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专题01 求小立方体的个数
1．由若干个完全相同的小立方块搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体所用
的小立方块的个数是（ ）
A．3个或4个 B．4个或5个 C．5个或6个 D．6个或7个
【答案】C
【解析】
【分析】
主视图是从正面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形，从上面看，有四个立方形，故地面一
定有4个立方体，正面看有三个立方形，故几何体的有两层，第二层只有1个或2两个立方体．
【详解】
由图可知，几何体的底面有4个立方体；
共有两层，第二层有1个立方体或2个立方体，
因此，共有5个或6个立方体组成．
故选C
【点睛】
本题考查立体图形的三视图，考查学生的空间观念，熟练掌握三视图是解题的关键．
2．由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，组成这个几何体的小
正方体的个数可能是（ ）
A．4个或5个 B．5个或6个 C．6个或7个 D．7个或8个
【答案】B
【解析】
【分析】
这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由主视图可得第二层小正方体的个数，相加即可．
【详解】
由俯视图易得最底层有4个小正方体，第二层左侧一列有1个或2个小正方体，那么搭成这个几何
体的小正方体为4+1=5个或4+2=6个．
故选：B．
【点睛】
考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果
掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
3．几个相同的正方体叠合在一起，该组合体的主视图和俯视图如图所示，那么组合体中正方体的
个数至少有几个？至多有几个？（ ）
A．5，6 B．6，7 C．7，8 D．8，10
【答案】D
【解析】
【分析】
由所给视图可得此几何体有3列，3行，2层，分别找到第二层的最多个数和最少个数，加上第一
层的正方体的个数即为所求答案．
【详解】
解：第一层有1＋2＋3=6个正方体，第二层最少有2个正方体，
所以这个几何体最少有8个正方体组成；
第一层有1＋2＋3=6个正方体，第二层最多有4个正方体，
所以这个几何体最多有10个正方体组成．故答案为8，10．
【点睛】
本题意在考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考
查．分最多和最少两种情况进行讨论是解题关键．
4．把若干个相同的小正方体在水平桌面上堆成一个大的立体图形，如图是从正面看和从上面看到
的图形，则组成这个图形最少需要_____个小正方体．【答案】9
【解析】
【分析】
综合俯视图和主视图，确定每一层小正方体的个数，即可得到最少值.
【详解】
综合俯视图和主视图，这个几何体的底层有6个小正方体，第二层最少有2个小正方体，第三层有
1个小正方体，
所以组成这个几何体最少有6+2+1＝9个小正方体．
故答案为：9．
【点睛】
此题考察立体图形的构成，考察空间立体感，此类题需综合观察俯视图和主视图，确定每一层小
正方体的个数，即可得到最少值.
5．如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组成这个几何体的
小正方体的块数为n，则n的最小值与最大值的和为______．
【答案】26
【解析】
【分析】
从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，由主视图可以看出每一列的最大层数和个数，
从而算出总的个数
【详解】
解：根据主视图和俯视图可知，该几何体中小正方体最少分别情况如下：故n的最小值为1+1+1+1+3+2+1=10，
该几何体中小正方体最多分别情况如下：
该几何体中小正方体最大值为3+3+3+2+2+2+1=16，
故最大值与最小值得和为10+16=26
故答案为：26
【点睛】
本题主要考查了由三视图判断几何体中小正方体的个数问题，可从主视图上分清物体的上下和左
右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出小立方块的可能个数．
6．由n个相同的小正方形堆成的几何体，其视图如图所示，则n的最大值是_____，最小值是
_____．
【答案】 18 12
【解析】
【分析】
根据主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看所得到的图形即可求出答案.
【详解】
由俯视图知最下面一层有7个立方块，由主视图知，最左边的一列的上面两层最少有2个立方体，
中间那一列的上面一层至少有1个立方体，右边那一列的上面两层最少有2个立方体，
7+2+1+2=12；由主视图知在最左边前后两层每层3个小立方体，中间3个每层2个立方体和最右
边前两排每层3个立方体，n的最大值是3×2+3×2+3×2=18，所以最多有18个，最少有12个，正确答案是18；12.
【点睛】
此题主要考查了由三视图判断几何体，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，学会熟练运用
三视图还原几何体是解答本题的关键.
7．如图是一些小正方体木块所搭的几何体，从正面和从上面看到的图形，则搭建该几何体最多需
要___块正方体木块，至少需要___块正方体木块．
【答案】 16， 10．
【解析】
【分析】
由俯视图和主视图可判断该几何体共有3层，底层有7块小正方体，再由主视图得出每层最多和最
少的小正方体的个数，然后相加即可得答案.
【详解】
由俯视图可知该几何体底层有7块小正方体，由主视图可知该几何体共有3层，第二层最多有6块
小正方体，最少有2块小正方体，第三层最多有3块小正方体，最少有1块小正方体，
∴最多：7+6+3=16（块）；
最少：7+2+1=10（块）.
按如图摆放，至多要16块（左图），至少需要10块（右图）
故答案为16；10
【点睛】
本题考查由三视图判断几何体，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所
得到的图形；正确认识三视图是解题关键.
8．一个几何体由若干个大小相同点小立方块搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，
该几何体至少是用______块小立方块搭成的．【答案】6
【解析】
【分析】
根据题意可以得到该几何体从正面和上面看至少有多少个小立方体，综合考虑即可解答本题．
【详解】
解：从正面看至少有四个小立方体，从上面看至少有五个小立方体，所以该几何体至少是用六个
小立方块搭成的．
故答案为6．
【点睛】
此题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查
如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
三、解答题(共0分)
9．由若干个棱长为1cm的小正方体构成的几何体，无论从正面看还是从左面看，得到的视图都如
图所示．
（1）该几何体最多有 个小正方体，最少有 个小正方体；
（2）按实际的大小，用直尺画出正方体个数最少的一种俯视图，并标出每个位置小正方体的个数．
【答案】（1）13，5；（2）画图见解析
【解析】
【分析】
（1）结合题意，根据立方体三视图的性质，通过空间想象，即可得到答案；
（2）根据（1）的结论，画出俯视图，并标出每个位置小正方体的个数，即可完成解题．
【详解】
（1）结合题意，这个几何体最多有13个小正方体，其中下层有9个小正方体，上层有4个正方体；
最少有5个小正方体，其中下层有3个小正方体，上层有2个正方体；
故答案为：13，5；（2）俯视图如图所示：
．
【点睛】
本题考查了三视图的知识；解题的关键是熟练掌握利用三视图的性质判断小正方体的个数，从而
完成求解．
10．用小立方体搭一个几何体，是它的主视图和俯视图如图．这样的几何体只有一种吗？它最少
需要多少个立方块？最多需要多少个小立方块？
【答案】这样的几何体不止一种，它最少需要10个立方块，最多需要16个小立方块.
【解析】
【分析】
从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和
个数，从而算出总的个数.
【详解】
解：由主视图可知，它自下而上共有3行，第一行3块，第二行2块，第三行1块，
由俯视图可知，它自左而右共有3列，第一、二列各3块，第三列1块，从空中俯视的块数只要最
低层有一块即可，
因此，综合两图可知这个几何体的形状不能确定；并且最少时为第一列中有5块，第二列有4块，
第三列有1块，共10块．最多时第一列中有9块，第二列有6块，第三列有1块，共16块.
故答案为这样的几何体不止一种，它最少需要10个立方块，最多需要16个小立方块.
【点睛】
本题考查了由三视图判断几何体.
11．用若干大小相同的小立方体块搭一个几何体，使得从正面和上面看到这个几何体的形状图如
图所示，其中从上面看到的形状图的小正方形中的字母表示该位置小立方体的个数.请解答：（1） 表示几？ 的最大值是多少？
（2）这个几何体最少是用多少个小立方体搭成的？最多呢？
【答案】（1） 表示3， 的最大值为2；（2）最少是用11，最多是用16
【解析】
【分析】
（1）根据从正面、上面看到的几何体进行判断；
（2）第一列小立方体的个数最多为3+3+3=9，最少为3+1+1=5，那么加上其他两列小立方体的个
数即可；
【详解】
解：（1）由从正面和上面看到的这个几何体的形状图可知， 表示3， 的最大值为2；
（2）这个几何体最少是用 个小立方体搭成的，
最多是用 个小立方体搭成的．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到
的视图；注意主视图主要告知组成的几何体的层数和列数．
12．一个几何体是由若干个棱长为3cm的小正方体搭成的，从左面、上面看到的几何体的形状图
如图所示：
（1）该几何体最少由 个小立方体组成，最多由 个小立方体组成．
（2）将该几何体的形状固定好，
①求该几何体体积的最大值；
②若要给体积最小时的几何体表面涂上油漆，求所涂油漆面积的最小值．
【答案】（1）9，14；（2）①答案见解析，②答案见解析．
【解析】
【分析】（1）由俯视图可得该几何体的最底层的立方体的个数；由左视图第一列至第三列的正方形的个数
可得该几何体最少和最多的立方体的个数；（2）①由（1）求最多立方体个数时该几何体的最大
值；②由(1)求最少立方体个数时几何体的表面积．
【详解】
解：（1）观察图象可知：最少的情形有2+3+1+1+1+1＝9个小正方体，
最多的情形有2+2+3+3+3+1＝14个小正方体．
故答案为9，14．
（2）①该几何体体积的最大值为33×14＝378cm3．
②体积最小时的几何体表面涂上油漆，共需涂36个面，所涂油漆面积的最小值＝9×36＝324cm2．
【点睛】
本题考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
13．用小立方块搭一几何体，使它的主视图和俯视图如图所示．俯视图中小正方形中的字母表示
在该位置小立方块的个数，请问：
（1）a表示几？b的最大值是多少？
（2）这个几何体最少由几个小正方块搭成？最多呢？
【答案】（1）a＝3，b的最大值为2（2）这个几何体最少由11个小正方块搭成，最多由16个小
正方块搭成.
【解析】
【分析】
（1）由图可知，主视图最右侧一列有3层，而俯视图中a所在的一列只有一行；主视图中间一列
有2层，而俯视图中b所在的一列有两行，据此可进行解答；
（2）按照上一问中分析的方法分别确定每个字母的最大值和最小值，再相加即可.【详解】
（1）由图可知，主视图最右侧一列有3层，而俯视图中a所在的一列只有一行，据此可确定
a=3；主视图中间一列有2层，而俯视图中b所在的一列有两行，故可确定b的最大值为2；
（2）主视图中左起第一、三列有3层，第二列有2层，故俯视图中左起第一列三个数def中，至
少有一个是3，其他两个的最大值均为3，最小值均为1；同理可得bc两个数中，至少有一个是
2，另一个最大值为2，最小值为1，则这个几何体，
最少由：3+1+1+1+5＝11个小立方块搭成；
最多由3+3+3+2+2+3=16个小立方块搭成；
【点睛】
本题考查了立体图形的三视图，理解各视图所表示的含义是解题关键.
14．下图是由几个小立方块所搭成几何体的从上面、从正面看到的形状图．
（1）这样搭建的几何体最少，最多各需要多少个小立方块？
（2）请画出各种情况的从左面看到的形状图．
【答案】（1）最少11个，最多17个；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层和第三
层最少或最多的正方体的个数，相加即可；
（2）利用题意结合立方体的个数画出左视图即可．
【详解】
解：（1）搭这样的几何体最少需要8＋2＋1＝11个小正方体，
最多需要8＋6＋3＝17个小正方体；
（2）如图所示：【点睛】
此题主要考查了学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的
考查．
15．用小立方块搭成的几何体．从正面看和从上面看的形状如图所示，问组成这样的几何体最多
需要多少个立方块，最少需要多少个立方块？请画出最少和最多时从左面看到的形状．
【答案】最多需要8个小正方体，见解析；最少需要7个正方体，见解析.
【解析】
【分析】
根据正面看与上面看的图形，得到俯视图中最左的一列都为3层，第2列都为2层，第3列为1层，
得到最多共3+2+2+1=8个小正方体，画出从左面看几何体的图形，如图所示；最少需要
3+2+1+1=7个小正方体，分别画出从左边看该几何体得到图形即可．
【详解】
解：最多需要8个小正方体，从左边看几何体得到的图形如图（1）所示；
最少需要7个正方体，从左面看该几何体得到的图形如图（2）或（3）所示，答案不唯一，
．
【点睛】
本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯
视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列
数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．16．从正面、上面看由一些大小相同的小正方体搭建的几何体的形状图如图所示，则组成这个几
何体的小正方体最多几个？
【答案】最多有6个.
【解析】
【分析】
根据几何体的正视图可知这个几何体共有2层；
由几何体的俯视图可知第一层小正方体的个数；
再由主视图可得第二层小正方体最多的个数，相加即可确定搭成几何体的小正方体最多有多少个.
【详解】
由主视图可知这个几何体有2层
由俯视图可得第一层有3个小正方体，则第一层右上角是没有小正方体的
由主视图可知要想小正方体最多，则第一层上的小正方体和第二层是一样的
即 （个）
【点睛】
本题考查由三视图判断几何体，熟练掌握几何体的三视图的相关知识是解题关键.
17．用棱长都为5cm的小立方块搭成几何体，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正
方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．
（1）请你分别画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图；
（2）若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加大小相同的小立
方块，以搭成一个大正方体，至少还需要_______个小立方块；
（3）①图中的几何体的表面积（包括与桌面接触的部分）为_______ ；
②若新搭一个几何体，且满足如下三个条件：图中从上面看到的几何体的形状图不变，小立方块的总数不变，从上面看到的小正方形中的数字可以改变，则新搭几何体的表面积（包括与桌面接
触的部分）最小值和最大值分别为_______ ，_______ ．
【答案】（1）见解析；（2）12；（3）①1400；②1250，1550．
【解析】
【分析】
（1）根据三视图可画出几何体的形状图；
（2）根据正方体的性质，每行每列的小正方体都相等，都是3个，这样正方体的小正方体的个数
应该为27个，现在已有15个，这样再补12个即可；
（3）①从上面看到的几何体的形状图不变，小立方块的总数不变，表面积最小时，每个位置数量
尽量相等，可见解析中图，按图计算即可；②从上面看到的几何体的形状图不变，小立方块的总
数不变，表面积最大时，每个位置数量尽量相差最大，可见解析中图，按图计算即可．
【详解】
解：（1）由已知可得：
（2）根据正方体的性质，每行每列都是3个小正方体，
已知有 （个）
∴ （个），
故答案为：12；
（3）①∵小正方体的棱长为5cm，
∴小正方形的面积为 ，
∴几何体表面积为 ，
故答案为： ；
②如图搭建此时表面积为最小，几何体最小表面积为 ；
如图搭建此时表面积为最大，
几何体最大表面积为 ；
故答案为： ， ．
【点睛】
本题考查了几何体的三视图，根据三视图计数，计算表面积，根据小正方体的数量计算表面积是
本题的难点，了解什么情况表面积最小，什么情况表面积最大是解题关键．
18．如图，有一次数学活动课上，小颖用 10 个棱长为 1 的正方体积木搭成一个几何体，然后她
请小华用其 他棱长为 1 的正方体积木在旁边再搭一个几何体，使用小华所搭几何体恰好和小颖
所搭几何体拼成一个 无空隙的大正方体（不改变小颖所搭几何体的形状）.那么：按照小颖的要求
搭几何体，小华至少需要_____个正方体积木.按照小颖的要求，小华所搭几何体的表面积最小为
_____.
【答案】 17, 48【解析】
【分析】
首先确定小华所搭几何体所需的正方体的个数，然后确定两人共搭建几何体所需小立方体的数量，
求差即可；
分别得到前后面，上下面，左右面的面积，相加即可求解．
【详解】
∵小华所搭几何体恰好可以和小颖所搭几何体拼成一个无缝隙的大正方体，
∴该正方体需要小立方体3×3×3=27个，
∵小颖用10个边长为1的小正方体搭成了一个几何体，
∴小华至少还需27-10=17个小立方体，
表面积为：2×（8+8+8）=48，
故答案为17，48.
【点睛】
本题考查了由三视图判断几何体的知识，能够确定两人所搭几何体的形状是解答本题的关键．
19．在桌面上，有6个完全相同的小正方体对成的一个几何体，如图所示．
（1）请画出这个几何体的三视图．
（2）若将此几何A的表面喷上红漆（放在桌面上的一面不喷），则三个面上是红色的小正方体有
____个．
（3）若另一个几何体B与几何体A的主视图和左视图相同，而小正方体个数则比几何体A多1个，
则共有______种添法. 请在图2中画出几何体B的俯视图可能的两种不同情形．
（4）若现在你的手头还有一些相同的小正方体可添放在几何体A上，要保持主视图和左视图不变，
则最多可以添___________个．
【答案】（1）详见解析；（2）2个；（3）4种；（4）4个.
【解析】
【分析】
见详解.
【详解】（1）如下图
（2）三个面是红色的有2个,为从上往下数第二行第一列的那两个.
（3）4种添发；见下图,答案不唯一.
（4）由图可知该几何体最多有10个正方体,几何体A只有6个小正方体,
10-6=4,所以最多可以添加4个正方体.
【点睛】
本题考查了物体的三视图,中等难度,培养看图能力、空间感是解题关键.
20．如图1，是一个由53个大小相同的小正方体堆成的立体图形，从正面观察这个立体图形得到
的平面图形如图2所示．
（1）请在图3、图4中依次画出从左面、上面观察这个立体图形得到的平面图形
（2）保持这个立体图形中最底层的小正方体不动，从其余部分中取走k个小正方体，得到一个新
的立体图形．如果依次从正面、左面、上面观察新的立体图形，所得到的平面图形分别与图2、图
3、图4是一样的，那么k的最大值为 ．
【答案】（1）见解析；（2）16
【解析】
【分析】
（1）从左面看共4列，从左向右依次为5,5,3,2个小正方形，从上面看共6列，从左向右依次为
4,4,4,3,2,1个小正方形；（2）由已知条件从主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正
方形数字中的最大数字，左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相
应行中正方形数字中的最大数字，据此即可求解.
【详解】
（1）如图：
（2）k的最大值为：4+5+3+3+1=16，
故答案为：16.
【点睛】
此题考查几何体的三视图，能正确理解三视图的对应的关系，确定每列中的最大个数是解题的关
键.
21．在桌面上，有若干个完全相同的小正方体堆成的一个几何体 ，如图所示.
（1）请画出这个几何体 的三视图.
（2）若将此几何体 的表面喷上红漆（放在桌面上的一面不喷），则三个面上是红色的小正方体
有_______个.
（3）若现在你的手头还有一些相同的小正方体可添放在几何体 上，要保持主视图和左视图不变，则最多可以添加________个小正方体.
【答案】（1）见解析；（2）2；（3）4
【解析】
【分析】
（1）根据三视图的定义，画出三视图即可.
（2）根据题意，找出三个面是红色的小正方体即可.
（3）根据三视图的定义，解答即可.
【详解】
解：（1）三视图如图所示：
（2）三个面上是红色的小正方体有2个，
故答案为2.
（3）要保持主视图和左视图不变，则最多可以添加4个小正方体，
故答案为4.
【点睛】
考查作图-三视图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.
