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第五章 投影与视图
5.1 投影
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2021·辽宁·沈阳市清乐围棋学校九年级阶段练习）小红和小花在路灯下的影子，小红的比小花的长，
则他们的身高关系是（ ）
A．小红比小花高 B．小红比小花矮
C．小红和小花一样高 D．不确定
【答案】D
【分析】根据中心投影的特点，小红和小花在同一路灯下的影长与他们到路灯的距离有关，不能判断谁的
身高的高与矮．
【详解】小红的影子比小花的长，在同一路灯下他们的影长与他们到路灯的距离有关，所以无法判断谁的
身高的高与矮．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，中心投影的光
线特点是从一点出发的投射线，熟练掌握其原理是解题的关键．
2．（2022·全国·九年级专题练习）中心投影的投影线（ ）
A．相互平行 B．交于一点 C．是异面直线 D．在同一平面内
【答案】B
【解析】略
3．（2022·全国·九年级专题练习）下列哪种光源的光线所形成的投影不能称为中心投影（ ）
A．探照灯 B．太阳 C．路灯 D．台灯
【答案】B
【解析】略
4．（2022·河南平顶山·九年级期末）下列结论正确的有（ ）
①同一时刻，同一公园内的物体在阳光照射下，影子的方向是相同的②物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的
③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关
④物体在点光源照射下，影子的长短仅与物体的长短有关
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】利用平行投影和中心投影的特点进行逐项分析即可．
【详解】解：①由于太阳光线是平行光线，所以物体在阳光照射下，影子的方向是相同的，故正确；
②物体在太阳光线照射下影子的方向都是相同的，在灯光的照射下影子的方向与物体的位置有关，故错误；
③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关，故正确；
④物体在点光源的照射下，影子的长短与物体的长短和光源的位置有关，故错误．
所以正确的只有2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行投影和中心投影的特点，解题关键是理解：平行投影的特点是：在同一时刻，不
同物体的物高和影长成比例；中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近
的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光
源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
5．（2022·江苏·东海实验中学三模）三根等长的木杆竖直地立在平地的同一个圆周上，圆心处有一盏灯光，
其俯视图如图所示，图中画出了其中一根木杆在灯光下的影子．下列四幅图中正确画出另两根木杆在同一
灯光下的影子的是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】根据中心投影的定义，结合中心投影下物体的影子的位置、长短进行判断即可．
【详解】解：A．根据中心投影的意义，结合中心投影下影子的位置、长短关系可知，选项A符合题意；
B．由于是中心投影，根据三个杆子的位置可知，三个杆子的影子的位置不是同一个方向，因此选项B不
符合题意；
C．根据光源在圆心，结合其影子的位置可知，故选项C不符合题意；
D．利用中心投影下影子位置可得，选项D中的杆子的位置与影子不相匹配，因此选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了中心投影，理解中心投影的意义，掌握中心投影下物体的影子的位置、长短关系
是正确判断的前提．
6．（2022·全国·九年级单元测试）由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射
时，该几何体在水平投影面上的正投影是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【详解】解：从上面看，底层中最右边一个小正方形，上层是三个小正方形，
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
二、填空题
7．（2022·全国·九年级专题练习）作一物体在路灯下的影子时，连接点光源和物体的顶端的点并延长，与地面相交，则与地面的交点和物体的底端之间的线段即为该物体的______．点光源下两个物体的_______
可能在同一个方向，也可能不在同一个方向．
【答案】 影子 影子
【解析】略
8．（2022·全国·九年级专题练习）太阳光线可以看成________，像这样的光线所形成的投影称为_____投
影． 早上物体的影子向西，中午物体的影子向北，傍晚物体的影子向东． 在同一时刻，不同物体的物高
和影长成比例．
【答案】 平行光线 平行
【解析】略
9．（2022·全国·九年级专题练习）_____光线与投影面_____的投影称为正投影．物体的不同摆放角度形成
不同的正投影
【答案】 平行 垂直
【解析】略
10．（2022·全国·九年级专题练习）如图是南昌市某天不同时刻直立的竹竿及其影长（规定上北下南左西
右东），则中午时刻的影长是______．
【答案】④
【分析】在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在
变，方向也在改变，依此进行分析．
【详解】解：根据从早晨到傍晚物体影子的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长的
规律可知时间顺序为③①④⑤②，中午时刻的影长为④．
故答案为：④．
【点睛】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时
刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，熟记在北半球，从早晨到傍晚物体影子的指向是∶
西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长是解题的关键．
三、解答题
11．（2022·全国·九年级单元测试）如图是两根木杆及其影子的图形．(1)这个图形反映的是中心投影还是平行投影？答： ．
(2)请你在图中画出表示小树影长的线段AB．
【答案】(1)中心投影
(2)图见详解
【分析】（1）根据木杆和影子画出投影线，根据投影线是否平行即可判断是中心投影还是平行投影；
（2）根据路灯的位置，与小树顶端连线即可得到小树的影长AB．
（1）
解：如图，分别过两根木杆的顶端与各自影子的顶端画两条直线，相交于点O，
∴这个图形反映的是中心投影；
（2）
解：如图，连接点O与小树的顶端，与水平线相交于点B，小树底端为A，
线段AB即小树影长．
【点睛】本题考查了平行投影和中心投影，根据投影线之间的关系判断出是哪一种投影是解题的关键．
12．（2022·全国·九年级单元测试）（1）一木杆按如图①所示的方式直立在地面上，请在图中画出它在阳
光下的影子（用线段CD表示）．
（2）如图②是两根标杆及它们在灯光下的影子．请在图中画出光源的位置（用点P表示），并在图中画
出蜡烛在此光源下的影子（用线段EF表示）．【答案】（1）作图见解析，（2）作图见解析；
【分析】（1）利用平行投影的性质：光线是平行光线，再作出图形即可．
（2）利用中心投影的性质：光线交于一点，再作出图形即可．
【详解】解：（1）如图①中，线段CD即为所求．
（2）如图②中，线段EF，点P即为所求．
【点睛】本题考查平行投影与中心投影的作图，理解平行投影与中心投影的含义是解本题的关键．
提升篇
一、填空题
1．（2022·浙江·九年级专题练习）小明的身高为1.6m，某一时刻他在阳光下的影子长为2m，与他邻近的
一棵树的影长为10m，则这棵树的高为_____m．
【答案】8
【分析】利用平行投影的特征以及相似三角形的性质可求出答案．
【详解】解：假设树高为hm，由题意可知：
，解得： ，即树高8m．
故答案为：8．
【点睛】本题考查平行投影及相似三角形的性质．关键是理解平行投影的特点：两个物体竖直放在地面上，
两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，利用相似的性质求解.
2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在A时测得某树的影长为4m，B时又测得该树的影长为16m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为______．
【答案】8m
【分析】根据题意，画出示意图，易得： ，进而可得 ；即 ，
代入数据可得答案．
【详解】解：如图：过点C作 ，
由题意得：△EFC是直角三角形， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；即 ，
由题意得： ，
∴ ，
（负值舍去），
故答案为：8m．
【点睛】本题考查了平行投影，相似三角形应用，通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小是平
行投影性质在实际生活中的应用．
3．（2022·全国·九年级单元测试）在同一时刻两根垂直于水平地面的木竿在太阳光下的影子如图所示，其
中木竿 ，它的影子 ，木竿 的影子有一部分落在了墙上 ，
则木竿 的长度为__________．【答案】3m
【分析】过N点作ND⊥PQ于D，根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的影长，再根据此影长列出比
例式求解即可．
【详解】解：如图：过N点作ND⊥PQ于D，
∴四边形DPMN是矩形
∴DN=PM,PD=MN
∴ ，
又∵AB=2.5，BC=2，DN=PM=1.6，NM=1，
∴QD= = =2（m），
∴PQ=QD+DP=QD+NM=2+1=3（m）．
故答案为3m．
【点睛】本题考查了平行投影；在运用投影的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数
学模型是解答本题的关键．
4．（2022·广西·中考真题）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为
2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为______米．
【答案】12
【分析】根据同时、同地物高和影长的比不变，构造相似三角形，然后根据相似三角形的性质解答．【详解】解：设旗杆为AB，如图所示：
根据题意得： ，
∴
∵ 米， 米， 米，
∴
解得：AB=12米．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了中心投影、相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应
边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
5．（2022·浙江温州·中考真题）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在
旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片 ，此时各叶片影子在点M右侧成线
段 ，测得 ，垂直于地面的木棒 与影子 的比为2∶3，则点O，M之间的距离
等于___________米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于___________米．
【答案】 10
【分析】过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作BI⊥OJ，垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，求出CH的长度，根据 ，求出OM的长度，证明
，得出 ， ，求出IJ、BI、OI的长度，用勾股定理求出OB的长，即可算出
所求长度．
【详解】如图，过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作
BI⊥OJ，垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，
由题意可知，点O是AB的中点，
∵ ，
∴点H是CD的中点，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵由题意可知： ，
∴ ，解得 ，
∴点O、M之间的距离等于 ，
∵BI⊥OJ，
∴ ，
∵由题意可知： ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形IHDJ是平行四边形，
∴ ，∵ ，
∴ ， ， ，
∵在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴叶片外端离地面的最大高度等于 ，
故答案为：10， ．
【点睛】本题主要考查了投影和相似的应用，及勾股定理和平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是
解答本题的关键．
二、解答题
6．（2022·云南·南华县龙川初级中学九年级期末）如图，晚上，小亮在广场上乘凉，图中线段AB表示站
在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯．
(1)请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子BC；
(2)如果灯杆高PO=11.6m，小亮的身高AB=1.6m，小亮与灯杆的距离OB=10m，请求出小亮影子的长度．
【答案】(1)见解析(2)小亮影子的长度为1.6m
【分析】（1）直接连接点光源和物体顶端形成的直线与地面的交点即是影子的顶端；
（2）根据中心投影的特点可知△CAB∽△CPO，利用相似比即可求解．
（1）
连接PA并延长交地面于点C，线段BC就是小亮在照明灯（P）照射下的影子，
（2）
在△CAB和△CPO中，
∵∠C＝∠C，∠ABC＝∠POC＝90°
∴△CAB∽△CPO
∴ ，
∴
∴BC＝1.6m，
∴小亮影子的长度为1.6m．
【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影
的特点可知在这两个三角形相似，利用其相似比作为相等关系求出所需要的线段．
7．（2021·陕西渭南·九年级阶段练习）创新数学兴趣小组利用太阳光线测量旗杆 的高度，如图，高1m
的标杆 竖直放置在水平地面上，其影长为 ．
(1)请你在图中画出旗杆 在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子 ；
(2)若小明测得此刻旗杆落在地面的影长 ，请求出旗杆 的高度．
【答案】(1)见解析
(2)【分析】（1）连接AC，过D点作DG//AC交BC于G点，则GE为所求；
（2）先证明Rt ABC∽△Rt DGE，然后利用相似比计算DE的长
（1） △ △
连接AC，过D点作DG//AC交BC于G点，影子EG如图所示；
（2）
∵DG//AC，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得: ，
∴旗杆 的高度为 ．
【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子
就是平行投影．也考查了相似三角形的判定与性质．
8．（2022·福建·宁德市博雅培文学校九年级阶段练习）为了测得一棵树的高度 ，一个小组的同学进行
了如下测量：在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时发现这棵树的影子
不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），测得墙壁上的影长 为1.5米，落在地面
上的影长 为3米．(1)该小组同学是利用______投影的有关知识进行计算的；（填“平行”或“中心”）
(2)求这棵树的高度 ．
【答案】(1)平行
(2)5.25米
【分析】（1）太阳光可认为是平行光线，故太阳光线下形成的投影是平行投影；
（2）在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构
成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在教学楼上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以
及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙
上的影高就是树高．
（1）
太阳光可认为是平行光线，故太阳光线下形成的投影是平行投影；
（2）
设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米．则
解得：x=3.75．
∴树高是3.75+1.5=5.25（米），
答：树高为5.25米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻
的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
