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专题 01 等腰三角形分类讨论问题综合应用
在初中阶段，等腰三角形是一种特殊的三角形，其角有顶角、底角之分，边有
腰、底边之分。就是因为这种特殊性，在解决具体问题时，如果理不清题意，往往
会出现漏解或错解，因此，在求解等腰三角形的相关问题时一定要考虑到可能出
现的所有情况，进行分类讨论，分类解决。那么在什么情况下应该分类讨论呢？
本文主要从以下几种情形进行分析。
【新方法解读】
类型一：腰和底不明时需讨论
类型二：顶角和底角不明时需讨论
类型三：涉及中线、高位置的讨论
类型四：等腰三角形个数的讨论
类型五：动点引起的分类讨论
【典例分析】
【考点1 腰和底不明时需分类】
【典例1】（2022秋•番禺区校级期末）等腰三角形的一条边长为 6，另一边长
为14，则它的周长为（ ）
A．26 B．26或34 C．34 D．20
【变式1-1】（2022秋•门头沟区期末）一个等腰三角形的两条边分别是 2cm和
5cm，则第三条边的边长是（ ）
A．2cm B．5cmC．2cm或5cm D．不能确定
【变式1-2】（2022秋•苏州期中）已知等腰三角形的周长为 20，一边长为5，
则此等腰三角形的底边长是（ ）
A．5B．7.5 C．5或10 D．5或7.5
【变式1-3】（2022秋•东莞市校级期中）已知等腰三角形的两边长分别为 5和
11，则它的周长等于（ ）A．21 B．21或27 C．55 D．27
【考点2 顶角和底角不明时需讨论】
【典例2】（2022秋•卧龙区校级期末）已知等腰三角形的一个内角为40°，则
这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．40° B．100° C．40°或100° D．50°或70°
【变式2-1】（2021春•岱岳区期末）等腰三角形中有一个角为 100°，则其底
角为（ ）
A．50° B．40° C．40°或100° D．50°或100°
【变式2-2】（2022秋•白云区校级期末）等腰三角形的一个内角等于 70°，则
它的底角是（ ）
A．70° B．55° C．60° D．70°或55°
【考点3 涉及中线、高位置的讨论】
【典例3】（2022秋•临高县期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AC边上
的中线把三角形的周长分为 24cm和30cm的两部分，求这个三角形的边 BC
的长．
【变式3-1】（2022秋•东平县校级期末）等腰三角形一腰上的中线把三角形周
长分为15和12两部分，则此三角形的底边长为（ ）
A．7B．11 C．7或11 D．无法确定
【变式3-2】（2022秋•綦江区校级月考）在△ABC中，AB＝BC，AB边上的中
线 CD 将△ABC 的周长分为 15 和 6 两个部分，求△ABC 的三边长分别为
（ ）
A．10，10，1 B．4，4，13 C．8，8，5D．9，9，3
【变式3-3】（2022秋•沙洋县期中）在△ABC中，AB＝AC，其周长为20cm．
（1）求AB的取值范围；（2）若AC上的中线BD将这个三角形的周长分成 8cm和12cm两部分，求
BC的长．
【典例4】（2022秋•九龙坡区期末）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所在
直线的夹角是40°，则底角的度数是（ ）
A．65° B．65°或25°C．70° D．70°或20°
【变式4-1】（2022秋•聊城期末）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为
50°，则这个等腰三角形的底角的度数为（ ）
A．20° B．50°或70°C．70° D．20°或70°
【变式4-2】（2022秋•东昌府区校级期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的
夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为（ ）
A．50° B．27° C．64°或27°D．63°或27°
【变式4-3】（2022秋•右玉县期末）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹
角为35°，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A．55°或125°B．55° C．125° D．35°或55°
【考点4 等腰三角形个数的讨论】
【典例 5】（2021 春•埇桥区期末）如图，平面直角坐标系中存在点 A（3，
2），点B（1，0），以线段AB为边作等腰三角形ABP，使得点P在坐标轴
上．则这样的P点有（ ）
A．4个 B．5个C．6个D．7个
【变式5-1】（2022秋•五华区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点 A在
第一象限，OA与x轴的夹角为60°，点P是x轴上一动点，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）
A．2个 B．3个C．4个D．6个
【变式5-2】（2020秋•金平区校级期末）坐标平面上有点A（0，3），B（6，
0），坐标轴上存在 个点C，使△ABC为等腰三角形．
【考点5 动点引起的分类】
【典例6】（2022秋•高安市期中）如图，已知D、E分别是△ABC的边BC、
AC上的点，且AB＝AC，AD＝AE．
（1）若∠BAD＝20°，求∠EDC的度数；
（2）若∠EDC＝20°，求∠BAD的度数；
（3）设∠BAD＝ ，∠EDC＝ ，请你判断 、 是否存在数量关系，写出你
的结论并证明．
α β α β
【变式 6-1】（2020 秋•涪城区校级期末）如图，在等边△ABC 中，AB＝
12cm，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达
B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？
（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，
请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．
【变式6-2】（2022秋•泰州月考）如图，长方形 ABCD中，AB＝6cm，BC＝
8cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D﹣A
返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒．
（1）当t＝2时，BP＝ cm；
（2）当t为何值时，连接CP，DP，△CDP是等腰三角形？【夯实基础】
1．（2022秋•宜州区期中）若等腰三角形的一边长为 2，周长为10，则它的腰
长为（ ）
A．2B．4 C．2或4 D．不能确定
2．（2022秋•包河区校级期中）已知等腰三角形的周长为 19，一边长为8，则
该等腰三角形的腰长为（ ）
A．3B．8 C．3或8 D．8或5.5
3．（2022秋•南宁月考）如果等腰三角形的一个外角为 150°，则它的底角度
数为（ ）
A．30° B．75° C．30°或75°D．60°
4．（2022秋•黄陂区校级期末）等腰三角形的一个内角是 80°，则它的底角是
（ ）
A．50° B．80° C．50°或80°D．20°或80°
5．（2022秋•龙马潭区期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成 6
和12两部分，则等腰三角形的底边长（ ）
A．6B．10 C．2 D．2或10
6．（2022秋•泰州月考）若等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把其周
长分成的两部分之差为3cm，则其腰长为（ ）
A．3cm B．6cmC．9cmD．3cm或9cm
7．（2022秋•平桂区 期末）已知等腰三角形ABC的一个角为80°，则该三角
形的顶角为（ ）
A．80° B．20° C．80°或20°D．以上都不对
8．（2022秋•硚口区期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 50°，则
它的底角的大小是（ ）
A．25° B．20° C．25°或65°D．20°或70°
9.（2022秋•北关区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC的周长分为6与15两部分，求三角形各边长．
10．（2022秋•南开区校级期中）（1）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰
上的中线BD将三角形的周长分成 27和18两部分．求这个等腰三角形的腰
长及底边长；
（2）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42°，求这个等腰三角
形底角的度数．
11．（2020秋•雄县期中）如图，在等边△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，∠B
＝∠C＝60°，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边运动，
已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，
M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？
（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，
请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．
【能力提升】12．（2021秋•围场县期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格
点．已知点A、B是两格点，若点C也是图中的格点，则使得△ABC是以AB
为腰的等腰三角形时，点C的个数是（ ）
A．1B．2 C．3 D．4
13．（2022秋•嘉峪关期末）若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等
腰三角形的底角是（ ）
A．75°或30° B．75° C．15° D．75°和15°
14．（2022春•九龙坡区校级月考）在周长为10的△ABC中，AB＝AC，BD为
△ABC的中线，且BD将△ABC的周长分为两部分，两部分的差值为 2，则
底边长为 ．
15．（2021秋•蚌埠期末）已知：如图，A ，A ，A 是∠MON的ON边上顺次
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三个不同的点，B ，B ，B 是∠MON的OM边上顺次三个不同的点，且有
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OA ＝A B ＝B A ＝A B ＝B A ．
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（1）当∠MB A ＝45°时，∠MON＝ ；
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（2）若OM边上不存在B 点，使得A B ＝B A ，则∠MON的最小值是 ．
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16．（2022秋•宽城区期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC
＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始
沿A→B方向运动，且速度为每秒 1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运
动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）BP＝ （用t的代数式表示）
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，出发 秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
