 60
故选：C．
1 m m+5
4．若关于x的分式方程 + = 无解，则m的值为______．
x−5 x+5 x2−25
5
【答案】−1或5或−
11
1 m m+5
+ =
【详解】解：
x−5 x+5 x2−25
去分母得：x+5+m(x−5)=m+5，
可得：(m+1)x=6m，
当m+1=0时，一元一次方程无解，
此时m=−1；
6m
当m+1≠0，x= =±5时，分式方程无解，
m+1
25
解得：m=5或− ；
11
5
故答案为：−1或5或− ．
11
5．解方程：
2 3
=
(1)
x x+3
2 3 6
+ =
(2)
x+1 x-1 x2-1
【答案】(1)x=6
(2)原方程无解
【详解】（1）解：原式变形得，2(x+3)=3x，且x≠0，x≠-3
2x+6-3x=0，
∴x=6，
2 1 3 3 1
代入原方程检验得，原方程左边： = ，原方程右边： = = ，
6 3 6+3 9 3
即x=6时，方程左边等于右边，且原方程有意义，
故方程的解是：x=6．
2(x-1) 3(x+1) 6
（2）解：原式通分得， + = ，且x≠±1，
x2-1 x2-1 x2-1
2x-2+3x+3 6
=
，
x2-1 x2-1
5x+1 6
=
，
x2-1 x2-1
∴5x+1=6，
x=1，
代入原方程检验：原方程分母为零，方程无意义，
故原方程无解．
2x+3 x−1
6．解分式方程： −1= ．
x−2 2−x
【答案】x=−2
2x+3 x−1
【详解】解：变形得 −1=− ，
x−2 x−2
去分母得2x+3−(x−2)=−(x−1)，
去括号得2x+3−x+2=−x+1，
移项得2x+x−x=1−2−3，
合并得2x=−4，
系数化为1得x=−2，
3经检验：x=−2是原分式方程的解，
故原分式方程的解为x=−2．
▲ x−1
7．已知分式方程 + =1，由于印刷问题，有一个数“▲”看不清楚．
x−3 3−x
(1)若“▲”表示的数为6，求分式方程的解；
(2)小华说“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“▲”代表的数．
【答案】(1)x=5
(2)m=2
6 x−1
【详解】（1）解： + =1，
x−3 3−x
方程两边同乘(x−3)，得：6−（x−1）=x−3，
解得：x=5，
检验：当x=5时，x−3≠0，
所以x=5是原分式方程的解；
m x−1
（2）设▲=m， + =1，
x−3 3−x
方程两边同乘(x−3)，得：m−（x−1）=x−3，
把x=3代入m−（x−1）=x−3，得：
m−2=0，
解得：m=2．
2 m
8．若关于x的方程 =
x 2x+1
(1)若m=6，解这个分式方程；
(2)若原分式方程无解，求m的值．
【答案】(1)x=1
(2)4或0
2 6
【详解】（1）解：当m=6时， = ，
x 2x+1
两边同乘x(2x+1)，得2(2x+1)=6x，
整理，得4x+2=6x，
移项、合并同类项，得−2x=−2，
解得x=1，
当x=1时，x(2x+1)=1×(2+1)=3≠0，
因此这个分式方程的解为x=1；
2 m
（2）解：方程 = ，
x 2x+1
两边同乘x(2x+1)，得2(2x+1)=mx，
4整理，得4x+2=mx，
移项、合并同类项，得(4−m)x=−2，
∵方程无解，
2
∴ 4−m=0或当x= 时，x(2x+1)=0，
m−4
2 2
即4−m=0或2× +1=0或0= ，
m−4 m−4
上述方程的解依次为m=4，m=0，无解．
∴m的值为4或0．
培优第二阶——拓展培优练
2 m
9．若关于x的分式方程 = 有正数解，求m的取值范围．甲解得的答案是：
x−1 2x−1
m>4，乙解得的答案是：m<2，则正确的是（ ）
A．只有甲答案对 B．只有乙答案对
C．甲、乙答案合在一起才正确 D．甲、乙答案合在一起也不正确
【答案】D
2 m
【详解】解： = ，
x−1 2x−1
去分母得：4x−2=mx−m，
移项，合并同类项得：(4−m)x=2−m，
2−m
解得：x= ，
4−m
2 m
∵关于x的分式方程 = 有正数解，
x−1 2x−1
∴¿，
解得：m>4或m<2，且m≠0，
∴甲、乙答案合在一起也不正确，故D正确．
故选：D．
10．已知甲码头与乙码头相距36千米，一轮船往返于甲，乙两码头之间，轮船由甲码头顺
流而下到乙码头所用时间比逆流而上所用时间少2小时，已知水流速度为3千米/时，求船
在静水中的速度，设船在静水中的速度为x千米/时，根据题意列方程为（ ）
36 36 36 36 36 36 36 36
A． − =2 B． − =2 C． = +2 D． + =2
x+3 x−3 x−3 x+3 x+3 x−3 x+3 x−3
【答案】B
36 36
【详解】解：依题意有： − =2，
x−3 x+3
5故答案选:B．
3−a 1
11．已知方程 −a= ，且关于x的不等式a1得：x<−2，
3 2
∵整数m使关于x的一元一次不等式组¿的解集是x<−2，
∴m≥−2，
m 2 6−m 6−m
解分式方程 + =4得：y= ，且 ≠1，
1−y y−1 4 4
∵分式方程的解是正数，
6−m
∴y= >0，
4
∴−2≤m<6，且 m≠2，
∵m为整数，
∴m=−2,−1,0,1,3,4,5，
∴符合条件的所有整数k的值之和为−1−2+0+1+3+4+5=10，
故答案为：10．
16．解方程：
x 6
(1) + =1
x−2 x+2
5x−4 4x+10
(2) = −1．
x−2 3x−6
【答案】(1)x=1
(2)无解
x 6
【详解】（1）解： + =1，
x−2 x+2
去分母得：x(x+2)+6(x−2)=(x+2)(x−2)，
去括号得：x2+2x+6x−12=x2−4，
移项合并得：8x=8，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解；
5x−4 4x+10
（2）解： = −1，
x−2 3x−6
去分母得：3(5x−4)=4x+10−3x+6，
去括号得：15x−12=4x+10−3x+6，
移项合并得：14x=28，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，故原方程无解．
17．解方程：
81−x 1
(1) = −2；
x−2 2−x
x+5 x+2 x+3 x+4
(2) + = + ．
x+4 x+1 x+2 x+3
【答案】(1)无解；
5
(2)x=−
2
1−x 1
【详解】（1）解： = −2
x−2 2−x
方程两边同时乘x−2，得：1−x=−1−2(x−2)，
解得：x=2，
经检验，x=2是原分式方程的增根，
∴原方程无解；
x+5 x+2 x+3 x+4
（2）解： + = + ，
x+4 x+1 x+2 x+3
(x+4)+1 (x+1)+1 (x+2)+1 (x+3)+1
+ = + ，
x+4 x+1 x+2 x+3
1 1 1 1
1+ +1+ =1+ +1+ ，
x+4 x+1 x+2 x+3
1 1 1 1
+ = + ，
x+4 x+1 x+2 x+3
2x+5 2x+5
= ，
(x+4)(x+1) (x+2)(x+3)
∴2x+5=0，
5
解得：x=− ．
2
5
经检验x=− 是原分式方程的解，
2
5
∴原方程的解为x=− ．
2
18．“绿水青山就是金山银山”，重庆市政府为了美化生态环境，给居民创造舒适生活，
计划将某滨江路段改建成滨江步道．一期工程共有7000吨渣土要运走，现计划由甲、乙两
个工程队运走渣土．已知甲、乙两个工程队，原计划甲平均每天运走的渣土比乙平均每天
2
运走的渣土多 ，这样甲运走4000吨渣土的时间比乙运走剩下渣土的时间少两天．
3
(1)求原计划甲平均每天运渣土多少吨？
(2)实际施工时，甲平均每天运走的渣土比原计划增加了m吨，乙平均每天运走的渣土比原
m
计划增加了 ，甲、乙合作7天后，甲临时有其他任务；剩下的渣土由乙再单独工作2
300
9天完成．若运走每吨渣土的运输费用为50元，请求出乙工程队的运输费用．
【答案】(1)原计划甲平均每天运渣上500吨
(2)乙工程队的运输费用为157500元
5
【详解】（1）解：设原计划乙平均每天运渣土x吨，则甲平均每天运渣土 x吨，
3
4000 7000−4000
+2=
根据题意得： 5 x ，
x
3
解得x=300，
经检验x=300是原方程的解且符合题意，
5 5
则 x= ×300=500，
3 3
答：原计划甲平均每天运渣上500吨．
（2）解：根据题意得：
( m )
(500+m)×7+300× 1+ ×(7+2)=7000，
300
解得m=50，
( 50 )
则300× 1+ ×(7+2)×50=157500，
300
答：乙工程队的运输费用为157500元．
19．实践探索题，阅读下列材料：
1 1 1
已知，关于x的方程x+ =c+ 的解是x =c，x =
x c 1 2 c
2 2 2
关于x的方程x+ =c+ 的解是x =c，x =
x c 1 2 c
3 3 3
关于x的方程x+ =c+ 的解是x =c，x =
x c 1 2 c
……
m m
(1)请根据上述方程的特点，猜想方程x+ =c+ 的解是x = ，x =
x c 1 2
1 1
(2)请根据上述结论，猜想方程x− =c− 的解是x = ，x =
x c 1 2
4 4
(3)请根据上述结论，求方程x+ =c+ 的解．
x−1 c−1
【答案】(1)c,m
1
(2)c，−
c
c+3
(3)x=c或x=
c−1
10m m m
【详解】（1）解：方程x+ =c+ 的解是x =c,x =
x c 1 2 c
m
故答案为：c, ．
c
1 1 1
（2）解：方程x− =c− 的解是x =c,x =− ，
x c 1 2 c
1
故答案为：c，− ．
c
4 4
（3）解：x+ =c+ ，
x−1 c−1
4 4
∴x−1+ =c−1+ ，
x−1 c−1
4
∴方程的解为：x−1=c−1或x−1= ，
c−1
c+3
解得：x=c或x= ．
c−1
mn
20．我们定义：形如x+ =m+n（m，n不为零），且两个解分别为x =m，x =n的方
x 1 2
程称为“十字分式方程”．
6 2×3
例如x+ =5为十字分式方程，可化为x+ =2+3，∴x =2，x =3．
x x 1 2
7 (−1)×(−7)
再如x+ =−8为十字分式方程，可化为x+ =(−1)+(−7)．∴x =−1，
x x 1
x =−7．
2
应用上面的结论解答下列问题：
12
(1)若x+ =−7为十字分式方程，则x = ______，x = ______．
x 1 2
6 b a
(2)若十字分式方程x− =−5的两个解分别为x =a，x =b，求 + +1的值．
x 1 2 a b
2023k−2022k2
(3)若关于x的十字分式方程x− =2023k−2022的两个解分别为x ，x （
x−1 1 2
x +4044
k>2，x >x ），求 1 的值．
1 2 x
2
【答案】(1)−3，−4
31
(2)−
6
(3)2022
12
【详解】（1）解：∵方程x+ =−7是十字分式方程，可化为
x
11(−3)×(−4)
x+ =(−3)+(−4)，
x
∴x =−3，x =−4，
1 2
故答案为：−3，−4．
6
（2）解：∵十字分式方程x− =−5的两个解分别为x =a，x =b，
x 1 2
∴ab=−6，a+b=−5，
b a b2+a2 (a+b) 2−2ab (a+b) 2
∵ + +1= +1 = +1 = −1，
a b ab ab ab
(−5) 2 31
∴原式= −1 =− ．
−6 6
2023k−2022k2
（3）解：方程x− =2023k−2022是十字分式方程，可化为
x−1
2023k−2022k2
x−1− =2023k−2022−1，
x−1
∴(x −1)(x −1)=−(2023k−2022k2)=k(2022k−2023)，
1 2
(x −1)+(x −1)=2023k−2023=k+(2022k−2023)，
1 2
∵k>2，x >x ，
1 2
∴x −1=2022k−2023，x −1=k，即x =2022k−2022，x =k+1，
1 2 1 2
x +4044 2022k−2022+4044 2022(k+1)
代入 1 得， = =2022，
x k+1 k+1
2
x +4044
1
∴ 的值为2022．
x
2
培优第三阶——中考沙场点兵
2x+m
21．如果关于x的方程 =1的解是正数，那么m的取值范围是（ ）
x−1
A．m>−1 B．m>−1且m≠0
C．m<−1 D．m<−1且m≠−2
【答案】D
2x+m
【详解】解： =1
x−1
2x+m=x−1
解得：x=−m−1
122x+m
方程 =1的解是正数，
x−1
∴x=−m−1>0
∴m<−1
∵x−1≠0即x≠1
∴−m−1≠1
∴m≠−2
∴m<−1且m≠−2
故选：D
22．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录了一道驿站送信的题目，大
意为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马
派送，则所需时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定
时间为x天，则可列出正确的方程为（ ）
900 900 900 900 900 900 900 900
A．2× = B．2× = C． =2× D． =2×
x−1 x+3 x+1 x−3 x−1 x+3 x+1 x−3
【答案】B
【详解】解：∵规定时间为x天，
∴慢马所需的时间为(x+1)，快马所需时间为(x−3)，
又∵快马的速度是慢马的2倍，
900 900
∴可列出方程 ×2= ，
x+1 x−3
故选：B．
3 2
23．方程 = 的解是__________.
x x−2
【答案】x=6
【详解】解：去分母，得3(x−2)=2x，
去括号，得3x−6=2x，
移项、合并同类项，得x=6，
经检验，x=6是分式方程的解，
故答案为：x=6．
1 1 x+a
24．已知关于x的方程 + = 的解为负数，则a的取值范围是__________．
x x+1 x(x+1)
【答案】a<1且a≠0
1 1 x+a
【详解】解：由 + = 得x=a−1，
x x+1 x(x+1)
1 1 x+a
∵关于x的方程 + = 的解为负数，
x x+1 x(x+1)
13∴ ¿，即¿，解得¿，即a<1且a≠0，
故答案为：a<1且a≠0．
25．某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工的产品数量是甲
车间每天加工的产品数量的1.5倍，甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天．设
甲车间每天加工x件产品，根据题意可列方程为_________．
4000 4200
【答案】 − ＝3
x 1.5x
【详解】解：∵甲车间每天加工x件产品，乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工
的产品数量的1.5倍，
∴乙车间每天加工1.5x件产品，
又∵甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天，
4000 4200
∴ − ＝3．
x 1.5x
4000 4200
故答案为： − ＝3．
x 1.5x
26．某班在庆祝中国共产主义青年团成立100周年活动中，给学生发放笔记本和钢笔作为
纪念品．已知每本笔记本比每支钢笔多2元，用240元购买的笔记本数量与用200元购买
的钢笔数量相同．
(1)笔记本和钢笔的单价各多少元？
(2)若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品，要使购买
纪念品的总费用不超过540元，最多可以购买多少本笔记本？
【答案】(1)笔记本每本12元，钢笔每支10元
(2)最多购买笔记本20本
【详解】（1）设每支钢笔x元，依题意得：
240 200
=
x+2 x
解得：x＝10，
经检验：x＝10是原方程的解，
故笔记本的单价为：10+2＝12（元），
答：笔记本每本12元，钢笔每支10元．
（2）设购买y本笔记本，则购买钢笔（50﹣y）支，依题意得：
12y+10（50﹣y）≤540，
解得：y≤20，
故最多购买笔记本20本．
14
