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专练 05 填空题-提升（20 题）
1．（2022·上海·八年级期末）在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AD是△ABC中∠CAB的平分线，点E
在直线AB上，如果DE=2CD，那么∠ADE=____________.
【答案】127.5°或7.5°
【解析】
解：如图，过D作DF⊥AB于F，
∵AD平分∠CAB，DF⊥AB，DC⊥AC，
∴DF=DC，∠ADF=67.5°，
当点E在线段AB上时，
∵DE=2CD=2DF，∠DFE=90°，
∴DEF=30°，∠EDF=60°，
∴∠ADE=∠ADF-∠EDF=67.5°-60°=7.5°；
当点E在线段AB的延长线上时，同理可得∠ADE=∠ADF+∠EDF=67.5°+60°=127.5°；
综上述：∠ADE=7.5°或127.5°．
【点睛】
本题考查角平分线的性质和直角三角形的性质，解决问题的关键是遇到角平分线作垂线段．
2．（2022·河南·永城市教育体育局教研室八年级期末）如图，在锐角△ABC中，∠BAC 40°，∠BAC的
平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM MN有最小值时，
_____________°．
【答案】50
【解析】
如图，在AC上截取AE=AN，连接BE，
∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴∠EAM=∠NAM，
∵AM=AM，
∴△AME≌△AMN，
∴ME=MN，
∴BM+MN=BM+ME≥BE．
∵BM+MN有最小值．
当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，
∴∠ABM=90°-∠BAC=90°-40°=50°；
故答案为：50．【点睛】
本题考查的是轴对称－最短路线问题，通过最短路线求出角度；解答此类问题时要从已知条件结合图形认
真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最短路线，代入即可求出度数．
3．（2022·河南信阳·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以线段AB为直
角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，AB=AC，∠BAC=90°，则点C坐标为_______．
【答案】（7，4）
【解析】
解：作CD⊥x轴于点D，则∠CDA=90°，
∵A（4，0），B（0，3），
∴
是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
又∵∠BAD+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAD，
∠BAD+∠CAD=90°，
在△BOA和△ADC中，
∴△BOA≌△ADC（AAS），∴BO=AD=3，OA=DC=4，
∴点C的坐标为（7，4）；
故答案为：（7，4）
【点睛】
本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
4．（2022·河北唐山·八年级期末）如图， 是等边三角形， 于点D， ，则 的
度数为______．
【答案】 ##105度
【解析】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴ ， ，
∵AD⊥BC，
∴ 平分 ，即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为
【点睛】
此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和的性质，解题的关键是灵活运用相关
性质进行求解．5．（2022·贵州铜仁·八年级期末）关于x的不等式组 有三个整数解，则a的取值范围是
__________．
【答案】
【解析】
解①得
解②得
不等式组的解集为
关于x的不等式组有三个整数解
整数解为9，10，11
解得
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查对解一元一次不等式（组），不等式的性质，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和
掌握，能根据不等式组的解集和已知得出 是解此题的关键．
6．（2022·广西贵港·八年级期末）若关于 的不等式组 有解，则 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
解：
由不等式①得x<3，由不等式②得 ，
因为不等式组有解
所以 ，
解得m<4，
故答案为：m<4．
【点睛】
本题考查利用一元一次不等式组有解求字母参数的取值范围，解题关键是列出关于字母参数的不等式．
7．（2021·四川省成都市七中育才学校八年级期末）如图，直线 与 交点的横坐
标为 ．则关于 的不等式 的解集为______．
【答案】
【解析】
解： 直线 与 的交点的横坐标为 ，
关于 的不等式 的解集为 ，
时， ，
不等式 的解集为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式等知识，解题的关键是学会利用图象法解不等式问题．
8．（2022·山东淄博·八年级期末）如图，将Rt△ABC绕斜边AB的中点P旋转到 的位置，使得
，则旋转角等于______.【答案】90°
【解析】
解：设 与AB交于点F，
∵ ，
∴ ，
∵在Rt△ABC中，AB是斜边，
∴∠A+∠B=90°，
∴ ，
由旋转的性质可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴旋转角为90°，
故答案为：90°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，旋转的性质，直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键．9．（2022·山东济南·八年级期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6）点B的坐标为（2，4），
OAB沿x轴向右平移后得到 EDF，点B的对应点F是直线y＝ x上的一点，则点A的对应点D点的坐
△ △
标为 _____．
【答案】（5，6）
【解析】
∵点A的坐标为（0，6）点B的坐标为（2，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△EDF，
∴点D的纵坐标是6，点F的纵坐标是4．
又∵点B的对应点F是直线 上的一点，
∴ ，解得x＝7．
∴点F的坐标是（7，4），
∴BF＝5．
∴根据平移的性质知AD＝BF＝5，
∴点A的对应点D点的坐标为（5，6）．
故答案为：（5，6）．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化一一平移，根据平移的性质得到AD=BF是解
题的关键．
10．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，D是斜边AB上一点（与点A，B
不重合），将△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，连结DE交AC于点F，若△AFD是等腰三角形，则AF
的长为 _____．【答案】 或
【解析】
解：∵Rt△ABC中，AC=BC=1，
∴∠CAB=∠B=45°，
∵△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，
∴∠ECD=90°，∠CDE=∠CED=45°，
①AF=FD时，
∠FDA=∠FAD=45°，
∴∠AFD=90°，
∠CDA=45°+45°=90°=∠ECD=∠DAE，
∵EC=CD，
∴四边形ADCE是正方形，
∴AD=DC，
∴AF= AC= ×1= ；
②AF=AD时，
∠ADF=∠AFD=67.5°，
∴∠CDB=180°-∠ADE-∠EDC=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠DCB=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠DCB=∠CDB，
∴BD=CB=1，
∴AD=AB-BD= ，
∴AF=AD= ，
故答案为： 或 ．【点睛】
本题考查了旋转的性质，正确利用旋转原理和直角三角形的性质，进行分类讨论是解题的关键．
11．（2022·四川眉山·八年级期末）已知： ， ， ，则
的值_______．
【答案】3
【解析】
解：∵a=2021x+2020，b=2021x+2021，c=2021x+2022，
∴ ，
，
∴a2+b2+c2-ab-bc-ac
= （2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac）
= [（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]
= [（-1）2+（-1）2+（-2）2]
= ×6
=3．
故答案为：3．
【点睛】
本题是因式分解的应用，解题的关键是会对所求代数式进行变形．
12．（2021·山东临沂·八年级期末）若a2＋2ab＋b2﹣c2＝10，a＋b＋c＝5，则a＋b﹣c的值是_____．
【答案】2
【解析】
解：a2＋2ab＋b2﹣c2＝10，
（a＋b）2﹣c2＝10，
（a＋b＋c）（a＋b﹣c）＝10，
∵a＋b＋c＝5，
∴5（a＋b﹣c）＝10，
∴a＋b﹣c＝2；故答案为：2．
【点睛】
本题考查代数式化简求值、因式分解、完全平方公式和平方差公式，熟记公式，利用整体代入思想求解是
解答的关键．
13．（2022·湖南长沙·八年级期末）若关于x的分式方程 的解为正数，则m的取值范围是
______．
【答案】 且
【解析】
解：
去分母，得： ，
去括号，得：
移项，得：
合并同类项，得： ，
解得 ．
∵关于x的分式方程 的解为正数，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ，
解得： 且 ．
故答案为： 且 ．
【点睛】
本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
14．（2022·山东临沂·八年级期末）已知 ， ____________．
【答案】47【解析】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：47
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
15．（2022·山东淄博·八年级期末）若关于x的方程 有增根，则m的值为______．
【答案】±1
【解析】
解：方程两边同乘以x（x-1），那么
，
再把x=1代入上式，可得
m2=1，解得：m±1，
再把x=0代入上式，可得
m2=-1，解得：m无解，
故答案是±1．
【点睛】
本题考查了分式方程的增根，解题的关键是注意找出各分母的最小公分母．
16．（2022·贵州铜仁·八年级期末）关于x的方程 无解，则a的值为____________．
【答案】2或 或-3
【解析】解：由原方程得：
整理得：（a+3）x=1-3a
当a+3=0，即a=-3时，方程无解；
当a+3≠0，时，原方程有增根x=1，或x=-1
当x=1时，（a+3）×1=1-3a，
解得a=
当x=-1时，（a+3）×（-1）=1-3a，
解得a=2
所以当a=2，或a= ，或a=-3时，原方程无解
故答案为：2或 或-3．
【点睛】
本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程无解的条件是解题的关键．
17．（2021·河南郑州·八年级期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，AD＝3，点M，N分别为
线段BC，AB上的动点（点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为
______．
【答案】
【解析】
连接DN、DB，如图所示：在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝4，AD＝3，
∴BD＝ ＝ ＝5，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF＝ DN，
由题意得，当点N与点B重合是DN最大，最大值为5，
∴EF长度的最大值为2.5．
故答案为：2.5．
【点睛】
本题考查三角形中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是中位线定理的灵活应用，学会转化的思想．
18．（2021·四川达州·八年级期末）如图，点 、 都在 的边上， 的平分线垂直于 ，垂足
为 ， 的平分线垂直于 ，垂足为 ，若 ， ，则 的周长为______．
【答案】30
【解析】
解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，
∴∠ABQ＝∠EBQ，
∵∠ABQ＋∠BAQ＝90°，∠EBQ＋∠BEQ＝90°，
∴∠BAQ＝∠BEQ，
∴AB＝BE，同理：CA＝CD，∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），
∴PQ是△ADE的中位线，
∵ ，
∴ ，
的周长为： ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理和等腰三角形的性质和判定，解答本题的关键是判断出△BAE、△CAD是
等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ是△ADE的中位线．
19．（2021·浙江宁波·八年级期末）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，N是EC的中点，M是AB的中
点，已知S ABD=6，BC=4，则MN的长为______．
△
【答案】2.5
【解析】
解：如图，取DC的中点M′，连接MM′交BD于点O，连接ON，NM′，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，
∴∠MBO=∠M′DO，
∵M是AB的中点，M′是DC的中点，
∴BM=DM′，
在△MBO和△M′DO中，，
∴△MBO≌△M′DO（AAS），
∴OM=OM′，OB=OD，
连接AC，
根据平行四边形对角线互相平分，
∴A，C，O三点共线，
∴OA=OC，
∵N是EC的中点，
∴ON是△ACE的中位线，
∴ON∥AE，ON= AE，
∵AE⊥BC，
∴ON⊥BC，
∵AD∥BC∥MM′，
∴ON⊥MM′，四边形MADM′和CBMM′是平行四边形，
∴MM′= BC=4，则OM=OM′=2，
∵S ABCD=2S ABD=2×6=12，BC=4，
平行四边形
△
∴BC•AE=12，
∴AE=3，ON= ，
在Rt△MON中，OM=2，ON=1.5，
∴MN= 2.5．
故答案为：2.5．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，三角形的面积，三角形中位线定理，勾股定理，等腰
三角形的性质，解决本题的关键是证明ON是△ACE的中位线．
20．（2021·河北保定·八年级期末）如图，点E为平行四边形ABCD内一点，连接EA，EB，EC，AC，已
知△BCE的面积为2，△ABE的面积为3，△CED的面积为10，则△ADE的面积为 ___，阴影部分的面积
为 ___．【答案】 11 8
【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∴△ADE的面积为=3+10-2=11；
∴ =2+3+10+11=26，
∴阴影部分的面积为 ,
故答案为：11,8．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质及正确理解平行四边形中各部分面积之间的数量关
系是解题的关键．
