4.8讲难点探究专题：一次函数的综合与新定义型函数(7类热点题型讲练)（原卷版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_旧版_05习题试卷

第 08 讲 难点探究专题：一次函数的综合与新定义型函数(7 类热点题 型讲练) 目录 【类型一 一次函数图象共存综合问题】................................................................................................................1 【类型二 一次函数含参数中的图象和性质】........................................................................................................4 【类型三 一次函数中平移问题】............................................................................................................................9 【类型四 一次函数中的规律探究问题】..............................................................................................................14 【类型五 一次函数——分段函数】......................................................................................................................18 【类型六 绝对值的一次函数】..............................................................................................................................21 【类型七 新定义型一次函数】..............................................................................................................................27 【类型一 一次函数图象共存综合问题】 例题：（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考开学考试）如图，一次函数 与正比例函数 （m、n是常数，且 ）的图象的是（ ） A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【变式训练】 1．（2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）如图所示，两条直线 与 在同一直角坐标系 中的图像位置可能是（ ） A． B． C． D．2．（2023秋·湖北咸宁·九年级统考开学考试）如图，一次函数 与正比例函数 （m，n为 常数，且 ）的图象是（ ） A． B． C． D． 3．（2023春·河北承德·八年级统考期末）在同一平面直角坐标系中，函数 和 的图象可 能是（ ） A． B． C． D． 4．（2023春·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考阶段练习）在同一坐标系中，直线 ： 和 ： 的位置可能是( ) A． B． C． D． 【类型二 一次函数含参数中的图象和性质】 例题：（2023春·山东滨州·八年级统考期末）对于y关于x的函数 （k是常数， ），下 列结论中正确结论的序号是（ ） ①其图象是一条直线； ②其图象必经过点 ； ③若其图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是 ； ④若y随x的增大而增大，则其图象与y轴的交点必定在正半轴上． A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【变式训练】 1．（2023春·广东广州·八年级统考期末）已知一次函数 （ ，k是常数），则下列结论正确的是（ ） A．若点 在一次函数 的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2； B．若 ，则一次函数 图象上任意两点 和 满足： C．一次函数 的图象不一定经过第三象限 D．若对于一次函数 和 ，无论x取任何实数，总有 ，则k 的取值范围是 或 2．（2023春·江西南昌·八年级统考期末）对于一次函数 ，下列叙述正确的是（ ） A．当 时，函数图象经过第一、二、三象限 B．当 时， 随 的增大而增大 C．当 时，函数图象一定交于 轴的负半轴 D．函数图象一定经过点 3．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）对于一次函数 ，下列结论正确的是（ ） A．当 时， 随着 的增大而减小 B．当 时， 随着 的增大而增大 C．当 时，图象一定经过点 D．当 时，图象一定经过点 4．（2023春·广东珠海·八年级统考期末）关于x的一次函数yk1xk2（k为常数且k1），①当 k 0时，此函数为正比例函数；②无论k取何值，此函数图象必经过(1,1)；③若函数图象同时经过点 (m,a)和点(m1,a1)（m，a为常数），则k 2；④无论k取何值，此函数图象都不可能同时经过第二、 三、四象限，上述结论中正确的序号有（ ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 5．（2023秋·福建漳州·八年级统考期末）关于一次函数ya2xb，现给出以下结论： ①当a2时， y 的值随着x值的增大而增大； ②将该函数图象向下平移2个单位后得到直线y2x1，则a4，b1； 1 ③若点m，3b和m1，3a7均在该函数图象上时，则a b2； 2 ④若它的图象与直线y2x1是关于x轴对称，则a4，b1． 其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号） 【类型三 一次函数中平移问题】 例题：（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，直线 分别与 轴、 轴交于点 、 ，把直线 沿 轴向下平移3个单位长度，得到直线 ，且直线 分别与 轴、 轴交于点C、D． (1)求直线 对应的函数表达式； (2)求四边形 的面积． 【变式训练】 1．（2023春·全国·八年级专题练习）若点 在直线 上，把直线 的图像向上平移2 个单位，所得的直线表达式为______． 2．（2023·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，将直线 先向左平移2个单位长度，再向下 平移3个单位长度，平移后的新直线与x轴的交点为 ，则m的值为___________． 3．（2023春·安徽淮南·八年级校考期末）把一次函数 的图象 进行平移后，得到的图象 的解析式 是 ，有下列说法：①把 向下平移4个单位，②把 向上平移4个单位，③把 向左平移4个单位， ④把 向右平移4个单位．其中正确的说法是______（把你认为正确说法的序号都填上）． 4．（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形 在第一象限， 且 轴，直线 沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形 截得的线段长为a，直 线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形 的面积为 ___________． 5．（2023·陕西西安·西北大学附中校考模拟预测）如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于 点 ，将直线 平移到直线 ，直线 与 轴交于点 ，点 与点 ，点 与点 分别是平移前后的对应点， 若线段 在平移过程中扫过的图形面积为 ，求点 的坐标．6．（2023秋·江苏镇江·八年级统考期末）将正比例函数 的图象平移后经过点 ． (1)求平移后的函数表达式； (2)求平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积． 【类型四 一次函数中的规律探究问题】 例题：（2023·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，直线l：y=x+1与y轴交于点A，如图所示， 1 依次作正方形OABC ，正方形C ABC ，正方形C ABC ，正方形C ABC ，点A，A，A，A，…在直 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 1 2 3 4 线l上，点C ，C ，C ，C ，…在x轴正半轴上，则A 的坐标是_____； 的坐标是 _____． 1 2 3 4 4 【变式训练】 1．（2023·山东枣庄·校考一模）如图 、 、 都是等腰直角三角形，直角顶点 、 ， 均在直线 上，直线 的解析式为 ，点 的横坐标为 ，根据此规律第 个等腰直角三角形 的面积为_____________．2．（2023春·河北石家庄·八年级石家庄市第四十一中学校考期中）如图，已知 、 、 在直线 上，按照如图所示方法分别作等腰 面积为 ，等腰 面积为 ，（其中点 都在 轴正半轴上， 都为顶角， ），若 ，则 ______，则 ______． 3．（2023·河北·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ，…．在x轴正半轴上，点 ， ， ，…，在直线 上．已知点 ，且 ， ， ，…均为等 边三角形． （1）线段 的长度为_________； （2）点 的坐标为_________； （3）线段 的长度为_________．【类型五 一次函数——分段函数】 例题：（2021·河南·郑州枫杨外国语学校八年级期中）在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线 画函数图象，结合图象研究函数性质的过程．小红对函数 的图象和性质进行了如下探究， 请同学们认真阅读探究过程并解答： （1）请同学们把小红所列表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象： x … -1 0 1 2 3 4 5 6 … … ﹣2 ﹣1 0 2 2 2 … y （2）根据函数图象，以下判断该函数 性质的说法，正确的有 ． ①函数图象关于y轴对称； ②此函数无最小值； ③当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变． （3）若直线y＝ x+b与函数y＝ 的图象只有一个交点，则b＝ ． 【变式训练】 1．（2022·吉林松原·八年级期末）已知函数 ， （1）该函数图象与 轴交点的纵坐标是 ； （2）在平面直角坐标系 中画出该函数的图象；（3）若点 是该函数图象上一点，点 的坐标是 ．当 的面积为 时，求点 的坐标； （4）当直线 与该函数图象有两个交点时，直接写出 的取值范围． 【类型六 绝对值的一次函数】 例题：（2022·河南·长葛市教学研究室八年级期末）小慧根据学习函数的经验，对函数 的图象与性 质进行了探究． x … －1 0 1 2 3 … y … b 1 0 1 2 … 下面是小慧的探究过程，请补充完成： (1)函数 的自变量x的取值范围是______； (2)列表，找出y与x的几组对应值．其中，b＝_____； (3)在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；(4)函数 的最小值为____________． (5)结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：_________________． 【变式训练】 1．（2022·河南漯河·八年级期末）有这样一个问题：探究函数y＝|x＋1|的图象与性质．下面是小明的探 究过程，请补充完整： (1)函数y＝|x＋1|的自变量x的取值范围是 ； (2)下表是x与y的几组对应值． x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 4 3 2 m 0 1 2 3 4 … m的值为 ； (3)在如图网格中，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (4)小明根据画出的函数图象，写出此函数的两条性质． 2．（2022·湖北襄阳·八年级期末）请根据学习函数经验，对函数 的图象与性质进行探究．(1)在函数 中，自变量x的取值范围是_________． (2)下表是x与y的对应值： x … 0 1 2 3 … … 4 3 2 m 2 3 4 … ① ________； ②若 为该函数图象上不同的两点，则 __________﹔ (3)在如图的直角坐标系中： ①描出上表中各对对应值的坐标的点，并根据描出的各点，画出该函数的大致图象； ②根据函数图象可得，该函数的最小值为__________； ③结合函数图象，写出该函数除②外的一条性质：____________． 3．（2021·河南许昌·八年级期末）我们学习了正比例函数、一次函数的图象与性质后，进一步研究函数y ＝|x|的图象与性质． （1）我们知道 ，请利用以前所学知识在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象；（2）通过观察图象，写出该函数的一条性质： ； （3）利用学过的平移知识，说说函数y＝|x﹣4|＋1是怎样由函数y＝|x|平移得来的？并利用（1）中给出 的平面直角坐标系画出函数y＝|x﹣4|＋1图象． 【类型七 新定义型一次函数】 例题：（2022·江苏南通·八年级期中）对于给定的两个函数，任取自变量 的一个值，当 时，它们对应 的函数值互为相反数；当 时，它们对应函数值相等，我们称这样的两个函数互为“和谐函数”． 例如，一次函数 ，它的“和谐函数”为 ． (1)一次函数 的“和谐函数”为______； (2)已知点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，函数 的“和谐函数”与线段 有且只有 一个交点，求 的取值范围． 【变式训练】 1．（2023秋·安徽六安·八年级校考期末）在平面直角坐标系 中，对于点 和 ，给出如下 定义： 如果 ，那么称点 为点 的“关联点”，例如：点 的“关联点”为点 ，点 的“关联点”为点(1)点 的“关联点”为 ，则 ______； (2)①如果点 是一次函数 图象上点 的“关联点”，那么点 的坐标为______； ②如果点 是一次函数 图象上点 的“关联点”，求点 的坐标 2．（2023秋·贵州安顺·九年级统考期末）定义：已知点 中的 ， 为常数且 ，无论实数 取何值，点 都在直线 上，我们就称直线l为点P的“恒定线”．例如：点 ，无 论实数a取何值，点 都在直线 上，即当 时， ，则直线 是点 的 “恒定线”． (1)已知直线 ，它是 的“恒定线”．(填序号) ①点 ；②点 ；③点 (2)若点 ，求点 的“恒定线”的解析式． (3)已知点 ， 为任意实数，当m变化时，点 在它的“恒定线”上运动，若点 的“恒定 线”与两条坐标轴围成了等腰直角三角形，求此时 的值． 3．（2023春·八年级课时练习）定义：对于一次函数 ，我们称函数 为函数 的“组合函数”. (1)若m=3，n=1，试判断函数 是否为函数 的“组合函数”，并说明理由;(2)设函数 与 的图像相交于点P. ①若 ，点P在函数 的“组合函数”图像的上方，求p的取值范围； ②若p≠1，函数 的“组合函数”图像经过点P.是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数 p，都有“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变?若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标;若不存在， 请说明理由.