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第 03 讲 二元一次方程组的应用题(11 类热点题型讲练)
1.掌握列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤；
2.通过小组合作，分析“鸡兔同笼”等简单问题中的数量关系，学生能准确找出等量关系；
3.会利用列表分析题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题；
4.利用二元一次方程解决数字问题和行程问题；
5.进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程.
知识点01 列方程组解应用题步骤
1）列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，
找出题目中的相等关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边
表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等。
2）解应用题的一般步骤为：①读题：找出题目中的数量关系，列写等量关系式；②设元：以好表达等量
关系式为原则，设不知道的量为未知数；③列方程：依据等量关系式，结合未知数列写方程；④解答。
知识点02 分析数量关系的常用方法
1）直译法分析数量关系:将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等
量关系，翻译成含有未知数的等式。
2）列表分析数量关系:当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利
用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。题型01 二元一次方程组的应用——年龄问题
例题：10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄将是小明的2倍．小明和他妈妈
现在的年龄分别是多少？
【答案】小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁
【分析】根据题意，设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，列二元一次方程组，解方程求解即可
【详解】设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意，
得
解得
答：小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
【变式训练】
1．5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对
母女的年龄分别是多少？
【答案】母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁
【分析】设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，然后根据5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，
母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁，列出方程组求解即可．
【详解】解：设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，则
解得
答：母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键在于正确理解题意列出方程求解．
题型02 二元一次方程组的应用——分配问题
例题：某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货
车一次可以运货160吨．
(1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
(2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车
均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元，请你列出所有的运输
方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少元．【答案】(1)1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨
(2)共有3种运输方案，方案1：安排A货车8辆，B货车2辆；方案2：安排A货车5辆，B货车6辆；方
案3：安排A货车2辆，B货车10辆；安排A货车8辆，B货车2辆费用最少，最少费用为4800元
【分析】（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据3辆A货车与2辆B货车一
次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨，列出方程求解即可；
（2）设安排A货车辆，B货车辆，根据目前有190吨货物需要运输，列出方程求解即可．
（1）
设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨．
根据题意得
解得 ．
答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨．
（2）
设安排A货车辆，B货车辆，依题意，得
，即 ，
又因为 均为正整数，
所以 或 或 ，
所以共有3种运输方案，方案1：安排A货车8辆，B货车2辆；
方案2：安排A货车5辆，B货车6辆；方案3：安排A货车2辆，B货车10辆．
方案1所需费用：500×8+400×2=4800（元）；
方案2所需费用：500×5+400×6=4900（元）；
方案3所需费用：500×2+400×10=5000（元）；
因为4800<4900<5000，所以安排A货车8辆，B货车2辆费用最少，最少费用为4800元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程
求解．
【变式训练】
1．某学校现有若干间学生宿舍，准备安排给若干名学生住宿．原计划每间住8人，则有10间宿舍无人居
住．由于疫情防控需要，每间宿舍只能住5人，则有10人无法入住．问该校现有多少间学生宿舍？有多少
名学生？
【答案】有30间学生宿舍，有160名学生
【分析】设该校现有x间学生宿舍，共安排y名学生住宿，根据“原计划每间住8人，则有10间宿舍无人
居住．由于疫情防控需要，每间宿舍只能住5人，则有10人无法入住”，即可得出关于x，y的二元一次
方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设该校现有x间学生宿舍，共安排y名学生住宿，依题意，得： ，
解得： ．
答：该校现有30间学生宿舍，有160名学生．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
2．一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾
物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货
车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
(2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租
车方案?
(3)在（2）的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选出费用最少的租
车方案，并求出最少的租车费用．
【答案】(1)1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆大货车一次满载运输400件物资
(2)共有3种租车方案，方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；方
案3：租用1辆小货车，7辆大货车
(3)租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为3900元
【分析】（1）设1辆小货车一次满载运输x件物资，1辆大货车一次满载运输y件物资，然后根据题意列
二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意可得300a+400b=3100，再用b表示出a，然后根据a、b均为整数进行列举即可解答；
（3）将小货车和大货车每次的租金代入300a+400b里计算，然后比较即可．
（1）
解：设1辆小货车一次满载运输x件物资，1辆大货车一次满载运输y件物资，
依题意得： 解得：
答：1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆大货车一次满载运输400件物资．
（2）
接：设租用小货车a辆，大货车b辆，
依题意得：300a+400b=3100，
∴ ．
又∵a，b均为非负整数，
∴ 或 或 ，
∴共有3种租车方案，方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；
方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；
方案3：租用1辆小货车，7辆大货车．
（3）
解：方案1所需租车费为400×9+500×1=4100（元）；
方案2所需租车费为400×5+500×4=4000（元）；
方案3所需租车费为400×1+500×7=3900（元）．
∴费用最少的租车方案为：租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为3900元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及代数式求值等知识点，认真审
题、明确题意、弄清量与量之间的关系是解答本题的关键．
题型03 二元一次方程组的应用——古代问题
例题：《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，
善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走
100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走
了y步，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，根据“走路快的人走100
步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步”，列出方程组，即可求解．
【详解】解：设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，根据题意得：
．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
【变式训练】
1．《九章算术》记载了一个方程的问题，译文为：今有上禾6束，减损其中之“实”十八升，与下禾10
束之“实“相当；下禾15束，减损其中之“实”五升，与上禾5束之“实”相当．问上、下禾每束之实各
为多少升？设上、下禾每束之实各为x升和y升，则依题意可列方程组为__________．
【答案】
【分析】根据题意列出等量关系：上禾6束 上禾每束之实 十八升 下禾10束 下禾每束之实；下禾15
束 下禾每束之实 五升 上禾5束 上禾每束之实，即可解答．
【详解】解：根据等量关系：上禾6束 上禾每束之实 十八升 下禾10束 下禾每束之实；下禾15束下禾每束之实 五升 上禾5束 上禾每束之实，可列方程： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用，正确的找到等量关系是解题的关键．
2．我国古代数学名著《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，上面记载有这样一个问题：
“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙
买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？请你解答这个问题．
【答案】合伙人数为21人，羊价为150钱
【分析】设合伙人数为 人，羊价为 钱，根据题意，找出等量关系， 列出方程组，求解即可．
【详解】解：设合伙人数为 人，羊价为 钱，
依题意有： ，
解得 ，
答：合伙人数为21人，羊价为150钱．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系，列出
方程组．
题型04 二元一次方程组的应用——行程问题
例题：已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为
B，A两地，两车均先以每小时a千米的速度行驶，再以每小时b千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶
的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等．
(1)若 ，且甲车行驶的总时间为 小时，求a和b的值；
(2)若 ，且乙车行驶的总时间为 小时，求两车相遇时，离A地多少千米？
【答案】(1)a和b的值分别为60，40；
(2)
【分析】（1）由甲车以两种速度行驶的路程相等且时间为 小时及 建立方程组求出其解即可；
（2）由乙车行驶的时间相等就可以得出两次的时间分别为 小时，由两段路程之和等于120及
建立方程组求出其解即可求出a、b的值，从而得到甲车前一半的时间为 ，从而得出相遇时甲车还没行
驶到60km，则离A地的路程为相遇时间乘甲车开始的速度即可．【详解】（1）解：∵甲车以两种速度行驶的路程相等，
∴甲车以两种速度行驶的路程均为60 km．
∴由题意得： ，
解得： ；
即a和b的值分别为60，40；
（2）∵乙车以两种速度行驶的时间相等，
∴乙车以两种速度行驶的时间均为 小时
∴由题意得：
解得： ；
∴甲车前一半的时间为： ，
由于 ，则乙 h时行的路程为： ，
∵ ，
∴甲车行驶到一半路程时，甲乙两车的路程和超过120km，
∴相遇时甲车还没行驶到60km，
∴相遇时间为： ，
则离A地的路程为： ．
即：两车相遇时，离A地 ．
【点睛】本题考查了行程问题的数量关系的运用，列二元一次方程解实际问题的运用，解答时分别运用路
程相等和时间相等建立方程组是解答本题的关键．
【变式训练】
1．列方程组解应用题：
(1)有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队有10人，每支排球队12人，每名运动员
只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？
(2)小方、小程两人相距6km，两人同时出发相向而行，1h相遇；同时出发同向而行，小方3h可追上小程．
两人的平均速度各是多少？【答案】(1)篮球有28支队参赛，排球有20支队参赛；
(2)小方的平均速度是4km/h，小程的平均速度是2km/h．
【分析】（1）设篮球、排球队各有x支、y支参赛，根据有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其
中每支篮球队有10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛列出方程组求解即可；
（2）设小方、小程的平均速度各是mkm/h，nkm/h，根据小方、小程两人相距6km，两人同时出发相向而
行，1h相遇；同时出发同向而行，小方3h可追上小程列出方程组求解即可．
（1）
解：设篮球、排球队各有x支、y支参赛，
由题意得：
解得 ，
答：篮球有28支队参赛，排球有20支队参赛；
（2）
解：设小方、小程的平均速度各是mkm/h，nkm/h，
由题意得： ，
解得 ，
答：小方的平均速度是4km/h，小程的平均速度是2km/h．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出对应的方程组是解题的关键．
2．小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校，妈妈发现他的数学书丢在家中，在小北出发 小时后
乘上出租车去学校送书，出租车每小时的速度比小北骑车的速度快20千米，由于市政建设，出租车到校行
驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校．求小北需要骑行多少千米到学校？
【答案】5千米
【分析】设小北每小时骑行x千米，骑行y千米到达学校，利用小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达
学校和出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校列出方程组即可
求解．
【详解】解：设小北每小时骑行x千米，骑行y千米到达学校，
由题意可得 ，
解得 ，
答：小北需要骑行5千米到达学校．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找出题目的等量关系是解题的关键．
题型05 二元一次方程组的应用——工程问题
例题：玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；
若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，玲玲的爸爸妈
妈商量后决定只选一个公司单独完成．
(1)设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程为 ．
(2)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？
(3)如果从节的开支的角度考虑呢？请说明理由．
【答案】(1)
(2)时间上考虑选择甲公司
(3)从节约开支上考虑选择乙公司
【分析】（1）设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据工作总
量等于工作效率乘以工作时间列出方程即可求解．
（2）列出方程组求出甲乙单独做所用的时间即可；
（3）列出方程组求出各自单独做的周费用，再乘以他们所需时间即可．
【详解】（1）解：设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则
，
故答案为： ．
（2）解：设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据题意得，
解得：
∵
∴甲公司的效率高，所以从时间上考虑选择甲公司．
（3）解：设甲公司每周费用为 万元，乙公司每周费用为 万元，根据题意得：解得：
∴公司共需 万元，乙公司共需 万元，4万元＜6万元，
∴从节约开支上考虑选择乙公司．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
【变式训练】
1．杭州某公司准备安装完成5700辆如图所示款共享单车投入市场．由于抽调不出足够熟练工人，公司准
备招聘一批新工人．生产开始后发现：1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工
人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多．
(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？
(2)若公司原有熟练工m人，现招聘n名新工人 ，使得最后能刚好一个月（30天）完成安装任务，
已知工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占5%，求m的值．
【答案】(1)每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车．
(2)m的值为12．
【分析】（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据
“1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天安装的共享单车数与3名新工
人每天安装的共享单车数一样多”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设抽调m名熟练工人，由工作总量=工作效率×工作时间，即可得出关于n，m的二元一次方程，再根
据n，m均为正整数且 ，即可求出m的值．
（1）解：设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据题意
得： 解得： ．答：每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安
装8辆共享单车．
（2）（2）根据题意得：30×（8n+12m）×（1-5%）=5700，整理得： ，∵n，m均为正整数，且
，∴ （舍）， （舍）， ，∴m的值为12．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
2．通道县政府为把双江镇建设成国家级文明县城,现有一段长为180 m的街道需要整治，甲、乙两个工程队先后接力完成：甲工程队每天整治12 m,乙工程队每天整治8 m,共用时20天.问甲、乙两工程队分别整
治了多少米？
【答案】
【分析】设甲、乙两工程队分别整治了 米和 米， 根据总共整治180米，与甲工程队每天整治12 m,乙
工程队每天整治8 m,共用时20天，列出关于 和 的二元一次方程，解出即可．
【详解】解：设甲、乙两工程队分别整治了 米和 米，
根据题意列方程得 ，
解得 ，
答：甲工程队整治了60米，乙工程队整治了120米．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
题型06 二元一次方程组的应用——和差倍分问题
例题：一玻璃厂熔炼玻璃液，其原料由石英砂和长石粉混合而成，要求原料中含二氧化硅70%．经过化验，
石英砂中含二氧化硅95%，长石粉中含二氧化硅63%．要配制3.2t原料，需石英砂，长石粉各多少？
【答案】需石英砂 ，长石粉
【分析】设需石英砂xt，长石粉yt，根据题意，联立方程组，解出即可得出结论．
【详解】解：设需石英砂xt，长石粉yt，
根据题意，可得： ，
解得： ，
答：需石英砂 ，长石粉 ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解本题的关键在正确找出等量关系．
【变式训练】
1．用二元一次方程组解应用题：一家超市中，杏的售价为10元/kg，桃的售价为8元/kg，小菲在这家超
市买了杏和桃共7kg，共花费61元．求小菲这次买的杏、桃各多少千克？
【答案】小菲这次买杏2.5千克，桃4.5千克．
【分析】设小菲这次买杏x千克，桃y千克，利用总价＝单价×数量，结合“小菲在这家超市买了杏和桃共
7kg，共花费61元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设小菲这次买杏x千克，桃y千克，
依题意得： ，解得： ．
答：小菲这次买杏2.5千克，桃4.5千克．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
2．2021年7月21日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担
和校外培训负担的意见》．某学校积极响应“双减”政策，为了丰富学生校园生活，经研究决定准备购买
一批体育健身器材．已知购买2个篮球和3个排球共花费440元，购买4个篮球和1个排球共花费480元．
求篮球和排球的单价．
【答案】篮球的单价是100元，排球的单价是80元．
【分析】设篮球的单价是x元，排球的单价是y元，根据“购买2个篮球和3个排球共花费440元，购买4
个篮球和1个排球共花费480元”列二元一次方程组，求解即可；
【详解】解：设篮球的单价是x元，排球的单价是y元，
根据题意，得 ，
解得 ，
∴篮球的单价是100元，排球的单价是80元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，理清题中的等量关系，根据题意列方程组是解题的关键．
题型07 二元一次方程组的应用——方案问题
例题：去年年底，重庆疫情形势严峻，除了医务人员和志愿者们主动请缨走向抗疫前线，众多企业也纷纷
伸出援助之手．某公司租用A、B两种货车向重庆运送抗疫物资，已知用2辆A型车和3辆B型车载满货物
一次可运物资 吨；用1辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运物资 吨．
(1)求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运送多少吨物资？
(2)现有 吨抗疫物资需要运往重庆，该公司计划同时租用A型车和B型车（两种型号车均要租用），一
次运完，且恰好每辆车都装满货物．若A型车每辆需租金 元/次，B型车每辆需租金 元/次．那么
该公司有哪几种租车方案，并且哪种方案租车费用最少．
【答案】(1)1辆A型车装满货物一次可运送 吨物资，1辆B型车装满货物一次可运送 吨物资
(2)该公司有三种租车方案，方案一租车费用最少
【分析】（1）设1辆A型车装满货物一次可运送 吨物资，1辆B型车装满货物一次可运送 吨物资，根
据题意，列出方程组，解出即可得出答案；
（2）设租 辆 型车， 辆 型车，根据题意，得出 ，且 、 均为正整数，解出 或
或 ，据此得出该公司有三种租车方案，再算出每种租车方案的费用，即可得出答案．【详解】（1）解：设1辆A型车装满货物一次可运送 吨物资，1辆B型车装满货物一次可运送 吨物资，
根据题意，可得： ，
解得： ，
∴1辆A型车装满货物一次可运送 吨物资，1辆B型车装满货物一次可运送 吨物资；
（2）解：设租 辆 型车， 辆 型车，
根据题意，可得： ，
∵ 、 均为正整数，
∴ 或 或 ，
∴该公司有三种租车方案：
方案一：租 辆 型车， 辆 型车；
方案二：租 辆 型车， 辆 型车；
方案三：租 辆 型车， 辆 型车，
∴方案一所需费用为 （元），
方案二所需费用为 （元），
方案三所需费用为 （元），
∵ ，
∴方案一租车费用最少．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解本题的关键在找准等量关系，正确
列出方程．
【变式训练】
1．某校在2022年组织七年级学生参加研学活动，租用二种不同型号的客车，每辆座位如下表：
客车型号 A B
人数/辆 28 49
若租用 A型客车5辆和 B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用 A型客车1辆和 B型客车5辆，则需
要租金 2800 元.
(1)求租用A，B两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？
(2)现有七年级14个班级的学生588人，现计划同时租用两种型号客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，
为节约成本，则租用 A型客车和 B型客车各多少辆，需要花费多少钱？
【答案】(1)A型车每辆的租金为300元，B型车每辆的租金为500元
(2)租用A型客车14辆，B型客车4辆，需要花费6200元；租用A型客车7辆，B型客车8辆，需要花费
6100元
【分析】（1）设A型车每辆的租金为x，B型车每辆的租金为y，根据已知租用方案，列出方程组，解之即可；
（2）设租用A型车辆a辆，B型车辆b辆，得到关于a，b的二元一次方程，求出正整数解，可得方案．
（1）
解：设A型车每辆的租金为x，B型车每辆的租金为y，
由题意可得： ，
解得： ，
∴A型车每辆的租金为300元，B型车每辆的租金为500元；
（2）
设租用A型车辆a辆，B型车辆b辆，
28a+49b=588，
化简得：4a+7b=84，
∴ ，
∴当b=4，a=14，需要花费14×300+4×500=6200元；
当b=8，a=7，需要花费7×300+8×500=6100元，
∴租用A型客车14辆，B型客车4辆，需要花费6200元；租用A型客车7辆，B型客车8辆，需要花费
6100元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，
注意题中有干扰数据．
2．今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运
10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨．某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a
辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案，并把符合要求的租车方案都列出来；
(3)若A型车每辆需租金每次100元，B型车每辆租金每次120元，请从（2）中的方案里选出最省钱的租车
方案，并求出最少租车费．
【答案】(1)1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨
(2)方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，
7辆B型车．
(3)最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为940元
【分析】（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用2辆A
型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨”，即可得出关于
x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据要一次运送31吨货物，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数即可得出各
租车方程；（3）根据总租金=每辆车的租车费用×租车辆数，分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论．
（1）
解：设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，
依题意，得： ，
解得： ．
答：1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨．
（2）
解：依题意，得：3a+4b=31，
∴ ．
又∵a，b均为正整数，
∴ 或 或 ，
∴该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B
型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．
（3）
解：方案1所需租金为100×9+120×1=1020（元）；
方案2所需租金为100×5+120×4=980（元）；
方案3所需租金为100×1+120×7=940（元）．
∵1020＞980＞940，
∴最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为940元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关
系，分别求出三种租车方案所需费用．
题型08 二元一次方程组的应用——销售、利润问题
例题：某商店决定购进A、B两种纪念品出售，若购进A种纪念品 件，B种纪念品5件，则需要 元；
若购进A种纪念品5件，B种纪念品 件，则需要 元．
(1)求A、B两种纪念品的购进单价；
(2)已知商店购进两种纪念品 件，共花费 元，两种纪念品均标每件 元出售，其中有5件B种纪念品
以七五折售出，求这 件纪念品的销售利润．
【答案】(1)A种纪念品的购进单价为 元，B种纪念品的购进单价为 元；
(2) 元．
【分析】（1）设A种纪念品的购进单价为x元，B种纪念品的购进单价为y元，根据“购进A种纪念品件，B种纪念品5件，则需要 元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品 件，则需要 元”列出方程
求解即可；
（2）设购进A种纪念品m件，B种纪念品n件，根据“购进两种纪念品 件，共花费 元” 列出方程
求解即可得到A种纪念品和B种纪念品的件数，再根据“利润=总销售额－成本”即可得出答案．
【详解】（1）设A种纪念品的购进单价为x元，B种纪念品的购进单价为y元，
根据题意，得
解得
答：A种纪念品的购进单价为15元，B种纪念品的购进单价为13元．
（2）设购进A种纪念品m件，B种纪念品n件，
依题意，得
所以
售完利润为： （元）
答：这32件纪念品的销售利润为 元．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键．
【变式训练】
1．某纪念品店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共50个，花去1600元，这两种
吉祥物的进价、售价如表：
进价（元/个） 售价（元/个）
冰墩墩 35 50
雪容融 30 40
(1)求冰墩墩、雪容融各进了多少个？
(2)这50个吉祥物玩具很快售完，所得利润再次用于购进冰墩墩与雪容融（每种至少一个），且恰好用完.
那么该纪念品店再次购进冰墩墩与雪容融各多少个？
【答案】(1)20个，30个
(2)再次购进冰墩墩6个，雪容融13个或冰墩墩12个，雪容融6个
【分析】（1）设冰墩墩和雪容融分别进了x个和y个，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）先计算出所得利润，然后列出二元一次方程求出整数解即可．
（1）
解：设冰墩墩和雪容融分别进了x个和y个，有题意得
解得
答：冰墩墩和雪容融分别进了20和30个；
（2）
由表格得 ，
设再次购进冰墩墩和雪容融分别为a个和b个，
∴35a+30b=600
∴
∵a，b为正整数
∴可得 ，
∴再次购进冰墩墩6个，雪容融13个或冰墩墩12个，雪容融6个．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程（组）是解题关键．
2．临近 年春节，西安疫情形势较为严峻，对确诊病例所在地区实行区域管控，严格履行疫情防控措
施．为防范疫情，某校欲购置规格分别为 和 的甲、乙两种消毒液若干瓶，已知购买 瓶甲种
和 瓶乙种消毒液需要 元，购买 瓶甲种和 瓶乙种消毒液需要 元．
(1)求甲、乙两种消毒液的单价；
(2)为节约成本，该校购买散装消毒液进行分装，现需将 的消毒液全部装入最大容量分别为 和
的两种空瓶中 每瓶均装满 ，若分装时平均每瓶需损耗 ，请问如何分能使总损耗最小？求出
此时需要的两种空瓶的数量．
【答案】(1)甲种消毒液的单价为 元，乙种消毒液的单价为 元
(2)分装成 的 瓶， 的 瓶时，总损耗最小，此时需要 的空瓶 个， 的空瓶
个
【分析】（1）设甲种消毒液的单价为 元，乙种消毒液的单价为 元，根据“购买 瓶甲种和 瓶乙种消
毒液需要 元，购买 瓶甲种和 瓶乙种消毒液需要 元”，列出二元一次方程组，解之即可；
（2）设分装 的免洗手消毒液 瓶， 的免洗手消毒液 瓶，根据需将 的消毒液进行分装
且分装时平均每瓶需损耗 ，列出二元一次方程，结合 ， 均为非负整数得出各分装方案，选择
最小的方案即可．
（1）
解：设甲种消毒液的单价为 元，乙种消毒液的单价为 元，
依题意得： ，解得： ，
答：甲种消毒液的单价为 元，乙种消毒液的单价为 元；
（2）
设需要 的空瓶 个， 的空瓶 个，
依题意得： ，
，
， 均为非负整数，
或 或 ，
当 ， 时，总损耗为 ；
当 ， 时，总损耗为 ；
当 ， 时，总损耗为 ；
，
分装成 的 瓶， 的 瓶时，总损耗最小，此时需要 的空瓶 个， 的空瓶 个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是： 找准等量关系，
正确列出二元一次方程组； 找准等量关系，正确列出二元一次方程．
题型09 二元一次方程组的应用——数字问题
例题：一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大63，这样的两位数共
有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】设原两位数的个位为x， 十位为y，则这个两位数为10y+x， 所以交换其个位数与十位数的位置，
所得新两位数为10x+y，再列方程10x+y−10y−x=63， 找出符合条件的正整数解即可．
【详解】解：设原两位数的个位为x， 十位为y， 则这个两位数为10y+x，
交换其个位数与十位数的位置，所得新两位数为10x+y，
则10x+y−10y−x=63，
整理得：x−y=7，
又∵x，y为正整数，且0<x<9，0<y<9，
∴ 或
∴这个两位数为：92或81．故选A．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的应用，二元一次方程的正整数解，理解题意，用代数式正确的表示
出一个两位数是解题的关键．
【变式训练】
1．一个两位数，个位数字比十位数字大5，如果把个位数字与十位数字对调，那么所得到的新数与原数的
和是99．原来的两位数是__________．
【答案】27
【分析】设十位数字为x，个位数字为y，本题中2个等量关系为：个位数字-十位数字=5，（10×十位数字
+个位数字）+10×个位数字+十位数字=99，根据这两个等量关系可列出方程组．
【详解】解：设个位数字为x，十位数字为y，
由题意，得 ，
解得： ，
即原来的两位数是27．
故答案为：27．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是熟练用十位数字和个位数字表示出两位数
的值．
2．小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这
个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小
华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．”
那么，你能回答以下问题吗？
(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？
(2)第一次，他们拼出的两位数是多少？
(3)第二次，他们拼成的两位数又是多少呢？请你好好动动脑筋哟！
【答案】(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5
(2)第一次他们拼成的两位数为45
(3)第二次拼成的两位数是54
【详解】（1）解：设他们取出的两个数字分别为x、y．
第一次拼成的两位数为 ，第二次拼成的两位数为 ．
根据题意得：，
由②，得： ③，
得： ．
把 代入①得： ，
∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5．
（2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5，
所以第一次他们拼成的两位数为45．
（3）解：根据（1）得，x，y的位置调换，所以十位数字是5，个位数字是，
所以第二次拼成的两位数是54．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键．
题型10 二元一次方程组的应用——几何问题
例题：用一元一次方程解决问题：某药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图，如果长方体盒子
的长比宽多 ，求这种药品包装盒的体积．
【答案】
【分析】要求长方体的体积，需知长方体的长、宽、高，再结合图形寻找等量关系，求出后代入长方体体
积公式，即可得出结果．
【详解】设这种药品包装盒的宽为 ，高为 ，则长为 ，
根据题意可得 ，
解得 ，
∴长为 ，宽为 ，高为 ，
则体积 ，
则这种药品包装盒的体积为 ．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是用宽表示出长．
【变式训练】
1．如图，在大长方形 中，放入六个相同的小长方形，求阴影部分的面积．【答案】阴影部分的面积为
【分析】设小长方形的长为x cm，宽为y cm，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于x，y的二
元一次方程组，解之即可求出小长方形的长与宽，再利用阴影部分的面积=大长方形的面积-6×小长方形的
面积，即可求出结论．
【详解】解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm，
依题意得： ，
解得： ，
∴阴影部分的面积为14×（6+2×2）-6×8×2=44（ ）．
答：阴影部分的面积为44 ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
2．已知一个长方形草坪，若它的长增加 米，宽减少 米，则面积保持不变；若它的长减少 米，宽增加
米，则面积仍保持不变．
(1)求：长方形草坪的长和宽；
(2)如图，在长方形草坪内部修两条互相垂直，宽为1米的小路，求原长方形草坪剩余部分的面积．
【答案】(1)长方形草坪的长为 米，宽为 米
(2)原长方形草坪剩余部分的面积为14平方米
【分析】（1）设长方形草坪的长和宽分别为 米，根据题意列出方程组，转化为二元一次方程组，解方
程组即可求解；
（2）根据长方形的长减少1，宽减少1，列出算式，进行计算即可求解．
【详解】（1）解：设长方形草坪的长和宽分别为 米，根据题意，得
即解得：
答：长方形草坪的长为 米，宽为 米
（2）解：依题意， 平方米，
答：原长方形草坪剩余部分的面积为14平方米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
题型11 二元一次方程组的应用——图表问题
例题：已知下表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m；各竖列中，从第二个数起的
数都比它上边相邻的数大n．求 m，n 的值．
【答案】m=15，n=9
【分析】 右边的数为 ， 的相邻右边是18，正下方的第三个数是30，根据题意列出
方程组即可求解．
【详解】根据题意以及表格数据，
有： ，
解得 ，
答：m的值为15，n的值为9．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，明确题意，列出二元一次方程组是解答本题的关键．
【变式训练】
1．某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，购买4千克的甲食材
比购买5千克的乙食材多花60元．
营养品信息表
营养成分 每千克含铁42毫克
原料 每千克含铁
配料表
甲食材 50毫克乙食材 10毫克
(1)甲、乙两种食材每千克的进价分别是多少元？
(2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，那么该公司每日购进甲、乙两种食材各多
少千克？
【答案】(1)甲食材每千克的进价为40元，乙食材每千克的进价为20元
(2)该公司每日购进甲食材400千克，乙食材100千克
【分析】（1）设乙食材每千克的进价为a元，则甲食材每千克的进价为2a元，由购买4千克的甲食材比
购买5千克的乙食材多花60元建立方程求解即可
（2）抓住两个等量关系列方程求解：一是甲、乙两种食材每日购买的进价和为18000；二是制成营养品的
含铁量与甲、乙两种食材含铁量的和相等，列出方程组即可求解．
（1）
设乙食材每千克的进价为a元，则甲食材每千克的进价为2a元，由题意，得
4×2a－5×a＝60，
解得a＝20，
则2a＝40．
答：甲、乙两种食材每千克的进价分别是40元、20元；
（2）
设该公司每日购进甲食材x千克，乙食材y千克，
由题意，得
解得
【点睛】本题考查了一元一次方程及一元二次方程组的应用，找出等量关系列方程是解题关键．
2．童威在某商店给妈妈购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打相同的折扣，其余两
次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表：
购买商品A的数量（个） 购买商品B的数量（个） 购买总费用（元）
第一次购
8 16 1440
物
第二次购
7 15 1314
物
第三次购
9 17 1252.8
物
(1)以折扣价购买商品A、B是第________次购物；
(2)求出商品A、B的标价；(3)若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？
【答案】(1)三
(2)商品A的标价为72元，商品B的标价为54元
(3)商店是打八折出售这两种商品的
【分析】（1）根据买到A、B商品多，且花钱少来判断即可；
（2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，列出方程组求出x和y的值；
（3）设商店是打m折出售这两种商品，根据题意列出方程求解即可．
（1）
根据图表可得童威第三次购物花的钱最少，买到A、B商品又是最多，所以童威以折扣价购买商品A、B是
第三次购物，
故答案是：三；
（2）
（2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，
根据题意，得 ，
解得： ，
答：商品A的标价为72元，商品B的标价为54元；
（3）
设商店是打m折出售这两种商品，
由题意得， ，
解得：m=8．
答：商店是打八折出售这两种商品的．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未
知数，找出合适的等量关系，列方程求解．一、单选题
1．某小组分若干本书，若每人分6本，则余4本；若每人分8本，则缺2本，共有图书（ ）
A．34本 B．22本 C．24本 D．32本
【答案】B
【分析】设人数为 ，图书为 ，若每人分6本，则余4本；若每人分8本，则缺2本列出方程组解答即可．
【详解】解：设人数为 ，图书为 ，根据题意可得： ，
解得： ，
故选：B
【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合
适的等量关系，列出方程组，再求解．
2．母亲节来临，小明与花店为妈妈准备节日礼物，已知康乃馨每支2元，百合每支3元，小明将20元钱
全部用于购买这两种花（两种都买），小明的购买方案有（ ）种
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】A
【分析】设可以购买x支康乃馨，y支百合，根据总价 单价 数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，
结合x，y均为正整数即可得出小明有3种购买方案．
【详解】解：设可以购买x支康乃馨，y支百合，
依题意，得： ，
∴ ．
∵x，y均为正整数，
∴ 或 或 ，
∴小明有3种购买方案．
故选A．
【点睛】本题考查了二元一次方程应用中的整数解问题，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的
关键．
3．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足
一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 尺；将绳子对折再量长木，长木还
剩余 尺．问木长多少尺？设木长 尺，绳长 尺，根据题意列方程组得（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设木长 尺，绳长 尺，根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 尺；将绳子对折再量长木，
长木还剩余 尺，列出二元一次方程组，即可求解．
【详解】设木长 尺，绳长 尺，根据题意列方程组得
故选：A．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键．
4．如图，8块相同的小长方形地板砖拼成一个周长为200厘米的大长方形地板砖，则每块小长方形地板砖
的面积为 （ ）
A．100 B．200 C．300 D．2000
【答案】C
【分析】设每块小长方形的长为x厘米，宽为y厘米，根据图中关系和拼成一个周长为200厘米的大长方
形地板砖，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．
【详解】解：设每块小长方形的长为x厘米，宽为y厘米，
根据题意得： ，
解得：，
∴ ，
即每块小长方形地板砖的面积为300 ，
故选：C．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
二、填空题
5．有这样一道数学名题，其题意：一群老者去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一个，一人两个少两
个，请问几个老者几个梨？设有老者x人，梨y个，则可列二元一次方程组： ．
【答案】【分析】审题，明确等量关系，构建二元一次方程组；
【详解】解：依题意得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，审题明确题中的等量关系是解题的关键．
6．某人买了 分的邮票和 分的邮票共 张，用去了 元 角，则 分的邮票买了 枚， 分
的邮票买了 枚．
【答案】 14 6
【分析】设买了 分的邮票 张， 分的邮票 枚，根据题意列出二元一次方程组并求解即可获得答案．
【详解】解：设买了 分的邮票 张， 分的邮票 枚，
根据题意，可得 ，
解得 ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
7．如果两个两位数的差是10，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的
两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，若这两个四位数的和是5050，设较大的两位数为 ，
较小的两位数为 ，根据题意列方程组为 ．
【答案】
【分析】设较大的两位数为 ，较小的两位数为 ，根据题意可得等量关系：①两个两位数的差是10；②
和 的和是5050，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：设较大的两位数为 ，较小的两位数为 ，
根据题意得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方
程组是解题的关键．
8．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形，小红看见了，
说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形，“咳，怎么中间还留了一个洞，恰
好是边长为 的小正方形！”设这些小长方形的长和宽分别为 和 ，则依题意可列二元一次方
程组为 ．【答案】
【分析】设小长方形长为 ，宽为 ，由图1、图2中的数量关系列出二元一次方程组即可．
【详解】解：设小长方形长为 ，宽为 ，
由题意得： ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
三、解答题
9．列方程组解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱六十，乙得甲太半而亦钱六十，
甲、乙持钱各几何？”
题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱60．如果乙得到甲所
有钱的 ，那么乙也共有钱60．甲、乙两人各带了多少钱？
【答案】甲带了45钱，乙带了30钱．
【分析】设甲带了x钱，乙带了y钱，利用等量关系“甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱60．如果乙
得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱60．”列方程组求解即可．
【详解】解：设甲带钱x，乙带钱y，根据题意，
得 ，
解得 ．
∴甲带了45钱，乙带了30钱．
【点睛】本题考查列二元一次方程组解应用题，掌握列二元一次方程组解应用题步骤与解法，抓住等量关
系是解题关键．
10．庚子鼠年，疫情肆虑，口罩成为生活必需品．甲、乙两厂分别有4条和5条口罩生产线，两厂计划用
3天时间赶制1000箱口罩支援疫情．若甲厂启用1条乙厂启用2条生产线，一天可以生产口罩112箱；若甲厂启用2条乙厂启用3条口罩生产线，一天可以生产口罩189箱．
(1)甲、乙两厂每条口罩生产线每天的产量各是多少箱？
(2)两厂满负荷生产，是否可以如期完成任务？
【答案】(1)甲厂每条口罩生产线每天的产量是42箱，乙厂每条口罩生产线每天的产量是35箱
(2)能如期完成任务
【分析】（1）设甲、乙两厂每条口罩生产线每天的产量分别为 箱和 箱，根据甲厂启用1条乙厂启用2
条生产线，一天可以生产口罩112箱；甲厂启用2条乙厂启用3条口罩生产线，一天可以生产口罩189箱，
列出方程组进行求解即可；
（2）求出满负荷生产时，3天能够生产的总量，即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲、乙两厂每条口罩生产线每天的产量分别为 箱和 箱，
则 ，解得 ；
答：甲厂每条口罩生产线每天的产量是42箱，乙厂每条口罩生产线每天的产量是35箱．
（2）∵ ，
∴能如期完成任务．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程组．
11．列方程（组）解应用题：如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由 块形状大小相同的长方形墙砖砌成．
(1)求一块长方形墙砖的长和宽；
(2)求电视背景墙的面积．
【答案】(1) ， ；
(2) ．
【分析】（1）首先设一块长方形墙砖的长为 ，宽为 ，然后用 的代数式分别表示出长方形的两条
长边分别为 ， ，宽为 ,进而根据长方形的性质列出方程组，解方程组即可得出答案；
（2）根据长方形的面积计算公式即可得出答案．
【详解】（1）解：设一块长方形墙砖的长为 ，宽为 ．
依题意得：
，解得：
，
答：一块长方形墙砖的长为 ，宽为 ．
（2）求电视背景墙的面积为： ．
答：电视背景墙的面积为 ．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的实际应用，长方形的性质，根据长方形的两组对边分别相等列
出方程组是解答此题的关键．
12．已知：用2辆 型车和1辆 型车载满货物一次可运货10吨；用1辆 型车和2辆 型车载满货物一
次可运货11吨．某物流公司现有34吨货物，计划同时租用 型车 辆， 型车 辆，一次运完，且恰好每
辆车都载满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆 型车和1辆车 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
(2)若 型车每辆需租金100元/次， 型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少
租车费．
【答案】(1)1辆 型车载满货物一次可运货3吨，1辆 型车载满货物一次可运货4吨．
(2)租用 型车2辆、 型车7辆最省钱，最少租车费为1040元．
【分析】（1）设1辆 型车载满货物一次可运货 吨，1辆 型车载满货物一次可运货 吨，根据“用2
辆 型车和1辆 型车载满货物一次可运货10吨；用1辆 型车和2辆 型车载满货物一次可运货11吨”，
即可得出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据租用的两种车载满货物一次可运货34吨，即可得出关于 ， 的二元一次方程，结合 ， 均为
非负整数，即可得出各租车方案，再根据总租金 每辆车的租金 租车辆数，可分别求出三种租车方案所
需租金，比较后即可得出结论．
【详解】（1）设1辆 型车载满货物一次可运货 吨，1辆 型车载满货物一次可运货 吨，
依题意，得： ，
解得： ．
答：1辆 型车载满货物一次可运货3吨，1辆 型车载满货物一次可运货4吨．
（2）依题意，得： ，
．
， 均为非负整数，
， ， ，该物流公司共有三种租车方案，方案1：租用 型车10辆， 型车1辆；方案2：租用 型车6辆， 型
车4辆；方案3：租用 型车2辆， 型车7辆．
方案1所需租金： （元 ，
方案2所需租金： （元 ，
方案3所需租金： （元 ．
，
方案3租用 型车2辆、 型车7辆最省钱，最少租车费为1040元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程，并利用总租金 每辆车的租
金 租车辆数，分别求出三种租车方案所需租金．
13．重庆市求精中学开学初到商场购买A，B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足
球25个，共花费5000元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球需要多花20元．
(1)求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？
(2)为了响应习总书记“足球进校园”的号召，学校决定再次购进A，B两种品牌的足球50个，正好赶上商
场对商品价格进行调整，A品牌足球的售价比第一次购买时提高5元，B品牌足球按第一次购买时售价的
九折出售．如果学校此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的 ，且保证这次购买的
B种品牌足球不少于33个，请在所有可行方案中，给出花费最少的方案，并计算最少方案的费用？
【答案】(1)购买一个A种品牌的足球需要60元，购买一个B种品牌的足球需要80元
(2)购买A种足球17个，B种足球33个费用最少．最少费用为3481元
【分析】（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，根据“总费用 买A种足球费
用 买B种足球费用，以及B种足球单价比A种足球贵20元”可得出关于x、y的二元一次方程组，解方
程组即可得出结论；
（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球 个，根据“总费用 买A种足球费用 买B种
足球费用，以及B种足球不小于33个”可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组可得出m的取值
范围，由此即可得出结论．
【详解】（1）解：设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，
依题意得：
，
解得： ．
答：购买一个A种品牌的足球需要60元，购买一个B种品牌的足球需要80元．
（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球 个，依题意得： ，
解得： ．
故这次学校购买足球有三种方案：
方案一：购买A种足球15个，B种足球35个；
方案二：购买A种足球16个，B种足球34个；
方案三：购买A种足球17个，B种足球33个．
设总费用为w，则 ，
，
∴w随m的增大而减小，
故当 时，总费用最少，
∴ （元）．
答：购买A种足球17个，B种足球33个费用最少．最少费用为3481元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据数
量关系找出关于x、y的二元一次方程组；（2）根据数量关系找出关于m的一元一次不等式组．本题属于
中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组、不等式或不等式组）是关键．
14．安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程．由于工期过长，安先生要
求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要天数恰好比乙工程队单独
完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成
此项工程需要的天数之和为55天．
(1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天；
(2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的 ；
(3)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21800元，
求甲工程队参加工作多少天？
【答案】(1)40，15
(2)6
(3)16
【分析】（1）设乙队单独完成此项工程需要 天，甲队单独完成此项工程需要 天，依题意得，
，解得， ，则 ；
（2）由（1）可知，甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，设还需要再合作 天可完成此项工程的 ，
依题意得， ，计算求解即可；（3）设甲单独工作 天，甲乙合作工作 天，依题意得， ，计算求出 的值，
然后根据 ，计算求解甲工程队参加工作的天数．
【详解】（1）解：设乙队单独完成此项工程需要 天，甲队单独完成此项工程需要 天，
依题意得， ，
解得， ，
∴ ，
∴甲、乙两队单独完成此项工程各需要40、15天；
（2）解：由（1）可知，甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，
设还需要再合作 天可完成此项工程的 ，
依题意得， ，
解得， ，
∴还要再合作6天可完成此项工程；
（3）解：设甲单独工作 天，甲乙合作工作 天，
依题意得， ，
解得， ，
∵ ，
∴甲工程队参加工作16天．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方
程（组）．
15．某商店销售A， 两种型号的打印机，销售5台A型和10台 型打印机的利润和为2000元，销售10
台A型和5台 型打印机的利润和为1600元．
(1)求每台A型和 型打印机的销售利润；
(2)商店计划购进A、 两种型号的打印机共100台，其中A型打印机数量不少于 型打印机数量的一半．
设购进A型打印机 台，这100台打印机的销售总利润为 元，求该商店购进A、 两种型号的打印机各
多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)每台A型打印机的利润为80元，每台B型打印机的利润为160元
(2)购进A型号的打印机34台， 型号的打印机66台时，销售总利润最大，最大利润为13280元【分析】（1）设每台A型打印机的销售利润为x元，每台B型打印机的销售利润为y元，列出方程组求解
即可；
（2）由总利润等于两种型号打印机利润之和列出利润W关于a的函数解析式，根据函数的增减性确定利
润的最大值即可．
【详解】（1）解：设每台A型打印机的利润 元，每台B型打印机的利润为 元．
根据题意得
解得
答：每台A型打印机的利润为80元，每台B型打印机的利润为160元．
（2）解：由题意得：
随 的增大而减小
，即
是正整数，
当 时， 最大， （元），
（台）
答：当商店购进A型号的打印机34台， 型号的打印机66台时，销售总利润最大，最大利润为13280元．
【点睛】本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，关键是根据题意列出一次函数解析式．
16．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售
公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售；据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元，3
辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元
(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该
公司设计购买方案；
(3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购
买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元
(2)共8种购买方案，方案一：购进A型车6辆；方案二：购进A型车4辆；方案三：购进A型车3辆
(3)购进A型车2辆，B型车15辆获利最大，最大利润为91000元．
【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆
B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于x，y的二
元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论；
（3）利用总价=单价×数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，
依题意，得： ，
解得： ．
答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元；
（2）解：设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，
依题意，得： ，
解得： ．
∵m，n均为正整数，
∴ 或 或 ，
∴共8种购买方案，方案一：购进A型车6辆；方案二：购进A型车4辆；方案三：购进A型车3辆．
（3）解：方案一获得利润： （元）；
方案二获得利润： （元）；
方案三获得利润： （元）．
∵ ，
∴购进A型车2辆，B型车15辆获利最大，最大利润为91000元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价=单价×数量
求出三种购车方案获得的利润．
