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2021-2022 学年北师大版数学八年级下册压轴题专题精选汇编
专题 01 等腰三角形与直角三角形
一、选择题
1．（2022八下·长兴开学考）如图，在△ABC中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，若∠A=40°，则∠EDF等于（
）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【完整解答】解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠B=∠C=70°，
又∵BE=CD，BD=CF，
∴△BED≌△CFD（SAS），
∴∠BED=∠CDF，
∵∠BED+∠B=∠EDF+∠CDF，
∴∠B=∠EDF=70°，
故答案为：D.
【思路引导】利用等腰三角形性质和内角和定理求得∠B=∠C=70°，结合BE=CD，BD=CF可证明
△BED≌△CFD，再由全等三角形性质和外角定理性质可得∠B=∠EDF即可解决问题.
2．（2021八上·海曙期末）如图，在 中， ， ， 为 边的中
点， ， 绕 点旋转，它的两边分别交 和 的延长线于 ， ，当点 在 延长线上时， ， ， 的关系为（ ）
A． = B． =
C． = D． =
【答案】A
【完整解答】解：连接CD，
∵Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB的中点，
∴CD=DB，∠DBC=∠ACD=45°，∠CDB=∠EDF=90°，
∴∠DCE=180°-45°=135°，∠DBF=180°-45°=135°，
∴∠DCE=∠DBF，
在△CDE和△BDF中，
∴△CDE≌△BDF（ASA）∴ ，
∴ .
故答案为：A.
【思路引导】连接CD，利用等腰直角三角形的性质可证得CD=DB，∠DBC=∠ACD=45°，
∠CDB=∠EDF=90°，由此可推出∠CDE=∠BDF，再利用ASA证明△CDE≌△BDF，利用全等三角形的面积相等，
可得到 ，由此可证得结论.
3．（2021八上·鄞州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，将△ABC绕点B顺时针
旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为（ ）
A．44 B．43 C．42 D．41
【答案】C
【完整解答】解：∵△BDE由△BCA旋转得出，
∴BD＝BC＝12.
∵∠CBD＝60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴CD＝BC＝12.
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝ ＝13，
∴C +C ＝AC+CF+AF+BF+DF+BD＝AC+AB+CD+BD＝5+13+12+12＝42.
△ACF △BDF
故答案为：C.【思路引导】根据旋转的性质可得BD＝BC＝12，推出△BCD为等边三角形，得到CD＝BC＝12，利用勾股定
理求出AB，进而可将△ACF与△BDF的周长之和转化为AC+AB+CD+BD，据此计算.
4．（2021八上·开化期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交
AC于点D，连接BD，则∠ABD等于（ )
A．36° B．46° C．54° D．72°
【答案】A
【完整解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠C= =72°，
∵BC=BD，
∴∠BDC=∠C=72°，
∴∠ABD=∠BDC-∠A=36°.
故答案为：A.
【思路引导】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据等腰三角形的性质求出
∠BDC，最后根据三角形外角的性质求∠ABD的度数即可.
5．（2022八下·）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若
∠DAC=20°，∠ACB=84°，则∠FEG等于（ ）
A．32° B．38° C．64° D．30°【答案】A
【完整解答】∵AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，
GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，
∴GF= AD，GF∥AD，GE= BC，GE∥BC.
又∵AD=BC，
∴GF=GE，∴∠EFG=∠FEG，∠FGC=∠DAC=20°，
∠AGE=∠ACB=84°，
∵∠FGE=∠FGC+∠EGC=20°+（180°-84°）=116°，
∠FEG= （180°-∠FGE）=32°。
故答案为：A.
【思路引导】利用已知可证得 GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，利用三角形的中位线定理去证
明GF=GE，GF∥AD，GE∥BC；再利用等边对等角可求出∠FGC，∠AGE的度数，同时可证得∠EFG=∠FEG；再
求出∠FGE的度数，然后利用三角形的内角和定理求出∠FEG的度数.
6．（2021八上·瓯海月考）在平面直角坐标系中，已知点A（3，﹣3），在坐标轴上确定一点B，使
△AOB为等腰三角形，则符合条件的点B共有（ ）个
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【完整解答】若AO作为腰时，有两种情况，当A是顶角顶点时，B是以A为圆心，以OA为半径的圆与坐标
轴的交点，共有2个（除O点）；
当O是顶角顶点时，B是以O为圆心，以OA为半径的圆与坐标轴的交点，有4个；
若OA是底边时，B是OA的中垂线与坐标轴的交点，有2个.
以上8个交点没有重合的，故符合条件的点有8个.
故答案为：D.
【思路引导】利用“两圆一线”法，分三种情况确定B点的个数，①以A为圆心，AO为半径画圆交坐标轴
2个点（除O点）；②以O为圆心，OA为半径画圆交坐标轴4个点；作AO的垂直平分线，垂直平分线交坐
标轴2个点，所以一共有8个点.7．（2021八上·衢江月考）如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝60°，斜边AB＝10，分别以△ABC的三边长为
边在AB上方作正方形，S，S，S，S，S 分别表示对应阴影部分的面积，则S+S+S+S+S＝（ ）
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
A．50 B．50 C．100 D．100
【答案】B
【完整解答】解：在Rt△ABC中，∠CBA＝60°，斜边AB＝10，
∴BC＝ AB＝5，AC＝ ＝5 ，
过D作DN⊥BF于N，连接DI，
在△ACB和△BND中，
，
∴△ACB≌△BND（AAS），
同理，Rt△MND≌Rt△OCB，
∴MD＝OB，∠DMN＝∠BOC，
∴EM＝DO，
∴DN＝BC＝CI，
∵DN∥CI，
∴四边形DNCI是平行四边形，
∵∠NCI＝90°，∴四边形DNCI是矩形，
∴∠DIC＝90°，
∴D、I、H三点共线，
∵∠F＝∠DIO＝90°，∠EMF＝∠DMN＝∠BOC＝∠DOI，
∴△FME≌△DOI（AAS），
∵图中S＝S ，S ＝S ，
2 Rt△DOI △BOC △MND
∴S+S＝S ，S＝S ，
2 4 Rt△ABC 3 △ABC
在Rt△AGE和Rt△ABC中，
，
∴Rt△AGE≌Rt△ACB（HL），
同理，Rt△DNB≌Rt△BHD，
∴S+S+S+S+S
1 2 3 4 5
＝S+S+（S+S）+S
1 3 2 4 5
＝Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积
＝Rt△ABC的面积×4
＝5×5 ÷2×4
＝50 .
故答案为：B.
【思路引导】过D作DN⊥BF于N，连接DI，证明△ACB≌△BND，Rt△MND≌Rt△OCB，△FME≌△DOI，由于
S＝S ，S ＝S ，得出S+S＝S ，S＝S ，再证明Rt△AGE≌Rt△ACB，Rt△DNB≌Rt△BHD，
2 Rt△DOI △BOC △MND 2 4 Rt△ABC 3 △ABC
由于S+S+S+S+S＝S+S+（S+S）+S＝Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积
1 2 3 4 5 1 3 2 4 5
＝Rt△ABC的面积×4，据此即可求解.
8．（2021八上·如皋期末）如图，在 中， ， ，D为 的中点，P为 上一点，E为 延长线上一点，且 有下列结论：① ；②
为等边三角形；③ ；④ 其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④
【答案】C
【完整解答】解：如图，连接BP，
∵AC＝BC，∠ABC＝30°，点D是AB的中点，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，
∴CD是AB的中垂线，
∴AP＝BP，而AP＝PE，
∴AP＝PB＝PE
∴∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，
∴∠PBA+∠PBE＝∠PAB+∠PEB，
∴∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
故①正确；
∵PA＝PE，
∴∠PAE＝∠PEA，
∵∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，∴∠PAE+∠PEA＝
而
∴△PAE是等边三角形，
故②正确；
如图，延长 至 ，使 则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，
∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AD，
∵△PAE是等边三角形，
∴AE＝AP，
∴AE＝AP′，
∵∠CAD＝∠CAP+∠PAD＝30°，
∴2∠CAP+2∠PAD＝60°，
∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD＝60°﹣∠PAC，
∴∠P′AC＝∠EAC，
∵AC＝AC，
∴△P′AC≌△∠EAC（SAS），
∴CP′＝CE，
∴CE＝CP′＝CP+PD+DP′＝CP+2PD，
∴ .
故③错误；
过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，∵CG＝CP，∠BCD＝60°，
∴△CPG是等边三角形，
∴∠CGP＝∠PCG＝60°，
∴∠ECP＝∠PGB＝120°，且EP＝PB，∠PEB＝∠PBE，
∴△PCE≌△PGB（AAS），
∴CE＝GB，
∴AC＝BC＝BG+CG＝EC+CP，
∵∠ABC＝30°，AF⊥BE，
∴AF＝ AB＝AD，
∵S ＝ CB×AF＝ （EC+CP）×AF＝ EC×AF+ CP×AD＝S ，
△ACB 四边形AECP
∴S ＝S .故④正确.
四边形AECP △ABC
所以其中正确的结论是①②④.
故答案为：C.
【思路引导】连接BP，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，
CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，进而推出AP＝BP＝PE，由等腰三角形的性质可得∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝
∠PBE，然后根据角的和差关系可判断①；易得∠PAE+∠PEA＝120°，∠APE=60°，据此判断
②；延长PD至P′，使PD=P′D，则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，由等边三角形的性质可得AE
＝AP，则AE＝AP′，推出∠P′AC＝∠EAC，证明△P′AC≌△∠EAC，得到CP′＝CE=CP+2PD，据此判断③；
过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，则△CPG是等边三角形，则∠CGP＝∠PCG＝60°，证明
△PCE≌△PGB，得到CE＝GB，推出AC＝BC＝EC+CP，根据含30°角的直角三角形的性质可得AF＝ AB＝
AD，据此不难判断④.9．（2021八上·盐湖期中）有一题目：“如图，∠ABC=40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于点
E，若点F在AB上，且满足DF=DE，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB
于点F，连接DF，则DE=DF，由图形的对称性可得∠DFB=∠DEB．结合平行线的性质可求得∠DFB=140°．
而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（ ）
A．小军说的对，且∠DFB的另一个值是40°
B．小军说的不对，∠DFB只有140°一个值
C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20°
D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值
【答案】A
【完整解答】解：
如图，以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则
，
，
平分 ，
由图形的对称性可知： ，
， ，
，
，
当点F位于点 处时，
，
．故答案为：A．
【思路引导】以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则
，由图形的对称性可知 ，结合平行线的性质求∠DFB=140°，当点F
位于点 处时，由DF=DF'可求出∠DF'B的度数.
10．（2021八上·龙沙期中）如图，已知∠MON＝30°，点A、A、A…在射线N上，点B、B、B……在
1 2 3 1 2 3
射线OM上；△ABA、△ABA、△ABA……均为等边三角形若OA＝1，则△A B A 的边长（ ）
1 1 2 2 2 3 3 3 4 1 2020 2020 2021
A．22019 B．4040 C．4038 D．22020
【答案】A
【完整解答】解：∵△ABA为等边三角形，
1 1 2
∴∠BAA=60°，
1 1 2
∴∠OBA=∠BAA-∠MON=30°，
1 1 1 1 2
∴∠OBA=∠MON，
1 1
∴AB=OA=1，
1 1 1
同理可得，AB=OA=2，AB=OA=4=22，
2 2 2 3 3 3
……
∴△A B A 的边长=22019，
2020 2020 2021
故答案为：A．
【思路引导】根据等边三角形的性质得出∠BAA=60°，根据三角形的外角性质求出∠OBA，
1 1 2 1 1
∠OBA=∠MON，根据等腰三角形的判定定理得出AB=OA=1，总结规律，根据规律解答即可。
1 1 1 1 1
二、填空题
11．等腰三角形的一边长是2cm，另一边长是4cm，则底边长为 cm.
【答案】2
【完整解答】解：当底边为2cm时，则腰长为4cm，4+4＞2，符合三角形的三边关系；
当底边为4cm时，则腰长为2cm，2+2=4，不符合三角形的三边关系，所以底边不能够为4cm，综上，底边只能为2cm.
故答案为：2.
【思路引导】分情况讨论：当腰长为2，底边长为4时；当底边长为2，腰长为4时；利用三角形三边关系
定理，可得到符合题意的底边长.
12．（2021八上·鄞州期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，点D在BC上（BD＞CD），△AED与
△ACD关于直线AD轴对称，点C的对称点是点E，AE交BC于点F，连结BE，CE.当DE⊥BC时，∠ADE的度
数为 ，CE的长为 .
【答案】135°；
【完整解答】解：过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC＝13，BC＝24，
∴BH＝CH＝12，
∴AH＝ ＝5，
∵△AED与△ACD关于直线AD轴对称，
∴∠ADC＝∠ADE，CD＝DE，
∵DE⊥BC，
∴∠BDE＝90°，
∴∠ADE＝90°+∠ADB＝∠ADC，
∴90°+∠ADB＝180°﹣∠ADB，
∴∠ADB＝45°，
∵∠AHC＝90°，
∴∠ADB＝∠HAD＝45°，∴AH＝HD＝5，∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝135°，
∴BD＝12+5＝17，
∴CD＝DE＝24﹣17＝7，
∴CE＝ ＝7 .
故答案为：135°，7 .
【思路引导】过A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质可得BH＝CH＝12，由勾股定理求出AH，根据轴对
称的性质可得∠ADC＝∠ADE，CD＝DE，易得∠BDE＝90°，∠ADB＝45°，∠ADB＝∠HAD＝45°，则AH＝HD
＝5，∠ADE＝∠ADB+∠BDE，BD＝12+5＝17，CD＝DE＝7，然后利用勾股定理就可求出CE.
13．（2022八下·）在 ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=28°，则∠A的度数为
。
【答案】59°或31°
【完整解答】解：如图1，
∵BE是AD边上的高，
∴∠BED=90°，
∴∠BDE=90°-∠EBD=90°-28°=62°，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD= （180°-62°）=59°；
如图2，同理可得∠BDE=62°，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD= ×62°=31°；
∴∠A的度数为59°或31°.
故答案为：59°或31°.
【思路引导】分情况讨论：分别画出图形，利用高的定义可证得∠BED=90°，利用三角形的内角和定理可
求出∠BDE的度数；利用等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠A的度数；同理可证得∠BDE=62°，利
用三角形的外角的性质可求出∠A的度数.
14．（2022八下·三角）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
AD=BC，∠PEF=18°，则∠PFE的度数是 。
【答案】18°
【完整解答】解：∵P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴PF是△BDC的中位线，PE是△ABD的中位线，
∴PF= BC，PE= AD，
∵AD=BC，
∴PF=PE，
∴∠PEF=∠PFE=18°.故答案为：18°.
【思路引导】利用已知条件易证明PF是△BDC的中位线，PE是△ABD的中位线，再利用三角形的中位线定
理及AD=BC，可证得PF=PE，利用等边对等角可求出∠PFE的度数.
15．（2022八下·）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=2，BC=5，∠BAD的平分线交BC于点E，且
AE∥CD，则四边形AECD的面积为 。
【答案】
【完整解答】解：作AH⊥BE，
∵AD∥BC，AE∥CD，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AE=CD=2，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAE，
∵∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
∴AB=BE=AE=2，
∴△ABE是等边三角形，EC=BC-BE=5-2=3，
∴AH= AE= ，∴四边形AECD的面积=EC×AH=3× =3 .
故答案为： 3 .
【思路引导】作AH⊥BE，先证明四边形AECD为平行四边形，得出AE=CD=2，再根据平行线的性质和角平分
线的定义求出AB=BE，从而求出△ABE是等边三角形和EC的长，再根据等边三角形的性质求出AH长，最后
计算平行四边形AECD的面积即可.
16．（2021八上·衢江月考）如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E是BC中点，点F是线段AB上一
个动点.
（1）连接DF，则DF+EF的最小值为 ；
（2）以EF为斜边向斜上方作等腰Rt△EFG，点F从点B运动到点A的过程中，AG的最小值为
.
【答案】（1）
（2）
【完整解答】解：（1）如图1，
作点E关于AB的对称点E′，连接DE′于AB交于F（图中F′），则DE+DF最小值是DE′的长，
在Rt△CDE′中，CD＝3，CE′＝3，
∴DE′＝ ＝3 ，故答案是：3 ；
（2）如图，以EF为斜边向斜上方作等腰Rt△EFG，过点G分别作AB、CD的垂线，垂足分别为M、N，CD上
取DP=1，连接PB，则PC=2=BC，
∴△PCB是等腰直角三角形
是 的角平分线
∵△GFE是等腰直角三角
，
又
G点在线段PB上
当AG⊥PB时AG取得最小值
∴△ABG是等腰直角三角形∴
故答案为： .
【思路引导】（1）作点E关于AB的对称点E′，连接DE′于AB交于F（图中F′），则DE+DF最小值是
DE′的长，利用勾股定理求出DE′即可；
（2）以EF为斜边向斜上方作等腰Rt△EFG，过点G分别作AB、CD的垂线，垂足分别为M、N，CD上取
DP=1，连接PB，则PC=2=BC，证明△GFM≌△GEN，可得GM=GN，得G点在线段PB上，从而得出当AG⊥PB时
AG取得最小值，求出此时AG的长.
17．（2021八上·门头沟期末）如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠C＝20°，在BC 上取一点C，延长AB
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1
到点B，使得BB＝BC，在BC 上取一点C，延长AB 到点B，使得BB＝BC，在BC 上取一点C，延长
2 1 2 1 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 4
AB 到点B，使得BB＝BC，……，按此操作进行下去，那么第2个三角形的内角∠ABC＝ °；
3 4 3 4 3 4 2 2
第n个三角形的内角∠ABC＝ °．
n n
【答案】40；
【完整解答】解：△ABC 中，AC＝BC，∠C＝20°，
1 1 1 1 1 1
∴∠CBA＝ ，
1 1
∵BB＝BC，∠CBA是△BBC 的外角，
1 2 1 2 1 1 1 2 2
∴∠BBC＝ ；
1 2 2同理可得，
∠CBB＝20°，∠CBB＝10°，
3 3 2 4 3 2
∴∠ABC＝ ．
n n
故答案为：40， ．
【思路引导】先求出∠CBA＝80°，再找出规律求解即可。
1 1
18．（2021八上·建华期末）小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中， ，
， 的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，
你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：① ；②图中没有60°的角；③D、O、C
三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：
【答案】①
【完整解答】解：∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO= ∠BAC= ×50°=25°．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°．
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=25°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴直线AO垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE．
∴∠COE=∠OCB=40°；
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠OEF= ∠CEO=50°，①符合题意；
∵∠OCB=∠OBC=∠COE=40°，
∴∠BOE=180°-∠OBC-∠COE-∠OCB =180°-40°-40°-40°=60°, ②不符合题意；
∵∠ABO=∠BAO=25°，DO是AB的垂直平分线，
∴∠DOB=90°-∠ABO=75°，
∵∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°-∠OBC -∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=75°+100°=175°,即D、O、C三点不共线，③不符合题意.
故答案为：①．
【思路引导】根据等腰三角形的性质，角平分线，垂直平分线的定义对每个结论一一判断即可。
19．（2021八上·铁西月考）如图，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点M在对角线BD上，点N为射线BC
上一动点，连接MN，DN，且∠DNM＝∠DBC，当 DMN是等腰三角形时，线段BN的长为 ．
【答案】15或24或
【完整解答】解：①如图1中，
当NM=ND时，
∴∠NDM=∠NMD，∵∠MND=∠CBD，
∴∠BDN=∠BND，
∴BD=BN= =15；
②如图2中，
当DM=DN时，
此时M与B重合，
∴BC=CN=12，
∴BN=24；
③如图3中，
当MN=MD时，
∴∠NDM=∠MND，
∵∠MND=∠CBD，
∴∠NDM=∠MND=∠CBD，
∴BN=DN，
设BN=DN=x，
在Rt△DNC中，∵DN2=CN2+CD2，
∴x2=（12-x）2+92，
∴x= ，
综上，当 DMN是等腰三角形时，线段BN的长为15或24或 ．故答案为：15或24或 ．
【思路引导】分三种情况：①当NM=ND时，②当DM=DN时，③当MN=MD时，根据等腰三角形的性质及勾股
定理分别求解即可.
三、解答题
20．（2021八上·汉阴期末）如图，在 中，D为 的中点， ， ，
垂足分别为E，F，且 ， ，求证： 是等边三角形.
【答案】证明：∵ ， ，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵ ，
∴∠B=60°，
是等边三角形.
【思路引导】利用垂直的定义可证∠BED=∠CFD=90°，利用HL证明Rt△BED≌Rt△CFD，利用全等三角形
的对应角相等，可证得∠B=∠C，再求出∠B=60°，即可证得结论.
21．（2021八上·南京期末）如图，已知线段 ，用两种不同的方法作一点 ，使得
.
要求：（1）尺规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明.
【答案】解：作法一如下，
说明：作AB的垂直平分线EF，与AB交于N，作NC=NB，可得CN=AN=NB，∠ANC=∠BNC=90°，从而△ANC和
△BNC为等腰直角三角形，∠CAN=∠BCN=45°，所以可得∠ACB=90°；
作法二如下，
说明：过点A向右上方作射线AM，过点B作AM的垂线与AM交于C，连接BC，则∠ACB=90°.
【思路引导】作法一：作AB的垂直平分线EF，与AB交于N，再作NC=NB，可得CN=AN=NB，利用等腰直角
三角形的性质，可得到∠ACB=90°；作法二：过点A向右上方作射线AM，利用尺规作图过点B作AM的垂线
与AM交于C，连接BC，利用垂直的定义可知∠ACB=90°.
22．（2021八上·南京期末）如图，在 ABC中，∠C＝90°，按下列要求用直尺和圆规作图.（不写作
法，保留作图痕迹）（1）如图①，在边BC上求作一点P，使点P到点C的距离等于点P到边AB的距离；
（2）如图②，在边AB上求作一点Q，使点Q到点A的距离等于点Q到边BC的距离.
【答案】（1）解：如图①，点P即为所求作；
（2）解：如图②，点Q即为所求作.
【思路引导】（1）利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点P在∠CAB的角平分线上，利用尺规
作图，作出∠CAB的角平分线，交BC于点P；
（2）利用已知∠C=90°，AP平分∠CAB，因此利用尺规作图作出PQ⊥BC，交AB于点Q，即可求解.
23．（2022八下·）如图，△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外侧作等腰△ABM和等腰△CAN，
AM=AB AC=AN，∠MAB=∠CAN.D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，EF.求证：DE=EF。【答案】证明：如图，连结BN，CM.
AM=AB，AC=AN， ∠MAB=∠CAN，
∠MAB+∠CAB=∠CAN+∠CAB，
即∠MAC=∠BAN.
△MAC≌△BAN（SAS）.
MC=BN.
又 D，E，F分别为MB，BC，CN的中点，
DE= MC，EF= BN，
DE=EF.
【思路引导】连结BN，CM，利用等腰三角形的性质及等边对等角可推出∠MAC=∠BAN，利用SAS可证得
△MAC≌△BAN，利用全等三角形的性质可证得MC=BN；再利用三角形的中位线定理及等量代换可证得结论.
24．（2021八上·营口期末）如图，在等腰△ABC和等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE且
C、E、D三点共线，作AM⊥CD于M．若BD＝5，DE＝4，求CM．
【答案】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△AEC和△ADB中，
，∴△AEC≌△ADB（SAS），
又∵BD＝5，
∴CE＝BD＝5，
∵AD＝AE，AM⊥CD，DE＝4，
∴ ，
∴CM＝CE+EM＝5+2＝7．
【思路引导】根据SAS证出△AEC≌△ADB，再根据BD＝5，AD＝AE，AM⊥CD，DE＝4，代入计算即可。
25．如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，且AB＝DE，BF＝
CE.求证：
（1）GF＝GC；
（2）△AFG≌△DCG.
【答案】（1）证明： ，
，即 ，
，
，
在 和 中， ，
，
，
是等腰三角形，
；
（2）证明： ，，
由（1）已证： ，
，即 ，
在 和 中， ，
.
【思路引导】（1）由BF=CE得BC=EF，利用垂直的定义得∠B=∠E，再利用SAS证明△ABC≌△DEF，利用
全等三角形的性质可知∠ACB=∠DFE，由此可证得△GFC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可得
∠ACB=∠DFE，进而根据等角对等边证得结论；
（2）利用全等三角形的对应边相等可证得AC=DF，结合（1）的结论可得AG=DG，再利用SAS证明
△AFG≌△DCG.
26．（2021八上·海曙期末）如图所示， 中， ， 于点 ，
， ．
（1）求 ， 的长．
（2）若点 是射线 上的一个动点，作 于点 ，连结 ．
①当点 在线段 上时，若 是以 为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的
的长．
②设 交直线 于点 ，连结 ， ，若 ，则 的长为
多少？（直接写出结果）．
【答案】（1）解:∵ ， ，∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，由勾股定理得： ，
（2）解:①分两种情况：
ⅰ)如图1所示，
当 时，过 作 于 ，
∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ．
ⅱ)当 时，如图2所示，
在 和 中， ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
② 的长为 或 ．【完整解答】（2）②分两种情况：
ⅰ）当 在线段 上时，如图3所示，
过 作 于 ，∵ ，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
ⅱ）当 在线段 的延长线上时，如图4所示，过 作 于 ，同理得 ，∵ ，∴ ，
同理得： ，∴ ，
中， ，
综上， 的长为 或 ．故直接写出答案为： 或 ．
【思路引导】（1）利用垂直的定义可证得∠AOC=∠BOC=90°，利用勾股定理求出CO，AC的长.
（2）①分情况讨论：当AO=OE=4时，过点O作ON⊥AC于点N，利用等腰三角形的性质可证得AN=EN；再证
明ON∥DE，可推出AO=OD=4；当AO=AE=4时，利用AAS证明△CAO≌△DAE，利用全等三角形的性质可求出
AD的长，然后根据OD=AD-OD，可求出OD的长；②分情况讨论：当点D在线段OB上时，如图3，过点B作
BG⊥EF于点G，利用两三角形的面积之比，可得到BF与CF的比值，由此可求出BF与CB的比值，即可求
出BF的长；再证明BG∥AC，可推出∠GBF=∠ACB，利用平行线的性质可证得∠A=∠DBG，利用等腰三角形
的性质可推出∠DBF=∠GBF，∠BDG=∠BFG，同时可求出BD，OD的长，利用勾股定理求出CD的长；当点D
在线段OB的延长线上时，过点B作BG⊥DE于点G，同理可求出BF的长，利用勾股定理求出CD的长；综上
所述可得到CD的长.
27．（2021八上·汉阴期末）如图， 和 中，
， 与 交于点P（不与点B，C重合），点B，E在
异侧， 、 的平分线相交于点I.
（1）当 时，求 的长；
（2）求证： ；
（3）当 时， 的取值范围为 ，求m，n的值.
【答案】（1）解：∵ ，
∴△ABP为直角三角形，∵∠B=30°，AB=6，
∴AP=3，
∴PD=AD-AP=3；
（2）证明：在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE；
（3）解：设∠BAP=α，则∠PAC=90°-α，
∵∠B=30°，∠BAC=90°，
∴∠BCA=180°-30°-90°=60°，
∵AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴∠IAC= ∠PAC= （90°-α）=45°- α，∠ICA= ∠PCA=30°，
∴∠AIC=180°-（∠IAC+∠ICA）
=180°-（45°- α+30°）
=105°+ α，
∵0°＜α＜90°，
∴105°＜ α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，
∴m=105，n=150.
【思路引导】（1）利用垂直的定义可推出△ABP是直角三角形，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，
可求出AP的长；然后根据PD=AD-AP，可求出PD的长；
（2）利用SAS证明△ABC≌△ADE，利用全等三角形的对应角相等，可证得∠BAC=∠DAE，由此可推出结论；
（3）设∠BAP=α，则∠PAC=90°-α， 利用三角形的内角和定理求出∠BCA=60°，再利用角平分线的定义可得到∠IAC和∠ICA的度数；再根据∠AIC=180°-（∠IAC+∠ICA），可表示出∠AIC的度数，然后根
据0°＜α＜90°，可得到m，n的值.
28．（2021八上·平凉期中）探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在底边BC
上，AE=AD，连结DE.
（1）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC （点B、C除外） 上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系.
【答案】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠BAD=60°，
∴∠DAE=30°，
∵AD=AE，
∴∠AED=75°，
∴∠CDE=∠AED-∠C=30°；
（2）设∠BAD=x，
∴∠CAD=90°﹣x，
∵AE=AD，
∴∠AED=45°+ ，
∴∠CDE= ；
∠CDE= ∠BAD
（3）设∠BAD=x，∠C=y，∵AB=AC，∠C=y，
∴∠BAC=180°﹣2y，
∵∠BAD=x，
∴∠DAE=y+ ，
∴ .
∠CDE= ∠BAD
【思路引导】（1）根据等腰直角三角形的性质得 ∠B=∠C=45°，根据角的和差得 ∠DAE=30°， 根据等
腰三角形的性质及三角形的内角和定理得 ∠AED=75°， 最后根据三角形外角的性质，由 ∠CDE=∠AED-
∠C 即可求解；
（2）设∠BAD＝x，于是得到∠CAD＝90°−x，根据等腰三角形的性质得 ∠AED=45°+ ， 进而根据
三角形外角的性质由 ∠CDE=∠AED-∠C 即可求解；
（3）设∠BAD＝x，∠C＝y，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理及三角形外角性质可求解．
29．（2021八上·遵义期末）小明遇到这样一个问题
如图1，△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且BD=BC，求证：∠ABC=2∠ACD.
小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：
方法2：如图2，作BE⊥CD，垂足为点E.
方法3：如图3，作CF⊥AB，垂足为点F.
根据阅读材料，从三种方法中任选一种方法，证明∠ABC=2∠ACD.
【答案】证明：方法1：如图，∵∠ACB=90°，∴∠BCD=90°-∠ACD，
又∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC，
∴△BCD中，
∠ABC=180°-∠BDC -∠BCD =180°-2∠BCD=180°-2（90°-∠ACD）=2∠ACD；
方法2：如图，作BE⊥CD，垂足为点E.
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
又∵BC=BD，BE⊥CD，
∴∠ABC=2∠CBE，
∴∠ABC=2∠ACD；
方法3：如图，作CF⊥AB，垂足为点F.
∵∠ACB=90°，∠BFC=90°，
∴∠A+∠ABC =∠BCF+∠ABC =90°，
∴∠A=∠BCF，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC，即∠BCF+∠DCF=∠A+∠ACD，
∴∠DCF=∠ACD，∴∠ACF=2∠ACD，
又∵∠ABC +∠BCF=∠ACF+∠BCF=90°，
∴∠ABC =∠ACF，
∴∠ABC =2∠ACD.
【思路引导】
【思路引导】 方法1：先利用直角三角形的性质求得∠BCD=90°-∠ACD， 再利用等腰三角形的性质以及
三角形内角和定理，推得∠ABC = 2∠ACD即可；
方法2：作BE⊥CD，垂足为点E，利用等腰三角形的性质和余角的性质，即可得出∠ABC= 2∠ACD；
方法3：作CF⊥AB，垂足为点F，利用等腰三角形的性质以及三角形外角性质，即可得到∠ACF =2∠ACD，
再根据余角的性质，求出∠B=∠ACF，即可得出∠B=2∠ACD.
