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5.3 简单的轴对称图形
角平行线的性质
知识点一
角平分线性质是：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；反过来，在角的内部
到角两边的距离相等的点在角平分线上.
要点诠释：前者的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；后者则是在结论中确定角被平分，
一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.
线段的垂直平分线的性质
知识点二
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反
过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
要点诠释：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的
方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，
直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接
圆的圆心——外心.
等腰三角形
知识点三
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三
线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等
边”）。
等边三角形
知识点四
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包
括等边三角形．
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
题型一 角平分线的性质
【例题1】（2022秋•南阳期末）如图， 是 的角平分线， ，垂足为 ．若 的面积为26， ， ，则 的长为
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】作 于 ，如图，根据角平分线的定义得到 ，再利用三角形面积公式得到
，然后求出 的长．
【解答】解：作 于 ，如图，
是 的角平分线， ， ，
，
，
，
，
．
故选： ．解题技巧提炼
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【变式 1-1】（2022秋•凤凰县期末）如图，在 中， ， 平分 ，若 ，
，则 的面积是
A．9 B．12 C．15 D．24
【分析】过点 作 于 ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 ，再利用三角
形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点 作 于 ，
， 平分 ，
，
的面积 ．
故选： ．
【变式1-2】（2022秋•东昌府区校级期末）如图，在 中， ， 的平分线交
于点 ，过 点作 于点 ，交 于点 ，过 点作 于点 ．下列结论中正确的个数
是① ；② ；③ ；④ ．
A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①②④
【分析】根据直角三角形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，可证明 ；根据角
平分线的性质，过点 作 于 ，可计算出 ， ，并证明
；根据题目给定的条件，无法证明 ；根据结论①，角平分线的性质
可证 ，由此即可求解．
【解答】解：结论①，
， ， 平分 ，
， ，
，
，
，故结论①正确；
结论②，如图所示，过点 作 于 ，
平方 ， ，
，
， ，，故结论②正确；
结论③，
， ， 平方 ，
， ， ，
，
，
， ，
，
，且由结论①正确得， ，
在 中， ，即 ，
，
条件不足，无法证明 ，故结论③错误；
结论④，
由结论①正确得， ，即 ，由角平分线的性质， ，可
证 ，
，故结论④正确．
综上所述，正确的有①②④．
故选： ．
【变式1-3】（2022秋•安次区期末）如图，点 是 的角平分线 上的一点， 于点 ，
已知 ，则点 到 的距离是
A．18 B．12 C．6 D．9
【分析】根据已知条件利用角平分线的性质可得，点 到 的距离等于点 到 的距离 ．
【解答】解： 点 是 的角平分线 上的一点， 于点 ，
点 到 的距离等于 ．故选： ．
题型二 线段的垂直平分线的性质
【例题2】（2022秋•凤台县期末）如图，在 中， 的垂直平分线分别交 ， 于 ， 两点，
若 ， 的周长为 ，则 的周长是
A． B． C． D．
【分析】由线段垂直平分线的性质推出 ，从而求出 的周长．
【解答】解： 垂直平分 ，
， ，
的周长为 ，
，
，
，
的周长 ，
故选： ．
解题技巧提炼
本题考查线段垂直平分的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
【变式2-1】（2022秋•临渭区期末）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面 4个汉字中，可以
看作是轴对称图形的是A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解： 、不是轴对称图形；
、不是轴对称图形；
、是轴对称图形；
、不是轴对称图形；
故选： ．
【变式2-2】（2022秋•泰兴市期末）下列关于天气预报的图标中是轴对称图形的是
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图
形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，确定四个选项中每个图形对称轴的数量，进而可得答案．
【解答】解： ．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．是轴对称图形，故此选项符合题意；
．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选： ．
【变式2-3】（2022秋•沙依巴克区校级期末）下面图形中，不是轴对称图形的是
A． B．
C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，
这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项 、 、 的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能
够互相重合，所以是轴对称图形；
选项 的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不
是轴对称图形；
故选： ．
题型三 轴对称的性质
【例题3】（2022秋•宣州区期末）如图，在面积为4的等边三角形 中， 是 边上的高，点
是 上的两点，则图中阴影部分的面积是 2 ．
【分析】根据 是等边三角形的高可知， 是线段 的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质及三角
形全等的判定定理可求出 ，故阴影部分的面积等于 的面积，由锐角三角函数的定义
可求出 的长，再由三角形的面积公式即可求解．
【解答】解： 是等边三角形的高，
是线段 的垂直平分线， ，
， ， ，
，
故答案为：2．解题技巧提炼
本题考查的是等边三角形的性质，即等边三角形底边上的高、垂直平分线及顶角
的角平分线三线合一．
【变式3-1】（2022秋•河北期中）如图， 和△ 成轴对称，若 ， ，则
为
A． B． C． D．
【分析】根据成轴对称的性质结合三角形内角和定理可得结果．
【解答】解： 和△ 成轴对称，
，
，
故选： ．
【变式3-2】（2022秋•宝应县月考）如图， 与△ 关于直线 对称， ， ，
则 的度数为
A． B． C． D．【分析】先根据 和△ 关于直线 对称得出 △ ，故可得出 ，再由三角
形内角和定理即可得出结论．
【解答】解： 和△ 关于直线 对称， ， ，
△ ，
，
，
，
， ，
．
故选： ．
【变式3-3】（2022秋•宝山区期末）圆是轴对称图形，它的对称轴有 条．
【分析】由轴对称的性质，可得圆是轴对称图形，它的对称轴有无数条．
【解答】解：圆是轴对称图形，它的对称轴有无数条．
故答案为：无数．
题型四 最短路径
【例题4】（2022秋•乌鲁木齐期末）如图，在锐角 中， ；点 是边 上的一个定点，
点 、 分别是 和 边上的动点，当 的周长最小时， 的度数是
A． B． C． D．
【分析】分别作 关于 ， 的对称点 ， ，连接 ，交 于 ，交 于 ，此时 的
周 长 最 小 ， 由 条 件 求 出 的 度 数 ， 由 轴 对 称 的 性 质 ， 等 腰 三 角 形 的 性 质 得 到
，从而求出 的度数．
【解答】解：分别作 关于 ， 的对称点 ， ，连接 ，交 于 ，交 于 ，此时的周长最小，
， ，
，
，
， ，
， ，
，
．
故选： ．
解题技巧提炼
本题考查轴对称的性质，关键是分别作 关于 ， 的对称点 ， ，连接 ，
交 于 ，交 于 ，找到周长最小的 ．
【变式4-1】（2022秋•天山区校级期末）如图，已知 的大小为 ， 是 内部的一个定点，
且 ，点 、 分别是 、 上的动点，若 周长的最小值等于5，则A． B． C． D．
【分析】设点 关于 的对称点为 ，关于 的对称点为 ，当点 、 在 上时， 的周长为
，此时周长最小，根据 可求出 的度数．
【解答】解：如图，作点 关于 的对称点 ，关于 的对称点 ，连接 ，交 于 ， 于 ．
此时， 的周长最小．
连接 ， ， ， ．
点 与点 关于 对称，
垂直平分 ，
， ， ，
同理，可得 ， ， ．
， ，
．
又 的周长 ，
，
是等边三角形，
，
．
故选： ．
【变式4-2】（2022秋•南沙区校级期末）如图，在 中， ， 平分 ，点 是上的一动点，点 是 上一动点，连接 ， ，若 ， ，则 的最小值
是
A． B．6 C． D．10
【分析】在 上截取 ，连接 ， ， ， 交 于点 ，得到 是等边三角形，利
用等边三角形三线合一，得到 ，进而得到 ，找到当 ， ， 三点共线
时， 最小，连接 并延长交 于 ，利用等边三角形的三条高线相等，以及 ，求
出 的长度，即为 的最小值．
【解答】解：在 上截取 ，连接 ， ， ， 交 于点 ，
， ，
是等边三角形，
平分 ，
， ，
，
，
当 ， ， 三点共线时， 最小，
是等边三角形， 是 的中点，
，
连接 并延长交 于 ，等边三角形三条高交于一点，且三条高相等，
， ，
， ，
，
，
，
最小值为 ．
故选： ．
【变式 4-3】（2022秋•天山区校级期末）如图，在 中， ， ， 平分 ，
，点 、 分别为线段 、 上的动点，则 的最小值是 6 ．
【分析】作 关于 的对称点 ，连接 ，根据角平分线的性质以及轴对称的性质，垂线段最短，
进而根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图，作 关于 的对称点 ，连接 ，，
，当 、 、 三点共线，且 时， 最小，
平分 ， ，
在 上， ，
， ，
，
即： 最小值为6．
故答案为：6．
题型五 折叠问题
【例题5】（2022秋•河北期末）如图所示，把一张长方形的纸片沿着 折叠，若 ，则
的度数为
A． B． C． D．
【分析】由题意得 ，根据 ，即可解决问题．
【解答】解：由题意知： ，
，
．故选： ．
解题技巧提炼
该题考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性
质，准确找出图形中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来分析、判断或解答．
【变式5-1】（2022秋•丰满区期末）如图，在 中， ， ， ，将
沿 折叠，点 的对应点是点 ，则 的度数是 ．
【分析】根据三角形的内角和定理，平行线的性质以及周角的定义即可得到结论．
【解答】解： ， ，
，
，
，
由折叠的性质可知， ，
，
故答案为： ．
【变式5-2】（2022秋•定襄县期末）如图，在长方形纸片 中， ，将纸片 沿 折
叠， ， 两点的对应点分别为点 ， ．若 ，则 7 2 ．
【分析】设 ，则 ， ，由折叠的性质得 ，
根据平角为 列方程即可得到 的值，进而求出 ，最后根据平行线的性质即可得出 ．【解答】解：设 ，则 ， ，
由折叠的性质得： ，
，即 ，
，
，
，
．
故答案为： ．
【变式5-3】（2022秋•市北区校级期末）如图，在 中， ， ，将点 与点 分别
沿 和 折叠，使点 、 与点 重合，则 的度数为
A． B． C． D．
【分析】根据三角形内角和定理求出 ，再根据折叠的性质得， ，
，进而得 ．
【解答】解： ， ，
，
将点 与点 分别沿 和 折叠，使点 、 与点 重合，
， ，
，
故选： ．
