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第 03 讲 二元一次方程组的应用题(11 类热点题型讲练)
1.掌握列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤；
2.通过小组合作，分析“鸡兔同笼”等简单问题中的数量关系，学生能准确找出等量关系；
3.会利用列表分析题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题；
4.利用二元一次方程解决数字问题和行程问题；
5.进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程.
知识点01 列方程组解应用题步骤
1）列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，
找出题目中的相等关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边
表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等。
2）解应用题的一般步骤为：①读题：找出题目中的数量关系，列写等量关系式；②设元：以好表达等量
关系式为原则，设不知道的量为未知数；③列方程：依据等量关系式，结合未知数列写方程；④解答。
知识点02 分析数量关系的常用方法
1）直译法分析数量关系:将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等
量关系，翻译成含有未知数的等式。
2）列表分析数量关系:当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利
用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。题型01 二元一次方程组的应用——年龄问题
例题：10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄将是小明的2倍．小明和他妈妈
现在的年龄分别是多少？
【答案】小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁
【分析】根据题意，设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，列二元一次方程组，解方程求解即可
【详解】设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意，
得
解得
答：小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
【变式训练】
1．5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对
母女的年龄分别是多少？
【答案】母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁
【分析】设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，然后根据5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，
母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁，列出方程组求解即可．
【详解】解：设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，则
解得
答：母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键在于正确理解题意列出方程求解．
题型02 二元一次方程组的应用——分配问题
例题：某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货
车一次可以运货160吨．
(1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
(2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车
均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元，请你列出所有的运输
方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少元．【答案】(1)1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨
(2)共有3种运输方案，方案1：安排A货车8辆，B货车2辆；方案2：安排A货车5辆，B货车6辆；方
案3：安排A货车2辆，B货车10辆；安排A货车8辆，B货车2辆费用最少，最少费用为4800元
【分析】（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据3辆A货车与2辆B货车一
次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨，列出方程求解即可；
（2）设安排A货车辆，B货车辆，根据目前有190吨货物需要运输，列出方程求解即可．
（1）
设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨．
根据题意得
解得 ．
答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨．
（2）
设安排A货车辆，B货车辆，依题意，得
，即 ，
又因为 均为正整数，
所以 或 或 ，
所以共有3种运输方案，方案1：安排A货车8辆，B货车2辆；
方案2：安排A货车5辆，B货车6辆；方案3：安排A货车2辆，B货车10辆．
方案1所需费用：500×8+400×2=4800（元）；
方案2所需费用：500×5+400×6=4900（元）；
方案3所需费用：500×2+400×10=5000（元）；
因为4800<4900<5000，所以安排A货车8辆，B货车2辆费用最少，最少费用为4800元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程
求解．
【变式训练】
1．某学校现有若干间学生宿舍，准备安排给若干名学生住宿．原计划每间住8人，则有10间宿舍无人居
住．由于疫情防控需要，每间宿舍只能住5人，则有10人无法入住．问该校现有多少间学生宿舍？有多少
名学生？
【答案】有30间学生宿舍，有160名学生
【分析】设该校现有x间学生宿舍，共安排y名学生住宿，根据“原计划每间住8人，则有10间宿舍无人
居住．由于疫情防控需要，每间宿舍只能住5人，则有10人无法入住”，即可得出关于x，y的二元一次
方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设该校现有x间学生宿舍，共安排y名学生住宿，依题意，得： ，
解得： ．
答：该校现有30间学生宿舍，有160名学生．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
2．一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾
物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货
车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
(2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租
车方案?
(3)在（2）的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选出费用最少的租
车方案，并求出最少的租车费用．
【答案】(1)1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆大货车一次满载运输400件物资
(2)共有3种租车方案，方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；方
案3：租用1辆小货车，7辆大货车
(3)租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为3900元
【分析】（1）设1辆小货车一次满载运输x件物资，1辆大货车一次满载运输y件物资，然后根据题意列
二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意可得300a+400b=3100，再用b表示出a，然后根据a、b均为整数进行列举即可解答；
（3）将小货车和大货车每次的租金代入300a+400b里计算，然后比较即可．
（1）
解：设1辆小货车一次满载运输x件物资，1辆大货车一次满载运输y件物资，
依题意得： 解得：
答：1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆大货车一次满载运输400件物资．
（2）
接：设租用小货车a辆，大货车b辆，
依题意得：300a+400b=3100，
∴ ．
又∵a，b均为非负整数，
∴ 或 或 ，
∴共有3种租车方案，方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；
方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；
方案3：租用1辆小货车，7辆大货车．
（3）
解：方案1所需租车费为400×9+500×1=4100（元）；
方案2所需租车费为400×5+500×4=4000（元）；
方案3所需租车费为400×1+500×7=3900（元）．
∴费用最少的租车方案为：租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为3900元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及代数式求值等知识点，认真审
题、明确题意、弄清量与量之间的关系是解答本题的关键．
题型03 二元一次方程组的应用——古代问题
例题：《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，
善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走
100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走
了y步，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，根据“走路快的人走100
步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步”，列出方程组，即可求解．
【详解】解：设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，根据题意得：
．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
【变式训练】
1．《九章算术》记载了一个方程的问题，译文为：今有上禾6束，减损其中之“实”十八升，与下禾10
束之“实“相当；下禾15束，减损其中之“实”五升，与上禾5束之“实”相当．问上、下禾每束之实各
为多少升？设上、下禾每束之实各为x升和y升，则依题意可列方程组为__________．
【答案】
【分析】根据题意列出等量关系：上禾6束 上禾每束之实 十八升 下禾10束 下禾每束之实；下禾15
束 下禾每束之实 五升 上禾5束 上禾每束之实，即可解答．
【详解】解：根据等量关系：上禾6束 上禾每束之实 十八升 下禾10束 下禾每束之实；下禾15束下禾每束之实 五升 上禾5束 上禾每束之实，可列方程： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用，正确的找到等量关系是解题的关键．
2．我国古代数学名著《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，上面记载有这样一个问题：
“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙
买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？请你解答这个问题．
【答案】合伙人数为21人，羊价为150钱
【分析】设合伙人数为 人，羊价为 钱，根据题意，找出等量关系， 列出方程组，求解即可．
【详解】解：设合伙人数为 人，羊价为 钱，
依题意有： ，
解得 ，
答：合伙人数为21人，羊价为150钱．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系，列出
方程组．
题型04 二元一次方程组的应用——行程问题
例题：已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为
B，A两地，两车均先以每小时a千米的速度行驶，再以每小时b千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶
的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等．
(1)若 ，且甲车行驶的总时间为 小时，求a和b的值；
(2)若 ，且乙车行驶的总时间为 小时，求两车相遇时，离A地多少千米？
【答案】(1)a和b的值分别为60，40；
(2)
【分析】（1）由甲车以两种速度行驶的路程相等且时间为 小时及 建立方程组求出其解即可；
（2）由乙车行驶的时间相等就可以得出两次的时间分别为 小时，由两段路程之和等于120及
建立方程组求出其解即可求出a、b的值，从而得到甲车前一半的时间为 ，从而得出相遇时甲车还没行
驶到60km，则离A地的路程为相遇时间乘甲车开始的速度即可．【详解】（1）解：∵甲车以两种速度行驶的路程相等，
∴甲车以两种速度行驶的路程均为60 km．
∴由题意得： ，
解得： ；
即a和b的值分别为60，40；
（2）∵乙车以两种速度行驶的时间相等，
∴乙车以两种速度行驶的时间均为 小时
∴由题意得：
解得： ；
∴甲车前一半的时间为： ，
由于 ，则乙 h时行的路程为： ，
∵ ，
∴甲车行驶到一半路程时，甲乙两车的路程和超过120km，
∴相遇时甲车还没行驶到60km，
∴相遇时间为： ，
则离A地的路程为： ．
即：两车相遇时，离A地 ．
【点睛】本题考查了行程问题的数量关系的运用，列二元一次方程解实际问题的运用，解答时分别运用路
程相等和时间相等建立方程组是解答本题的关键．
【变式训练】
1．列方程组解应用题：
(1)有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队有10人，每支排球队12人，每名运动员
只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？
(2)小方、小程两人相距6km，两人同时出发相向而行，1h相遇；同时出发同向而行，小方3h可追上小程．
两人的平均速度各是多少？【答案】(1)篮球有28支队参赛，排球有20支队参赛；
(2)小方的平均速度是4km/h，小程的平均速度是2km/h．
【分析】（1）设篮球、排球队各有x支、y支参赛，根据有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其
中每支篮球队有10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛列出方程组求解即可；
（2）设小方、小程的平均速度各是mkm/h，nkm/h，根据小方、小程两人相距6km，两人同时出发相向而
行，1h相遇；同时出发同向而行，小方3h可追上小程列出方程组求解即可．
（1）
解：设篮球、排球队各有x支、y支参赛，
由题意得：
解得 ，
答：篮球有28支队参赛，排球有20支队参赛；
（2）
解：设小方、小程的平均速度各是mkm/h，nkm/h，
由题意得： ，
解得 ，
答：小方的平均速度是4km/h，小程的平均速度是2km/h．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出对应的方程组是解题的关键．
2．小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校，妈妈发现他的数学书丢在家中，在小北出发 小时后
乘上出租车去学校送书，出租车每小时的速度比小北骑车的速度快20千米，由于市政建设，出租车到校行
驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校．求小北需要骑行多少千米到学校？
【答案】5千米
【分析】设小北每小时骑行x千米，骑行y千米到达学校，利用小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达
学校和出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校列出方程组即可
求解．
【详解】解：设小北每小时骑行x千米，骑行y千米到达学校，
由题意可得 ，
解得 ，
答：小北需要骑行5千米到达学校．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找出题目的等量关系是解题的关键．
题型05 二元一次方程组的应用——工程问题
例题：玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；
若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，玲玲的爸爸妈
妈商量后决定只选一个公司单独完成．
(1)设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程为 ．
(2)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？
(3)如果从节的开支的角度考虑呢？请说明理由．
【答案】(1)
(2)时间上考虑选择甲公司
(3)从节约开支上考虑选择乙公司
【分析】（1）设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据工作总
量等于工作效率乘以工作时间列出方程即可求解．
（2）列出方程组求出甲乙单独做所用的时间即可；
（3）列出方程组求出各自单独做的周费用，再乘以他们所需时间即可．
【详解】（1）解：设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则
，
故答案为： ．
（2）解：设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据题意得，
解得：
∵
∴甲公司的效率高，所以从时间上考虑选择甲公司．
（3）解：设甲公司每周费用为 万元，乙公司每周费用为 万元，根据题意得：解得：
∴公司共需 万元，乙公司共需 万元，4万元＜6万元，
∴从节约开支上考虑选择乙公司．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
【变式训练】
1．杭州某公司准备安装完成5700辆如图所示款共享单车投入市场．由于抽调不出足够熟练工人，公司准
备招聘一批新工人．生产开始后发现：1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工
人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多．
(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？
(2)若公司原有熟练工m人，现招聘n名新工人 ，使得最后能刚好一个月（30天）完成安装任务，
已知工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占5%，求m的值．
【答案】(1)每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车．
(2)m的值为12．
【分析】（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据
“1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天安装的共享单车数与3名新工
人每天安装的共享单车数一样多”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设抽调m名熟练工人，由工作总量=工作效率×工作时间，即可得出关于n，m的二元一次方程，再根
据n，m均为正整数且 ，即可求出m的值．
（1）解：设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据题意
得： 解得： ．答：每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安
装8辆共享单车．
（2）（2）根据题意得：30×（8n+12m）×（1-5%）=5700，整理得： ，∵n，m均为正整数，且
，∴ （舍）， （舍）， ，∴m的值为12．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
2．通道县政府为把双江镇建设成国家级文明县城,现有一段长为180 m的街道需要整治，甲、乙两个工程队先后接力完成：甲工程队每天整治12 m,乙工程队每天整治8 m,共用时20天.问甲、乙两工程队分别整
治了多少米？
【答案】
【分析】设甲、乙两工程队分别整治了 米和 米， 根据总共整治180米，与甲工程队每天整治12 m,乙
工程队每天整治8 m,共用时20天，列出关于 和 的二元一次方程，解出即可．
【详解】解：设甲、乙两工程队分别整治了 米和 米，
根据题意列方程得 ，
解得 ，
答：甲工程队整治了60米，乙工程队整治了120米．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
题型06 二元一次方程组的应用——和差倍分问题
例题：一玻璃厂熔炼玻璃液，其原料由石英砂和长石粉混合而成，要求原料中含二氧化硅70%．经过化验，
石英砂中含二氧化硅95%，长石粉中含二氧化硅63%．要配制3.2t原料，需石英砂，长石粉各多少？
【答案】需石英砂 ，长石粉
【分析】设需石英砂xt，长石粉yt，根据题意，联立方程组，解出即可得出结论．
【详解】解：设需石英砂xt，长石粉yt，
根据题意，可得： ，
解得： ，
答：需石英砂 ，长石粉 ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解本题的关键在正确找出等量关系．
【变式训练】
1．用二元一次方程组解应用题：一家超市中，杏的售价为10元/kg，桃的售价为8元/kg，小菲在这家超
市买了杏和桃共7kg，共花费61元．求小菲这次买的杏、桃各多少千克？
【答案】小菲这次买杏2.5千克，桃4.5千克．
【分析】设小菲这次买杏x千克，桃y千克，利用总价＝单价×数量，结合“小菲在这家超市买了杏和桃共
7kg，共花费61元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设小菲这次买杏x千克，桃y千克，
依题意得： ，解得： ．
答：小菲这次买杏2.5千克，桃4.5千克．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
2．2021年7月21日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担
和校外培训负担的意见》．某学校积极响应“双减”政策，为了丰富学生校园生活，经研究决定准备购买
一批体育健身器材．已知购买2个篮球和3个排球共花费440元，购买4个篮球和1个排球共花费480元．
求篮球和排球的单价．
【答案】篮球的单价是100元，排球的单价是80元．
【分析】设篮球的单价是x元，排球的单价是y元，根据“购买2个篮球和3个排球共花费440元，购买4
个篮球和1个排球共花费480元”列二元一次方程组，求解即可；
【详解】解：设篮球的单价是x元，排球的单价是y元，
根据题意，得 ，
解得 ，
∴篮球的单价是100元，排球的单价是80元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，理清题中的等量关系，根据题意列方程组是解题的关键．
题型07 二元一次方程组的应用——方案问题
例题：去年年底，重庆疫情形势严峻，除了医务人员和志愿者们主动请缨走向抗疫前线，众多企业也纷纷
伸出援助之手．某公司租用A、B两种货车向重庆运送抗疫物资，已知用2辆A型车和3辆B型车载满货物
一次可运物资 吨；用1辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运物资 吨．
(1)求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运送多少吨物资？
(2)现有 吨抗疫物资需要运往重庆，该公司计划同时租用A型车和B型车（两种型号车均要租用），一
次运完，且恰好每辆车都装满货物．若A型车每辆需租金 元/次，B型车每辆需租金 元/次．那么
该公司有哪几种租车方案，并且哪种方案租车费用最少．
【答案】(1)1辆A型车装满货物一次可运送 吨物资，1辆B型车装满货物一次可运送 吨物资
(2)该公司有三种租车方案，方案一租车费用最少
【分析】（1）设1辆A型车装满货物一次可运送 吨物资，1辆B型车装满货物一次可运送 吨物资，根
据题意，列出方程组，解出即可得出答案；
（2）设租 辆 型车， 辆 型车，根据题意，得出 ，且 、 均为正整数，解出 或
或 ，据此得出该公司有三种租车方案，再算出每种租车方案的费用，即可得出答案．【详解】（1）解：设1辆A型车装满货物一次可运送 吨物资，1辆B型车装满货物一次可运送 吨物资，
根据题意，可得： ，
解得： ，
∴1辆A型车装满货物一次可运送 吨物资，1辆B型车装满货物一次可运送 吨物资；
（2）解：设租 辆 型车， 辆 型车，
根据题意，可得： ，
∵ 、 均为正整数，
∴ 或 或 ，
∴该公司有三种租车方案：
方案一：租 辆 型车， 辆 型车；
方案二：租 辆 型车， 辆 型车；
方案三：租 辆 型车， 辆 型车，
∴方案一所需费用为 （元），
方案二所需费用为 （元），
方案三所需费用为 （元），
∵ ，
∴方案一租车费用最少．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解本题的关键在找准等量关系，正确
列出方程．
【变式训练】
1．某校在2022年组织七年级学生参加研学活动，租用二种不同型号的客车，每辆座位如下表：
客车型号 A B
人数/辆 28 49
若租用 A型客车5辆和 B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用 A型客车1辆和 B型客车5辆，则需
要租金 2800 元.
(1)求租用A，B两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？
(2)现有七年级14个班级的学生588人，现计划同时租用两种型号客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，
为节约成本，则租用 A型客车和 B型客车各多少辆，需要花费多少钱？
【答案】(1)A型车每辆的租金为300元，B型车每辆的租金为500元
(2)租用A型客车14辆，B型客车4辆，需要花费6200元；租用A型客车7辆，B型客车8辆，需要花费
6100元
【分析】（1）设A型车每辆的租金为x，B型车每辆的租金为y，根据已知租用方案，列出方程组，解之即可；
（2）设租用A型车辆a辆，B型车辆b辆，得到关于a，b的二元一次方程，求出正整数解，可得方案．
（1）
解：设A型车每辆的租金为x，B型车每辆的租金为y，
由题意可得： ，
解得： ，
∴A型车每辆的租金为300元，B型车每辆的租金为500元；
（2）
设租用A型车辆a辆，B型车辆b辆，
28a+49b=588，
化简得：4a+7b=84，
∴ ，
∴当b=4，a=14，需要花费14×300+4×500=6200元；
当b=8，a=7，需要花费7×300+8×500=6100元，
∴租用A型客车14辆，B型客车4辆，需要花费6200元；租用A型客车7辆，B型客车8辆，需要花费
6100元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，
注意题中有干扰数据．
2．今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运
10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨．某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a
辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案，并把符合要求的租车方案都列出来；
(3)若A型车每辆需租金每次100元，B型车每辆租金每次120元，请从（2）中的方案里选出最省钱的租车
方案，并求出最少租车费．
【答案】(1)1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨
(2)方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，
7辆B型车．
(3)最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为940元
【分析】（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用2辆A
型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨”，即可得出关于
x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据要一次运送31吨货物，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数即可得出各
租车方程；（3）根据总租金=每辆车的租车费用×租车辆数，分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论．
（1）
解：设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，
依题意，得： ，
解得： ．
答：1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨．
（2）
解：依题意，得：3a+4b=31，
∴ ．
又∵a，b均为正整数，
∴ 或 或 ，
∴该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B
型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．
（3）
解：方案1所需租金为100×9+120×1=1020（元）；
方案2所需租金为100×5+120×4=980（元）；
方案3所需租金为100×1+120×7=940（元）．
∵1020＞980＞940，
∴最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为940元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关
系，分别求出三种租车方案所需费用．
题型08 二元一次方程组的应用——销售、利润问题
例题：某商店决定购进A、B两种纪念品出售，若购进A种纪念品 件，B种纪念品5件，则需要 元；
若购进A种纪念品5件，B种纪念品 件，则需要 元．
(1)求A、B两种纪念品的购进单价；
(2)已知商店购进两种纪念品 件，共花费 元，两种纪念品均标每件 元出售，其中有5件B种纪念品
以七五折售出，求这 件纪念品的销售利润．
【答案】(1)A种纪念品的购进单价为 元，B种纪念品的购进单价为 元；
(2) 元．
【分析】（1）设A种纪念品的购进单价为x元，B种纪念品的购进单价为y元，根据“购进A种纪念品件，B种纪念品5件，则需要 元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品 件，则需要 元”列出方程
求解即可；
（2）设购进A种纪念品m件，B种纪念品n件，根据“购进两种纪念品 件，共花费 元” 列出方程
求解即可得到A种纪念品和B种纪念品的件数，再根据“利润=总销售额－成本”即可得出答案．
【详解】（1）设A种纪念品的购进单价为x元，B种纪念品的购进单价为y元，
根据题意，得
解得
答：A种纪念品的购进单价为15元，B种纪念品的购进单价为13元．
（2）设购进A种纪念品m件，B种纪念品n件，
依题意，得
所以
售完利润为： （元）
答：这32件纪念品的销售利润为 元．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键．
【变式训练】
1．某纪念品店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共50个，花去1600元，这两种
吉祥物的进价、售价如表：
进价（元/个） 售价（元/个）
冰墩墩 35 50
雪容融 30 40
(1)求冰墩墩、雪容融各进了多少个？
(2)这50个吉祥物玩具很快售完，所得利润再次用于购进冰墩墩与雪容融（每种至少一个），且恰好用完.
那么该纪念品店再次购进冰墩墩与雪容融各多少个？
【答案】(1)20个，30个
(2)再次购进冰墩墩6个，雪容融13个或冰墩墩12个，雪容融6个
【分析】（1）设冰墩墩和雪容融分别进了x个和y个，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）先计算出所得利润，然后列出二元一次方程求出整数解即可．
（1）
解：设冰墩墩和雪容融分别进了x个和y个，有题意得
解得
答：冰墩墩和雪容融分别进了20和30个；
（2）
由表格得 ，
设再次购进冰墩墩和雪容融分别为a个和b个，
∴35a+30b=600
∴
∵a，b为正整数
∴可得 ，
∴再次购进冰墩墩6个，雪容融13个或冰墩墩12个，雪容融6个．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程（组）是解题关键．
2．临近 年春节，西安疫情形势较为严峻，对确诊病例所在地区实行区域管控，严格履行疫情防控措
施．为防范疫情，某校欲购置规格分别为 和 的甲、乙两种消毒液若干瓶，已知购买 瓶甲种
和 瓶乙种消毒液需要 元，购买 瓶甲种和 瓶乙种消毒液需要 元．
(1)求甲、乙两种消毒液的单价；
(2)为节约成本，该校购买散装消毒液进行分装，现需将 的消毒液全部装入最大容量分别为 和
的两种空瓶中 每瓶均装满 ，若分装时平均每瓶需损耗 ，请问如何分能使总损耗最小？求出
此时需要的两种空瓶的数量．
【答案】(1)甲种消毒液的单价为 元，乙种消毒液的单价为 元
(2)分装成 的 瓶， 的 瓶时，总损耗最小，此时需要 的空瓶 个， 的空瓶
个
【分析】（1）设甲种消毒液的单价为 元，乙种消毒液的单价为 元，根据“购买 瓶甲种和 瓶乙种消
毒液需要 元，购买 瓶甲种和 瓶乙种消毒液需要 元”，列出二元一次方程组，解之即可；
（2）设分装 的免洗手消毒液 瓶， 的免洗手消毒液 瓶，根据需将 的消毒液进行分装
且分装时平均每瓶需损耗 ，列出二元一次方程，结合 ， 均为非负整数得出各分装方案，选择
最小的方案即可．
（1）
解：设甲种消毒液的单价为 元，乙种消毒液的单价为 元，
依题意得： ，解得： ，
答：甲种消毒液的单价为 元，乙种消毒液的单价为 元；
（2）
设需要 的空瓶 个， 的空瓶 个，
依题意得： ，
，
， 均为非负整数，
或 或 ，
当 ， 时，总损耗为 ；
当 ， 时，总损耗为 ；
当 ， 时，总损耗为 ；
，
分装成 的 瓶， 的 瓶时，总损耗最小，此时需要 的空瓶 个， 的空瓶 个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是： 找准等量关系，
正确列出二元一次方程组； 找准等量关系，正确列出二元一次方程．
题型09 二元一次方程组的应用——数字问题
例题：一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大63，这样的两位数共
有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】设原两位数的个位为x， 十位为y，则这个两位数为10y+x， 所以交换其个位数与十位数的位置，
所得新两位数为10x+y，再列方程10x+y−10y−x=63， 找出符合条件的正整数解即可．
【详解】解：设原两位数的个位为x， 十位为y， 则这个两位数为10y+x，
交换其个位数与十位数的位置，所得新两位数为10x+y，
则10x+y−10y−x=63，
整理得：x−y=7，
又∵x，y为正整数，且0
