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5.4 二元一次方程组与一次函数 导学案
第 1 课时 二元一次方程与一次函数
1.体会二元一次方程与一次函数的相互转化关系，理解两者在 “数” 与 “形” 上的对应联系.
2.能从图象角度理解二元一次方程组的解，明确两条直线交点坐标与方程组解的对应关系，发展几何直观
能力.
3.掌握利用函数图象解决二元一次方程组的基本方法，体会数形结合和转化的数学思想.
学习重点：二元一次方程与一次函数的关系；二元一次方程组的解与两条一次函数图象交点坐标的对应关
系.
学习难点：从 “数” 与 “形” 两个角度理解二元一次方程组与一次函数的内在联系，灵活运用数形结
合思想解决问题.
第一环节 自主学习
新知自研：自研课本P128-P129页的内容，思考：
【学法指导】
情景引入
“周末小红去超市买文具，买了钢笔和笔记本共 5 件，设钢笔买了 x 件，笔记本买了 y 件，得到方程
x+y=5.这个方程有多少种正整数解？如果把这些解看作坐标点，在平面直角坐标系中会形成什么图形？”
●探究一：二元一次方程与一次函数的图象关系
◆1.二元一次方程 x+y =5的解有多少个?举例说出其中几个.
无数 个
◆2.等式x+y=5还可以看成一个一次函数，把它变成y=kx+b的形式是 y=-x+ 5 .
◆3.画出y=－x+5 的图象.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1（1）思考1：以方程x+y=5的解为坐标的点都在一次函数y=-x+5的图象上吗？在
（2）思考2：在一次函数y=-x+5的图象上任取一点，点的坐标适合方程x+y=5吗？都适合
（3）思考3：以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=-x+5的图象相同吗？相同
（4）小组讨论：通过以上探究，你认为二元一次方程与一次函数有什么关系？
◆4.总结归纳：
二元一次方程的所有解对应的点组成的图象，就是其对应的一次函数的图象；反之，一次函数图象上所有
点的坐标，都是其对应的二元一次方程的解.
●探究二：二元一次方程组与一次函数的关系
{ x+ y=5 {x=2
◆1.解方程组 解得
2x−y=1 y=3
◆2.请在同一直角坐标系内分别画出函数y=－x+5与y=2x－1的图象，找出它们的交点坐标，并比较与上
述方程的解有什么联系？
{ x+ y=5 {x=2
方程 的解 是对应两条直线的交点坐标（ 2 ， 3 ）
2x−y=1 y=3
◆3.总结归纳：
二元一次方程组与一次函数图象的关系：
一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元
一次方程组相当于确定相应两条直线的交点的坐标.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2●探究二： 二元一次方程组与对应 平行直线的关系
◆1.观察在同一直角坐标系内，一次函数y=x+1和y=x-2的图象有怎样的位置关系？
一次函数 y = x + 1 和 y = x - 2 的图象平行
{y=x+1
◆2.方程组 解的情况如何？ 无解 .
y=x−2
你发现了什么？
学生活动：独立绘图观察直线位置关系，尝试用代数方法解方程组，小组讨论发现规律.
◆3.总结归纳：
当两个一次函数的 k 值相等（b 值不相等）时，对应的直线平行，方程组无解；反之，若方程组无解，
则对应的两条直线平行.
【例题导析】
自研下面典例的内容，回答问题：
典例分析
例1 下面四条直线，其中直线上的每一个点的坐标都是二元一次方程2x-3y=6的解的是( D )
D
A B C
【分析】方程转化为函数关系进而得出与坐标轴交点坐标.
【解析】∵2x-3y=6，
2
∴y= x-2，
3
∴当x=0，y=-2；当y=0，x=3，
2
∴一次函数y= x-2，与y轴交于点（0，-2），与x轴交于点（3，0）.
3
例2 用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，
则所解的二元一次方程组为（ ）．
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 3【解析】设其中一个一次函数的解析式为y=kx+b，
{&2k+b=0 {&k=−1
将点(2,0),(0,2)代入得： ，解得
&b=2 &b=2
则这个一次函数的解析式为y=−x+2，
同理可得：另一个一次函数的解析式为y=2x−1，
则所解的二元一次方程组为¿
例3．已知一次函数y=﹣2x+2与y=x﹣4．
1 2
（1）在同一平面坐标系中，画出它们的图象.
(2)直线y =−2x+2，y =x−4与y轴分别交于点A，B，请写出A，B两点的坐标；
1 2
解：当x=0时，y =2，y =−4，∴A(0,2)，B(0,−4)；
1 2
(3)根据图象，写出方程组¿的解
{&2x+ y=2 {&x=2
解：根据图象可知：方程组 的解为
&x−y=4 & y=−2
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.从数和形的两个角度来探讨二元一次方程（组）与一次函数的关系；
B.交流例题的解题思路和易错点，并总结方法.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4{&x=2
1.若点(2,3)在一次函数y=2x−1的图象上，则方程2x−y=1的一组解为
& y=3
{ x+ y=5 {x=3
2．若二元一次方程组 的解为 ，则函数y=5-x与 y=-2x+8 的图象的交点坐标为(3，2）
2x+ y=8 y=2
{x+ y=2
3.方程组 有 0 个解；
x+ y=5
{3x−y=7
4.方程组 有 1 个解；
2x−y=5
{&3x−y=4
5.利用一次函数的图象解二元一次方程组
&2x−3 y=−2.
2 2
解：画出函数y=3x-4与y= x+ 的图象，
3 3
列表,描点，连线，如图所示，
2 2
两个一次函数与y=3x−4与y= x+ 的交点坐标为(2,2)；
3 3
{&3x−y=4 {&x=2
因此方程组 的解
&2x−3 y=−2. & y=2
6、直线m:3x+3y=12与x轴交于点A ，与y轴交于点B，直线n:ax+by=-5与x轴交于点 ( 5 )，与直
C − ,0
3
线 m 交于点 P ，若点P的横坐标为1 ．
(1)求A，B两点的坐标；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 5{&3x+3 y=12
(2)直接写出方程组 的解；
&ax+by=−5
(3)求a，b的值；
(4)求△PAC的面积．
{&x=1
解：(1)A(4,0)，B(0,4) （2）
& y=3
（3）将 ( 5 )， 代入直线 ，
C − ,0 P(1,3) n:ax+by=−5
3
{ 5 { &a=3
&− a=−5
则； 3 解得 8
&b=−
&a+3b=−5 3
(4)∵ ， ( 5 )， ，
A(4,0) C − ,0 P(1,3)
3
∴ ( 5) 17，
AC=4− − =
3 3
1 1 17 17
∴S = AC×y = × ×3=
△PAC 2 P 2 3 2
题型一： 利用一次函数的图象解二元一次方程（组）
1.在下列图象中，直线上每个点的坐标都适合二元一次方程2x﹣y＝2的是（ ）
A． B．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 6C． D．
【分析】根据两点确定一条直线，当 x＝0，求出y的值，再利用y＝0，求出x的值，即可得出一次函数图
象与坐标轴交点，即可得出图象．
【解答】解：∵2x﹣y＝2，
∴y＝2x﹣2，
∴当x＝0，y＝﹣2；当y＝0，x＝1，
∴一次函数y＝2x﹣2，与y轴交于点（0，﹣2），与x轴交于点（1，0），
即可得出选项A符合要求，
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程的关系，一次函数的性质，将方程转化为函数关系进而
得出与坐标轴交点坐标是解题关键．
{ x+ y=3
2．如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组 的解
−mx+ y=n
为（ ）
{x=1 {x=3 {x=1 {x=1
A． B． C． D．
y=3 y=1 y=2 y=1
【分析】先求出交点纵坐标再根据一次函数与二元一次方程组的关系求解即可．
【解答】解：根据题意，将x＝1代入直线y＝﹣x+3，
得y＝﹣1+3＝2，
∴直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点坐标为（1，2），
{ x+ y=3 {x=1
∴关于x、y的二元一次方程组 的解为 ，
−mx+ y=n y=2
故选：C．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 7【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数的图象上点的坐标特征是解题
的关键．
3．如图，直线y=kx+b与y=mx+n的图象交于(2,−1)，则关于x，y的方程组¿的解为（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交
点坐标进行判断，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值
也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
【解答】解：∵一次函数y=kx+b与y=mx+n的图象交于(2,−1)，
∴一次函数y=kx+b与y=mx+n的图象向下平移1个单位长度得到函数的解析式为y=kx+b−1，
y=mx+n−1，
则一次函数y=kx+b−1与y=mx+n−1的图象的交点也相应的向下平移一个单位长度为(2,−2)，
∴关于x，y的方程组¿的解为(2,−2)，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数的图象上点的坐标特征是解题
的关键．
3 9
4．如图，一次函数y= x+ 的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，n），则关于x，y的方程组
4 2
{ 3 9
y= x+ 的解是（ ）
4 2
y=kx+b
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 8{x=−2 {x=−2 { x=3 { x=2
A． B． C． D．
y=3 y=2 y=−2 y=−2
3 9
【分析】先把P（﹣2，n）代入y= x+ 中计算出n的值，从而得到P（﹣2，3），然后利用方程组的解
4 2
就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题．
3 9 3 9
【解答】解：把P（﹣2，n）代入y= x+ 得n= ×（﹣2）+ =3，
4 2 4 2
即P（﹣2，3），
3 9
∵一次函数y= x+ 的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，3），
4 2
{ 3 9
∴关于x，y的方程组 y= x+ 的解为{x=−2．
4 2
y=3
y=kx+b
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐
标；运用数形结合的方法解决此类问题．
5．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝x+2的图象相交于点M（m，4），则关于x，y的二元一次方程
{kx−y=−b
组 的解是（ ）
y−x=2
{x=1.8 {x=2
A． B．
y=4 y=4
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 9{x=2.4 {x=3
C． D．
y=4 y=4
【分析】先利用y＝x+2确定M点的坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标
求解．
【解答】解：把M（m，4）代入y＝x+2得m+2＝4，
解得m＝2，
∴M点的坐标为（2，4），
∵一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝x+2的图象相交于点M（2，4），
{kx−y=−b {x=2
∴关于x，y的二元一次方程组 的解是 ．
y−x=2 y=4
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：由两个函数解析式所组成的方程组的解就是两个相
应的一次函数图象的交点坐标．
题型二 求两直线的交点坐标
{ 4
6．已知方程组{−3x+ y+3=0的解是 x= ，则直线y＝3x﹣3与y 3x+3的交点坐标为
3 =−
3x+2y−6=0 2
y=1
．
【分析】二元一次方程可以化为一次函数的形式，二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交
点坐标．
{ 4
【解答】解：∵方程组{−3x+ y+3=0的解是 x= ，
3
3x+2y−6=0
y=1
3 4
∴直线y＝3x﹣3与y=− x+3的交点坐标为（ ，1）．
2 3
4
故答案为（ ，1）．
3
【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的
解．
{ y=kx+2 {x=2
7．已知k、m为常数，且km≠0，若关于x、y的二元一次方程组 的解为 ，则y关于x的
y=mx−4 y=4
一次函数y＝kx+2、y＝mx﹣4的交点坐标为 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 10【分析】根据二元一次方程组与两直线交点的关系进行解答即可．
{ y=kx+2 {x=2
【解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组 的解为 ，
y=mx−4 y=4
∴y关于x的一次函数y＝kx+2，y＝mx﹣4的交点坐标为（2，4），
故答案为：（2，4）．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的
关系是解题的关键．
{ax−y+b=0 { x=4
8．已知二元一次方程组 的解为 ，则函数y＝ax+b和y＝kx的图象的交点坐标为
kx−y=0 y=−2
．
{ax−y+b=0 { x=4 {y=ax+b { x=4
【分析】由二元一次方程组 的解为 ，得出二元一次方程组 的解为
kx−y=0 y=−2 y=kx y=−2
从而可得出交点坐标．
{ax−y+b=0 { x=4
【解答】解：∵二元一次方程组 的解为 ，
kx−y=0 y=−2
{y=ax+b { x=4
即二元一次方程组 的解为 ，
y=kx y=−2
∴函数y＝ax+b和y＝kx的图象的交点坐标为（4，﹣2），
故答案为：（4，﹣2）．
【点评】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，熟练掌握交点坐标为方程组的解是解题的关
键．
{2x+ y=b {x=−1
9．若方程组 的解是 ，则直线y＝﹣2x+b与直线y＝x﹣a的交点坐标是 ．
x−y=a y=3
【分析】根据两个函数图象的交点就是两个函数组成的方程组的解可得答案．
{2x+ y=b {x=−1
【解答】解：因为方程组 的解是 ，
x−y=a y=3
所以直线y＝﹣2x+b与直线y＝x﹣a的交点坐标是（﹣1，3），
故答案为：（﹣1，3），
【点评】此题主要考查了二元一次方程（组）与一次函数的关系，关键是掌握两条直线的交点坐标应该是
联立两个一次函数解析式所组方程组的解．
{2x+ y=m {x=−1
10．若已知方程组 的解是 则直线y＝﹣2x+m与直线y＝x﹣n的交点坐标是 ．
x−y=n y=3
【分析】直线y＝﹣2x+m与直线y＝x﹣n解析式组成的方程组的解是两直线的交点．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 11{2x+ y=m {x=−1
【解答】解方程组 的解是 ，
x−y=n y=3
∴直线y＝﹣2x+m与直线y＝x﹣n的交点坐标是（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握各种数学思想方法是解题的关键．
题型三 不解方程组判断方程组解的情况
11．函数y=ax+b与函数y=cx+d的图象是两条直线，只有一个交点，则二元一次方程组¿ 有（ ）
A．无数解 B．无解 C．唯一解 D．不能确定
【分析】函数所表示的直线的交点即为函数所组成的方程组的解，方程组有几个解就是要看有几个交点．
【解答】解： 直线的交点即方程组的解，
函数y=ax+ ∵b与函数y=cx+d的图象只有一个交点，则二元一次方程组¿ 有唯一解．
∴故选C．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，理解直线的交点即方程组的解是解题的关键．
12．若一次函数 y＝k 1 x+b 1 与 y＝k 2 x+b 2
的图象没有交点，则方程组{k
1
x−y+b
1
=0，的解的情况是
k x−y+b =0
2 2
（ ）
A．有无数组解 B．有两组解
C．只有一组解 D．没有解
【分析】根据一次函数的图象是一条直线，两条直线的交点坐标满足两个一次函数的解析式；接下来再结
合方程组解的定义可知交点坐标与解的关系，问题即可得解．
【解答】解：函数y＝k 1 x+b 1 与y＝k 2 x+b 2
经过变形可得到方程组{k
1
x−y+b
1
=0
，
k x−y+b =0
2 2
根据两个一次函数没有交点可知对应的二元一次方程组无解．
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数与二元一次方程组的关系，可以由一次函数图象的交点情况，确定对应的
二元一次方程组的解的情况．
13．若方程组{ y=kx+3， 无解，则一次函数y＝kx+3的图象不经过第（ ）象限．
y=(3k+1)x+2
A．一 B．二 C．三 D．四
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 121
【分析】首先根据题意，解二元一次方程组，用 k表示出x为x= ；接下来由方程组无解即可得到
2k+1
2k+1＝0，求出k的值，至此问题不难解答．
【解答】解：对方程组消去y，得kx+3＝（3k+1）x+2，
1
解得：x= ．
2k+1
因为方程组无解，所以2k+1＝0，
1
即k=− ，
2
1
故y=− x+3，过一、二、四象限，即不经过第三象限．
2
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一
对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的
一次函数图象的交点坐标．
14．直线y＝ax+2与直线y＝3x﹣2平行，下列说法不正确的是（ ）
A．a＝3
B．直线y＝ax+2与y＝3x﹣2没有交点
{y=ax+2
C．方程组 无解
y=3x−2
{y=ax+2
D．方程组 有无穷多个解
y=3x−2
【分析】根据一次函数图象的特征解答即可．
【解答】解：A．两直线平行时，比例系数相等，a＝3，故正确，不符合题意；
B．两直线平行，没有交点，故正确，不符合题意；
C．两直线平行，没有交点，所以方程组无解，故正确，不符合题意；
D．两直线平行，没有交点，所以方程组无解，故错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数与二元一次方程的关系，掌握当两直线平行时比例系数k相等是解题关键．
15．（1）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1和y＝x﹣2的图象（如图）有怎样的位置关系？方
{x−y=−1，
程组 解的情况如何？你发现了什么？
x−y=2
（2）写出一个二元一次方程组，使该方程组无解．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 13【分析】（1）根据图象即可得到结论，根据一次函数与方程组的关系得到方程组无解，故当 k ＝k 时，
1 2
l ∥l ；二元一次方程组中未知数的系数相同，方程组无解；
1 2
（2）根据二元一次方程组中未知数的系数相同，方程组无解，写出即可．
{x−y=−1
【解答】解：（1）由图象可知直线y＝x+1和直线y＝x﹣2平行，方程组 无解，当k ＝k 时，
x−y=2 1 2
l ∥l ；二元一次方程组中未知数的系数相同，方程组无解；
1 2
{x+ y=1
（2） 无解．
x+ y=2
【点评】本题考查的是一次函数与二元一次方程组，数形结合是解答此题的关键．
16．已知关于x，y的方程组{ y=kx+b
y=(3k−1)x+2
（1）当k，b为何值时，方程组有唯一一组解；
（2）当k，b为何值时，方程组有无数组解；
（3）当k，b为何值时，方程组无解．
【分析】（1）利用两直线的位置关系得到当k≠3k﹣1时，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）x+2只有一个交
点，于是可得到k的取值范围；
（2）利用两直线的位置关系得到当k＝3k﹣1，b＝2时，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）x+2重合，于是可
得到k、b的值；
（3）利用两直线的位置关系得到当k＝3k﹣1，b≠2时，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）x+2没有一个交
点，于是可得到k的值和b的取值范围．
1
【解答】解：（1）当k≠3k﹣1时，即k≠ ，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）x+2只有一个交点，
2
1
所以当k≠ ，b为任意数时，方程组有唯一一组解；
2
1
（2）当k＝3k﹣1，b＝2时，即k= ，b＝2，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）x+2重合，
2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 141
所以k= ，b＝2时，方程组有无数组解；
2
1
（3）当k＝3k﹣1，b≠2时，即k= ，b≠2，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）x+2没有交点，
2
1
所以k= ，b≠2时，方程组无解．
2
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a,b
为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量
的值，从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．方程组的解就是两个相应
的一次函数图象的交点坐标．
▲1．二元一次方程的所有解对应的点组成的图象，就是其对应的一次函数的图象；反之，一次函数图象
上所有点的坐标，都是其对应的二元一次方程的解.
▲2．一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一
个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点的坐标.
▲3．当两个一次函数的 k 值相等（b 值不相等）时，对应的直线平行，方程组无解；反之，若方程组无
解，则对应的两条直线平行.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 15
