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专题01 锐角三角函数的概念 特殊三角函数值的计算（精选36题）
一、单选题
1．在Rt ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（ ）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．没有变化
【答案】D
【分析】理解锐角三角函数的概念：锐角A的正弦值等于对边与斜边的比值，判断即可；
【解析】解：根据锐角三角函数的概念，在Rt ABC中， ，则 ，
若各边长都扩大2倍，则 的值不变．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的概念，准确根据正弦的定义求解是解题的关键．
2．在Rt ABC中，∠C=90°，则 是∠A的（ ）
△
A．正弦 B．余弦 C．正切 D．以上都不对
【答案】B
【解析】试题分析：根据直角三角形的三角函数可得：sinA= ，cosA= ，tanA= ，故选B．
3．⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，画出图形，根据正切的定义和同角的正切值相同即可得出结论．
【解析】解：如下图所示
在Rt 中， = ，故A不符合题意；
在Rt 中， = ，故B不符合题意；
1∵∠A＋∠ACD=90°，∠BCD＋∠ACD=90°
∴∠A=∠BCD
∴ =tan∠BCD= ，故C不符合题意；
≠ ，故D符合题意．
故选D．
【点睛】此题考查的是正切，掌握正切的定义和同角的正切值相同是解决此题的关键．
4．如图，在 中， ，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据锐角三角函数的定义解答．
【解析】解：在Rt ABC中，∠B=90°，
△
则 ．
故选：C．
【点睛】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
5．如图，在 中， ， 于点D，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据垂直定义可得 ，然后在 中，利用锐角三角函数的定义即可判断
2A，B，再在 中，利用锐角三角函数的定义即可判断C，最后利用同角的余角相等可得
，从而在 中，利用锐角三角函数的定义即可求出 ，即可判断D．
【解析】解：∵ ，
∴ ，
在 中 ，
故A、B不符合题意；
在 中， ，
故C符合题意；
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
6．在 ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列关系中错误的是（ ）
A．△b＝c•cosB B．b＝a•tanB C．b＝c•sinB D．a＝b•tanA
【答案】A
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可．
【解析】解：在Rt ABC中，∠C＝90°，
△
则tanA＝ ，tanB＝ ，cosB＝ ，sinB＝ ；
因而b＝c•sinB＝a•tanB，a＝b•tanA，
错误的是b＝c•cosB．
故选：A．
【点睛】本题考查三角函数的定义,熟记定义是解题的关键.
7．已知下列说法：①如果α是锐角，则sinα随着角度的增大而增大；②如果α是锐角，则cosα随着角度
3的增大而增大；③如果α是锐角，则tanα随着角度的增大而增大；④如果α是锐角，则cosα<1，sinα<1，
tanα<1，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】Sinα是对边与斜边的比值，cosα是邻边与斜边的比值，tanα是对边与邻边的比值，利用锐角三角
函数的定义即可解答.
【解析】如果α是锐角，则sinα随着角度的增大而增大，cosα随着角度的增大而减小，tanα随着角度的增
大而增大，据此可判断①和③正确，②错误；如果α是锐角，则cosα<1，sinα<1，但tanα只有在α＜45°时
才小于1，故④错误；
故选择B.
【点睛】理解锐角三角函数的定义是解答此题的关键.
8．计算 的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
【解析】解：
故选：C．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
9． 的值等于( )
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据 进行计算即可得出答案．
【解析】解： ．
故选A．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值．牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
410．下列三角函数中，结果为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可得到答案．
【解析】解：A. ，不符合题意，选项错误；
B. ，不符合题意，选项错误；
C. ，不符合题意，选项错误；
D. ，符合题意，选项正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
11．如果锐角 的正切值是 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用30度角和45度角的正切值与角 的正切值比较，即可得到答案．
【解析】解：∵ ， ， ， ， ， ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】此题考查各角的正切值，实数的平方运算，实数的大小比较，熟记各特殊角的三角函数值是解题
的关键．
12．按科学记算器 ，使显示器显示 后，求 的值，以下按键顺序正确的是( )
5A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据计算器的使用进行按键即可求解．
【解析】解：显示器显示D后，即弧度制；
求 的值，需按顺序按下： ， ， ．
故选：C.
【点睛】本题考查了用过计算器计算三角函数，会用科学记算器进行计算是解题关键．
13．已知实数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别求出各三角函数的值，然后比较他们的大小即可.
【解析】解： ，
∵ ，
∴ ，
故选：A.
【点睛】本题主要是考查特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握特殊角的所有三
角函数值，所以要牢记特殊角的三角函数值，另外还考查了实数比较大小.
14．如果 ，那么 与 的差（ ）
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定
【答案】B
【分析】 ，再根据正弦函数随着角的增大而增大进行分析即可．
【解析】∵ ，正弦函数随着角的增大而增大，
∴当 时， ，
，即 ，
故选B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，正弦函数值随着角的增大而增大．
15．化简 等于（ ）
6A． B．0
C． D．以上都不对
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质得出 ，然后化为同名三角函数，根据三角函数的增减性化简
即可求解．
【解析】解： ，
∵ ，
∴原式 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角函数关系，掌握三角函数的增减性是解题的关键．
16．定义一种运算： ， 例如：当
， 时， ，则 的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 ，可以计算出 的值．
【解析】解：由题意可得，
，
7故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形、二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定
义解答．
二、填空题
17．如图，在 中， ．（1）斜边 ；（2） 的对边
；（3） 的邻边 ；（4） ．
【答案】 c b a
【分析】根据各边名称定义写出每边的代号即可．
【解析】（1）直角三角形的斜边为最长边c
（2）∠B的对边是∠B正对的边b
（3）∠B的邻边是a，
（4）∠B的对边比斜边即等于b÷c=
故答案为①c②b③a④
【点睛】本题考查直角三角形各边名称，熟记这些名称是解题关键．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有
个
8（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【答案】3
【分析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案．
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，
∴∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴cosA＝ ＝ ＝ ．
故（1），（2），（4）正确．
故答案为：3．
【点睛】考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．
19．如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则cosα
等于 ．
【答案】
【分析】要求cosα的值，想到把锐角α放在直角三角形中，设AB与CD相交于点E，过点C作CF//AB,则
∠AEC=∠DCF,再连接DF,最后在Rt△DCF中即可解答．
【解析】解：如图，设AB与CD相相交于E，过点C作CF∥AB，连接DF，
9∵AB∥CF
∴∠AEC=∠DCF由勾股定理得：
，
，
∴ ，且CF=DF
∴△DCF是等腰直角三角形
∴∠DCF=45°
∴α=45°
∴cosα=
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解的关键．
20．填空：
； ； ， ．
【答案】
【分析】根据特殊角的三角函数值直接求解．
【解析】解： ； ； ； ．
故答案为： ；1； ； ．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，属于基础题，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
1021．已知α为锐角，且cos（90°﹣α）＝ ，则α＝ ．
【答案】45°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而分析得出答案．
【解析】∵cos（90°﹣α）＝ ，
∴90°﹣α＝45°，
解得：α＝45°．
故答案为：45°．
【点睛】此题主要考查三角函数，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.
22．计算： ．
【答案】
【分析】直接代入特殊角的三角函数值，利用二次根式的混合运算法则计算即可求解．
【解析】解：原式
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
23．在 中， ，则 的形状是 ．
【答案】等边三角形
【分析】先根据非负数的性质求出 ， ，再根据三角函数作答．
【解析】∵ ，
11∴ ， ，
即 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
则 一定是等边三角形，
故答案为:等边三角形．
【点睛】本题考查了非负数的性质，三角函数，等边三角形的判定，数量掌握特殊角的三角函数值是解题
的关键．
24．如图，四条直线l ：y = x，l ：y = x，l ：y =﹣ x，l ：y =﹣ x，OA =1，过点A 作A A ⊥x轴，
1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 1 2
交l 于点A ，再过点A 作A A ⊥l 交l 于点A ，再过点A 作A A ⊥l 交y轴于点A …，则点A 坐标为
1 2 2 2 3 1 2 3 3 3 4 2 4 2017
．
【答案】（（ ）2016，0）
【分析】先利用各直线的解析式得到x轴、l 、l 、y轴、l 、l 依次相交为30的角，各点的位置是每12个
1 2 3 4
一循环，由于2017=168×12+1，则可判定点A 在x轴的正半轴上，再规律得到OA =（ ）2015，然后
2017 2016
表示出点A 坐标．
2017
【解析】解：∵l ：y = x，l ：y = x，l ：y =- x，l ：y =-﹣ x，
1 1 2 2 3 3 4 4
∴x轴、l 、l 、y轴、l 、l 依次相交为30的角，
1 2 3 4
∵2017=168×12+1，
12∴点A 在x轴的正半轴上，
2017
∵OA = = ，
2
OA =（ ）2，
3
OA =（ ）3，
4
…
OA =（ ）2016，
2017
∴点A 坐标为（（ ）2016，0）．
2017
故答案为（（ ）2016，0）．
【点睛】本题考查规律型：点的坐标：解答此题的关键是利用三角函数确定各点到原点的距离和点的位置
的循环规律．
三、解答题
25．计算： ．
【答案】
【分析】先代入特殊角三角函数值，再利用二次根式的运算法则进行计算．
【解析】解：原式
13．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数的值的运算，二次根式的运算，牢记特殊角三角函数值是解题的关键．
26．计算： ．
【答案】
【分析】先用特殊角的三角函数值化简，然后再进行计算即可．
【解析】解：
．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值成为解答本题的关键．
27．计算：
【答案】
【分析】直接利用特殊角的三角函数值，分别代入计算得出答案．
【解析】解：原式
．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
28．计算：
(1) ；
(2) ；
14【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先把特殊角的三角函数值代入，立方根，再计算即可；
（2）先把特殊角的三角函数值代入，再计算即可；
【解析】（1）解：
；
（2）
.
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，立方根，零指数次幂，熟练的记忆特殊角的三角
函数值是解本题的关键.
29．已知 ， 其中 为锐角，求 、 、 的値．
【答案】 ， ，
【分析】根据已知锐角α的正弦，设α的对边=2k，直角三角形的斜边=3k，由勾股定理求出α的邻边=
k，根据锐角三角函数的定义求解即可．
【解析】∵
∴设α的对边=2k，直角三角形的斜边=3k，由勾股定理求出α的邻边= k，
15∴ ， ， ．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义的应用，解题关键是熟练掌握三角函数定义．
30．在Rt△ABC中，∠C＝ ，AB＝13，BC＝5，求sinA，cosA，tanA．
【答案】sinA= ，cosA= ，tanA=
【分析】首先利用勾股定理求得AC的长度；然后利用锐角三角函数的定义解答．
【解析】解∶ ∵Rt△ABC中，∠C= ，若AB=13，BC=5，
∴AC=12，
∴sinA= ；
cosA= ；
tanA=
【点睛】本题考查锐角三角函数的综合应用，熟练掌握锐角三角函数的意义和勾股定理的应用是解题关键．
31．在 中， ．当 确定时，它的正弦值是否随之确定？余弦值呢？正切值呢？为什
么？
【答案】当 确定时，正弦值确定，余弦值确定，正切值确定．
【分析】根据正弦函数、余弦函数、正切函数的定义，可得答案．
【解析】解：在 中， ．当 确定时，它的正弦值是随之确定，
理由是： ， 确定，则三角形的形状确定， 对边与斜边的比值是不变的；
在 中， ．当 确定时，它的余弦值是随之确定，
理由是： ， 确定，则三角形的形状确定， 邻边与斜边的比值是不变的．
在 中， ．当 确定时，它的正切值是随之确定，
理由是： ， 确定，则三角形的形状确定， 对边与邻边的比值是不变的．
16【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，正确掌握边角关系是解题关键．
32．已知P（2,3），OP与x轴所夹锐角为 ，求 ．
【答案】
【分析】易得α的对边为3，邻边为2，那么tanα等于α的对边与邻边之比．
【解析】解：如图：
∵P（2，3）；
∴ ．
【点睛】考查锐角三角函数的知识；用到的知识点为：一个锐角的正切值等于这个角的对边与邻边之比．
33．利用下面的图形，我们可以求出 的值．如图，在 C中，已知 ， ，
，可求出 ， ．在此图的基础上，我们还可以添加适当的辅助线，
求出 的值请你动手试一试．
17【答案】
【分析】根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD的长，进而得出 求出即可.
【解析】
作 的平分线交 于点 ，作 ，垂足为 ．
设 ，则 ，解得 ．
∴ ．
【点睛】本题考查作辅助线的能力，如何构造15°的角是解题关键，既可以向内构造也可向外构造.
34．用计算器求下列锐角三角函数值，并填入表中：
锐角 … … …
随着锐角A的度数不断增大， 有怎样的变化趋势？ 呢？ 呢？你能说明自己的结论吗？
【答案】见解析，随着锐角A的度数不断增大， 的值不断增大， 的值不断减小， 的值不断
增大
【分析】利用计算器计算出各函数值，再观察表格由此得到答案．
【解析】解：
锐角A … … …
… 0.2588 0.3090 0.3420 0.3746 … 0.9848 0.9903 0.9945 …
… 0.9659 0.9511 0.9397 0.9272 … 0.1736 0.1392 0.1045 …
… 0.2679 0.3249 0.3640 0.4040 … 5.6713 7.1154 9.1544 …
18随着锐角A的度数不断增大， 的值不断增大， 的值不断减小， 的值不断增大．
理由：在 中， ，假定 的对边不变，当 增大时，必有斜边减小，因此 的值
增大；假定 的邻边不变，当 增大时，必有斜边增大，对边增大，因此 的值减小， 的值
增大．
【点睛】此题考查利用三角函数数值表求各角度的三角函数值，根据数据变化总结规律，熟记三角函数值
的计算方法是解题的关键．
35．如图，在 中， ．
（1）在 边上取一点D，使得 ，则 和 有什么大小关系？
（2）在 边上取一点D，使得 ，则 和 有什么大小关系？
（3）在 边上取一点D，使得 ，则 和 有什么大小关系？
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】利用正切的定义： ，进行运算即可．
【解析】解：（1）∵ ，
∴
（2）∵
∴
∴ ，
∴
（3）∵
∴
19∴ ，
∴
【点睛】本题考查了正切的概念，正确判断对应角的对边和邻边是解决本题的关键．
36．嘉嘉在某次作业中得到如下结果：
，
，
，
，
．
据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角 ， ，若 ，均有 ．
(1)当 ， 时，验证 是否成立？
(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示 给予证明，其中 所对的边为 ， 所对
的边为 ，斜边为 ；若不成立，请举出一个反例；
(3)利用上面的证明方法，直接写出 与 ， 之间的关系．
【答案】(1)成立，见解析
(2)成立，见解析
(3)
【分析】（1）直接根据特殊角的三角函数值代入计算验证即可；
（2）根据正弦函数的定义列出 ， ，结合勾股定理整理化简即可证得结论；
20（3）根据正切函数的定义列出表达式，然后结合 中， ， ，再变形代入整理即
可得出结论．
【解析】（1）解：∵ ， ，
∴ ，结论成立；
（2）解：成立．理由如下：
在 中， ， 且 ，
∴ ，故结论成立；
（3）解： ，理由如下：
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查余角之间的三角函数关系，以及同角三角函数关系的推理证明，理解三角函数的基本定
义，灵活变形构造是解题关键．
21
