文档内容
5.4 二元一次方程与一次函数
题型一 二元一次方程（组）与一次函数的关系
1．以方程 的解 为坐标的所有点组成的图形是函数 的图象；以方程 的解
为坐标的所有点组成的图形是函数 的图象；用函数观点看，解方程组 的含义是
解得当自变量取 时，函数 和函数 有相同的函数值 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一
对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数时，因此方程组的解就是两个相应的
一次函数图象的交点坐标．
利用一次函数与二元一次方程的关系和一次函数与二元一次方程组的关系解决问题．
【详解】解：以方程 的解 为坐标的所有点组成的图形是函数 的图象；以方程的解 为坐标的所有点组成的图形是函数 的图象；用函数观点看，解方程组
的含义是解得当自变量取 时，函数 和函数 有相同的函数值 ．
故答案为：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．
2．利用一次函数的图象解二元一次方程组
【答案】
【分析】此题考查一次函数与二元一次方程组的联系，在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的交
点坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个
一次函数的图象的交点．先把两个方程化成一次函数的形式，然后在同一坐标系中画出它们的图象，交点
的坐标就是方程组的解．
【详解】解：画出函数 与 的图象，
列表：
0 2
2
0 2
描点，连线，如图所示，两个一次函数与 与 的交点坐标为 ；
因此方程组 的解 ．
题型二 根据交点坐标求方程组的解
3．如图，直线 与 交于一点，则方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握一次函数与方程组的关系．根据两条直线的
交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组成方程组的解即可直接得到答案．
【详解】解：由图可知，直线 与 交点 ，
方程组 的解是 ，
故选：C．
4．如图，直线 与 相交于点A，则关于x的方程 的解是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图像和交点问题，属于简单题，熟悉一次函数图像交点的含义是解题的关
键．
根据一次函数图像的交点即为方程的解，即可解答．
【详解】解：∵直线 与 相交于点 ，
∴关于x的方程 的解是 ．
故选：D．
5．若一次函数 与 的图象交点为 ，则二元一次方程组 的解为
．
【答案】
【分析】方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满
足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，因此联立两函数所得方程组的解，即为两函数
图象的交点坐标．
【详解】解：一次函数 与 的图象交点为 ，
所以 ， 就可以同时满足两个函数解析式，
则 是二元一次方程组 的解，
故答案为： ．
6．如图，直线 和直线 交于点A，则方程组 的解是【答案】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，即两个一次函数图像的交点坐标就是其对应的二
元一次方程组的解，这是解决此类问题的关键知识点．本题可根据一次函数与二元一次方程组的关系来求
解方程组的解．
【详解】解： 直线 和直线 交于点 ，
方程组 的解就是点 的坐标 ．
故答案为： ．
7．在平面直角坐标系中，一次函数 和 的图象如图所示，则关于 的方程组
的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握函数图象法是解题关键．结合函数图象，根据
两个一次函数的交点坐标即可得出答案．【详解】解：由函数图象可知，一次函数 与 的交点坐标为 ，
所以关于 的方程组 的解是 ，
故答案为： ．
题型三 根据函数解析式联立方程组求交点坐标
8．已知 是一次函数 与一次函数 的交点，则 点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数图象交点问题，联立两个一次函数的解析式，求方程组的解即可得到交点P的
坐标．
【详解】解方程组
解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
9．函数 与 的图象如图所示，则 ．
【答案】【分析】本题考查一次函数的图象与性质．解题关键是：利用两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数
的解析式这一性质，先求出交点坐标（通过将已知的x值代入其中一个函数求出y值，得到交点坐标），
再将交点坐标代入另一个函数，从而求出未知系数 的值．
【详解】解：当 时，
把 ， 代入 得：
故答案为： ．
10．如图，两条直线 ， 的交点坐标是 ，可以看作方程组 的解．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查了一次函数图象与二元一次方程组的关系，熟悉一次函数图像中的交点表示的含义及二
元一次方程组的解是解此题的关键．先根据图中两条直线的位置和已知点，确定直线的方程，然后求出这
两条直线的交点坐标，最后将交点坐标与方程组对应起来即可．
【详解】解：由图可知，直线 通过点 和点 ，设直线 的解析式为 ，直线 通过点
和点 ，设直线 的解析式为 ，
∴设方程组 ， ，
解得 ， ，∴直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，
联立直线 和 得 ，解得 ，
∴直线 和 的交点坐标为 ，
此时方程组的解可根据直线 和 的解析式表示．
故答案为： ， ．
11．若直线 经过一次函数 和 的交点，求 的值．
【答案】
【分析】此题主要考查了两直线相交问题，正确得出两函数的交点坐标是解题关键．
首先根据题意得出两函数的交点坐标，进而得出 的值．
【详解】解：由题意可得： ，
解得： ，
故两函数的交点坐标为： ，
把 ， 代入 ，
则 ，
解得： ．
题型四 根据任意两组变量的值确定一次函数解析式
12．某商场购进一批商品，销售一段时间后发现销售量y（单位：个）与售价x（单位：元/个）之间成一
次函数关系，部分数据如下表所示：
x 40 50
y 170 150
y与x之间的函数表达式为 ．【答案】
【分析】本题考查了一次函数的解析式求解，掌握利用待定系数法，将已知点代入一次函数表达式，解方
程组求出系数是解题的关键．
已知销售量 与售价 成一次函数关系，所以设函数表达式为 ，再将表格中的两组数据代入，通
过解方程组求出 和 的值，从而得到函数表达式．
【详解】解：设 与 之间的函数表达式为 ，
将 ， 和 ， 分别代入 ，得到：
用第二个方程减去第一个方程可得： ，解得 ，
把 代入 ，得：
，即 ，
解得 ，
∴方程组的解为：
所以 与 之间的函数表达式为
故答案为： ．
13．已知一次函数的图象经过点 和 ，求这个一次函数的解析式．
【答案】利用待定系数法即可求得函数的解析式．
【详解】设一次函数的解析式为 ，
则 ，
解得 ，
所以一次函数的解析式为 ．
14．已知一次函数的图象经过点 和点 ，求这个一次函数的解析式．【答案】
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式．运用待定系数法求解，设这个一次函数的解析式为 ，
将点 和点 代入，求出k，b的值，即可解答．
【详解】解：设这个一次函数的解析式为 ，
∵该函数图象经过点 和点 ，
∴ ，解得 ，
∴这个一次函数的解析式为 ．
15．已知一次函数的图象过 和 两点．
(1)求此一次函数的解析式；
(2)若点 在这个函数图象上，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了求一次函数解析式和求一次函数的自变量或函数值．熟练掌握求一次函数解析式和求
一次函数的自变量或函数值是解题的关键．
（1）设一次函数的解析式为 ，将 和 两点代入求解即可；
（2）点 满足函数解析式，将 代入函数解析式计算即可．
【详解】（1）解：设一次函数的解析式为 ，
把 和 代入得 ，解得 .，
所以此一次函数的解析式为 ；
（2）把 代 得 ，所以 ．
16．已知一次函数的图象经过 和 两点，求一次函数的解析式．
【答案】 ．
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式．根据待定系数法求解析式即可．
【详解】解：设一次函数解析式 ，将点 ， 代入得
，
解得 ，
所以，一次函数解析式为： ．
17．如图，直线 经过A，B两点．
(1)求直线AB的函数表达式．
(2)若直线AB分别交x轴、y轴于C，D两点，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法，将 两点坐标代入直线解析式，求解 和 的值，得到直线 的函数
表达式；
（2）先求出直线 与 轴、 轴的交点 的坐标，再根据三角形面积公式计算 的面积．
【详解】（1）解： 点 ，点 ，解得
直线AB的函数表达式为
（2）解： 当 时， ，当 时， ，
点 ，点 ，
，
．
【点睛】本题考查一次函数的解析式求解与三角形面积计算，掌握用待定系数法求一次函数解析式，结合
函数与坐标轴交点求三角形面积是解题的关键．
题型一 根据交点坐标求方程组的解（需要变形）
1．如图，直线 ， 的交点坐标可以看作是下列方程组的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查二元一次方程组与一次函数的关系．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程
组的解．
两个一次函数的交点为两个一次函数解析式所组成方程组的解．因此本题需根据图中直线所经过的点的坐标，用待定系数法求出两个一次函数的解析式．然后联立两个函数的解析式，即可得出所求的方程组．
【详解】解：由图可知：直线 过 ， ，因此直线 的函数解析式为： ；
直线 过 ， ，因此直线 的函数解析式为： ；
因此所求的二元一次方程组为： 即
故选：A．
2．已知函数 的图象与函数 的图象的交点坐标为 ，则方程组
的解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，已知交点坐标，根据一次函数的交点坐标即为两个
一次函数解析式组成的二元一次方程组的解即可．
【详解】解：把两个一次函数图象的交点坐标 代入函数 的图象与函数
得：
的解为： ,
方程组 化为：
.
解这个方程组得： .故答案为：
题型二 确定实际问题中的一次函数解析式
3．陕西省近年来不断推进储能项目发展．重力储能是一种新型储能方式，它能通过提升或放下重物实现
能量的储存或释放．重力储能分为两部分：①输入电能提升重物，储存能量；②放下重物，释放能量输出
电能．某风力发电站采用了这种储能方式．测量人员对储能过程进行了一次 的监控，其中储存的能量
与时间 各段成一次函数关系，请你根据绘制的图象回答下列问题．
(1)求 段的函数表达式．
(2)根据数据分析，该重力储存系统的储存效率为 （储存能量与输入电能之比），综合效率为 （输
出电能与输入电能之比）．请你计算该发电站在这一天中运行几小时后损失的电能达到了 ．
【答案】(1) 段的函数表达式
(2)运行 小时后损失的电能达到了
【分析】本题主要考查了一次函数的运用，掌握待定系数法，理解图示的含义是解题的关键．
（1）根据图示，运用待定系数法即可求解；
（2）由图可知： 小时为储存能量阶段， 小时为释放电能阶段，一天循环两个周期，先求出第一
周期的电能损失，再求出剩下的电能损失在第二周期所用时间即可得答案．
【详解】（1）解：根据图示得到， ， ，设 的解析式为 ，
∴ ，
解得， ，∴ 段的函数表达式 ；
（2）解：由图可知： 小时为储存能量阶段， 小时为释放电能阶段，一天循环两个周期，
∵ ，重力储存系统的储存效率为 ，
∴输入的电能为 ，
∵综合效率为 ，
∴ 小时损失的电能为 ，
∵损失的电能达到 ，
∴第二周期损失电能为： ，
∴第二周期所需时间为： （小时），
（小时），
∴在这一天中运行 小时后损失的电能达到了 ．
题型三 根据方程组解的情况判断对应直线的位置关系
4．若方程组 有无穷多组解，则直线 不经过第 象限．
【答案】四
【分析】本题主要考查了一次函数图象所经过的象限，方程组的解，
根据方程组有无穷组解可得 ，求出解可得一次函数关系式，即可得出答案.
【详解】解：∵方程组 有无穷组解，
∴ ，
解得 ，
一次函数关系式为 ，则一次函数 经过第一，二，三象限，
所以不经过第四象限.
故答案为：四.
题型四 求直线与坐标轴围成的三角形的面积
5．如图，直线 与 轴交于点 ，与直线 在第二象限交于点 ，且 ，
，则方程组 的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一
对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的
一次函数图象的交点坐标．
作 交 于点 ，根据三角形面积公式计算出 ，根据勾股定理得到 ，从而得到
，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【详解】解：作 交 于点 ，∵ ，且 ，
∴ ，
解得： ，
在 中，由勾股定理可得： ，
∴ ，
∴ ，
∴点 坐标为 ，
∴方程组 的解为 ，
故答案为：
6．已知直线 和直线 相交于点P，直线 , 分别与x轴相交于点A，B．
(1)求点P的坐标；
(2)求 的面积．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）依据题意，可得方程组， ，计算即可得解；
（2）依据题意，分别求出A、B的坐标，再结合 ，进而可以计算得解．【详解】（1）解：由题意， ，解得 ，
；
（2）解：在 ，令 ，则 ，
，
在 ，令 ，则 ，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了两条直线相交问题、一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，求得交点坐标
是解题的关键．
7．如图，点O为坐标原点，已知直线 经过点 ，与x轴交于点A．
(1)求b的取值；
(2)若直线 与直线 相交于点C，求 的面积；
(3)在x轴上存在一点P，使得 是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)5(3) 、 、 、
【分析】本题主要考查了待定系数法、平面直角坐标系中求三角形面积、等腰三角形、一次函数与方程组
等知识点，准确地运用坐标系下点的坐标特征以及分类讨论思想是解题的关键．
（1）把 代入 求解即可；
（2）如图：连接 ，求出点C坐标，再利用 以及坐标系和三角形面积公式求解
即可；
（3）根据勾股定理得 ，再分 、 、 三种情况求解即可．
【详解】（1）解：把 代入 可得：
，解得： ．
（2）解：如图，连接 ，
由（1）可得： ，
∴ ，即 ，
∵ ，解得： ，
∴ ，
∴．
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
设点P坐标为 ，
①当 时 ，即 ，
∴ ，
∴ 或 ；
②当 时，则点P和点A关于 对称，
∴ ；
③当 时 ，
∴ ，解得： ，
∴ ．
综上，点P的坐标为 、 、 、 ．
题型五 新定义问题8．定义：一次函数 和一次函数 为“逆反函数”．如 和
为“逆反函数”．如图，一次函数 的图象分别交 轴、 轴于点B，A．
(1)请写出一次函数 的“逆反函数” 的解析式：_____；若点 在 的函数图象上，则 的值是
_____．
(2)若一次函数 图象上的一点 也是它的“逆反函数” 图象上的点．
①求点 的坐标．
②求 的面积．
【答案】(1) ；
(2)①点 的坐标为 ；②
【分析】本题考查的是一次函数性质及两直线交点问题，
（1）根据新定义得出 的解析式，进而求出 的值；
（2）①联立表达式求出两直线交点；②先求出点B坐标，进而求出面积．
【详解】（1）解：一次函数 的“逆反函数” 的解析式： ；
把点 代入 ，
，
，
故答案为： ， ．
（2）解：①由题意，可得 是两个函数的交点，即 ，解得 ，
，
点 的坐标为 ．
②由两个函数解析式，可知点C的坐标 ，
函数 ，当 时，
，
，
的面积 ．
9．定义：形如 的函数称为正比例函数 的“分移函数”，其中 叫“分移值”．
例如，函数 的“分移函数”为 ，其中“分移值”为1．
(1)已知点 在 的“分移函数” 的图象上，求 的值；
(2)已知点 ， 在函数 的“分移函数”的图象上，求 的值；
(3)点 ， ．已知函数 的“分移函数”中的“分移值”为5，且此“分移函数”的
图象与线段 有两个交点，请直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由 ，故将点 代入解析式 即可；（2）将点 ， 代入函数 的“分移函数”的解析式，可得关于m和b的二元一
次方程组，求解即可；
（3）根据函数 的“分移函数”图像，通过计算函数图像分别过点A和过点B时k的值，即可确
定图像与线段 有两个交点时k的取值范围．
【详解】（1）解：∵当 时， ，
∴将点 代入 ，
得
解得，
（2）根据题意，将点 代入 ，
得 ①
将点 代入 ，
得 ②
①+②得 ，
∴ ；
（3）∵函数 的“分移函数”的“分移值”为5，
∴ ，
当 时，函数图象与线段 没有交点，
当 时，当函数图象经过点 时，将点 的坐标代入 ，解得 ，此时该“分
移函数”的图象也经过点 ．即当 时，此“分移函数”的图象与线段 有两个交点．再结合
该“分移函数”的图象易得，当此“分移函数”的图象与线段 有两个交点时， 的取值范围为
故 的取值范围为：
【点睛】本题考查了一次函数与新定义的综合，涉及待定系数法求解析式，分段函数，一次函数的图像和
性质，理解“分移函数”的含义并运用数形结合思想是解题的关键．【观察发现】
如图，将含有 的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作雨线，这样就得到了
两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用．
【探究迁移】
（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线 与x轴，y轴分别交于A，B两点．
①则 ；
②C，D是正比例函数 图象上的两个动点，连接 ，若 ，则 的最小值
是 ；
（2）如图2，一次函数 的图象与y轴，x轴分别交于A，B两点．将直线 绕点A逆时针旋转
得到直线l，求直线l对应的函数表达式；
【拓展应用】
（3）如图3，点A在x轴负半轴上， ，过点A作 轴交直线 于点B，P是直线
上的动点，Q是y轴上的动点，若 是以动点Q为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写
出所有符合条件的点Q的坐标．【答案】（1）① ；② ；（2） ；（3）点Q的坐标为 或
【详解】（1）①求出 ，可得 是等腰直角三角形，故 ；②当 时，
取得最小值，求出 的值，证明 ，即得 ，即 的最小值是 ；
（2）过B作 直线l于H，过H作 轴交x轴于N，过A作 于M，求出 ，
设 ，可证 ，则 ，求出 ，即可得直线l的函数表达式；
（3）设 ，分两种情况求解：当P在x轴的上方时和当P在x轴的下方时．
【解答】解：（1）①在 中，令 得 ，令 得 ；
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ；
故答案为： ；
②由垂线段最短知，当 时， 取得最小值，如图：∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 的最小值是 ，
故答案为： ；
（2）过B作 直线l于H，过H作 轴交x轴于N，过A作 于M，如图：
在 中，令 得 ，令 得 ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∴ ，
设直线l的函数表达式为 ，把 ， 代入得：
，
解得 ，
∴ ；
（3）设 ，
当P在x轴的上方时，过P作 轴于M，如图：
由 ，同（2）可证 ，∴ ；
∴ ，
解得 ，
∴ ；
当P在x轴的下方时，过Q作 轴交 于N，过P作 于M，如图：
则 ，
同（2）可证 ，
∴ ；
即 ，
解得 ，
∴ ，综上，点Q的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及等腰直角三角形的性质、垂线段最短、全等三角形的判定
与性质等知识点，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
