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专题 01 求一次函数的表达式的五种模型
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题型一：已知一点求正比例函数的表达式..............................................................................................................1
题型二：已知一点求一次函数中K值或b值..........................................................................................................3
题型三：已知含y与含x的多项式成正比例，求函数表达式................................................................................6
题型四：两直线平移，求直线的表达式..................................................................................................................8
题型五：已知两点求一次函数的表达式................................................................................................................10
题型一：已知一点求正比例函数的表达式
1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知 与 成正比例，当 时， ．
(1)求 与 之间的函数表达式；
(2)请判断点 是否在这个函数的图象上，并说明理由．
【答案】(1)
(2)点 不在这个函数的图象上，理由见解析
【分析】本题主要考查了利用待定系数法求正比例函数的解析式，判定点是否在函数图象上．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）把点 代入 ，通过计算看左右两边是否相等，若相等，点在函数图象上，否则就不在
函数图象上．
【详解】（1）解：设 与 的函数表达式为： ，
∵当 时， ，
∴ ，
解得： ，
，
∴y与x的函数解析式为： ；
（2）解：点 不在该函数的图形上，理由如下：
把点 代入 ，
左边 ，右边 ，
∵左边 右边，
∴点 不在该函数的图象上．2．（24-25八年级下·湖南湘潭·期末）已知正比例函数 ．
(1)若它的图象经过第二、四象限，求k的取值范围．
(2)若点 在它的图象上，求它的解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．
（1）根据函数图象经过第二、四象限，可得 ，即可求解；
（2）将点 代入函数解析式 中，待定系数法求解析式即可求解．
【详解】（1）解：函数图象经过第二、四象限
∴ ，即k的取值范围是 ；
（2）将点 代入函数解析式 中，得： ，
解得： ，
所以正比例函数解析式为 ．
3．（2025八年级上·全国·专题练习）一个正比例函数 的图象经过点 ．
(1)求正比例函数的解析式；
(2)当 时，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了正比例函数的图像和性质．
（1）直接将 代入 计算即可；
（2）直接将 代入 计算即可．
【详解】（1）解：将 代入 得： ，
解得： ，
∴正比例函数的解析式为 ；
（2）解：将 代入 得 ，
解得 ．
4．（24-25八年级下·福建福州·期中）已知y是关于x的正比例函数，当 时， ．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)若点 是该函数图象上的一点，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了正比例函数的定义与性质，待定系数法求解析式；（1）设正比例函数的解析式为： ，将点 代入解析式即可求解；
（2）将点 代入（1）中解析式，即可求解．
【详解】（1）解：设正比例函数的解析式为： ，
将点 代入解析式可得： ，
解得： ，
y关于x的函数表达式为： ；
（2）解：把点 代入 得： ，
解得： ．
题型二：已知一点求一次函数中K值或b值
5．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数 （k为常数且 ）的图象经过点
．
(1)求此函数的表达式．
(2)当 时，记函数的最大值为M，最小值为N，求 的值．
【答案】(1)
(2)6
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解（1）的关键是利用待定系数法；解（2）的关键是
利用一次函数的性质，求得M、N．
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据一次函数的性质求得最大值M和最小值N，进而即可求得 的值．
【详解】（1）解：∵一次函数 （k为常数且 ）的图象经过点 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴一次函数的表达式为 ；
（2）解：∵ ， ，
∴y随x的增大而增大，
∵当 时，记函数的最大值为M，最小值为N，
∴ ，
∴ ．
6．（2025上·安徽六安·八年级统考期末）已知直线 经过点 ．(1)求a的值；
(2)将该直线向下平移k个单位长度使其成为正比例函数，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了求一次函数解析式和一次函数平移，解题关键是熟练运用待定系数法求出解析式；
（1）把 代入即可求出a的值；
（2）根据正比例函数图象经过原点，确定k的值即可．
【详解】（1）解：把 代入 ,
可得 ，
解得 ；
（2）解：因为正比例函数图象经过原点，
所以，将该直线向下平移3个单位长度使其成为正比例函数，
所以， ．
7．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）已知一次函数 的图象经过点 ．
(1)求此一次函数的表达式．
(2)判断点 是否在该函数图象上，并说明理由．
【答案】(1)一次函数表达式为 ；
(2)点 在该函数图象上，理由见解析．
【分析】（ ）利用待定系数法解答即可求解；
（ ）把 代入（ ）得到的函数表达式中，求出 的值，与点的纵坐标 比较即可判断；
此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象，掌握待定系数法是解题的关键．
【详解】（1）解：把点 代入 得： ，
解得 ，
故所求一次函数表达式为 ；
（2）解：当 时， ，
故点 在该函数图象上．
8．（23·24八年级上·浙江金华·阶段练习）已知一次函数 ，当 时， ．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求该一次函数与坐标轴围成的三角形的面积．
【答案】(1) ；
(2)16．
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴围成的图形面积．（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得直线与坐标轴的交点坐标，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：将 时， 代入 得： ，
解得
∴一次函数的解析式为 ；
（2）解：令 ，则 ， ，
令 ，则 ，
．
9．（2025上·浙江杭州·八年级杭州育才中学校考阶段练习）已知一次函数 ，其中 ．
(1)若点 在y的图象上，求k的值．
(2)当 时，若函数有最大值9，求y的函数表达式．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题考查了一次函数图象上的点，一次函数的性质；
（1）将点 代入关系式，求出 ，即可求解；
（2）①当 时，即： ，利用一次函数的增减性得当 时， ，将此代入即可求解；②当
时，即： ，利用一次函数的增减性得当 时， ，将此代入即可求解；
掌握一次函数的性质中的增减性，并利用其确定取得最值的条件是解题的关键．
【详解】（1）解： 点 在 的图象上，
，
解得： ；
故答案为： ；
（2）解：①当 时，即： ，
当 时，函数的最大值为9，
当 时， ，
，
解得： ，
一次函数解析式为 ；
②当 时，即： ，
当 时，函数的最大值为9，当 时， ，
，
解得： ，
一次函数解析式为 ；
综上所述：一次函数解析式为 或 ；
题型三：已知含y与含x的多项式成正比例，求函数表达式
10．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）若y与 成正比例，且当 时， ．
(1)求y与x的函数表达式；
(2)当 时，则y的取值范围是________________；
(3)当x在什么范围内时， ？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了用待定系数法求函数解析式，是常用的一种解题方法．
（1）因为 与 成正比例，可设 ，又 时， ，利用待定系数法即可求出 与 的函
数解析式；
（2）分别将 及 代入中求解，再回答即可；
（3）图象与直线 的交点及其下方的部分所对应的 值即为所求．
【详解】（1）因为 与 成正比例，设 ，
又 时， ，
则
解得： ．
故 与 的函数关系式为： ；
（2）将 代入 ，得 ，
将 代入 ，得 ，
所以y的取值范围是 ，
故答案为： ；
（3）当 时， ，
∵ ，
∴ 随 的增大而减小，则图象与直线 的交点下方的部分所对应的 值使得 ，
时， ．
11．（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）已知 与2x成正比例，且当 时， ．(1)求y与x的函数表达式；
(2)当 时，求x的值．
【答案】(1)y与x的函数表达式为
(2)
【分析】本题主要考查了求函数解析式、求函数值等知识点，掌握待定系数法是解题的关键；
（1）设 ，将 、 代入 求得k的值，然后代入整理即可．解答；
（2）将 代入 计算即可．
【详解】（1）解：由 与 成正比例，可设 ．
将 ， 代入 ，
得 ，解得 ．
∴ ，整理得 ，即y与x的函数表达式为 ．
（2）解：将 代入 ，得 ，解得 ．
12．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知 与 成正比例关系，且当 时， ．
(1)求 与 之间的函数解析式；
(2)当 时，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2)当 时， 的取值范围为
【分析】本题主要考查正比例函数，掌握待定系数法求解析式，正比例函数图象的性质是解题的关键．
（1）根据正比例函数的定义设 ，把 时， 代入计算即可；
（2）根据正比例函数图象的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵ 与 成正比例关系，
∴设 ，
当 时， ，
∴ ，
解得， ，
∴ ，整理得， ，
∴ 与 之间的函数解析式为 ；（2）解：由（1）可得， 与 之间的函数解析式为 ，
∴ ，
∴ 随 的增大而增大，
当 时， ；当 时， ；
∴当 时， 的取值范围为 ．
13．（24-25八年级下·广西来宾·期末）已知 与 成正比，且 时， ．
(1)求 关于 的函数表达式；
(2)当 时，求 的值；
(3)将所得函数的图象平移，使它过点 ，求平移后图象的表达式．
【答案】(1) 关于 的函数表达式为 ；
(2) ；
(3)平移后图象的表达式为 ．
【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数的平移，
（1）根据题意设 ；然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）把 代入一次函数解析式可求得；
（3）设平移后直线的解析式为 ，把点 代入求出b的值，即可求出平移后直线的解析式．
【详解】（1）解：依题意设
∵ 时， ，
∴ ，解得
∴ 关于 的函数表达式为 ；
（2）解：当 时， ；
（3）解：将函数 平移的表达式设为
因为平移后的函数 的图象经过点 ，
所以 ，
解得
因此，平移后图象的表达式为 ．题型四：两直线平移，求直线的表达式
14．（25-26八年级上·全国·课后作业）将直线 向上平移5个单位后得到直线 ．
(1)写出直线 的函数表达式；
(2)判断点 是否在直线 上．
【答案】(1)
(2)点 在直线 上
【分析】本题考查一次函数的平移，一次函数的性质；
（1）根据口诀“上加下减，左加右减”求解即可；
（2）求出当 时的函数值，再判断即可．
【详解】（1）解：将直线 向上平移5个单位后的函数解析式为 ，
即直线 的函数解析式为 ；
（2）解：当 时， ，
所以点 在直线 上．
15．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象由函数 的图象
向下平移1个单位得到．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)对于x的每一个值，函数 的值都大于一次函数 的值且小于 的值，直接
写出m和n的取值范围．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移和函数性质，熟练掌握函数图象平移的技巧和结合图像分析
函数值大小是解题的关键．
（1）根据“上加下减，左加右减”的平移法则进行求解即可；
（2）从函数位置关系入手，根据 的图象和 的图象平行即可确定m的值，再结合与y轴交
点即可确定n的范围．
【详解】（1）解：∵一次函数 的图象由函数 的图象向下平移1个单位得到，
∴ ．
（2）解：∵对于x的每一个值，函数 的值都大于一次函数 的值且小于 的
值，∴函数 的图象在 的图象和 的图象之间，
∵ 的图象和 的图象平行，且与y轴交点分别为 和0，
∴ ， ．
16．（23-24八年级下·四川乐山·期中）已知直线 经过点 ，且平行于直线 ．
(1)求直线的解析式；
(2)如果这条直线经过点 ，求 的值；
(3)求由直线 ， 轴 y轴围成的三角形的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)9
【分析】本题主要考查一次函数图像的性质，掌握待定系数法求解析式，图像与坐标轴交点的计算方法，
几何图形面积的计算方法是解题的关键．
（1）根据直线平行，可得 ，把A的坐标代入 求解即可；
（2）把P的坐标代入（1）中所求函数解析式，即可求解；
（3）分别求出直线 与 轴、 y轴交点坐标，然后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：∵直线 平行于直线 ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 ，得 ，
∴直线的解析式为 ；
（2）解：把 代入 ，得 ，
解得 ；
（3）解：对于 ，
当 时， ，
当 时， ，解得 ，
∴直线 与 轴、 y轴交点坐标为 ， ，
∴直线 ， 轴， y轴围成的三角形的面积为 ．
题型五：已知两点求一次函数的表达式
17．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数 ，它的图象经过 ， 两点．(1)求 与 之间的函数表达式；
(2)当 时，求函数值 的最小值．
【答案】(1)
(2)函数值 的最小值为
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的表达式，一次函数的性质，
（1）把点 ， 的坐标分别代入 ，得到关于 的方程组，解方程组求得 的值即可
得出y与x之间的函数表达式；
（2）根据（1）所求函数的表达式，然后根据该函数的增减性及 即可得出y的最小值；
熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，理解一次函数的性质是解决问题的关键．
【详解】（1）∵一次函数 ，它的图象经过 ， 两点，
∴ ，解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为： ；
（2）对于 ，
∵ ，
∴y随x的增大而增大，
又∵ ，
∴当 时，y的值为最小，最小值 ．
18．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知一次函数的图像经过 ， 两点．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)求此函数与 轴、 轴围成的三角形的面积．
【答案】(1)一次函数的表达式为
(2)
【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式以及图像与坐标轴围成的三角形面积求法，掌握一次函数的
图像与性质是解题的关键．
（1）设函数解析式为 ，将 ， 两点代入可得出 和 的值，进而可得出函数解析式；
（2）求出一次函数的图像与坐标轴的交点坐标，即可求出所围成的三角形面积．
【详解】（1）解：设这个一次函数的表达式为 ，
将 ， 代入得： ，
解得： ，
一次函数的表达式为 ；（2）解：当 时， ，
解得： ，
该一次函数图像与 轴交于点 ，
当 时， ，
该一次函数图像与 轴交于点 ，
此函数图像与 轴、 轴围成的三角形的面积为 ．
19．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，点A的坐标为 ，点 的坐标为 ．
(1)求过A， 两点直线的函数表达式；
(2)过点 作直线 与 轴交于点 ，且使 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)2或6
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与几何的应用等知识点，掌握数形结合
以及分类讨论思想是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）由点A、B的坐标，可得出 的长，结合 ，可求出 的长，然后再利用三角形的面
积公式求解即可．
【详解】（1）解：设过A，B两点直线的函数表达式为 ，
将 ， 代入 得：
，解得： ，
∴过A，B两点直线的函数表达式为 ．
（2）解：∵点A的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ．
综上， 的面积为2或6．
20．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）某城市为了节约用水，采用分段收费标准．居民每月应交水费
（元）与用水量 （吨）之间关系的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)请写出 与 之间的函数表达式．
(2)若该城市某户居民某月交了水费42元，求该户居民本月的用水量．
【答案】(1)
(2)该户居民用水13吨
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用信息，列出函数关
系式．
（1）分两种情况，用待定系数法求出函数关系式即可；
（2）把 代入（1）所得对应的函数解析式计算即可求解；
【详解】（1）解：当 时，设 ，
把 ，代入得 ，解得 ，
∴ ；
当 时，设 ，
把 代入得 ，解得 ，
∴ ；
综上所述， 与 之间的关系式为 ；
（2）解：∵ ，
∴用水量超过10吨，
把 代入 得 ，
解得 ，
答：该户居民用水13吨．
21．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知直线 经过点 ，直线
与该直线交于点C．
(1)求直线 的表达式；
(2)求两直线与y轴围成的三角形面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的交点，一次函数与一元一次不等
式的关系，关键是正确从函数图象中获得正确信息．
（1）利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（2）联立两直线解析式，解方程组即可得到点C的坐标，然后结合三角形面积公式求解；
【详解】（1）解：∵直线 经过点 ，
得 ，
解得： ，直线 的表达式为 ；
（2）解：联立 ，
解得： ，
故点 的坐标为 ．
由（1）得， 与y轴交点为 与 轴交点为 ，
由图可得：两个函数与 所围的三角形底为： ，高为点 的横坐标，
．
22．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，直线 经过点 ，且与直线 交于点
，直线 与 ， 轴分别交于点 ， ，直线 交 轴于点 ．
(1)求 的值及直线 的表达式．
(2)计算四边形 的面积．
(3) 是直线 上一点，若 ，求点 的坐标．
【答案】(1) ，
(2)9
(3)点 的坐标为 或
【分析】本题主要考查一次函数与几何图形的综合运用，
（1）把点 在直线 上，可得 ，在运用待定系数法，将 ， 代入直线 的
表达式为 ，即可求解；
（2）由（1）可得 ， ， ，则 ，根据 ，代入求
值即可；（3）设 ，根据 ， ，且 ，分别代入求值即可．
【详解】（1）解：∵点 在直线 上，
∴ ．即 ，
设直线 的表达式为 ，将 ， 代入，
得 ，
解得 ，
∴直线 的表达式为 ．
（2）解：由（1）可得 ， ，
直线 ，令 ，可得 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
解得 或11，
∴点 的坐标为 或 ．
