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第一章 整式的乘除
1.6 完全平方公式
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022秋·福建泉州·八年级校考期末）已知 、 不同的两个实数，且满足 、
，当 为整数时， 的值为（ ）
A． 或 B．1 C． D． 或
【答案】C
【分析】根据已知条件 ，得到 ，然后由 为整数，进而得出
结论．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为整数，
∴ 为平方数，
∴ ，
解得 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形，正确掌握做题的方法是解题的关键．
2．（2022秋·陕西渭南·八年级校考阶段练习） （ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】先利用完全平方公式去括号，再求值即可．
【详解】解：
故选：C．
【点睛】本题考查整式的混合运算，解题关键是掌握完全平方公式．
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知 则 的值为（ ）
A． B．3 C．﹣ D．5
【答案】C
【分析】根据完全平方公式得 ，代入 即可求出答案．
【详解】解：将 两边平方得： ，
把 代入得： ，即 ，
故选：C．
【点睛】此题考查了完全平方公式的变形计算，正确掌握完全平方公式是解题的关键．
4．（2021春·山东青岛·七年级华东师范大学青岛实验中学校考期中）若 ，
，在下列判断结果正确是（ ）．
A． B． C． D．无法判断
【答案】C
【分析】根据完全平方公式的变形，将b化简，进而与a比较即可求解
【详解】解： ，
，
故 ．
故选C．
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，掌握完全平方公式的变形是解题的关键．
5．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系，验证
了一个等式，这个等式是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此图形中，一个大正方形的面积 小正方形的面积=四个矩形的面积．
【详解】解：如图，大正方形的面积 ，
小正方形的面积 ，
四个长方形的面积 ，
则由图形知，大正方形的面积 小正方形的面积 四个矩形的面积，
即 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公
式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
6．（2022秋·全国·八年级期末）图（1）是一个长为 ，宽为 的长方形，用剪刀
沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）
那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．
【详解】解：中间部分的四边形是正方形，边长是 ，
则面积是 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键．二、填空题
7．（2022秋·福建泉州·八年级校考期末）若 ，那么 的
值为________．
【答案】4
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把 代入化简后的式子进行计算即可解
答．
【详解】
，
当 ，原式 ，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
8．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）计算 ____________．
【答案】
【分析】利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可得．
【详解】解：原式
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟记乘法公式是解题关键．
9．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末） 是完全平方式，则 ____________．
【答案】
【分析】根据完全平方公式 即可得．
【详解】解： 是完全平方式，
，
，
，
故答案为： ．【点睛】本题考查了完全平方式，熟记公式是解题关键．
10．（2021春·贵州贵阳·八年级贵阳市第十七中学校考期中）如果 ，
那么 ______．
【答案】
【分析】把右边的完全平方公式展开，根据多项式相等，比较两边对应项的系数，即可求
得m的值．
【详解】解： ，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了完全平方公式，两个多项式的相等，应用完全平方公式展开是关键．
三、解答题
11．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的运算法则展开，再合并同类项
即可．
（2）根据乘法公式展开，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．
12．（2022秋·吉林长春·八年级统考期中）先化简，再求值： ，其中
．【答案】 ，
【分析】利用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后把x的值代入化简后的式子进行
计算即可解答．
【详解】解：原式
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
提升篇
一、填空题
1．（2022秋·山东滨州·八年级校考期末）已知 ， ，则 ________，
______， __________．
【答案】 5 4 17
【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则，即可求出 和 的值，再根据完
全平方公式即可求出 的值．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：5，4，17．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法运算法则，幂的乘方运算法则，完全平方公式，
解题的关键是掌握同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相
乘；完全平方公式 ．
2．（2022秋·湖北·八年级统考期末）已知： ， ，则 ＝_____．
【答案】
【分析】将 代入 计算可得．
【详解】解：∵ ，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了代数求值，解题的关键是掌握完全平方公式及其变形．
3．（2022秋·广东江门·八年级统考期末）若 是完全平方式，则 的值为
______．
【答案】 或 ## 或
【分析】根据完全平方公式的特点：首平方，尾平方，首尾两数积的两倍在中央求解即可．
【详解】解：∵ 是完全平方式，
∴ ，
整理得： 或 ，
解得 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如 这
样的式子是完全平方式，属于中考常考题型．
4．（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）已知 ，则
______．
【答案】61
【分析】根据 可得 ， ，然后将原分式适当变形后整体代
入计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
．
故答案为：61．【点睛】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入思想是解题关键．在本题中还需理解
．
5．（2022秋·天津和平·八年级天津一中校考期末）（1）已知 ， ，则
的值为______．
（2）已知 ， ，则 的值为______．
（3）已知x满足 ，则 的值为______．
【答案】 39 5 5
【分析】（1）将 变形为 ，再代入已知条件计算即可；
（2）将 变形为 ，再代入已知条件，即可求出 值，将 变形
为 ，代入即可求解．
（3）将 变形为 ，则
，将 看做成一个整体，化简即可求得
的值．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴
，
故答案为：39；
（2）∵
∴
∵ ，
∴ ，
∴
，
故答案为：5；（3）∵ ，
∴ ，
，
，
，
，
故答案为：5．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握利用完全平方公式变形求代数式值是解
题的关键．
二、解答题
6．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知 ， ，求下列各式的值．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用完全平方差公式变形即可求解；
（2）利用完全平方公式变形，将式子用含 、 的式子表示，再代入求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
【点睛】本题考查了完全平方公式及其变形式，根据公式的特征进行变形是求解的关键．
7．（2022秋·陕西渭南·八年级校考阶段练习）（1）证明：相邻两个奇数的平方的差是8
的倍数．（注释：两个奇数的平方的差：两个奇数各自平方，然后相减）
（2）证明：任意两个奇数的平方的差是4的倍数．
（3）已知 ，求 的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2【分析】（1）表示出相邻两个奇数为： ， ，列出他们平方的差进行计算即可；
（2）表示相互两个奇数为： ， ，列出他们平方的差进行计算即可；
（3）将 ， 转化为底数为3的形式，再利用幂的乘方和同底数幂的乘方运算即可．
【详解】（1）证明：相邻两个奇数的平方的差是8的倍数．（注释：两个奇数的平方的差：
两个奇数各自平方，然后相减）
设：这两个奇数为： ， （注：设为2n-1，2n+1也可以）
则： 是8的倍数，
∴相邻两个奇数的平方的差是8的倍数．
（2）证明：任意两个奇数的平方的差是4的倍数．
设：这两个奇数为： ，
则： 是4的倍数，
∴任意两个奇数的平方的差是4的倍数．
（3）已知 ，求 的值．
．
【点睛】本题考查完全平方公式的运算及同底数幂的乘法和幂的乘方的运算，熟练运用公
式及法则是解决问题的关键．
8．（2022秋·河南周口·八年级校联考阶段练习）如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，
沿图中虚线剪开分成四块完全一样的小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．(1)图2中的阴影部分的正方形的边长是______；
(2)用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，并写出三个代数式 ， ， 之
间的等量关系；
(3)根据（2）中的等量关系，解决问题：若 ， ，求 的值；
(4)根据（2）中的等量关系，直接写出 和 之间的关系；若 ，分
别求出 和 的值．
【答案】(1)
(2)方法一： ，方法二： ， 或
(3)
(4) 的值为4， 的值为12
【分析】（1）图2中，大正方形的边长为： ，横着看， 是由两个b和阴影正方
形的边长构成，相减便得阴影正方形边长；
（2）方法一：图1中已求出阴影正方形的边长，边长乘边长即为面积；方法二：图2长方
形面积减图2非阴影部分面积，即为阴影部分面积；
（3）运用（2）中关系可得 ，代入求解即可；
（4）将m视为a， 视为b，按照上述结论即可解决．
【详解】（1）解：阴影部分的正方形的边长为： ，
故答案为： ；
（2）阴影部分的面积：方法一：利用整体思想，边长为 的正方形其面积为 ，
方法二：利用分割思想，阴影部分面积=边长为 的大正方形面积-4个长为a宽为b的
矩形面积 ，
∴三个代数式之间的数量关系为： ，或： ；
（3）∵ ，且 ， ，
∴ ，
∴ ；
（4）由（2）可得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上， 的值为4， 的值为12．
【点睛】此题利用数形结合的思想，来研究完全平方式之间的联系，以及代数式求值的问
题，属于基础题型．
