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5.4 二元一次方程组与一次函数 导学案
第 1 课时 二元一次方程与一次函数
1.体会二元一次方程与一次函数的相互转化关系，理解两者在 “数” 与 “形” 上的对应联系.
2.能从图象角度理解二元一次方程组的解，明确两条直线交点坐标与方程组解的对应关系，发展几何直观
能力.
3.掌握利用函数图象解决二元一次方程组的基本方法，体会数形结合和转化的数学思想.
学习重点：二元一次方程与一次函数的关系；二元一次方程组的解与两条一次函数图象交点坐标的对应关
系.
学习难点：从 “数” 与 “形” 两个角度理解二元一次方程组与一次函数的内在联系，灵活运用数形结
合思想解决问题.
第一环节 自主学习
新知自研：自研课本P128-P129页的内容，思考：
【学法指导】
情景引入
“周末小红去超市买文具，买了钢笔和笔记本共 5 件，设钢笔买了 x 件，笔记本买了 y 件，得到方程
x+y=5.这个方程有多少种正整数解？如果把这些解看作坐标点，在平面直角坐标系中会形成什么图形？”
●探究一：二元一次方程与一次函数的图象关系
◆1.二元一次方程 x+y =5的解有多少个?举例说出其中几个.
◆2.等式x+y=5还可以看成一个一次函数，把它变成y=kx+b的形式是 .
◆3.画出y=－x+5 的图象.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1（1）思考1：以方程x+y=5的解为坐标的点都在一次函数y=-x+5的图象上吗？
（2）思考2：在一次函数y=-x+5的图象上任取一点，点的坐标适合方程x+y=5吗？
（3）思考3：以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=-x+5的图象相同吗？
（4）小组讨论：通过以上探究，你认为二元一次方程与一次函数有什么关系？
◆4.总结归纳：
二元一次方程的所有解对应的点组成的图象，就是其对应的一次函数的 ；反之，一次函数图
象上所有点的坐标，都是其对应的 的解.
●探究二：二元一次方程组与一次函数的关系
{ x+ y=5
◆1.解方程组 解得
2x−y=1
◆2.请在同一直角坐标系内分别画出函数y=－x+5与y=2x－1的图象，找出它们的交点坐标，并比较与上
述方程的解有什么联系？
◆3.总结归纳：
二元一次方程组与一次函数图象的关系：
一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的 的解；解一个
二元一次方程组相当于确定相应两条直线的 的坐标.
●探究二： 二元一次方程组与对应 平行直线的关系
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2◆1.观察在同一直角坐标系内，一次函数y=x+1和y=x-2的图象有怎样的位置关系？
{y=x+1
◆2.方程组 解的情况如何？ .
y=x−2
你发现了什么？
学生活动：独立绘图观察直线位置关系，尝试用代数方法解方程组，小组讨论发现规律.
◆3.总结归纳：
当两个一次函数的 k 值相等（b 值不相等）时，对应的直线 ，方程组无解；反之，若方程组
，则对应的两条直线平行.
【例题导析】
自研下面典例的内容，回答问题：
典例分析
例1 下面四条直线，其中直线上的每一个点的坐标都是二元一次方程2x-3y=6的解的是( )
D
A B C
例2 用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，
则所解的二元一次方程组为（ ）．
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
例3．已知一次函数y=﹣2x+2与y=x﹣4．
1 2
（1）在同一平面坐标系中，画出它们的图象.
(2)直线y =−2x+2，y =x−4与y轴分别交于点A，B，请写出A，B两点的坐标；
1 2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 3(3)根据图象，写出方程组¿的解
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.从数和形的两个角度来探讨二元一次方程（组）与一次函数的关系；
B.交流例题的解题思路和易错点，并总结方法.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
1.若点(2,3)在一次函数y=2x−1的图象上，则方程2x−y=1的一组解为 .
{ x+ y=5 {x=3
2．若二元一次方程组 的解为 ，则函数y=5-x与 y=-2x+8 的图象的交点坐标为 .
2x+ y=8 y=2
{x+ y=2
3.方程组 有 个解；
x+ y=5
{3x−y=7
4.方程组 有 个解；
2x−y=5
{&3x−y=4
5.利用一次函数的图象解二元一次方程组
&2x−3 y=−2.
6、直线m:3x+3y=12与x轴交于点A ，与y轴交于点B，直线n:ax+by=-5与x轴交于点 ( 5 )，与直
C − ,0
3
线 m 交于点 P ，若点P的横坐标为1 ．
(1)求A，B两点的坐标；
{&3x+3 y=12
(2)直接写出方程组 的解；
&ax+by=−5
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4(3)求a，b的值；
(4)求△PAC的面积．
题型一： 利用一次函数的图象解二元一次方程（组）
1.在下列图象中，直线上每个点的坐标都适合二元一次方程2x﹣y＝2的是（ ）
A． B．
C． D．
{ x+ y=3
2．如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组 的解
−mx+ y=n
为（ ）
{x=1 {x=3 {x=1 {x=1
A． B． C． D．
y=3 y=1 y=2 y=1
3．如图，直线y=kx+b与y=mx+n的图象交于(2,−1)，则关于x，y的方程组¿的解为（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 5A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
3 9
4．如图，一次函数y= x+ 的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，n），则关于x，y的方程组
4 2
{ 3 9
y= x+ 的解是（ ）
4 2
y=kx+b
{x=−2 {x=−2 { x=3 { x=2
A． B． C． D．
y=3 y=2 y=−2 y=−2
5．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝x+2的图象相交于点M（m，4），则关于x，y的二元一次方程
{kx−y=−b
组 的解是（ ）
y−x=2
{x=1.8 {x=2
A． B．
y=4 y=4
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 6{x=2.4 {x=3
C． D．
y=4 y=4
题型二 求两直线的交点坐标
{ 4
6．已知方程组{−3x+ y+3=0的解是 x= ，则直线y＝3x﹣3与y 3x+3的交点坐标为
3 =−
3x+2y−6=0 2
y=1
．
{ y=kx+2 {x=2
7．已知k、m为常数，且km≠0，若关于x、y的二元一次方程组 的解为 ，则y关于x的
y=mx−4 y=4
一次函数y＝k x+2、y＝m x﹣4的交点坐标为 ．
{ax−y+b=0 { x=4
8．已知二元一次方程组 的解为 ，则函数y＝ax+b和y＝kx的图象的交点坐标为
kx−y=0 y=−2
．
{2x+ y=b {x=−1
9．若方程组 的解是 ，则直线y＝﹣2x+b与直线y＝x﹣a的交点坐标是 ．
x−y=a y=3
{2x+ y=m {x=−1
10．若已知方程组 的解是 则直线y＝﹣2x+m与直线y＝x﹣n的交点坐标是 ．
x−y=n y=3
题型三 不解方程组判断方程组解的情况
11．函数y=ax+b与函数y=cx+d的图象是两条直线，只有一个交点，则二元一次方程组¿ 有（ ）
A．无数解 B．无解 C．唯一解 D．不能确定
12．若一次函数 y＝k 1 x+b 1 与 y＝k 2 x+b 2
的图象没有交点，则方程组{k
1
x−y+b
1
=0，的解的情况是
k x−y+b =0
2 2
（ ）
A．有无数组解 B．有两组解
C．只有一组解 D．没有解
13．若方程组{ y=kx+3， 无解，则一次函数y＝kx+3的图象不经过第（ ）象限．
y=(3k+1)x+2
A．一 B．二 C．三 D．四
14．直线y＝ax+2与直线y＝3x﹣2平行，下列说法不正确的是（ ）
A．a＝3
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 7B．直线y＝ax+2与y＝3x﹣2没有交点
{y=ax+2
C．方程组 无解
y=3x−2
{y=ax+2
D．方程组 有无穷多个解
y=3x−2
15．（1）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1和y＝x﹣2的图象（如图）有怎样的位置关系？方
{x−y=−1，
程组 解的情况如何？你发现了什么？
x−y=2
（2）写出一个二元一次方程组，使该方程组无解．
16．已知关于x，y的方程组{ y=kx+b
y=(3k−1)x+2
（1）当k，b为何值时，方程组有唯一一组解；
（2）当k，b为何值时，方程组有无数组解；
（3）当k，b为何值时，方程组无解．
▲1．二元一次方程的所有解对应的点组成的图象，就是其对应的一次函数的 ；反之，一次函数
图象上所有点的坐标，都是其对应的 的解.
▲2．一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的 的解；解一个二
元一次方程组相当于确定相应两条直线的 的坐标.
▲3．当两个一次函数的 k 值相等（b 值不相等）时，对应的直线 ，方程组无解；反之，若方
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 8程组 ，则对应的两条直线平行.
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