4.8讲难点探究专题：一次函数的综合与新定义型函数(7类热点题型讲练)（解析版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_旧版_05习题试卷

第 08 讲 难点探究专题：一次函数的综合与新定义型函数(7 类热点题 型讲练) 目录 【类型一 一次函数图象共存综合问题】................................................................................................................1 【类型二 一次函数含参数中的图象和性质】........................................................................................................4 【类型三 一次函数中平移问题】............................................................................................................................9 【类型四 一次函数中的规律探究问题】..............................................................................................................14 【类型五 一次函数——分段函数】......................................................................................................................18 【类型六 绝对值的一次函数】..............................................................................................................................21 【类型七 新定义型一次函数】..............................................................................................................................27 【类型一 一次函数图象共存综合问题】 例题：（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考开学考试）如图，一次函数 与正比例函数 （m、n是常数，且 ）的图象的是（ ） A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【答案】D 【分析】利用正比例函数的图象和一次函数的图象逐一判断即可求解． 【详解】解：①、由正比例函数图象得： ，由一次函数图象得： ，且 ，则 ，则① 错误，故不符合题意； ②、由正比例函数图象得： ，由一次函数图象得： ，且 ，则 ，则②正确，故符合 题意； ③、由正比例函数图象得： ，由一次函数图象得： ，且 ，则 ，则③错误，故不符 合题意；④、由正比例函数图象得： ，由一次函数图象得： ，且 ，则 ，则④正确，故符合 题意， 故选D． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象和一次函数的图象，熟练掌握其图象是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）如图所示，两条直线 与 在同一直角坐标系 中的图像位置可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据选项，结合一次函数图像与表达式系数的关系逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、由选项中直线 的图像可知 ，则断定直线 图像正确，该选项符 合题意； B、由选项中直线 的图像可知 ，则断定直线 图像错误，该选项不符合题意； C、由选项中直线 的图像可知 ，则断定直线 图像错误，该选项不符合题意； D、由选项中直线 的图像可知 ，则断定直线 图像错误，该选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数图像与表达式系数的关系，掌握此类题型的解题方法是解决问题的关键． 2．（2023秋·湖北咸宁·九年级统考开学考试）如图，一次函数 与正比例函数 （m，n为 常数，且 ）的图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别分析四个选项中一次函数和正比例函数m和n的符号，即可进行解答． 【详解】解：A、由一次函数图象得： ，由正比例函数图象得： ，符合题意； B、由一次函数图象得： ，由正比例函数图象得： ，不符合题意； C、由一次函数图象得： ，由正比例函数图象得： ，不符合题意； D、由一次函数图象得： ，由正比例函数图象得： ，不符合题意； 故选：A．【点睛】本题主要考查了一次函数和正比例函数的图象，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数图象与 系数的关系． 3．（2023春·河北承德·八年级统考期末）在同一平面直角坐标系中，函数 和 的图象可 能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定a、b的符 号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确. 【详解】解：A、若函数 图象经过第一、三、四象限，则 ， ，此时函数 的图 象应经过第一、二、三象限；若函数 图象经过第一、二、四象限时，则 ， 时，此时函数 的图象应经过第二、三、四象限，故选项A错误，不符合题意； B、若函数 图象经过第一、二、四象限时，则 ， 时，此时函数 的图象应经过第 二、三、四象限，故选项B错误，不符合题意； C、若函数 图象经过第一、二、三象限，则 ， ，此时函数 的图象应经过第一、 二、四象限；若函数 图象经过第二、三、四象限时，则 ， 时，此时函数 的图 象应经过第一、三、四象限，故选项C错误，不符合题意； D、若函数 图象经过第一、二、三象限，则 ， ，此时函数 的图象应经过第一、 三、四象限；若函数 图象经过第一、三、四象限时，则 ， 时，此时函数 的图 象应经过第一、二、三象限，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象与性质，正确记忆一次函数图象经过象限与系数关系是解题关键. 4．（2023春·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考阶段练习）在同一坐标系中，直线 ： 和 ： 的位置可能是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数和一次函数的图像与性质，对平面直角坐标系中两函数图像进行讨论即可得出答 案．【详解】A、由正比例函数图像可知 ，即 ，故由一次函数图像与y轴的交点在原点的上方，故 选项A不符合题意； B、由正比例函数图像可知 ，即 ，故由一次函数图像与y轴的交点在原点的上方，但 无 法判断正负，因此增减都可以，故选项B符合题意； C、由正比例函数图像可知 ，即 ，故由一次函数图像与y轴的交点在原点的下方，故选项C不 符合题意； D、由正比例函数图像可知 ，即 ，故由一次函数图像与y轴的交点在原点的上方，故选项D不 符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查的是正比例函数和一次函数的图像与性质，熟练掌握正比例函数和一次函数的图像 与性质是解决本题的关键． 【类型二 一次函数含参数中的图象和性质】 例题：（2023春·山东滨州·八年级统考期末）对于y关于x的函数 （k是常数， ），下 列结论中正确结论的序号是（ ） ①其图象是一条直线； ②其图象必经过点 ； ③若其图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是 ； ④若y随x的增大而增大，则其图象与y轴的交点必定在正半轴上． A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断后，即可得出结论． 【详解】解：∵ （k是常数， ）， ∴y是关于x的一次函数，其图象是一条直线，故①正确； 当 时， ， ∴其图象必经过点 ；故②正确； 当其图象经过第二、三、四象限时， ，解得： ，故③正确； 若y随x的增大而增大，则： ， ∴ ， 则其图象与y轴的交点必定在正半轴上，故④正确； 故选A． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质．熟记一次函数的图象和性质，是解题的关键．【变式训练】 1．（2023春·广东广州·八年级统考期末）已知一次函数 （ ，k是常数），则下列结论正 确的是（ ） A．若点 在一次函数 的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2； B．若 ，则一次函数 图象上任意两点 和 满足： C．一次函数 的图象不一定经过第三象限 D．若对于一次函数 和 ，无论x取任何实数，总有 ，则k 的取值范围是 或 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质和图象求解即可． 【详解】解：A、把 代入 得： ，解得： ， ∴ ， 当 时， ， 时， ，如图所示， ∴与两个坐标轴围成的三角形面积是 ，故A错； B、∵ ，∴ ， ∴一次函数y随x增大而增大，如图所示，∴若 ，则 ， ∴ ，故B错； C、假设一次函数不经过第三象限，则需 ， ， 由B得：当 时， ， ∴一次函数 的图象一定经过第三象限，故C错； D、当 时，要想 ，则 ，解得： ，即 ，如图所示， 当 时，要想 ，则 即可，如图所示， 综上所述：k的取值范围是 或 ，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，灵活运用所学知识是关键． 2．（2023春·江西南昌·八年级统考期末）对于一次函数 ，下列叙述正确的是（ ） A．当 时，函数图象经过第一、二、三象限 B．当 时， 随 的增大而增大 C．当 时，函数图象一定交于 轴的负半轴 D．函数图象一定经过点 【答案】D 【分析】根据一次函数图象与系数的关系对A、B、C进行判断，根据一次函数图象上点的坐标特征对D进 行判断． 【详解】解：A. 当 时， ，函数图象经过第一、三、四象限，故A错误，不符合题意；B. 当 时， 随 的增大而减小，故B错误，不符合题意； C. 当 时， ，函数图象一定交于 轴的正半轴，故C错误，不符合题意； D.把 代入 得， ，所以函数图象一定经过点 ，故D正确， 符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数 （ 为常数， ）是一条直线， 当 时，图象经过一、三象限， 随 的增大而增大，当 时，图象经过二、四象限， 随 的增大 而减小，图象与 轴的交点坐标为 ． 3．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）对于一次函数 ，下列结论正确的是（ ） A．当 时， 随着 的增大而减小 B．当 时， 随着 的增大而增大 C．当 时，图象一定经过点 D．当 时，图象一定经过点 【答案】D 【分析】由题意知，当 时， 随着 的增大而增大，进而可判断A的正误；当 时， 随着 的增 大而减小，进而可判断B的正误；当 时， ，当 ，y2，即图象经过点(0,2)，进而可 判断C的正误；当k 0时，ykx13，当x=1，y3，即图象一定经过点(1,3)，进而可判断D 的正误． 【详解】解：由题意知，当k 0时， y 随着x的增大而增大，A错误，故不符合要求； 当k 0时， y 随着x的增大而减小，B错误，故不符合要求； 当k 1时，yx2， 当x0，y2，即图象经过点(0,2)，C错误，故不符合要求； 当k 0时，ykx13，当x=1，y3，即图象一定经过点(1,3)，D正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 4．（2023春·广东珠海·八年级统考期末）关于x的一次函数yk1xk2（k为常数且k1），①当 k 0时，此函数为正比例函数；②无论k取何值，此函数图象必经过(1,1)；③若函数图象同时经过点 (m,a)和点(m1,a1)（m，a为常数），则k 2；④无论k取何值，此函数图象都不可能同时经过第二、 三、四象限，上述结论中正确的序号有（ ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质依次判断即可． 【详解】解：①当k 0时，则yx2，为一次函数，故①错误； ②整理得：yx1kx2，∴x1时，y1， ∴此函数图象必经过(1,1)，故②正确； ③把(m,a)和(m1,a1)代入yk1xk2中， a(k1)mk2① 得： ，  a1(k1)m1k2② ②①得：1k1， 解得：k 2，故③错误； ④当k10时，即k 1， 则k21， ∴此函数图象都不可能同时经过第二、三、四象限， 故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解决本题的关键． 5．（2023秋·福建漳州·八年级统考期末）关于一次函数ya2xb，现给出以下结论： ①当a2时， y 的值随着x值的增大而增大； ②将该函数图象向下平移2个单位后得到直线y2x1，则a4，b1； 1 ③若点m，3b和m1，3a7均在该函数图象上时，则a b2； 2 ④若它的图象与直线y2x1是关于x轴对称，则a4，b1． 其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①④ 【分析】利用函数的增减性质可判断①；利用平移的性质可判断②；把两个点的坐标分别代入，解方程组 消去m，可判断③；根据轴对称的性质可判断④． 【详解】解：①当a2时，则a20，故 y 的值随着x值的增大而增大；故①说法正确； ②将该函数图象向下平移2个单位后，得到ya2xb2， 则a22，b21， 解得a4，b3，故②说法错误； ③若点 m，3b 和 m1，3a7 均在该函数图象上时， 3ba2mb2 则 ，  3a7a2m1b2 1 解得a b4，故③说法错误； 2 1  ④直线 y2x1 与 x 轴交于点 2 ，0  ，与 y 轴交于点0，1，1 依题意得 ，0 a2b， b=-1 2 解得a4，故④说法正确； 综上，正确的说法有①④， 故答案为：①④． 【点睛】本题考查的是两条直线相交或平行问题，一次函数图象与系数的关系，数形结合解题是关键． 【类型三 一次函数中平移问题】 例题：（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，直线 分别与 轴、 轴交于点 、 ，把 直线 沿 轴向下平移3个单位长度，得到直线 ，且直线 分别与 轴、 轴交于点C、D． (1)求直线 对应的函数表达式； (2)求四边形 的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直线 对应的函数表达式为： ，将点 、 代入，待定系数法求 解析式即可； （2）根据一次函数的平移规律得出直线 对应的函数表达式为： ，求得 ，根 据四边形 的面积为 ，即可求解． 【详解】（1）设直线 对应的函数表达式为： ， 将点 、 代入，得。 ， 解得： 。∴直线 对应的函数表达式为 （2）把直线 ： 沿 轴向下平移3个单位长度，得到直线 ， ∴直线 对应的函数表达式为： ， ∵直线 分别与 轴、 轴交于点C、D． 令 ，得 ，令 ，得 ， ∴ . ∴四边形 的面积为 ． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点问题，一次函数的平移，掌握一次函数 的性质是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023春·全国·八年级专题练习）若点 在直线 上，把直线 的图像向上平移2 个单位，所得的直线表达式为______． 【答案】 【分析】把点 代入 中，确定直线的解析式，再运用直线的平移规律计算即可． 【详解】点 代入 中，得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为 ， ∴ 的图像向上平移2个单位得到的解析式为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了解析式与点的坐标的关系，直线平移的规律，熟练掌握直线平移的规律是解题的关键． 2．（2023·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，将直线 先向左平移2个单位长度，再向下 平移3个单位长度，平移后的新直线与x轴的交点为 ，则m的值为___________． 【答案】 【分析】根据平移的规律求出平移后的直线解析式，然后代入 ，即可求出m的值． 【详解】解：将直线 先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到 ，即 ， ∴平移后的直线与x轴交于 ， ∴ ，解得 ， 故答案为 ． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，平移中点的变化规律是： 横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 3．（2023春·安徽淮南·八年级校考期末）把一次函数 的图象 进行平移后，得到的图象 的解析式 是 ，有下列说法：①把 向下平移4个单位，②把 向上平移4个单位，③把 向左平移4个单位， ④把 向右平移4个单位．其中正确的说法是______（把你认为正确说法的序号都填上）． 【答案】①④/④① 【分析】根据一次函数图象的平移规律逐个判断即可得． 【详解】解：①把 向下平移4个单位所得的函数解析式为 ，即为 ，则此说法正确； ②把 向上平移4个单位所得的函数解析式为 ，即为 ，则此说法错误； ③把 向左平移4个单位所得的函数解析式为 ，即为 ，则此说法错误； ④把 向右平移4个单位所得的函数解析式为 ，即为 ，则此说法正确； 综上，正确的说法是①④， 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题关键． 4．（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形 在第一象限， 且 轴，直线 沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形 截得的线段长为a，直 线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形 的面积为 ___________． 【答案】8 【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得矩形的边长 ， 的长，从而可以求得矩形的面积． 【详解】解：如图所示，过点 、 分别作 的平行线，交 、 于点 、 ． 由图象和题意可得 ， ， ， ， 则 ， ， 矩形 的面积为 ． 故答案为：8．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数 形结合的思想解答． 5．（2023·陕西西安·西北大学附中校考模拟预测）如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于 点 ，将直线 平移到直线 ，直线 与 轴交于点 ，点 与点 ，点 与点 分别是平移前后的对应点， 若线段 在平移过程中扫过的图形面积为 ，求点 的坐标． 【答案】 【分析】根据一次函数与坐标轴的交点可求 的坐标，根据平移的性质，可得四边形 是平行四边 形，根据线段 在平移过程中扫过的图形面积为 ，可得点 的坐标，由此可知点的平移规律，由此即 可求解． 【详解】解：如图，连接 ， 对于直线 ，令 ，∴ ， 令 ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ． ∴ ， ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， 又∵点 向下平移 个单位，向左平移 个单位得到 ， ∴点 向下平移 个单位，向左平移 个单位得到 ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查一次函数图像的变换，理解并掌握一次函数平移的特点，平行四边形的性质是解题 的关键． 6．（2023秋·江苏镇江·八年级统考期末）将正比例函数 的图象平移后经过点 ． (1)求平移后的函数表达式； (2)求平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一次函数平移规律，设平移后的解析式为 ，将点 ，待定系数法求解析式 即可求解； （2）根据解析式求得与坐标轴的交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，设平移后的解析式为 ，将点 ，代入得， ， 解得： ， ∴平移后的函数表达式为： ； （2）解：由 ，令 ，解得 ，令 ，解得： ， 如图，设一次函数 ，分别与坐标轴交于点 ， 则 ∴平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为 ． 【点睛】本题考查了一次函数的平移，待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴围成的三角形的面积， 根据平移求得解析式是解题的关键． 【类型四 一次函数中的规律探究问题】 例题：（2023·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，直线l：y=x+1与y轴交于点A，如图所示， 1 依次作正方形OABC ，正方形C ABC ，正方形C ABC ，正方形C ABC ，点A，A，A，A，…在直 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 1 2 3 4 线l上，点C ，C ，C ，C ，…在x轴正半轴上，则A 的坐标是_____； 的坐标是 _____． 1 2 3 4 4 【答案】 （7，8） （2n-1-1，2n-1） 【分析】由题意可得A1，A2，A3，A4的坐标，可得点A坐标规律，即可求解． 【详解】解：由题意可得正方形OA1B1C1边长为1， 正方形A2B2C2C1的边长为2， 正方形A3B3C3C2的边长为4， … 正方形AnBnCnCn-1的边长为2n-1， ∴A1（0，1），A2（1，2），A3（3，4），A4（7，8），…，An（2n-1-1，2n-1）， 故答案为：（7，8），（2n-1-1，2n-1）．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，利用 数形结合的思想解答． 【变式训练】 1．（2023·山东枣庄·校考一模）如图 、 、 都是等腰直角三角形，直角顶点 、 ， 均在直线 上，直线 的解析式为 ，点 的横坐标为 ，根据此规律第 个等腰直角三角形 的面积为_____________． 【答案】 【分析】分别过点 、 ， 作 轴的出现，垂足分别为 ，先求得 ， , ，找到规律即可求解． 【详解】解：如图所示，分别过点 、 ， 作 轴的出现，垂足分别为 ， ∵ 在 ，且 的横坐标为1 ∴ , ∴ ， 设 ，则 ， ∴ 的横坐标为 ， ∴ ， 代入 ，即 ， 解得： ， ∴ ， 同理可得 ，……，∴ ， , ……， ∴根据此规律第 个等腰直角三角形 的面积为， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了一次函数规律题，找到规律是解题的关键． 2．（2023春·河北石家庄·八年级石家庄市第四十一中学校考期中）如图，已知 、 、 在直线 上，按照如图所示方法分别作等腰 面积为 ，等腰 面积为 ，（其中点 都在 轴正半轴上， 都为顶角， ），若 ，则 ______，则 ______． 【答案】 1 675 【分析】关键一次函数图像上点的坐标特征，得到 的纵坐标，然后根据三角形面积公式求出三 角形的面积，得到变化规律进行求解． 【详解】解：∵ 、 、 ，…，在直线 上， ∴ ， ， ， ，…， ； 又∵ ， 故 ∴ ；； ； ； … ∴S （n为奇数）， （n为偶数）， ∴ ． 故答案是：1；675． 【点睛】本题考查一次函数上点的坐标特征，根据特殊点的坐标得到变化规律是解决问题的关键． 3．（2023·河北·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ，…．在x轴正半轴上，点 ， ， ，…，在直线 上．已知点 ，且 ， ， ，…均为等 边三角形． （1）线段 的长度为_________； （2）点 的坐标为_________； （3）线段 的长度为_________． 【答案】 （22021，0） 【分析】设等边△BnAnAn+1的边长为an，由y= x得出∠AnOBn=30°，再结合等边三角形的性质及外角 的性质即可得出∠OBnAn=30°，∠OBnAn+1=90°，从而得出BnBn+1= an，设An的坐标为（an，0），由 点A1的坐标为（1，0），得到a1=1，a2=1+1=2，a3=1+a1+a2=4，a4=1+a1+a2+a3=8，…，an=2n-1．即可求得A2022的坐标B1B2= a1= ，B2021B2022= a2020= ×22020=22020 ． 【详解】解：设等边△BnAnAn+1的边长为an， ∵点B1，B2，B3，…是在直线y= x（x≥0）上的第一象限内的点， ∴∠AnOBn=30°， 又∵△BnAnAn+1为等边三角形， ∴∠BnAnAn+1=60°， ∴∠OBnAn=30°，∠OBnAn+1=90°， ∴BnBn+1=OBn= an， ∵点A1的坐标为（1，0）， 设An的坐标为（an，0）， ∴a1=1，a2=1+1=2，a3=1+a1+a2=4，a4=1+a1+a2+a3=8，…， ∴an=2n-1． ∴A2022（22021，0）． ∴B1B2= a1= ，B2021B2022 a2021= ×22020=22020 ． 故答案为：B1B2= a1= ，A2021A2022=22020，2021B2022 a2021= ×22020=22020 ． 【点睛】本题考查了坐标规律变换，一次函数的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，解题的 关键是根据等边三角形边的特征找出边的变化规律AnAn+1=an=2n-1． 【类型五 一次函数——分段函数】 例题：（2021·河南·郑州枫杨外国语学校八年级期中）在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线 画函数图象，结合图象研究函数性质的过程．小红对函数 的图象和性质进行了如下探究， 请同学们认真阅读探究过程并解答： （1）请同学们把小红所列表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象： x … -1 0 1 2 3 4 5 6 … … ﹣2 ﹣1 0 2 2 2 … y（2）根据函数图象，以下判断该函数 性质的说法，正确的有 ． ①函数图象关于y轴对称； ②此函数无最小值； ③当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变． （3）若直线y＝ x+b与函数y＝ 的图象只有一个交点，则b＝ ． 【答案】（1）见解析；（2）②③；（3） 【分析】（1）根据所给的函数解析式填表，然后描点连线即可得到答案； （2）根据函数图像进行逐一判断即可； （3）根据函数图像可知，只有当直线 经过点（3，2）时，才满足题意，由此求解即可． 【详解】解：（1）列表如下： x … -1 0 1 2 3 4 5 6 … … ﹣2 ﹣1 0 1 2 2 2 2 … y 函数图像如下图所示： （2）根据函数图像可知，这个函数图像不关于y轴对称，故①错误； 观察函数图像可知，此函数没有最小值，故②正确； 观察图像可知当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变，故③正确； 故答案为：②③；（3）∵直线 与函数 只有一个交点， ∴根据函数图像可知，只有当直线 经过点（3，2）时，才满足题意， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像与性质，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的图像与性质． 【变式训练】 1．（2022·吉林松原·八年级期末）已知函数 ， （1）该函数图象与 轴交点的纵坐标是 ； （2）在平面直角坐标系 中画出该函数的图象； （3）若点 是该函数图象上一点，点 的坐标是 ．当 的面积为 时，求点 的坐标； （4）当直线 与该函数图象有两个交点时，直接写出 的取值范围． 【答案】（1） ；（2）见解析；（3）点 或 ；（4） 且 【分析】（1）令x＝0，求得y＝3，即可求解； （2）根据两点法画出函数图像； （3）分两种情况讨论：设点P（m，m−3），当m＞3时， ×AO×（m−3）＝6；当m＜3时， ×AO× （3−m）＝6，分别求出m即可求解；（4）当直线y＝kx＋1与y＝x−3平行时，k＝1，所以k＜1时，直线y＝kx＋1与函数有两个交点；当直线y ＝kx＋1经过点（3，0）时，3k＋1＝0，所以k＞ 时，直线y＝kx＋1与函数有两个交点，即可求出k的 取值范围． 【详解】解：（1）解：（1）令x＝0，则y＝3， ∴函数图象与y轴的交点为（0，3）， ∴函数图象与 轴交点的纵坐标是：3， 故答案是：3； （2）如图： （3）当 时，设点 ， ∵ 的面积 ∴ ，解得： ， ∴点 ； 同理，当 时，点 ； 综上， 或 ； （4）当直线y＝kx＋1与y＝x−3平行时，k＝1，此时直线y＝kx＋1与函数有一个交点， ∴k＜1时，直线y＝kx＋1与函数有两个交点， 当直线y＝kx＋1经过点（3，0）时，3k＋1＝0， ∴k＝ ， ∵直线y＝kx＋1经过点（0，1）， ∴k＞ ， ∴k＞ 时，直线y＝kx＋1与函数有两个交点， ∴ ＜k＜1且k≠0直线y＝kx＋1与函数有两个交点． 【点睛】本题考查一次函数的综合，熟练掌握两点法画函数图象，数形结合解题是关键．【类型六 绝对值的一次函数】 例题：（2022·河南·长葛市教学研究室八年级期末）小慧根据学习函数的经验，对函数 的图象与性 质进行了探究． x … －1 0 1 2 3 … y … b 1 0 1 2 … 下面是小慧的探究过程，请补充完成： (1)函数 的自变量x的取值范围是______； (2)列表，找出y与x的几组对应值．其中，b＝_____； (3)在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (4)函数 的最小值为____________． (5)结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：_________________． 【答案】(1)任意实数 (2)2 (3)见解析 (4)0 (5)x<1时，y随x增大而减小；x>1时，y随x增大而增大；图象关于直线y=1对称（写一条即可） 【分析】（1）根据一次函数的性质即可得出结论； （2）把x=-1代入函数解析式，求出y的值即可； （3）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可； （4）根据函数图象即可得出结论． （5）根据函数图象解答即可． （1） ∵x无论为何值，函数均有意义， ∴x为任意实数． 故答案为：任意实数；（2） ∵当x=-1时，y=|-1-1|=2， ∴b=2． 故答案为：2； （3）如图， （4） 由函数图象可知，函数的最小值为0． 故答案为：0． （5） x<1时，y随x增大而减小；x>1时，y随x增大而增大；图象关于直线y=1对称（写一条即可）． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键． 【变式训练】 1．（2022·河南漯河·八年级期末）有这样一个问题：探究函数y＝|x＋1|的图象与性质．下面是小明的探 究过程，请补充完整： (1)函数y＝|x＋1|的自变量x的取值范围是 ； (2)下表是x与y的几组对应值． x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 4 3 2 m 0 1 2 3 4 … m的值为 ； (3)在如图网格中，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (4)小明根据画出的函数图象，写出此函数的两条性质．【答案】(1)任意实数 (2)1 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据题目中的函数解析式，可知x的取值范围； （2）根据函数解析式可以得到m的值； （3）根据表格中的数据可以画出相应的函数图象； （4）根据函数图象可以写出该函数的性质． （1） 解：在函数y=|x+1|中，自变量x的取值范围是x为任意实数， 故答案为：任意实数； （2） 解：当x=-2时，m=|-2+1|=1， 故答案为：1； （3） 解：描点、连线，画出函数的图象如图： ； （4） 解：由函数图象可知， ①函数有最小值为0； ②当x＞-1时，y随x的增大而增大； ③图象关于过点（-1，0）且垂直于x轴的直线对称．（任写两条即可） 【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象， 利用数形结合的思想解答． 2．（2022·湖北襄阳·八年级期末）请根据学习函数经验，对函数 的图象与性质进行探究． (1)在函数 中，自变量x的取值范围是_________． (2)下表是x与y的对应值： x … 0 1 2 3 … … 4 3 2 m 2 3 4 …① ________； ②若 为该函数图象上不同的两点，则 __________﹔ (3)在如图的直角坐标系中： ①描出上表中各对对应值的坐标的点，并根据描出的各点，画出该函数的大致图象； ②根据函数图象可得，该函数的最小值为__________； ③结合函数图象，写出该函数除②外的一条性质：____________． 【答案】(1)x的取值范围是全体实数 (2)① ﹐② (3)①见解析；②1；③函数关于y轴对称 【分析】（1）没做要求一次函数自变量取值范围都是全体实数 （2）①把x=0代入函数即可求得m的值 ②y=10代入函数即可求得n （3）①作图见解析 ②由图可见最小值为1 ③言之有理即可． 【详解】解：（1）自变量x的取值范围是全体实数； （2）① ﹐② ﹔ （3）①图象如图所示．②最小值为1； ③函数关于y轴对称 （或当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小） 【点睛】本题考查一次函数的性质和自变量、应变量的变化取值，掌握这些是本题关键． 3．（2021·河南许昌·八年级期末）我们学习了正比例函数、一次函数的图象与性质后，进一步研究函数y ＝|x|的图象与性质． （1）我们知道 ，请利用以前所学知识在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象； （2）通过观察图象，写出该函数的一条性质： ； （3）利用学过的平移知识，说说函数y＝|x﹣4|＋1是怎样由函数y＝|x|平移得来的？并利用（1）中给出 的平面直角坐标系画出函数y＝|x﹣4|＋1图象． 【答案】（1）见解析；（2）当x＞0时，y随x的增大而增大；（答案不唯一）（3）由函数y＝|x|向右平 移4个单位，再向上平移1个单位得来的，见解析． 【分析】（1）通过列表、描点、画图，在平面直角坐标系中画出函数 的图象： （2）根据图象得出结论； （3）根据平移的性质即可求得． 【详解】解：（1）列表： 0 1 2 3 3 2 1 0 1 2 3 描点、连线画出函数 的图象如图：（2）由图象可知，当 时， 随 的增大而增大（答案不唯一）， 故答案为当 时， 随 的增大而增大（答案不唯一）； （3）函数 是由函数 向右平移4个单位，再向上平移1个单位得来的， 利用（1）中给出的平面直角坐标系画出函数 图象如图所示． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，坐标与图形变换 平移，能根据图象得出正确信息是解此题 的关键． 【类型七 新定义型一次函数】 例题：（2022·江苏南通·八年级期中）对于给定的两个函数，任取自变量 的一个值，当 时，它们对应 的函数值互为相反数；当 时，它们对应函数值相等，我们称这样的两个函数互为“和谐函数”． 例如，一次函数 ，它的“和谐函数”为 ． (1)一次函数 的“和谐函数”为______； (2)已知点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，函数 的“和谐函数”与线段 有且只有 一个交点，求 的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）根据“和谐函数”的定义即可求得； （2）先求出函数y=3x-2的“和谐函数”，然后求出y=4时的x值，再根据题意可得不等式组−