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专题01 特殊平行四边形（重点）
一、单选题
1．下面说法正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．矩形的对角线相等 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】C
【分析】根据菱形，矩形，正方形的性质和判定定理，逐个进行判断即可．
【解析】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A不正确，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B不正确，不符合题意；
C、矩形的对角线相等，故C正确，符合题意；
D、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故D不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形、矩形、正方形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关定理和性质．
2．如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据菱形的性质得到 ， ，再进一步求解即可．
【解析】解： 四边形 是菱形，
， ，
，
，
，
故选B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质和平行线的性质，熟知菱形的对角线平分一组对角是解题的关键．
3．下列四个命题中，真命题是（ ）
1A．对角线垂直且相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C．一组邻边相等的平行四边形是正方形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
【答案】D
【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理等知识逐项判定即可．
【解析】解： 选项，对角线相等且互相垂直的四边形是菱形，若对角线不互相平分，则不是菱形，故原
命题为假命题；
选项，对角线互相平分说明是平行四边形，菱形的判定定理：对角线垂直的平行四边形是菱形，故原命
题为假命题；
选项，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题为假命题；
选项，对角线相等且互相平分的四边形是矩形，为真命题；
故选： ．
【点睛】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握菱形、矩形、正方形的判定定理是解题的关键．
4．已知矩形的较短边长为6，对角线相交成60°角，则这个矩形的较长边的长是（ ）
A． B． C．9 D．12
【答案】B
【分析】根据矩形对角线相等且互相平分的性质和题中的条件易得△AOB为等边三角形，即可得到矩形对
角线的长，进而求解即可．
【解析】
如图：AB=6，∠AOB=60°，
∵四边形是矩形，AC，BD是对角线，
∴OA=OB=OC=OD= BD= AC，
在△AOB中，OA=OB，∠AOB=60°，
∴OA=OB=AB=6，BD=2OB=12，
2∴BC= ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理等内容，熟悉性质是解题的关键．
5．如图，E是矩形 的边 上一点， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由矩形证得 ，从而得 ，再由等腰三角形的性质求出等腰三角形的底
角 ，再由平行线性质得出结论．
【解析】解： 四边形 是矩形，
∴
∴
∵ ，
∴
∴ ，
∵
∴ ，
故选：C
【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及等腰三角形的性质，正确得出 的度数是解题关键．
6．如图，在正方形 中， 是 上的一点，且 ，则 的度数是（)
3A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在正方形中可知∠BAC＝45°，由AB＝AE，进而求出∠ABE，又知∠ABE＋∠EBC＝90°，故能求出
∠EBC．
【解析】解：在正方形ABCD中，∠BAC＝45°，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°，
∵∠ABE＋∠EBC＝90°，
∴∠EBC＝22.5°，
故选B．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握基础知识是解题关键．
7．如图，菱形 的对角线 相交于点O，过点D作 于点H，连接 ，若 ，
，则 的长（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据菱形的性质得O为 的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得 的长
度，利用勾股定理求得 的长，最后由菱形的面积公式求解．
【解析】解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
4∴ ， ，
∵ ，即 ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形的性
质求得 ．
8．如图所示，在矩形 中， ， ，将矩形沿 折叠，点 落在点 处， 与 交于
点 ，则重叠部分 的面积是( )
A．20 B．16 C．12 D．10
【答案】D
【分析】根据折叠的性质可得∠ADB=∠EDB，由平行可得∠ADB=∠CBD，推出∠CBD=∠EDB，设BF为x，在
Rt△DCF中，根据勾股定理列出方程求出x，再根据面积公式求出△BDF的面积即可．
【解析】∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵△BDE是△BDA折叠后的图形，
∴∠ADB=∠EDB，
∴∠CBD=∠EDB，
设BF为x，则DF为x，CF为8－x，
在Rt△DCF中，
解得：x=5，
∴S = ．
BDF
△
故选D．
5【点睛】本题考查折叠中矩形的性质，关键在于利用勾股定理列出方程求解．
9．如图，在矩形 中， 是 延长线上一点， ，连接 、 ，过点 作 于点 ，
为 上一点，连接 ， ．若 ， ，则 的长为（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】A
【分析】先证得△CDE是等腰直角三角形，再进一步说明∠EBC=∠CGB得到CG=BC=EG=4,说明三角形
BCG为等腰三角形，进而说明GH=BH、∠CHB=90°，再根据直角三角形的性质求得CH= BC=2，进而求
得GH=BH= CH=2 ，最后根据EH=GH+GE求解即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠CDA=90°，AD//BC
∴∠CDE=90°，∠AEB=∠EBC=30°
∵ED=CD
∴△CDE是等腰直角三角形
∴∠DCE=∠DEC=45°
∴∠CEB=45°-30°=15°
∵EG=CG
∴∠GCE=∠GEB=15°
∴∠CGB=∠GCE+∠CEB=30°
∴∠EBC=∠CGB
∴CG=BC=4
∴EG=4
6∵CH⊥BE
∴GH=BH,∠CHB=90°
∵∠EBC=30°
∴CH= BC=2,GH=BH= CH=2
∴EH=GH+EG=4+2 ．
故选A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
半等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．
10．如图，已知四边形 为正方形， ， 为对角线 上一点，连接 ，过点 作
，交 的延长线于点 ，以 ， 为邻边作矩形 ，连接 ．下列结论：①矩形
是正方形；② ；③ 平分 ；④ ．其中结论正确的序号有（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】A
【分析】过 作 ，过 作 于 ，如图所示，根据正方形性质得 ，
，推出四边形 是正方形，由矩形性质得 ， ，
根据全等三角形的性质得 ，推出矩形 是正方形，故①正确；根据正方形性质得 ，
推出 ，得到 ， ，由此推出 平分 ，
故③正确；进而求得 ，故②错误；当 时，点 与点 重合，得
到 不一定等于 ，故④错误；故选A．
【解析】过 作 ，过 作 于 ，如图所示，
7∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴矩形 是正方形，故①正确；
∴ ，
∵四边形 是正方形
∴ ，
∴
在 和 中
∴
8∴ ，
∵
∴ 平分 ，故③正确；
∴ ，故②错误；
当 时，点 与点 重合，
∴ 不一定等于 ，故④错误．
故选：A
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
二、填空题
11．如图，已知矩形 的对角线 与 相交于点 ，若 ，那么 ．
【答案】2
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等，求解即可．
【解析】解：在矩形 中，
∵对角线 与 相交于点O， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了矩形的性质，解答本题的关键是掌握矩形的对角线互相平分且相等的性质．
12．要使矩形ABCD成为正方形，可添加的条件是 （写一个即可）．
【答案】AB=BC；BC=CD；CD=AD；AD=AB；AC⊥BD（挑选一个即可）
【分析】根据正方形的判定定理进行添加即可．
【解析】从边上添加：有AB=BC，BC=CD，CD=DA，DA=AB（有一组领边相等的矩形为正方形）
从对角线上添加：有AC⊥BD（对角线互相垂直的矩形为正方形）．
故答案为：AB=BC；BC=CD；CD=AD；AD=AB；AC⊥BD（挑选一个即可）
【点睛】本题考查了由矩形得到正方形的判定，熟知其判定定理是解题的关键．
13．如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，已知 ，菱形 的面积为24，则 的
长为 ．
9【答案】6
【分析】根据菱形的性质得到AC=8，根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可求解．
【解析】解：∵四边形ABCD为菱形；
∴AC=2OA=8， ,
∴ ,
∴BD=6，
故答案为：6
【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟记菱形面积的两种表示法：（1）底乘高，（2）对角线
乘积的一半，本题运用的是第二种．
14．已知，矩形 ，点 在边 上，点 在边 上，连接 、 交于点 ．若 ， ，
， ．则 ．
【答案】6
【分析】过点 作 ，垂足为 ，交 于点H，证明 ，得出 是等腰直角三
角形，进而得出四边形 是平行四边形，即可求解．
【解析】解：如图所示，过点 作 ，垂足为 ，交 于点H，
10∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ,
∴
∴ , ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，正确的添加辅助
线是解题的关键．
15．如图，菱形 的对角线 、 相交于点O，过点D作 于点H，连接 ， ，
若菱形 的面积为12，则 的长为 ．
【答案】
11【分析】在 中先求得 的长，根据菱形面积公式求得 长，再根据勾股定理求得 长，即
可得到 ．
【解析】解： ，
，
四边形 是菱形，
， ， ，
（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），
， ，
由 得，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解题的关键是先求得 的长．
16．如图，矩形 的对角线 交于点O， ，过点O作 ，交AD于点
E，过点E作 ，垂足为F，则 的值为 ．
【答案】
【分析】矩形 的对角线 交于点O， ，过点O作 ，交 于点E，
12过点E作 ，垂足为F，则可求得 的值．
【解析】解：∵ ，
∴矩形 的面积为48， ，
∴ ，
∵对角线 交于点O，
∴ 的面积为12，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解题时注意：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平
分．
17．如图，在Rt 中， 为 边上一点， ，垂足分
别是 ，连接 ，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】先证四边形 是矩形，得出 ，要使 最小，只要 最小即可，再根据垂线段最
短和三角形面积求出 即可．
13【解析】解：连接 ，如图：
， ，
，
，
四边形 是矩形，
，
要使 最小，只要 最小即可，
当 时， 最短，
， ， ，
，
的面积 ，
，
的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的
判定与性质是解此题的关键．
18．如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点H在边AD上，AH＝2，E为边AB上一个动点，连接HE．
以HE为一边在HE的右上方作菱形HEFG，使点G落在边DC上，连接CF．
14（1）当菱形HEFG为正方形时，DG的长为 ；
（2）在点E的运动过程中，△FCG的面积S的取值范围为 ．
【答案】 2
【分析】（1）由于四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为正方形，那么∠D=∠A=∠GHE= ，HG=HE，
易证△GDH≌△HAE，得DG=AH=2；
（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于AB CD，可得∠AEG=∠MGE，同理有
∠HEG=∠FGE，利用等式性质有∠AEH=∠MGF，再结合∠A=∠M= ，HE=FG，可证△AHE≌△MFG，从
而有FM=HA=2，进而可求△FCG的面积S的最大值和最小值，从而确定S的取值范围．
【解析】解：（1）如图1，当菱形 为正方形时， ， ，
四边形 为矩形，
，
，
，
在 和 中，
，
，
；
故答案为：2；
15（2）如图2，过 作 ，交 延长线于 ，连接 ，
∵AB CD，
，
∵HE GF，
，
，
在 和 中，
，
，即无论菱形 如何变化，点 到直线 的距离始终为定值2，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
，
即 ，
，
，
的最小值为 ，此时 ，
的最大值为8时， ，
在点 的运动过程中， 的面积 的取值范围为： ；
16故答案为： ；
【点睛】本题考查了矩形、菱形、正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积．
解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
三、解答题
19．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别与AD、BC相交于点M、N，与BD相交于点
O，连结BM，DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若MD＝2AM，BD＝8，求矩形ABCD的周长．
【答案】（1）见解析 （2）
【分析】（1）由“ASA”可证△DMO≌△BNO，可得OM=ON，由菱形的判定可证平行四边形BMDN是菱形；
（2）设AM长为x，则MB=DM=2x，AD=3x，由勾股定理可求AB= x，由勾股定理可求x的值，即可求解．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，
∵在△DMO和△BNO中 ，
∴△DMO≌△BNO（ASA），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形；
17（2）∵四边形BMDN是菱形，
∴MB＝MD，
设AM长为x，则MB＝DM＝2x，AD＝3x，
在Rt△AMB中，BM2＝AM2+AB2，
即AB＝ x，
∵BD2＝AB2+AD2，
∴64＝3x2+9x2，
∴x＝ ，
∴AD＝3x＝4 ，AB＝ x＝4，
∴矩形ABCD的周长＝2×（4 +4）＝8 +8，
答：矩形ABCD的周长为8 +8．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活
运用这些性质解决问题是本题的关键．
20．如图，正方形ABCD边长为8，E，F分别是BC，CD上的点，且AE⊥BF．
（1）求证：AE＝BF；
（2）若AF＝10，求AE的长．
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】（1）由正方形的性质可得∠ABC=90°=∠C，AB=BC，由余角的性质可得∠BAE=∠CBF，可证
△ABE≌△BCF，可得AE=BF；
18（2）由勾股定理可求DF=6，可得FC=2，由勾股定理可求AE=BF= ．
【解析】证明；（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°=∠C，AB=BC，
∴∠ABF+∠CBF=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠ABF+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE=BF；
（2）∵AF=10，AD=8，
∴DF= ，
∴CF=8-6=2，
∴BF= ，
∴AE= ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明△ABE≌△BCF是本题的关
键．
21．已知：如图边长为 的正方形 的对角线 、 交于点 ， 、 分别为 、 上的点，
且 ．
(1)求证： ．
(2)求证： 、 分别在 、 延长线上， ，四边形 与正方形 重合部分的面
积等于 ．
19【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由四边形 为正方形得到 ， ， ，又由
，即可证明 ，则 ，由 得到
，即可得到结论；
（2）由 得到 ，根据 即可得到四边形 与正方
形 重合部分的面积．
【解析】（1）证明：∵四边形 为正方形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴四边形 与正方形 重合部分的面积等于
．
【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关
键．
22．如图，四边形 是菱形， ， ， 于点 ， 于点 ．
20(1)求 的长；
(2)求四边形 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据菱形的面积等于对角线积的一半，可求得菱形的面积，又由菱形的对角线互相平分且
垂直，可根据勾股定理得 的长，根据菱形的面积的求解方法：底乘以高或对角线积的一半，即可得菱
形的高；
（2）证明四边形 为矩形，求出 的长，则可得出答案．
【解析】（1）解： 四边形 是菱形，
， ， ，
，
，
；
（2）解： 四边形 是菱形，
，
又 ，
，
，
，
四边形 为矩形，
21， ，
，
四边形 的面积为 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，掌握菱形的对角线互相平分且垂直，菱形的面积的求解方
法是解题的关键．
23．如图，在矩形 中， ， ．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；
同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是 ．连接 、 、
．设点P、Q运动的时间为t s．
(1)当t为何值时，四边形 是矩形，请说明理由；
(2)当t为何值时，四边形 是菱形，请说明理由；
(3)直接写出（2）中菱形 的周长和面积，周长是______cm，面积是______ ．
【答案】(1)当 时，四边形 为矩形
(2)当 时，四边形 为菱形
(3)15；
【分析】（1）根据题意用 表示出 、 、 ，根据矩形的判定定理列出方程，解方程得到答案；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形、勾股定理列式计算即可；
22（3）根据（2）中求出的 的值，求出 ，根据菱形的周长公式、面积公式计算即可．
【解析】（1）解：由题意得， ，则 ，
四边形 是矩形，
， ，
当 时，四边形 为矩形，
，
解得， ，
故当 时，四边形 为矩形；
（2）解：由（1）可知，四边形 为平行四边形，
当 时，四边形 为菱形，
即 时，四边形 为菱形，
解得， ，
故当 时，四边形 为菱形；
（3）解：当 时， ，
菱形 的周长为： ，
菱形 的面积为： ，
故答案为：15； ．
【点睛】本题考查的是矩形的判定、菱形的判定以及平行四边形的判定，掌握它们的判定定理是解题的关
键．
24．已知：如图，在菱形 中，点 ， ， 分别为 ， ， 的中点，连接 ， ， ，
．
23(1)求证： ；
(2)当 时，请判断四边形 的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)当 时，四边形 是正方形，理由见解析
【分析】（1）由菱形的性质得出 ， ，由已知证出 ，由
证明 即可；
（2）由三角形中位线定理证出 ， ， ，得到 ，证出四
边形 是菱形，再证出 ，四边形 是正方形．
【解析】（1）证明：∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵点 ， ， 分别为 ， ， 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：当 时，四边形 是正方形，理由如下：
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵点 ， ， 分别为 ， ， 的中点，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
24∴四边形 是菱形，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形．
【点睛】本题考查了正方形的判定、菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等
知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键．
25．如图，在 中， ，E，F分别为 ， 的中点，作 于点G， 的延长线
交 的延长线于点H．
（1）求证：四边形 是菱形．
（2）当 时，
①求 的长．
②如图2， 交 于点P，记 的面积为 ， 的面积为 ，则 的值为________．
【答案】（1）见解析；（2）①12；②
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，再根据中点的定义得到AF=BE，可得四边形
ABCD是平行四边形，结合AB=AF，可得结论；
（2）①连接AE交BF于点O，由菱形性质可得∠AOB=90°，从而求出菱形ABEF的面积，可得四边形
ABCD的面积，根据CG⊥AB可得CG，从而求出AG，证明△AFG≌△DFH，得到AG=DH，在△GCH中利
用勾股定理求出GH即可；
②过F作FK⊥AB交BA延长线于K，求出FK，从而得到△BGF和△BGC的面积，从而分别得出S 和S，
1 2
可得S-S．
1 2
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
25∵E、F分别为BC、AD中点，
∴AF= AD，BE= BC，
∴AF=BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AD=2AB，AD=2AF，
∴AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）①连接AE交BF于点O，
∵四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB=OF= BE=4，OA=OE= AE，
∴∠AOB=90°，
在Rt△AOB中，OA= =3,
∴AE=2OA=6，
∴S ABEF= AE·BF= ×6×8=24，
菱形
∵E、F分别是BC、AD中点，
∴BE=EC，AF=FD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABEF，四边形EFDC都是平行四边形，且底和高相等，
∴S ABEF=S EFDC=24，
四边形 四边形
∴S ABCD=S ABEF+S EFDC=48，
四边形 四边形 四边形
∵CG⊥AB，
∴S ABEF=AB·CG=5CG=48，∠BGC=90°，
四边形
∴CG= ，
∵AD=BC=2AB=10，
∴BG= ，
26∴AG=AB-BG=5- = ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5，AB∥CD，
∴∠A=∠FDH，∠GCH=∠BGC=90°，
∵F是AD中点，
∴AF=DF，
在△AFG和△DFH中，
，
∴△AFG≌△DFH（ASA），
∴AG=DH= ，
∴CH=CD+DH=5+ = ，
在Rt△GCH中，GH= =12；
②过F作FK⊥AB交BA延长线于K，
∴S ABEF=AB·FK=5FK=24，
四边形
∴FK= ，
∴S BGF= BG·FK= = ，
△
S BGC= BG·CG= = ，
△
∵S=S BGC-S BGP= -S BGP，
2
△ △ △
27S=S BGF-S BGP= -S BGP，
1
△ △ △
∴S-S= - = ．
2 1
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，重点
考查了几何图形的推理论证能力，同时也要结合已知条件作出辅助线，扩大运用范围．
26．如图，矩形ABCD中，BC＞AB，E是AD上一点，△ABE沿BE折叠，点A恰好落在线段CE上的点F
处．
（1）求证：CF＝DE；
（2）设 ＝m．
①若m＝ ，试求∠ABE的度数；
②设 ＝k，试求m与k满足的关系式．
【答案】（1）见解析；（2）①∠ABE=15°，②m2＝2k﹣k2．
【分析】（1）通过折叠前后两个图像全等，然后证明△CED≌△BCF即可；（2）由题知AB=BF，BC=AD通
过 ＝ ，得出 = ，判断角度求解即可，由 ＝m， ＝k 的得出边之间的关系，在通过
Rt△CED建立勾股定理方程化简即可求出
【解析】（1）证明：由折叠的性质可知，∠BEA＝∠BEF，
28∵AD∥BC，
∴∠BEA＝∠EBC，
∴∠BEF＝∠EBC，
∴BC＝CE；
∵AB=BF=CD, △CED和△BCF都为直角三角形
∴△CED≌△BCF
∴CF＝DE；
（2）解：①由（1）得BC＝CE
∵BC=AD
∴AD=CE
∵AB=BF
∴ ＝ =
∵BCF都为直角三角形
∴∠FBC=60°
∴∠ABE=
②∵ ＝k， ＝m，
∴AE＝kAD，AB＝mAD，
∴DE＝AD﹣AE＝AD（1﹣k），
在Rt△CED中，CE2＝CD2+DE2，即AD2＝（mAD）2+[AD（1﹣k）]2，
整理得，m2＝2k﹣k2．
【点睛】本题主要是对特殊四边形的综合考察，熟练掌握四边形几何知识和用字母表示边的转换是解决本
题的关键
27．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，8），点B是x轴的正半轴上的一个动点，连接AB，取AB的
中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BC．过点B作x轴的垂线交直线AC于点
D．设点B坐标是（t，0）
29(1)当t＝6时，点M的坐标是______；
(2)求点C的坐标（用含t的代数式表示）；
(3)是否存在点B，使四边形AOBD为矩形？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)在点B的运动过程中，平面内是否存在一点N，使得以A、B、N、D为顶点的四边形是菱形？若存在，
请直接写出点N的纵坐标（不必要写横坐标）；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) ，理由见解析
(4)3或8，理由见解析
【分析】（1）利用中点坐标公式计算即可．
（2）如图1中，作 于 ， 轴于 ．证明 ，利用全等三角形的性质即可
解决问题．
（3）如图2中，存在．由题意当 时，可证四边形 是矩形，构建方程即可解决问题．
（4）分三种情形：①如图3中，当 时，以 为对角线可得菱形 ，此时点 在 轴上．
②如图4中，当 时，以 为对角线可得菱形 ．此时点 的纵坐标为8．③因为 ，
所以不存在以 为对角线的菱形．
【解析】（1）如图1中，
30， ， ，
，
故答案为：（3，4）；
（2）如图1中，作 于 ， 轴于 ．
∵ ，
， ，
，
， ，
，
，
，
， ，
，
．
（3）存在．
如图2中，作 于 ， 轴于 ．
理由：由题意当 时，
31，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是矩形，
，
四边形 是矩形，
又∵由（2）得 ，
即： ，解得： ．
．
（4）①如图3中，当 时，以 为对角线可得菱形 ，此时点 在 轴上．作BE⊥AC交于
点E，
设 ， ，
∵点M是AB的中点， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
32在 中，则有 ，
①②联立，解得： ，
，
点 的纵坐标为3．
②如图4中，当 时，以 为对角线可得菱形 ．此时点 的纵坐标为8．
③ ，
不存在以 为对角线的菱形．
综上所述，满足条件的点 的纵坐标为3或8．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，翻折变换，全等三角形
的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建
方程解决问题，属于中考压轴题．
28．如图①，已知正方形 中， ， 分别是边 ， 上的点（点 ， 不与端点重合），且
， ， 交于点P，过点 作 交 于点 ．
（1）求证： ．
（2）若 ，试求线段 的长．
（3）如图②，连接 并延长交 于点 ，若点 是 的中点，试求 的值．
33【答案】（1）见解析；（2） ；（3）4
【分析】（1）证明△ABE≌△DAF（SAS），得出∠ABE＝∠DAF，得出∠APB＝90°，可得出结论；
（2）根据三角形ABE的面积可求出AP＝ ，证明△ABP≌△BCH（AAS），由全等三角形的性质得出
BH＝AP＝ ，则PH＝BP﹣BH＝BP﹣AP，可求出答案；
（3）证得∠CBP＝∠CPB，∠QPE＝∠QEP，可得出QE＝QP＝QA，在四边形QABC中，设 ，
，则AB＝BC＝a，AQ＝x，QC＝x+a，由a2+（a﹣x）2＝（x+a）2可得出a，x的关系式，则可求出
答案．
【解析】（1）证明：∵正方形
∴ ，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
(2) 解：∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴
34∵
∴
∴
∵
∴
∵ 和 ，且
∴
∴
∴
（3）解：∵ 为 中点，且
∴ 为以 为底的等腰三角形
∴ ，
由（1）（2）的证明结果
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴在 中， 为斜边 的中线
∴
由 ，以及等腰三角形
∴
∴
设 ， ，则在 中，
35，
根据勾股定理，有
即
得
∴
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行
线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想解决问题，学会用方程
的思想方法解决问题．
36
