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第 03 讲 二元一次方程组的应用题(11 类热点题型讲练)
1.掌握列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤；
2.通过小组合作，分析“鸡兔同笼”等简单问题中的数量关系，学生能准确找出等量关系；
3.会利用列表分析题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题；
4.利用二元一次方程解决数字问题和行程问题；
5.进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程.
知识点01 列方程组解应用题步骤
1）列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，
找出题目中的相等关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边
表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等。
2）解应用题的一般步骤为：①读题：找出题目中的数量关系，列写等量关系式；②设元：以好表达等量
关系式为原则，设不知道的量为未知数；③列方程：依据等量关系式，结合未知数列写方程；④解答。
知识点02 分析数量关系的常用方法
1）直译法分析数量关系:将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等
量关系，翻译成含有未知数的等式。
2）列表分析数量关系:当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利
用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。题型01 二元一次方程组的应用——年龄问题
例题：10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄将是小明的2倍．小明和他妈妈
现在的年龄分别是多少？
【变式训练】
1．5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对
母女的年龄分别是多少？
题型02 二元一次方程组的应用——分配问题
例题：某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货
车一次可以运货160吨．
(1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
(2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车
均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元，请你列出所有的运输
方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少元．
【变式训练】
1．某学校现有若干间学生宿舍，准备安排给若干名学生住宿．原计划每间住8人，则有10间宿舍无人居
住．由于疫情防控需要，每间宿舍只能住5人，则有10人无法入住．问该校现有多少间学生宿舍？有多少
名学生？
2．一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾
物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货
车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
(2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案?
(3)在（2）的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选出费用最少的租
车方案，并求出最少的租车费用．
题型03 二元一次方程组的应用——古代问题
例题：《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，
善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走
100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走
了y步，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．《九章算术》记载了一个方程的问题，译文为：今有上禾6束，减损其中之“实”十八升，与下禾10
束之“实“相当；下禾15束，减损其中之“实”五升，与上禾5束之“实”相当．问上、下禾每束之实各
为多少升？设上、下禾每束之实各为x升和y升，则依题意可列方程组为__________．
2．我国古代数学名著《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，上面记载有这样一个问题：
“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙
买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？请你解答这个问题．
题型04 二元一次方程组的应用——行程问题
例题：已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为
B，A两地，两车均先以每小时a千米的速度行驶，再以每小时b千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶
的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等．
(1)若 ，且甲车行驶的总时间为 小时，求a和b的值；
(2)若 ，且乙车行驶的总时间为 小时，求两车相遇时，离A地多少千米？
【变式训练】
1．列方程组解应用题：
(1)有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队有10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？
(2)小方、小程两人相距6km，两人同时出发相向而行，1h相遇；同时出发同向而行，小方3h可追上小程．
两人的平均速度各是多少？
2．小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校，妈妈发现他的数学书丢在家中，在小北出发 小时后
乘上出租车去学校送书，出租车每小时的速度比小北骑车的速度快20千米，由于市政建设，出租车到校行
驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校．求小北需要骑行多少千米到学校？
题型05 二元一次方程组的应用——工程问题
例题：玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；
若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，玲玲的爸爸妈
妈商量后决定只选一个公司单独完成．
(1)设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程为 ．
(2)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？
(3)如果从节的开支的角度考虑呢？请说明理由．
【变式训练】
1．杭州某公司准备安装完成5700辆如图所示款共享单车投入市场．由于抽调不出足够熟练工人，公司准
备招聘一批新工人．生产开始后发现：1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工
人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多．
(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？
(2)若公司原有熟练工m人，现招聘n名新工人 ，使得最后能刚好一个月（30天）完成安装任务，
已知工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占5%，求m的值．
2．通道县政府为把双江镇建设成国家级文明县城,现有一段长为180 m的街道需要整治，甲、乙两个工程队先后接力完成：甲工程队每天整治12 m,乙工程队每天整治8 m,共用时20天.问甲、乙两工程队分别整
治了多少米？
题型06 二元一次方程组的应用——和差倍分问题
例题：一玻璃厂熔炼玻璃液，其原料由石英砂和长石粉混合而成，要求原料中含二氧化硅70%．经过化验，
石英砂中含二氧化硅95%，长石粉中含二氧化硅63%．要配制3.2t原料，需石英砂，长石粉各多少？
【变式训练】
1．用二元一次方程组解应用题：一家超市中，杏的售价为10元/kg，桃的售价为8元/kg，小菲在这家超
市买了杏和桃共7kg，共花费61元．求小菲这次买的杏、桃各多少千克？
2．2021年7月21日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担
和校外培训负担的意见》．某学校积极响应“双减”政策，为了丰富学生校园生活，经研究决定准备购买
一批体育健身器材．已知购买2个篮球和3个排球共花费440元，购买4个篮球和1个排球共花费480元．
求篮球和排球的单价．
题型07 二元一次方程组的应用——方案问题
例题：去年年底，重庆疫情形势严峻，除了医务人员和志愿者们主动请缨走向抗疫前线，众多企业也纷纷
伸出援助之手．某公司租用A、B两种货车向重庆运送抗疫物资，已知用2辆A型车和3辆B型车载满货物
一次可运物资 吨；用1辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运物资 吨．
(1)求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运送多少吨物资？
(2)现有 吨抗疫物资需要运往重庆，该公司计划同时租用A型车和B型车（两种型号车均要租用），一
次运完，且恰好每辆车都装满货物．若A型车每辆需租金 元/次，B型车每辆需租金 元/次．那么
该公司有哪几种租车方案，并且哪种方案租车费用最少．
【变式训练】
1．某校在2022年组织七年级学生参加研学活动，租用二种不同型号的客车，每辆座位如下表：客车型号 A B
人数/辆 28 49
若租用 A型客车5辆和 B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用 A型客车1辆和 B型客车5辆，则需
要租金 2800 元.
(1)求租用A，B两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？
(2)现有七年级14个班级的学生588人，现计划同时租用两种型号客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，
为节约成本，则租用 A型客车和 B型客车各多少辆，需要花费多少钱？
2．今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运
10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨．某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a
辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案，并把符合要求的租车方案都列出来；
(3)若A型车每辆需租金每次100元，B型车每辆租金每次120元，请从（2）中的方案里选出最省钱的租车
方案，并求出最少租车费．
题型08 二元一次方程组的应用——销售、利润问题
例题：某商店决定购进A、B两种纪念品出售，若购进A种纪念品 件，B种纪念品5件，则需要 元；
若购进A种纪念品5件，B种纪念品 件，则需要 元．
(1)求A、B两种纪念品的购进单价；
(2)已知商店购进两种纪念品 件，共花费 元，两种纪念品均标每件 元出售，其中有5件B种纪念品
以七五折售出，求这 件纪念品的销售利润．
【变式训练】
1．某纪念品店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共50个，花去1600元，这两种
吉祥物的进价、售价如表：进价（元/个） 售价（元/个）
冰墩墩 35 50
雪容融 30 40
(1)求冰墩墩、雪容融各进了多少个？
(2)这50个吉祥物玩具很快售完，所得利润再次用于购进冰墩墩与雪容融（每种至少一个），且恰好用完.
那么该纪念品店再次购进冰墩墩与雪容融各多少个？
2．临近 年春节，西安疫情形势较为严峻，对确诊病例所在地区实行区域管控，严格履行疫情防控措
施．为防范疫情，某校欲购置规格分别为 和 的甲、乙两种消毒液若干瓶，已知购买 瓶甲种
和 瓶乙种消毒液需要 元，购买 瓶甲种和 瓶乙种消毒液需要 元．
(1)求甲、乙两种消毒液的单价；
(2)为节约成本，该校购买散装消毒液进行分装，现需将 的消毒液全部装入最大容量分别为 和
的两种空瓶中 每瓶均装满 ，若分装时平均每瓶需损耗 ，请问如何分能使总损耗最小？求出
此时需要的两种空瓶的数量．
题型09 二元一次方程组的应用——数字问题
例题：一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大63，这样的两位数共
有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练】
1．一个两位数，个位数字比十位数字大5，如果把个位数字与十位数字对调，那么所得到的新数与原数的
和是99．原来的两位数是__________．
2．小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这
个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小
华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．”
那么，你能回答以下问题吗？(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？
(2)第一次，他们拼出的两位数是多少？
(3)第二次，他们拼成的两位数又是多少呢？请你好好动动脑筋哟！
题型10 二元一次方程组的应用——几何问题
例题：用一元一次方程解决问题：某药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图，如果长方体盒子
的长比宽多 ，求这种药品包装盒的体积．
【变式训练】
1．如图，在大长方形 中，放入六个相同的小长方形，求阴影部分的面积．
2．已知一个长方形草坪，若它的长增加 米，宽减少 米，则面积保持不变；若它的长减少 米，宽增加
米，则面积仍保持不变．
(1)求：长方形草坪的长和宽；
(2)如图，在长方形草坪内部修两条互相垂直，宽为1米的小路，求原长方形草坪剩余部分的面积．
题型11 二元一次方程组的应用——图表问题
例题：已知下表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m；各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n．求 m，n 的值．
【变式训练】
1．某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，购买4千克的甲食材
比购买5千克的乙食材多花60元．
营养品信息表
营养成分 每千克含铁42毫克
原料 每千克含铁
配料表 甲食材 50毫克
乙食材 10毫克
(1)甲、乙两种食材每千克的进价分别是多少元？
(2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，那么该公司每日购进甲、乙两种食材各多
少千克？
2．童威在某商店给妈妈购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打相同的折扣，其余两
次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表：
购买商品A的数量（个） 购买商品B的数量（个） 购买总费用（元）
第一次购
8 16 1440
物
第二次购
7 15 1314
物
第三次购
9 17 1252.8
物(1)以折扣价购买商品A、B是第________次购物；
(2)求出商品A、B的标价；
(3)若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？
一、单选题
1．某小组分若干本书，若每人分6本，则余4本；若每人分8本，则缺2本，共有图书（ ）
A．34本 B．22本 C．24本 D．32本
2．母亲节来临，小明与花店为妈妈准备节日礼物，已知康乃馨每支2元，百合每支3元，小明将20元钱
全部用于购买这两种花（两种都买），小明的购买方案有（ ）种
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
3．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足
一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 尺；将绳子对折再量长木，长木还
剩余 尺．问木长多少尺？设木长 尺，绳长 尺，根据题意列方程组得（ ）
A． B． C． D．
4．如图，8块相同的小长方形地板砖拼成一个周长为200厘米的大长方形地板砖，则每块小长方形地板砖
的面积为 （ ）
A．100 B．200 C．300 D．2000
二、填空题
5．有这样一道数学名题，其题意：一群老者去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一个，一人两个少两个，请问几个老者几个梨？设有老者x人，梨y个，则可列二元一次方程组： ．
6．某人买了 分的邮票和 分的邮票共 张，用去了 元 角，则 分的邮票买了 枚， 分
的邮票买了 枚．
7．如果两个两位数的差是10，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的
两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，若这两个四位数的和是5050，设较大的两位数为 ，
较小的两位数为 ，根据题意列方程组为 ．
8．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形，小红看见了，
说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形，“咳，怎么中间还留了一个洞，恰
好是边长为 的小正方形！”设这些小长方形的长和宽分别为 和 ，则依题意可列二元一次方
程组为 ．
三、解答题
9．列方程组解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱六十，乙得甲太半而亦钱六十，
甲、乙持钱各几何？”
题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱60．如果乙得到甲所
有钱的 ，那么乙也共有钱60．甲、乙两人各带了多少钱？
10．庚子鼠年，疫情肆虑，口罩成为生活必需品．甲、乙两厂分别有4条和5条口罩生产线，两厂计划用
3天时间赶制1000箱口罩支援疫情．若甲厂启用1条乙厂启用2条生产线，一天可以生产口罩112箱；若
甲厂启用2条乙厂启用3条口罩生产线，一天可以生产口罩189箱．
(1)甲、乙两厂每条口罩生产线每天的产量各是多少箱？
(2)两厂满负荷生产，是否可以如期完成任务？
11．列方程（组）解应用题：如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由 块形状大小相同的长方形墙砖砌成．(1)求一块长方形墙砖的长和宽；
(2)求电视背景墙的面积．
12．已知：用2辆 型车和1辆 型车载满货物一次可运货10吨；用1辆 型车和2辆 型车载满货物一
次可运货11吨．某物流公司现有34吨货物，计划同时租用 型车 辆， 型车 辆，一次运完，且恰好每
辆车都载满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆 型车和1辆车 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
(2)若 型车每辆需租金100元/次， 型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少
租车费．
13．重庆市求精中学开学初到商场购买A，B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足
球25个，共花费5000元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球需要多花20元．
(1)求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？
(2)为了响应习总书记“足球进校园”的号召，学校决定再次购进A，B两种品牌的足球50个，正好赶上商
场对商品价格进行调整，A品牌足球的售价比第一次购买时提高5元，B品牌足球按第一次购买时售价的
九折出售．如果学校此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的 ，且保证这次购买的
B种品牌足球不少于33个，请在所有可行方案中，给出花费最少的方案，并计算最少方案的费用？
14．安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程．由于工期过长，安先生要
求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要天数恰好比乙工程队单独
完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成
此项工程需要的天数之和为55天．
(1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天；(2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的 ；
(3)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21800元，
求甲工程队参加工作多少天？
15．某商店销售A， 两种型号的打印机，销售5台A型和10台 型打印机的利润和为2000元，销售10
台A型和5台 型打印机的利润和为1600元．
(1)求每台A型和 型打印机的销售利润；
(2)商店计划购进A、 两种型号的打印机共100台，其中A型打印机数量不少于 型打印机数量的一半．
设购进A型打印机 台，这100台打印机的销售总利润为 元，求该商店购进A、 两种型号的打印机各
多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
16．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售
公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售；据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元，3
辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元
(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该
公司设计购买方案；
(3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购
买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
