文档内容
5.4.1 二元一次方程组与一次函数（第 1 课时） 教学设计
1.教学内容
本节课选自北师大版 2024 年八年级上册第五章第四节第一课时，是在学生已经掌握二元一次方程组
解法和一次函数图象与性质的基础上，建立两者之间的联系.
2.内容解析
教材通过 “买文具” 的情境导入，引导学生从 “数” 和 “形” 两个角度探究二元一次方程与一
次函数的关系，进而延伸到二元一次方程组与两条一次函数图象的关联，最终揭示 “方程组的解” 与
“直线交点坐标” 的对应关系，同时渗透数形结合和转化的数学思想.这部分内容既是对前面知识的综合
运用与深化，也为后续利用函数图象解决实际问题奠定基础，在整个初中数学知识体系中起到承上启下的
作用.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：二元一次方程与一次函数的关系；二元一次方程组的解与
两条一次函数图象交点坐标的对应关系.
1.教学目标
（1）体会二元一次方程与一次函数的相互转化关系，理解两者在 “数” 与 “形” 上的对应联系.
（2）能从图象角度理解二元一次方程组的解，明确两条直线交点坐标与方程组解的对应关系，发展
几何直观能力.
（3）掌握利用函数图象解决二元一次方程组的基本方法，体会数形结合和转化的数学思想.
2.目标解析
（1）学生能将二元一次方程化为一次函数的形式，知道二元一次方程的所有解对应一次函数图象上
的点，反之亦然.
（2）学生能通过绘制两条一次函数的图象，找到交点坐标并识别其为对应方程组的解，同时能根据
方程组的解判断两条直线的位置关系.
（3）学生能运用数形结合思想，在解决问题时灵活切换 “数” 与 “形” 的视角，实现知识的转
化与迁移.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1（一）已有知识基础
学生在七年级下册已经学习了一次函数的概念、图象绘制及性质，八年级上册掌握了二元一次方程组
的代入消元法和加减消元法，具备了一定的代数运算能力和简单的图象分析能力.同时，学生在之前的学习
中接触过简单的数形结合思想，如利用数轴表示有理数、用函数图象描述变量关系等，为本节课的探究奠
定了基础.
（二）预估教学困难
1、学生容易混淆 “二元一次方程的解” 与 “一次函数图象上的点” 的对应关系，难以从本质上理
解两者的统一性.
2、对于 “方程组的解” 与 “直线交点坐标” 的双向对应关系，学生可能只能单向理解，无法灵活
双向运用.
3、绘制函数图象时，学生可能存在找点不准、图象绘制不规范的问题，影响对交点坐标的判断.
（三） 解决办法
1、通过 “举例验证 — 小组讨论 — 总结归纳” 的流程，让学生自主探究二元一次方程的解与函数
图象上点的关系，结合具体实例强化理解.
2、设计 “代数解法” 与 “图象解法” 的对比活动，让学生在实践中感受两者的对应关系，通过双
向练习巩固认知.
3、课前简要复习一次函数图象绘制的步骤和注意事项，课堂上提供标准的坐标系模板，强调 “两点
确定一条直线” 的绘图方法，及时纠正不规范的绘图行为.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：从 “数” 与 “形” 两个角度理解二元一次方程组与一
次函数的内在联系，灵活运用数形结合思想解决问题.
呈现问题：“周末小红去超市买文具，买了钢笔和笔记本共 5 件，设钢笔买了 x 件，笔记本买了
y 件，得到方程 x+y=5.这个方程有多少种正整数解？如果把这些解看作坐标点，在平面直角坐标系中
会形成什么图形？”
引导学生思考：学生独立列举方程的正整数解，尝试猜想坐标点形成的图形.
(设计意图：通过生活化情境激发学生兴趣，衔接已学的二元一次方程解的知识，自然引出 “数” 与
“形” 的关联问题，为新知探究铺垫.)
（教学建议：鼓励学生大胆猜想，不急于给出答案，重点关注学生是否能准确列举方程的解，对列举不全
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2的学生进行适当提示．）
探究点1 二元一次方程与一次函数的图象关系
1.二元一次方程 x+y =5的解有多少个?举例说出其中几个.
无数个
2.等式x+y=5还可以看成一个一次函数，把它变成y=kx+b的形式是 y=-x+ 5
3.画出y=－x+5 的图象.
思考1：以方程x+y=5的解为坐标的点都在一次函数y=-x+5的图象上吗？在
思考2：在一次函数y=-x+5的图象上任取一点，点的坐标适合方程x+y=5吗？都适合
思考3：以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=-x+5的图象相同吗？相同
请小组讨论：通过以上探究，你认为二元一次方程与一次函数有什么关系？
总结归纳：师生共同总结，二元一次方程的所有解对应的点组成的图象，就是其对应的一次函数的图
象；反之，一次函数图象上所有点的坐标，都是其对应的二元一次方程的解.
（设计意图：：通过动手实践和验证，让学生自主发现二元一次方程与一次函数的内在联系，突破重点知
识，培养探究能力.）
（教学建议：给学生充足的绘图和验证时间，小组讨论时明确分工，指定发言人分享结论，教师巡视指导
绘图有困难的学生.）
探究点2 二元一次方程组与一次函数的关系
{ x+ y=5 {x=2
1.解方程组 解得
2x−y=1 y=3
2.请在同一直角坐标系内分别画出函数.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 3y=－x+5与y=2x－1的图象，找出它们的交点坐标，并比较与上述方程的解有什么联系？
{ x+ y=5 {x=2
方程 的解
2x−y=1 y=3
是对应两条直线的交点坐标（2，3）
总结归纳：二元一次方程组与一次函数图象的关系:
一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元
一次方程组相当于确定相应两条直线的交点的坐标.
（设计意图：通过代数解法与图象解法的对比，让学生直观感受两者的对应关系，实现从 “方程” 到
“函数” 的知识转化，渗透数形结合思想.）
（教学建议：强调绘图时两条直线要画清晰，交点坐标的读取要准确，对于解方程组有困难的学生，可简
要回顾代入消元法或加减消元法.）
探究点3 二元一次方程组与对应 平行直线的关系
想一想：
1、观察在同一直角坐标系内，一次函数y=x+1和y=x-2的图象有怎样的位置关系？
一次函数y = x + 1 和y = x - 2 的图象平行
{y=x+1
2、方程组 解的情况如何？ 无解.
y=x−2
你发现了什么？
学生活动：独立绘图观察直线位置关系，尝试用代数方法解方程组，小组讨论发现规律.
总结归纳：当两个一次函数的 k 值相等（b 值不相等）时，对应的直线平行，方程组无解；反之，
若方程组无解，则对应的两条直线平行.
（设计意图：补充特殊情况，完善知识体系，让学生全面理解方程组解的情况与直线位置关系的联系）
（教学建议：引导学生对比前面相交直线的情况，突出 “k 值相等” 这个关键条件，帮助学生区分
“有解” 和 “无解” 的图象特征.）
典例分析
例1 下面四条直线，其中直线上的每一个点的坐标都是二元一次方程2x-3y=6的解的是( D
)
D
A B C
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4方程转化为函数关系进而得出与坐标轴交点坐标.
解析：∵2x-3y=6，
2
∴y= x-2，
3
∴当x=0，y=-2；当y=0，x=3，
2
∴一次函数y= x-2，与y轴交于点（0，-2），与x轴交于点（3，0）.
3
例2 用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数
图象，如图，则所解的二元一次方程组为（ ）．
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
解：设其中一个一次函数的解析式为y=kx+b，
{&2k+b=0 {&k=−1
将点(2,0),(0,2)代入得： ，解得
&b=2 &b=2
则这个一次函数的解析式为y=−x+2，
同理可得：另一个一次函数的解析式为y=2x−1，
则所解的二元一次方程组为¿
例3．已知一次函数y =-2x+2与y =x-4．
1 2
(2)直线y =−2x+2，y =x−4与y轴分别交于点A，B，请写出A，B两点的坐标；
1 2
解：当x=0时，y =2，y =−4，∴A(0,2)，B(0,−4)；
1 2
(3)根据图象，写出方程组¿的解
{&2x+ y=2 {&x=2
解：根据图象可知：方程组 的解为
&x−y=4 & y=−2
（设计意图：通过典型例题巩固新知，让学生掌握运用新知解决问题的方法，强化重点知识的应用.）
（教学建议：例题讲解注重思路引导，让学生说出解题的每一步依据，对于共性问题集中讲解．）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 5{&x=2
1.若点(2,3)在一次函数y=2x−1的图象上，则方程2x−y=1的一组解为
& y=3
{ x+ y=5 {x=3
2．若二元一次方程组 的解为 ，则函数y=5-x与 y=-2x+8 的图象的交点坐标为(3，
2x+ y=8 y=2
2）
3.方程组 有 0 个解；
4.方程组 有 1 个解；
{&3x−y=4
5.利用一次函数的图象解二元一次方程组
&2x−3 y=−2.
2 2
解：画出函数y=3x-4与y= x+ 的图象，
3 3
列表,描点，连线，如图所示，
2 2
两个一次函数与y=3x−4与y= x+ 的交点坐标为(2,2)；
3 3
{&3x−y=4 {&x=2
因此方程组 的解
&2x−3 y=−2. & y=2
6、直线m:3x+3y=12与x轴交于点A ，与y轴交于点B，直线n:ax+by=-5与x轴交于点 ( 5 )，
C − ,0
3
与直线 m 交于点 P ，若点P的横坐标为1 ．
(1)求A，B两点的坐标；
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(2)直接写出方程组 的解；
&ax+by=−5
(3)求a，b的值；
(4)求△PAC的面积．
{&x=1
解：(1)A(4,0)，B(0,4) （2）
& y=3
（3）将 ( 5 )， 代入直线 ，
C − ,0 P(1,3) n:ax+by=−5
3
{ 5 { &a=3
&− a=−5
则； 3 解得 8
&b=−
&a+3b=−5 3
(4)∵ ， ( 5 )， ，
A(4,0) C − ,0 P(1,3)
3
∴ ( 5) 17，
AC=4− − =
3 3
1 1 17 17
∴S = AC×y = × ×3=
△PAC 2 P 2 3 2
设计意图：通过不同题型（填空、判断、操作）覆盖本节课核心知识点，检验学生的掌握情况，及时发现
问题并补救.
教学建议:学生完成后，采用 “学生互评 + 教师总结” 的方式批改，重点讲解第 2 题的 “代数判断”
与 “几何意义” 的关联，强化知识融合.
1、知识梳理：引导学生回顾本节课核心内容 —— 二元一次方程与一次函数的转化关系、方程组的
解与直线交点的关系、图象法解方程组的步骤、平行直线与方程组无解的关系.
2、思想提炼：强调 “数形结合”（数→形：方程→直线；形→数：直线交点→方程组的解）和 “转化”
（将方程问题转化为函数问题）的数学思想.
3、疑问答疑：预留 1 分钟让学生提出未理解的问题，教师即时解答，确保知识闭环.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 7设计意图：通过知识梳理和思想提炼，帮助学生构建系统化的知识框架，提升数学思维能力；通过答
疑解决个体困惑，兼顾不同层次学生的需求.
1.必做题：习题5.4 第1、2、3题.
2.探究性作业：习题5.4 第4题.
5.4.1 二元一次方程组与一次函数（第1课时）
一、二元一次方程与一次函数的关系
1. 转化：二元一次方程 → 一次函数（例：x+y=5 → y=-x+5）
2. 对应：方程的解 ↔ 函数图象上的点（无数个解 ↔ 一条直线）
二、二元一次方程组与一次函数的关系
1. 对应：方程组的解 ↔ 两条直线的交点坐标（直线y=-x+5与y=2x-1的交点(2,3)）
2. 图象法解方程组步骤：转化→列表→描点→连线→找交点→验证
三、平行直线与方程组的解
1. 平行条件：k=k 且b≠b（例：y=x+1与y=x-2）
1 2 1 2
2. 对应关系：平行直线 ↔ 方程组无解
四、核心思想：数形结合思想、转化思想
4. 例题区：（学生板演区域）
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