文档内容
2021-2022 学年北师大版数学九年级下册压轴题专题精选汇编
专题 01 锐角三角函数
一．选择题
1．（2021春•金台区期末）如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，直线MN垂直平分AB交AB于M，交BC于
N，且∠B＝15°，AC＝3，则BC的长为（ ）
A．6 B．6+3 C．6+2 D．9
【思路引导】如图，连接AN．证明AN＝BN，推出∠B＝∠NAB＝15°，推出∠ANC＝30°，再求出AN，
CN，可得结论．
【完整解答】如图，连接AN．
∵MN垂直平分线段AB，
∴NA＝NB，
∴∠B＝∠BAN＝15°，
∴∠ANC＝∠B+∠NAB＝30°，
∵AC＝3，∠C＝90°，
∴AN＝2AC＝6，CN＝ ＝ ＝3 ，
∴BC＝CN+BN＝3 +6，
故选：B．
2．（2020秋•南召县期末）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都
在这些小正方形的格点上，那么tan∠ABC的值为（ ）A． B． C．4 D．
【思路引导】过点A作AE⊥BC于E．根据，tan∠ABC＝ ，求解即可．
【完整解答】过点A作AE⊥BC于E．
在Rt△ABE中，tan∠ABC＝ ＝ ＝4，
故选：C．
3．（2020秋•仁寿县期末）等腰三角形底边与底边上的高的比是2： ，则它的顶角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【思路引导】证明△ABC是等边三角形，可得结论．
【完整解答】如图，AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵BC：AD＝2： ，
∴tanB＝ ＝ ，
∴∠B＝60°，
∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
故选：C．
4．（2020秋•紫金县期末）如图，点 A（3，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为 α，则cosα＝
（ ）
A． B． C． D．
【思路引导】过点A作AE⊥x轴于E．利用勾股定理求出OA，再根据cosα＝ ，可得结论．
【完整解答】如图，过点A作AE⊥x轴于E．
∵A（3，4），
∴OE＝3，AE＝4，
∴OA＝ ＝ ＝5，
∴cosα＝ ＝ ，
故选：B．
5．（2021•淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC
于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（ ）A． B． C． D．
【思路引导】根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得CE＝AE＝BE＝ AB，进而得到∠BEC＝
2∠A＝∠BFC，从而有∠CEF＝∠CBF，根据三角形的面积公式求出AF，由勾股定理，在Rt△BCF中，
求出CF，再根据锐角三角函数的定义求解即可．
【完整解答】连接BF，
∵CE是斜边AB上的中线，EF⊥AB，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴S ＝S ＝5，∠FBA＝∠A，
△AFE △BFE
∴S ＝10＝ AF•BC，
△AFB
∵BC＝4，
∴AF＝5＝BF，
在Rt△BCF中，BC＝4，BF＝5，
∴CF＝ ＝3，
∵CE＝AE＝BE＝ AB，
∴∠A＝∠FBA＝∠ACE，
又∵∠BCA＝90°＝∠BEF，
∴∠CBF＝90°﹣∠BFC＝90°﹣2∠A，
∠CEF＝90°﹣∠BEC＝90°﹣2∠A，
∴∠CEF＝∠FBC，
∴sin∠CEF＝sin∠FBC＝ ＝ ，
故选：A．6．（2021•宜兴市模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝ ，AD＝2，BD＝4，连接CD，
则CD长的最大值是（ ）
A．2 + B．2 +1 C．2 + D．2 +2
【思路引导】如图，在AD的下方作Rt△ADT，使得∠ADT＝90°，DT＝1，连接CT，则AT＝ ，证明
△DAB∽△TAC，推出 ＝ ＝ ，推出TC＝2 ，再根据CD≤DT+CT，可得CD≤1+2 ，由此
即可解决问题．
【完整解答】如图，在AD的下方作Rt△ADT，使得∠ADT＝90°，DT＝1，连接CT，则AT＝ ，
∵ ＝ ＝2，
∴ ＝ ，∵∠ADT＝∠ABC＝90°，
∴△ADT∽△ABC，
∴∠DAT＝∠BAC， ＝
∴∠DAB＝∠TAC，
∵ ＝ ，
∴△DAB∽△TAC，
∴ ＝ ＝ ，
∴TC＝2 ，
∵CD≤DT+CT，
∴CD≤1+2 ，
∴CD的最大值为1+2 ，
故选：B．
7．（2020秋•北碚区校级期末）北碚区政府计划在缙云山半山腰建立一个基站 AB，其设计图如图所示，
BF，ED与地面平行，CD的坡度为i＝1：0.75，EF的坡角为45°，小王想利用所学知识测量基站顶部A
到地面的距离，若BF＝ED，CD＝15米，EF＝3 米，小王在山脚C点处测得基站底部B的仰角为
37°，在F点处测得基站顶部A的仰角为60°，则基站顶部A到地面的距离为（ ）（精确到0.1米，
参考数据： ≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．21.5米 B．21.9米 C．22.0米 D．23.9米
【思路引导】延长AB交过点C的水平线于M，交DE延长线于点N，作DG⊥MC于G，FH⊥DN于
H，根据锐角三角函数即可求出结果．
【完整解答】如图，延长 AB 交过点 C 的水平线于 M，交 DE 延长线于点 N，作 DG⊥MC 于 G，
FH⊥DN于H，∵CD的坡度为i＝1：0.75＝ ，
∴ ＝ ，
设DG＝4k，CG＝3k，则CD＝5k，
∴5k＝15，
∴k＝3，
∴DG＝12，CG＝9，
∵EF的坡角为45°，EF＝3 ，
∴EH＝FH＝3，
∵四边形BNHF和四边形DGMN是矩形，
∴BF＝NH＝DE，BN＝FH＝3，DN＝MG，NM＝DG＝12，
∴BM＝BN+NM＝15，
在Rt△BCM中，∠BCM＝37°，
MC＝MG+CG＝DN+CG＝NH+HE+DE+CG＝2BF+3+9＝2BF+12，
∴BM＝CM•tan∠BCM，
∴15＝（2BF+12）×0.75，
∴BF＝4，
在Rt△ABF中，∠AFB＝60°，
∴AB＝BF•tan60°＝4 ≈6.92（米），
∴AM＝AB+BM＝6.92+15≈21.9（米）．
故选：B．
8．（2021•渝中区校级二模）如图，旗杆AB竖立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为65米，坡度为i＝ ．
小明从与点C相距115米的点D处向上爬12米到达建筑物DE的顶端点E，在此测得旗杆顶端点A的仰角为39°，则旗杆的高度AB约为（ ）米．
（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）
A．12.9 B．22.2 C．24.9 D．63.1
【思路引导】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度即可求出答案．
【完整解答】过点B作BF⊥CD，垂足为F，过点E作EG⊥BF，垂足为G，
在Rt△BCF中，
由斜坡BC的坡度i＝ ，得， ＝ ，
又BC＝65，
设BF＝12x，FC＝5x，由勾股定理得，（12x）2+（5x）2＝652，
∴x＝5，
∴BF＝60，FC＝25，
又∵DC＝115，
∴DF＝DC﹣FC＝115﹣25＝90＝EG，
在Rt△AEG中，AG＝EG•tan39°≈90×0.81＝72.9，
∴AB＝AG+FG﹣BF＝72.9+12﹣60＝24.9（米），
故选：C．
二．填空题（共11小题）
9．（2021春•沙河口区期末）如图，从一艘船 A上测得海岸上高为42米的灯塔顶部B的仰角∠BAC＝
30°，求船离灯塔的水平距离AC的长度是 7 1 米（参考数据： ≈1.7， ≈2.2，结果取整数）．【思路引导】由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2BC＝84（米），再由勾股定理即可求解．
【完整解答】由题意得：∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝42米，
∴AB＝2BC＝84（米），
∴AC＝ ＝ ＝42 ≈71（米），
故答案为：71．
10．（2020秋•肥城市期末）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则cosB+sinB的值为
．
【思路引导】如图，过点A作AE⊥BC交BC的延长线于E．利用勾股定理求出AB，可得结论．
【完整解答】如图，过点A作AE⊥BC交BC的延长线于E．
在Rt△ABE中，∠E＝90°，AE＝3，BE＝4，
∴AB＝ ＝ ＝5，
∴cosB＝ ＝ ，sinB＝ ＝ ，
∴cosB+sinA＝ + ＝ ，
故答案为： ．11．（2020秋•崇川区期末）如图，若A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则∠BOD的余弦值
为 ．
【思路引导】如图，取格点T，连接CT．DT．利用平行线的性质证明∠BOD＝∠TCD，求出CT，
CD，可得结论．
【完整解答】如图，取格点T，连接CT．DT．
观察图象可知，CT∥AB，CT⊥DT，
∴∠BOD＝∠TCD，∠CTD＝90°，
∵CT＝ ＝ ，CD＝ ＝5 ，
∴cos∠BDO＝cos∠TCD＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
12．（2020秋•锡山区期末）如图的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为
．【思路引导】如图，过点A作AH⊥BC于H．利用面积法求出AH，再利用勾股定理求出BH，CH，可
得结论．
【完整解答】如图，过点A作AH⊥BC于H．
∵AB＝2，BC＝5，
∴S ＝ ×2×4＝ •BC•AH，
△ABC
∴AH＝ ，
∴BH＝ ＝ ＝ ，
∴CH＝BC﹣BH＝5﹣ ＝ ，
∴tan∠ACB＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
13．（2020秋•龙口市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为边AC上一点，∠A＝∠CBD，若AC
＝8cm，cos∠CBD＝ ，则边AB＝ 1 0 cm．
【思路引导】根据锐角三角函数即可求出AB的值．
【完整解答】∵∠C＝90°，∠A＝∠CBD，cos∠CBD＝ ，∴cos∠A＝ ＝ ，
∵AC＝8cm，
∴AB＝10cm．
故答案为：10．
14．（2020秋•德江县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，
交CD于点E，交CB于点F，若AC＝6，tanB＝ ，则CE＝ 3 ．
【思路引导】过点 F 作 FG⊥AB 于点 G，根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA＝90°，
∠FAD+∠AED＝90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF＝∠CFE，即可得出EC＝FC，再利用相
似三角形的判定与性质得出答案．
【完整解答】过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠FAD，
∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，
∴FC＝FG，
∵∠B＝∠B，∠FGB＝∠ACB＝90°，
∴△BFG∽△BAC，
∴ ＝ ，
∵AC＝6，∠ACB＝90°，
∴tanB＝ ＝∴BC＝8，AB＝ ＝ ＝10，
∴ ＝ ，
∵FC＝FG，
解得：FC＝3，
即CE的长为3．
故答案为：3．
15．（2020秋•新吴区期末）如图，△ABC的顶点都在正方形网格纸的格点上，则sin ＝ ．
【思路引导】如图，取格点T，连接AT，BT，设BT的中点为H，连接CH．证明CB＝CT，利用等腰三
角形的性质求解即可．
【完整解答】如图，取格点T，连接AT，BT，设BT的中点为H，连接CH．
∵BC＝ ＝5 ，CT＝ ＝5 ，
∴CB＝CT，
∵BH＝HT，
∴∠HCA＝∠HCB，CH⊥BT，
∵HT＝ ，∴sin ＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
16．（2021春•瑞安市月考）如图，在河对岸有一等腰三角形场地EFG，FG＝EG，为了估测场地的大小，
在笔直的河岸上依次取点C，D，B，A，使FC⊥l，BG⊥l，EA⊥l，点E，G，D在同一直线上，在D
观测F后，发现∠FDC＝∠EDA，测得CD＝12米，DB＝6米，AB＝12米，则FG＝ 8 米．
【思路引导】过点G作GM⊥AE于G．GN⊥EF于N，过点D作DJ⊥l，过点F作FT⊥AE于T．利用
相似三角形的性质证明DF＝FG，再证明∠DEA＝∠DEF，推出EN＝EM＝FN，证明△EGM≌△EGN
（AAS），推出EM＝EN，设AM＝m，在Rt△ETF中，利用勾股定理求出方程求出m，即可解决问题．
【完整解答】过点G作GM⊥AE于G．GN⊥EF于N，过点D作DJ⊥l，过点F作FT⊥AE于T．
∵FC⊥l，BG⊥l，EA⊥l，
∴∠FCD＝∠EAD＝90°，BG∥AE，
∵∠FDC＝∠EDA，
∴△FCD∽△EAD，△GBD∽EAD，
∴ ＝ ＝2， ＝ ＝ ，
∴DF＝2DG，DE＝3DG，
∴EG＝FG＝2DG，
∴FD＝FG，
∴∠FDG＝∠FGD＝∠GFE+∠GEF，
∵GE＝GF，
∴∠GEF＝∠GFE，
∵∠FDJ+∠FDC＝90°，∠EDJ+∠EDA＝90°，∠FDC＝∠EDA，
∴∠FDJ＝∠EDJ，
∴2∠EDJ＝2∠GEF，
∴∠EDJ＝∠DEF，∵DJ∥AE，
∴∠EDJ＝∠AED，
∴∠DEA＝∠DEF，
∵GM⊥AE，GN⊥EF，
∴∠EMG＝∠ENG＝90°，
∵EG＝EG，
∴△EGM≌△EGN（AAS），
∴EM＝EN，
∵GE＝GF，GN⊥EF，
∴FN＝EN＝EM，
∵四边形ABGM，四边形CFTA都是矩形，
∴AB＝GM＝CD＝6（米），
∵DF＝EG，∠FCD＝∠GME＝90°，
∴Rt△FCD≌Rt△EMG（HL），
∴CF＝EM，
设AM＝m米则AE＝3m米，EM＝CF＝AT＝FN＝EN＝2m米，
∴ET＝AE﹣AT＝m（米），
在Rt△EFT中，FT2+ET2＝EF2，
∴302+m2＝（4m）2，
∴m＝2 或﹣2 （舍弃），
∴FN＝4 （米），
∵GN＝GM＝12米，
∴FG＝ ＝ ＝8 （米），
故答案为：8 ．
17．（2021•道里区三模）△ABC中，AB＝8，∠B＝60°，AC＝7，则∠BAC的余弦值为 或 ．【思路引导】分两种情况进行解答，即当△ABC是锐角三角形和△ABC是钝角三角形，分别画出相应
的图形，通过做高，利用直角三角形的边角过程求出相应的边长，再根据锐角三角函数的意义求出答案．
【完整解答】（1）如图1，过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点C作CE⊥AC，垂足为E，
在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，AB＝8，
∴BD＝ AB＝4，
AD＝ AB＝4 ，
在Rt△ACD中，CD＝ ＝1，
由三角形的面积公式得，
BC•AD＝ AC•BE，
即（4+1）×4 ＝7BE，
∴BE＝ ，
在Rt△ABE中，AE＝ ＝ ，
∴cos∠BAC＝ ＝ ＝ ；
（2）如图2，过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点C作CF⊥AB，垂足为F，
由题意得，BC＝4﹣1＝3，
在Rt△BCF中，∠FBC＝60°，BC＝3，
∴BF＝ BC＝ ，
∴AF＝AB﹣FB＝8﹣ ＝ ，
在Rt△AFC中，cos∠BAC＝ ＝ ；
故答案为： 或 ．18．（2021•新洲区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，M是射线AB上的一动
点，以AM为斜边在△ABC外作Rt△AMN，且使tan∠MAN＝ ，O是BM的中点，连接ON．则ON长
的最小值为 2 ．
【思路引导】作NP⊥AB于点P，设AM长为x，用含x代数式表示出ON，然后通过配方求解．
【完整解答】作NP⊥AB于点P，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：
AB＝ ＝ ＝5 ，
设AM长为x，则BM＝5 ﹣x，
∵tan∠MAN＝ ＝ ，
∴AN＝2MN，∴AM＝ ＝ MN，
∴MN＝ AM＝ x，AN＝2MN＝ x，
同理，在Rt△ANP中可得NP＝ ＝ x，AP＝2NP＝ x，
∵O为BM中点，
∴BO＝ BM＝ ，
∴AO＝AB﹣BO＝ ，
∴OP＝AO﹣AP＝ ﹣ x＝ ，
在Rt△ONP中，由勾股定理得ON2＝OP2+NP2，
即ON2＝（ ）2+（ x）2＝ （25x2﹣150 x+3125）＝ （x2﹣6 x+125）＝ （x﹣3
）2+20，
∴当x＝3 时，ON2取最小值为20，
∴ON最小值为2 ．
故答案为：2 ．
19．（2021•乐山）如图，已知点A（4，3），点B为直线y＝﹣2上的一动点，点C（0，n），﹣2＜n＜
3，AC⊥BC于点C，连接AB．若直线AB与x正半轴所夹的锐角为α，那么当sinα的值最大时，n的值
为 ．
【思路引导】当sinα的值最大时，则tanα＝ 值最大，即当BG最大时，sinα的值最大，设BG＝y，由tan∠CAM＝tan∠BCG，得到y＝﹣ （n﹣3）（n+2），进而求解．
【完整解答】过点A作AM⊥y轴于点M，作AN⊥BN交于点N，
∵直线y＝﹣2∥x轴，故∠ABN＝α，
当sinα的值最大时，则tanα＝ 值最大，
故BN最小，即BG最大时，tanα最大，
即当BG最大时，sinα的值最大，
设BG＝y，
则AM＝4，GC＝n+2，CM＝3﹣n，
∵∠ACM+∠MAC＝90°，∠ACM+∠BCG＝90°，
∴∠CAM＝∠BCG，
∴tan∠CAM＝tan∠BCG，
∴ ，即 ，
∴y＝﹣ （n﹣3）（n+2），
∵﹣ ＜0，
故当n＝ （3﹣2）＝ 时，y取得最大值，
故n＝ ，
故答案为： ．
三．解答题20．（2021•河池）如图，小明同学在民族广场A处放风筝，风筝位于B处，风筝线AB长为100m，从A
处看风筝的仰角为30°，小明的父母从C处看风筝的仰角为50°．
（1）风筝离地面多少m？
（2）A、C相距多少m？
（结果保留小数点后一位，参考数据：sin30°＝0.5，cos30°≈0.8660，tan30°≈0.5774，sin50°≈0.7760，
cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918）
【思路引导】（1）过B作BD⊥AC于D，由含30°角的直角三角形的性质即可求解；
（2）由锐角三角函数定义求出CD、AD的长，即可求解．
【完整解答】（1）过B作BD⊥AC于D，如图所示：
则∠ADB＝∠CDB＝90°，
∵∠BAD＝30°，
∴BD＝ AB＝50（m），
即风筝离地面50m；
（2）由（1）得：BD＝50m，
在Rt△BCD中，∠BCD＝50°，
∵tan∠BCD＝ ＝tan50°≈1.1918，
∴CD≈ ＝ ≈41.95（m），
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，
∵tan∠BAD＝ ＝tan30°≈0.5774，
∴AD≈ ≈86.60（m），
∴AC＝AD+CD≈41.95+86.60≈128.6（m），
即A、C相距约128.6m．21．（2020秋•长沙期末）如图，A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A＝45°，∠CBD＝75°，AB
＝60 m．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求线段CB的长度．
【思路引导】（1）利用三角形的外角的性质求解即可．
（2）如图，过点B作BH⊥AC于H，利用等腰直角三角形的性质求出BH，再根据BC＝2BH，可得结
论．
【完整解答】（1）∵∠CBD＝∠A+∠ACB，∠A＝45°，∠CBD＝75°，
∠∠ACB＝75°﹣45°＝30°．
（2）如图，过点B作BH⊥AC于H．
∵∠BHA＝90°，AB＝60 m，∠A＝45°，
∴BH＝AB•sin45°＝60（m），
∵∠BCH＝30°，
∴BC＝2BH＝120（m）．
22．（2021•朝阳）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，
当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为
30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，
EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）
【思路引导】过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝1m，由锐角三角函数定义求出BD＝
CH＝ AH，再证△EFG∽△ABG，得 ＝ ，求出AH＝（8+4 ）m，即可求解．
【完整解答】如图，过点C作CH⊥AB于点H，
则CH＝BD，BH＝CD＝1m，
由题意得：DF＝9m，
∴DG＝DF﹣FG＝6（m），
在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，
∵tan∠ACH＝ ＝tan30°＝ ，
∴BD＝CH＝ AH，
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°．
由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得：AH＝（8+4 ）m，
∴AB＝AH+BH＝（9+4 ）m，
即这棵古树的高AB为（9+4 ）m．23．（2021•锦州）如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾器CD，测倾
器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即BC∥MN），此时测得树顶部A的仰角为50°．已知山
坡的坡度i＝1：3（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结果精确
到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
【思路引导】先求出BC＝4.8m，再由锐角三角函数定义即可求解．
【完整解答】∵山坡BM的坡度i＝1：3，
∴i＝1：3＝tanM，
∵BC∥MN，
∴∠CBD＝∠M，
∴tan∠CBD＝ ＝tanM＝1：3，
∴BC＝3CD＝4.8（m），
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝ ＝tan50°≈1.19，
∴AB≈1.19BC＝1.19×4.8≈5.7（m），
即树AB的高度约为5.7m．
24．（2020秋•阜宁县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝30°，a﹣b＝2 ﹣2，解这个直角三
角形．
【思路引导】利用三角形内角和定理构建方程组求出∠A，∠B的值，推出a＝b ，解方程组求出a，
b，即可解决问题．【完整解答】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由 ，解得 ，
∵ ，
∴c＝2b＝4．
25．（2021•荆门）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10（3+ ）海里的圆形海域内有暗礁．
一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20 海里后到
达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．
（1）求A，P之间的距离AP；
（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由 B
处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？
【思路引导】（1）通过作垂线构造直角三角形，求出小岛P到航线AB的最低距离PC，与暗礁的半径
比较即可得出答案；
（2）规划新航线BD，使小岛P到新航线的距离PE等于暗礁的半径，进而求出∠PBD，进而求出
∠CBD，确定方向角．
【完整解答】（1）过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，
由题意得，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝20 ，
设PC＝x，则BC＝x，在Rt△PAC中，
∵tan30°＝ ＝ ＝ ，
∴x＝10 +10 ，
∴PA＝2x＝20 +20 ，
答：A，P之间的距离AP为（20 +20 ）海里；
（2）因为PC﹣10（3+ ）＝10 +10 ﹣30﹣10 ＝10（ +1）（ ﹣ ）＜0，
所以有触礁的危险；
设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，作PE⊥BD，垂足为E，
当P到BD的距离PE＝10（3+ ）海里时，
有sin∠PBE＝ ＝ ＝ ，
∴∠PBD＝60°，
∴∠CBD＝60°﹣45°＝15°，
90°﹣15°＝75°
即海监船由B处开始沿南偏东至多75°的方向航行能安全通过这一海域．
26．（2021•天津）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．
一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求
救信号后，立即前往救援．求AB的长．（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84， 取1.73．【思路引导】通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数的意义列方程求解即可．
【完整解答】如图，过点B作BH⊥AC，垂足为H，
由题意得，∠BAC＝60°，∠BCA＝40°，AC＝257海里，
在Rt△ABH中，
∵tan∠BAH＝ ，cos∠BAH＝ ，
∴BH＝AH•tan60°＝ AH，AB＝ ＝2AH，
在Rt△BCH中，
∵tan∠BCH＝ ，
∴CH＝ ＝ （海里），
又∵CA＝CH+AH，
∴257＝ +AH，
所以AH＝ （海里），
∴AB＝ ≈ ＝168（海里），
答：AB的长约为168海里．27．（2021•资阳）资阳市为实现5G网络全覆盖，2020﹣2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为
i＝1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面
CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°．（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考
数据：sin53°≈ ，cos53°≈ ，tan53°≈ ）
（1）求D处的竖直高度；
（2）求基站塔AB的高．
【思路引导】（1）通过作垂线，利用斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，CD＝13，由勾股定理可求出答案；
（2）设出DE的长，根据坡度表示BE，进而表示出CF，由于△ACF是等腰直角三角形，可表示BE，
在△ADE中由锐角三角函数可列方程求出DE，进而求出AB．
【完整解答】（1）如图，过点 C、D 分别作 AB 的垂线，交 AB 的延长线于点 E、F，过点 D 作
DM⊥CF，垂足为M，
∵斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
设DM＝5k米，则CM＝12k米，
在Rt△CDM中，CD＝13米，由勾股定理得，
CM2+DM2＝CD2，
即（5k）2+（12k）2＝132，
解得k＝1，
∴DM＝5（米），CM＝12（米），
答：D处的竖直高度为5米；
（2）斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，
设DE＝12a米，则BE＝5a米，
又∵∠ACF＝45°，
∴AF＝CF＝（12+12a）米，
∴AE＝AF﹣EF＝12+12a﹣5＝（7+12a）米，
在Rt△ADE中，DE＝12a米，AE＝（7+12a）米，
∵tan∠ADE＝tan53°≈ ，
∴ ＝ ，
解得a＝ ，
∴DE＝12a＝21（米），AE＝7+12a＝28（米），
BE＝5a＝ （米），
∴AB＝AE﹣BE＝28﹣ ＝ （米），
答：基站塔AB的高为 米．28．（2021•莱芜区二模）如图，为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某段
限速道路AB＝328米，当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37°，无
人机继续向右水平飞行到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的俯角是
45°．求无人机距离地面道路的高度和飞行距离各为多少米．（均精确到1米）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ≈1.73）
【思路引导】通过作垂线构造直角三角形，在不同的直角三角形中，利用边角关系进行计算即可．
【完整解答】（1）如图，由题意得：∠ECA＝37°，∠CDA＝30°，∠FDB＝45°，CD∥AB，AB＝328米，
过点C作CM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB于点N，
则四边形CDNM是矩形，
∵∠ECA＝37°，∠CDA＝30°，∠FDB＝45°，CD∥AB，
∴∠CAM＝∠ECA＝37°，∠DAN＝∠CDA＝30°，∠B＝∠FDB＝45°，即无人机距离地面道路的高度为120米，
∴ ，
∴CD＝MN＝AN﹣AM＝207.6﹣160≈48米，
即无人机的飞行距离为48米．
29．（2021•碑林区校级模拟）学校“科技创新小团队”设计的智能照明家居（如图①）的设计方案（如
图②）所示：MN为台灯底座，支架AB与MN的夹角为60°．支架AB与BC的夹角可以调节的．试用后
发现，当支架AB与BC的夹角为108°时，可以达到较好的照明效果．若AB＝21cm，BC＝28cm．此时
点 C 离底座 MN 的距离为多少？（结果精确到 0.1cm．参考数据： ≈1.41； ≈1.73；
sin48°≈0.74；cos48°≈0.67；tan48°≈1.11）
【思路引导】过点 C 作CE⊥MN 于点 M，过点 B作BF⊥MN 于点 F，作 BG⊥CE 于点 G，得矩形
EGBF，根据锐角三角函数即可求出CG和BF的值，进而可得结果．
【完整解答】如图，过点C作CE⊥MN于点M，过点B作BF⊥MN于点F，作BG⊥CE于点G，
得矩形EGBF，在Rt△ABF中，
∵∠BAF＝60°，AB＝21cm，
∴∠ABF＝30°，
∴AF＝ AB＝ cm，
∴BF＝ AF＝ ≈18.165（cm），
∴GE＝BF≈18.165（cm），
在Rt△CGB中，
∵∠CBG＝108°﹣60°＝48°，BC＝28cm．
∴CG＝BC×sin48°≈28×0.74≈20.72（cm），
∴CE＝CG+GE＝20.72+18.165≈38.9（cm），
答：此时点C离底座MN的距离为38.9cm．
