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第六章 反比例函数
6.2 反比例函数的图象和性质
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022·广东·深圳市福田区外国语学校九年级期中）对于反比例函数 ，下列说法正确的是
（ ）
A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限
C．当 时， 随 的增大而减小 D．当 时， 随 的增大而增大
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、 ，点 不满足关系式，因此A选项不符合题意；
B、 ；
它的图象在第二、四象限，因此 选项不符合题意；
C、 ；
它的图象在第二、四象限，当 时， 随 的增大而增大，因此C选项不符合题意；
D、 ；
它的图象在第二、四象限，当 时， 随 的增大而增大，因此D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
2．（2022·山东威海·九年级期中）已知点 ， ，在反比例函数 的图像上，则y ，y 的大
1 2
小关系为（ ）
A． B． C． D．无法判断
【答案】B【分析】根据反比例函数的增减性求解即可；
【详解】解：函数 的图像在二、四象限；
当 时， 随 的增大而增大；
∵
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图像的性质；熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．
3．（2022·甘肃天水·八年级期末）下列函数中， 随着 增大而减小而的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数和反比例函数的性质逐个判断求解即可．
【详解】解：A、 中k=3＞0，
∴ 随着 增大而增大，不符合题意；
B、 中k=1＞0，
∴ 随着 增大而增大，不符合题意；
C、 中比例系数为1＞0，
∴在每一象限内y随x的增大而减小，不符合题意；
D、 中k=-3＜0，
∴ 随着 增大而增减小，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了一次函数和反比例函数的增减性，解题的关键是熟练掌握一次函数和反比例函数的增
减性和自变量系数的关系．
4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，双曲线 与直线 相交于A、 两点， 点坐标为
，则A点坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【详解】解： 点A与 关于原点对称，
点的坐标为 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，解题的关键是熟练掌握横纵坐标分别互为相反数．
5．（2022·全国·九年级专题练习）反比例函数 的图象过二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接根据反比例函数的图象与性质计算即可．
【详解】解：∵反比例函数 的图象过二、四象限，
∴ ，
解得 ．
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数 (k是常数， )的图象是双曲线，当
，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 ，反比
例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
6．（2022·全国·九年级专题练习）已知反比例函数 ，下列结论中不正确的是（ ）
A．其图像经过点 B．其图像分别位于第一、第三象限C．当 时，y随x的增大而增大 D．当 时，
【答案】C
【分析】根据反比例函数的图象与性质逐项分析即可．
【详解】解：将 代入解析式，得 ，故A正确，不符合题意；
由于 ，则函数图象过一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故B正确，不符合题意、
C错误，符合题意；
∵ 时， ，且当 时y随x的增大而减小
∴当 时， ，故D正确，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数 (k是常数， )的图象是双曲线，当
，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 ，反比
例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
二、填空题
7．（2022·安徽·安庆市第四中学九年级期中）已知点( )，( )，( )都在反比例函数
的图象上，则 的大小关系______．(用“ ”连接)
【答案】
【分析】根据反比例函数的性质，可得 图象分布在二、四象限，在每一个象限内， 随 的增大而
增大，则 ．
【详解】解：∵ 图象分布在二、四象限，在每一个象限内， 随 的增大而增大，则
．
∴ ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例数图象的性质，掌握反比例数图象的性质是解题的关键．
8．（2022·山东威海·九年级期中）反比例函数 的图象如图所示，点A在该函数图象上，AB垂直于x
轴，垂足为点B，如果 ，那么 ________．
【答案】
【分析】过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得△AOB的面积为矩形面积的一半，即 ．
【详解】设 ，由 可知
，
所以
而点A在第二象限，
则 ，
因为点A是函数图象上的一点，
所以 ，
则
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，反比例函数中 的几何意义，即过双曲线上任意一点引
x轴、y轴垂线，所得矩形面积为 ．9．（2022·山东·济南市大学城实验学校九年级阶段练习）如图，点A、B是反比例 图像上任意两点，
过点A、B分别作x轴、y轴的垂线， ，则 ________．
【答案】4
【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义可得 ，然后将 代入即可求得
，最后求和即可．
【详解】解：∵点A、B是反比例 图像上任意两点，过点A、B分别作x轴、y轴的垂线，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了反比例函数 中k的几何意义，即图像上的点向坐标轴作垂线与坐标轴所围成的矩
形面积 ．
10．（2022·山东淄博·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是函数 图象上的点，
轴，垂足为B，则 的面积为 _____．【答案】6
【分析】根据 轴，垂足为B，即可利用反比例函数k的几何意义得到 ．
【详解】解：∵ 轴，
∴ ，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义，准确计算是解题的关键．
三、解答题
11．（2021·湖北随州·一模）已知一次 的图象与反比例函数 的图象相交．
(1)判断 是否经过点 ．
(2)若 的图象过点 ，且 ．
①求 的函数表达式．
②当 时，比较 ， 的大小．
【答案】(1)过
(2)① ；②当 时， ，当 时， ，当 时，
【分析】（1）根据 ，把点 代入反比例函数，即可；
（2） 把点 代入 ，得 ，根据 ，解出 和 的值，即可得到 的表
达式；根据函数图象，即可比较 ， 的大小．
（1）
∵
∴把点 代入反比例函数，得
∴ 经过点 ．
（2）
∵ 的图象过点
∴把点 代入 ，得
又∵
∴解得 ，
∴
∴ 的函数表达式为：
如图所示：
由函数图象得，当 时， ；当 时， ；当 时， ．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的知识，解题的关键是掌握一次函数与反比例函数图象的性质，
交点的综合问题．
12．（2022·福建泉州·八年级期末）如图，在同一平面直角坐标系中，P是y轴正半轴上的一点，过点P作直线AB//x轴，分别与双曲线y＝﹣ （x＜0）、y＝ （x＞0）相交于点A、B，连接OA、OB，求△AOB
的面积．
【答案】S AOB＝ ．
△
【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可．
【详解】解：∵AB⊥y轴，
∴S OAP＝ ，S OBP＝ ＝2，
△ △
∴S AOB＝S OBP+S OAP＝ +2＝ ．
△ △ △
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是理解反比例函数的比例系数k的几何意义，
属于中考常考题型．
提升篇
一、填空题
1．（2022·陕西·西安市铁一中学九年级期中）如图，矩形 的面积为8，反比例函数 的图象经过
矩形的对角线的交点P，则反比例函数的解析式是______．【答案】
【分析】作 轴， 轴，根据矩形的性质得矩形 的面积= 矩形 的面积= ，
然后根据反比例函数 系数k的几何意义即可得到 ．
【详解】解：如图，作 轴， 轴．
∵点P为矩形 对角线的交点，
∴矩形 的面积= 矩形 的面积= ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴过P点的反比例函数的解析式为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐
标轴围成的矩形面积就等于|k|．
2．（2022·陕西师大附中九年级期中）如图，点 在反比例函数 第二象限内的图象上，点 在 轴
的负半轴上，若 ，则 的面积为______．【答案】4
【分析】设点 的坐标为 ，过点 作 轴，垂足为 ，得到 ， ，根据
得到 ，根据三角形的面积公式得 ，再根据点 在反比例函数 的图象上
得到 ，从而得到答案．
【详解】解：设点 的坐标为 ，过点 作 轴，垂足为 ，
由题意得 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴ ，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查反比例函数、等腰三角形的性质等，熟悉掌握反比例函数的性质、等腰三角形的性质以及三角形的面积公式是本题的解题关键．
3．（2022·浙江·金华市第五中学九年级阶段练习）如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，等腰
Rt△OAB的顶点B在第一象限，直角边OA在y轴上，点P是边AB上的一个三等分点，过点P的反比例函
数 的图象交斜边OB于点Q，△AOQ的面积为3，则k的值为_______．
【答案】 或 ## 或
【分析】过点 作 轴于点 ，根据等腰三角形的性质可设点 、点 ，则点 为 或
，根据反比例函数图象上点的坐标特征结合 的面积为3，即可求出 的值，进而即可得出
值．
【详解】解：过点 作 轴于点 ，如图所示．
为等腰直角三角形， 轴，
为等腰直角三角形，
设点 ，点 ，其中 ，则点 为 或 ．
点 、 在反比例函数 的图象上，
或 ，或 ．
又 ，
或 ，
或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了反比例函数系数 的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形，
根据反比例函数图象上点的坐标特征结合 的面积为3，求出 的值是解题的关键．
4．（2022·安徽安庆·九年级阶段练习）如图，反比例函数 的图象经过矩形 对角线的交点 和
点 ，点 、 在 轴上．
（1）若点 的坐标是 ，则点 的坐标是___________；
（2）若 的面积为6，则 ___________．
【答案】
【分析】（1）设 的中点为M，连接 ，将点 的坐标 代入 中，可得： ，得到反比例
函数为： ，由矩形的性质和三角形中位线定理可得 ，由点M的坐标是 ，可设点E的
坐标为 ，代入 可得： ，即可求解；
（2）如图作 ，由矩形的性质可知 ，设E点坐标为 ，则A点坐标为 ，根据点A，E在反比例函数 上，根据反比例函数系数的几何意义可列出 ，根据 的面积
可列出等式，进而求出k的值．
【详解】解：（1）设 的中点为M，连接 ，
将点 的坐标 代入 中，
可得： ，
∴反比例函数为： ，
∵四边形 是矩形，
∴ 与 互相平分且相等，
∴点E为 的中点，
∴ ，
∵点 的坐标是 ，
∴点M的坐标是 ，
∵ ，
∴点E与点M的纵坐标相同，
设点E的坐标为 ，
代入 可得： ，
∴点 的坐标是 ，
（2）如图作 ，则 ，设E点坐标为 ，则A点的纵坐标为 ，
则可设A点坐标为坐标为 ，
∵点A，E在反比例函数 上，
∴ ，解得： ，故 ，
∴OC=3c，
故 ，解得： ，
∴ ，
故答案为： ；8．
【点睛】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，反比例函数的图形，反比例函数系数k的几何意义，
能够熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决本题的关键．
5．（2023·辽宁·大连理工大学附属学校九年级阶段练习）给出下列函数：① ；② ；③
；④ （x＞0）．其中y随x的增大而减小的函数是_____________．
【答案】②④##④②
【分析】利用正比例函数、一次函数、反比例函数的性质，分别对每个选项进行判断即可．
【详解】解：①正比例函数 ， ，故y随x的增大而增大，故不符合题意；
②一次函数 ， ，故y随x的增大而减小，故符合题意；
③反比例函数 ，取： ， 时，有 ，但 ；故不符合题意；
④反比例函数 ， ，故在第一象限内y随x的增大而减小，故符合题意；
故答案为：②④．【点睛】此题主要考查正比例函数、一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握每一种函数的性质以及函数
的自变量取值的范围是解此题的关键．
二、解答题
6．（2022·四川巴中·九年级阶段练习）反比例函数 和一次函数 的图象如图所示，化
简：
【答案】
【分析】先由反比例和一次函数图像确定a和b的取值范围，把 化为 ，利用
再根据范围去绝对值号完成化简即可．
【详解】解：由图像可得： ，
∴ ，
，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图像与系数的关系，去绝对值号去二次根号，注意符号变化
是解决问题的关键．
7．（2021·四川成都·三模）如图，已知A（-4， ），B（﹣1，a）是一次函数 与反比例函数
（m≠0，x＜0）图像的两个交点，AC⊥ 轴于C，BD⊥ 轴于D
(1)求m、a的值及一次函数表达式；
(2)P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
【答案】(1)m＝﹣2，a＝2，
(2)
【分析】（1）把A、B的坐标分别代入函数表达式，即可得到答案．
（2）首先设P点的坐标为（m，n），然后分别用m、n表示出△ACP和△BDP的面积，根据题意列出等
式，又因为点P在函数 上，将P点坐标代入小问1中求得的函数表达式中，解关于m、n的二元
一次方程组即可得到答案．
（1）
解：∵反比例函数 图像经过A（-4， ），B（﹣1，a）∴
解得
∵一次函数 经过点A（-4， ）
∴ = ×（-4）+b
∴b=
∴一次函数表达式为
（2）
解：设P点坐标为（-m，n），过P作AC、BD的垂线，分别交于F、E；
由上知：A（-4， ），B（-1,2）
∴AC= ，OC=4，BD=1，OD=2
∴PF=4-m，PE=2-n
∴ ，∵ ，点P在一次函数 上
∴
解得
∴P点坐标为（- ， ）
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的图像和解析式，涉及到二元一次方程、三角形的面积、平面
直角坐标系等相关知识，掌握并熟练使用相关知识、精准识图、注意在解题过程中需注意的事项是本题的
解题关键．
8．（2022·安徽·固镇县汉兴学校九年级期中）如图，在x轴的正半轴上依次截取
，过点 分别作x轴的垂线与反比例函数 的图像相
交于点 得直角三角形 并设其面积分别为
．
(1)求 的坐标
(2)求 的值；
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据 结合反比例函数解析式求出 即可；
（2）根据反比例函数 中 的几何意义再结合图像进行解答．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 的横坐标为 ， 的横坐标为 ， 的横坐标为 ．．． 的横坐标为 ，
∵ 均在反比例函数 上，
∴ ；
（2）∵过双曲线任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积 是一
个定值， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数上点的坐标特征，反比例函数 中 的几何意义，熟练掌握反比例
函数的性质以及 的几何意义是解本题的关键．
