文档内容
专练 06 填空题-压轴（15 题）
1．（2021·浙江·七年级期末）已知 ，则 ________．
【答案】7
【解析】
解：设： ， ，
则 可化为：
∴
将 ， ， 代入上式，
则
【点睛】
本题考查了对完全平方公式的应用，能熟记公式，并能设 ， ，然后将原代数式化简再
求值是解此题的关键，注意：完全平方公式为① ，② ．
2．（2021·安徽亳州·七年级期末）如图，AB∥CD，PE平分∠PEB，PF平分∠PFD，若设∠PEB＝x°，
2 1 2 1 1
∠PFD＝y°则∠P＝________度（用x，y的代数式表示），若PE平分∠PEB，PF平分∠PFD，可得
1 1 3 2 3 2
∠P，PE平分∠PEB，PF平分∠PFD，可得∠P…，依次平分下去，则∠Pn＝________度．
3 4 3 4 3 4【答案】
【解析】
解：如图，过点P、作直线MN∥AB，
1
∴∠PEB＝∠MP E＝x°．
1 1
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD．
∴∠PFD＝∠FPM＝y°．
1 1
∴∠EPF＝∠EPM+∠FPM＝x°+y°；
1 1 1
过点P 作直线GH∥AB，
2
∵PE平分∠BEP，PF平分∠DFP ，
2 1 2 1
∴ ， ，
同理： ，
以此类推： ， ， ， ．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义，并得到规律
是解题的关键．
3．（2021·全国·河南省淮滨县第一中学七年级期末）如图， ，BC平分 ，设 为 ，点
E是射线BC上的一个动点，若 ，则 的度数为__________．（用含 的代数式表
示）．【答案】 或
【解析】
解：如图，若点E运动到l 上方，
1
，
，
平分 ，
，
，
又 ，
，
，
解得 ；
如图，若点E运动到l 下方，
1，
，
平分 ，
，
，
又 ，
，
，
解得 ．
综上 的度数为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质，两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补．
两直线平行，内错角相等，合理应用平行线的性质是解决本题的关键．
4．（2021·江苏江苏·七年级期末）如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点
D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿
BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作
DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC=6cm，BC=8cm，设运动时间为t，则当t=__________ s时，
以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
【答案】1或 或12【解析】
解：当E在BC上，D在AC上，即0＜t≤ 时，
CE=（8-3t）cm，CD=（6-t）cm，
∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
∴CD=CE，
∴8-3t=6-t，
∴t=1s，
当E在AC上，D在AC上，即 ＜t＜ 时，
CE=（3t-8）cm，CD=（6-t）cm，
∴3t-8=6-t，
∴t= s，
当E到达A，D在BC上，即 ≤t≤14时，
CE=6cm，CD=（t-6）cm，
∴6=t-6，
∴t=12s，故答案为：1或 或12．
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的性质，解决问题的关键是对动点所在的位置进行分类，分别表示出每种情况
下CD和CE的长．
5．（2021·江苏苏州·七年级期末）如图，△ABC中，∠ACB ＝ 90°，AC ＝ 6，BC ＝ 8，点P从A点出
发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．
点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，
分别过P和Q作PE⊥ 于E，当点P运动 _________ 秒时，以P、E、C为顶点的三角形上以O、F、C为
顶点的三角形全等．
【答案】1或 或12
【解析】
解：分为五种情况：①如图1，P在AC上，Q在BC上，则PC=6-t，QC=8-3t，
∵PE⊥l，QF⊥l，
∴∠PEC=∠QFC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠EPC+∠PCE=90°，∠PCE+∠QCF=90°，
∴∠EPC=∠QCF，
∵△PCE≌△CQF，
∴PC=CQ，
即6-t=8-3t，
∴t=1；②如图2，P在BC上，Q在AC上，则PC=t-6，QC=3t-8，
∵由①知：PC=CQ，
∴t-6=3t-8，
∴t=1；
∴t-6＜0，即此种情况不符合题意；
③当P、Q都在AC上时，如图3，
CP=6-t=3t-8，
∴t= ；
④当Q到A点停止，P在BC上时，AC=PC，
t-6=6，
∴t=12．
⑤P和Q都在BC上的情况不存在，因为P的速度是每秒1cm，Q的速度是每秒3cm；
答：点P运动1或 或12秒时，以P、E、C为顶点的三角形上以O、F、C为顶点的三角形全等．
故答案为：1或 或12．
【点睛】
本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此
题的关键．
6．（2021·江苏·泰州中学附属初中七年级期末）如图，在 中， ， ， 、
是斜边 上两点，过点 作 ，垂足是 ，过点 作 ，垂足是 ．交 于点 ，连接，其中 ．下列结论：① ；② ；③若 ， ．则
；④ ．其中正确的是__________．（填序号）．
【答案】①③④
【解析】
解：∵ ，
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∵
∴
∴△ABD≌△ACF
∴①正确
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即
∴②错误
∵ ， ，
∴△AED≌△AEF
∴ ，
∴
若 ， ，则∵
∴
∴③正确
∵ ，
∴
∴④正确
故答案为：①③④.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键在于找到三角形全等的条件.
7．（2021·陕西宝鸡·七年级期末）如图，在锐角 中，AC＝10， ，∠BAC的平分线交BC
于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是_______________
【答案】5
【解析】
如图，在AC上取一点E，使 ，连接ME，
是 的平分线，
，
在 和 中， ，
，
，
，
由两点之间线段最短得：当点 共线时， 取最小值，最小值为BE，
又由垂线段最短得：当 时，BE取得最小值，，
，
解得 ，
即 的最小值为5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，
正确找出 取得最小值时BE的位置是解题关键．
8．（2021·河南·叶县教育体育局教研室七年级期末）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F 分别为线段
AB 和射线 BD 上的一点，若点 E 从点 B 出发向点 A 运动，同时点 F 从点 B 出发向点 D 运动，二
者速度之比为 3：7，运动到某时刻同时停止，在射线 AC 上取一点 G，使△AEG 与△BEF 全等，则
AG 的长为_____．
【答案】18或70
【解析】
解：设BE=3t，则BF=7t，因为∠A=∠B=90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：
情况一：当BE=AG，BF=AE时，
∵BF=AE，AB=60，
∴7t=60-3t，
解得：t=6，
∴AG=BE=3t=3×6=18；情况二：当BE=AE，BF=AG时，
∵BE=AE，AB=60，
∴3t=60-3t，
解得：t=10，
∴AG=BF=7t=7×10=70，
综上所述，AG=18或AG=70．
故答案为：18或70．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键．
9．（2020·湖南·长沙市雅礼实验中学七年级期末）如图，在四边形 中， ， ，
于点 ， 于点 ， 、 分别是 、 上的点，且 ，下列说法正确的是
________．（填写正确的序号）
① ，② ，③ 平分 ，④ 平分 ，⑤ ，⑥
．
【答案】③⑤⑥．
【解析】
解：延长EB到G，使BG=DF，连接AG，
∵AB⊥CB，AD⊥CD，
∴∠D=∠ABG=90°，
在△ADF和△ABG中，∵AD＝AB，∠D＝∠ABG，DF＝BG，
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴AF=AG，∠G=∠DFA，∠DAF=∠BAG，
∵∠EAF=70°，∠DAB=140°，
∴∠DAF+∠EAB=∠DAB－∠FAE=140°－70°=70°，
∴∠EAG=∠EAB+∠BAG=∠EAB+∠DAF=70°，
∴∠FAE=∠EAG=70°，
在△FAE和△GAE中
∵AE＝AE，∠FAE＝∠EAG，AF＝AG，
∴△FAE≌△GAE（SAS），
∴∠FEA=∠GEA，∠G=∠EFA，EF=EG，
∴EF=EB+BG= EB+DF，∠FAE≠∠EAB，故⑤正确，④错误；
∴∠G=∠EFA=∠DFA，即AF平分∠DFE，故③正确；
∵CF+CE＞EF，EF=DF+BE，
∴CF+CE＞DF+BE，故⑥正确；
根据已知不能推出△ADF≌△ABE，故②错误，①错误；
故答案为：③⑤⑥．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定定理，角平分线的定义，三角形的三边关系定理，垂直定义等知识点，
能灵活运用全等三角形的判定和性质定理进行推理是解此题的关键．
10．（2020·四川成都·七年级期末）如图1，在长方形纸片ABCD中，E点在边AD上，F、G分别在边
AB、CD上，分别以EF、EG为折痕进行折叠并压平，点A、D的对应点分别是点A′和点D′，若ED′平分
∠FEG，且 在 内部，如图2，设∠A′ED'=n°，则∠FE D′的度数为___________(用含n的代数式
表示)．【答案】
【解析】
解：∵∠AEA′+∠DED′－∠A′ED′=180°，∠A′ED′=n°，
∴∠AEA′+∠DED′=180°+n°，
由折叠的性质可知，∠AEA′=2∠A′EF，∠DED′=2∠D′EG，
∴∠A′EF+∠D′EG= ，
∴∠FEG=∠A′EF+∠D′EG－∠A′ED′= = ，
∵ED′平分∠FEG，
∴∠FED′= ∠FEG= .
【点睛】
本题考查与折叠、角平分线有关的角度问题，明确折叠的性质，正确找出角与角之间的关系是解题的关键.
11．（2021·浙江·七年级期末）如图（1）所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图（2），再沿BF折叠
成图（3），继续沿EF折叠成图（4），按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG；整个过程共折叠
了9次，问图（1）中∠DEF的度数是_____．
【答案】18°
【解析】：设∠DEF=α，则∠EFG=α．
∵折叠9次后CF与GF重合，∴∠CFE=9∠EFG=9α，如图2．
∵CF∥DE，∴∠DEF+∠CFE=180°，∴α+9α=180°，∴α=18°，即∠EF=180°．
故答案为18°．
点睛：本题考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是找出∠DEF+∠CFE=180°．解决该题型题目时，
根据翻折变换找出相等的边角关系是关键．
12．（2021·浙江温州·七年级期末）将一副三角板如图1所示摆放，直线 ，现将三角板ABC绕点
A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图
2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，则所
有满足条件的t的值为 ___．
【答案】30或120
【解析】
解：由题意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，
（1）如图1，当DE BC时，延长AC交MN于点P，
①DE在MN上方时，
∵DE BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP DF，
∴∠FDM＝∠MPA，∵MN GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDM＝∠HAC，
即2t°＝t°+30°，
∴t＝30，
②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，
∵DE BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP DF，
∴∠FDP＝∠MPA，
∵MN GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDP＝∠HAC，
即2t°﹣180°＝t°+30°，
∴t＝210（不符合题意，舍去），
（2）当BC DF时，延长AC交MN于点I，
①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，
∵DF BC，AC⊥BC，
∴AI DF，
∴∠FDN+∠MIA＝90°，
∵MN GH，
∴∠MIA＝∠HAC，
∴∠FDN+∠HAC＝90°，
即180°﹣2t°+t°+30°＝90°，∴t＝120，
②DF在MN下方时，∠FDN＝180°﹣2t°，
∵DF BC，AC⊥BC，DE⊥DF，
∴AC DE，
∴∠AIM＝∠MDE，
∵MN GH，
∴∠MIA＝∠HAC，
∴∠EDM＝∠HAC，
即2t°﹣180°＝t°+30°，
∴t＝210（不符合题意，舍去），
综上所述：所有满足条件的t的值为30或120．
故答案为：30或120．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
13．（2021·宁夏石嘴山·七年级期末）某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行的，即
PQ∥MN． 如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转
至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．
若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动_________秒，两灯
的光束互相平行．
【答案】30或110##110或30
【解析】
解：设灯转动t秒，两灯的光束互相平行，即AC∥BD，
①当0＜t≤90时，如图1所示：
∵PQ∥MN，则∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，则∠CAM＝∠BDA，
∴∠PBD＝∠CAM
有题意可知：2t＝30＋t
解得：t＝30，②当90＜t＜150时，如图2所示：
∵PQ∥MN，则∠PBD＋∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，则∠CAN＝∠BDA，
∴∠PBD＋∠CAN＝180°，
∴30＋t＋（2t－180）＝180
解得：t＝110
综上所述，当t＝30秒或t＝110秒时，两灯的光束互相平行．
故答案为：30或110
【点睛】
本题主要考查补角、角的运算、平行线的性质的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，注意分两种
情况谈论．
14．（2021·浙江绍兴·七年级期末）如图，已知点C为两条相互平行的直线AB，ED之间一点， 和
的角平分线相交于F，若∠BCD= ∠BFD+10°，则 的度数为__________．
【答案】160°
【解析】
解：∵ 和 的角平分线相交于F∴∠EDA=∠ADC、 ∠CBE=∠ABE
又∵AB∥ED
∴∠EDA=∠DAB, ∠DEF=∠ABE
设∠EDA=∠DAB=x, ∠DEF=∠ABE =y
∴∠BFD=∠EDA+∠ADE=x+y
∵在四边形BCDF中, ∠FBC=x,∠ADC=y, ∠BFD=x+y
∴∠BCD=360°-2（x+y），
∵∠BCD= ∠BFD+10°
∴∠BFD=x+y=100°
∴∠BCD=360°-2（x+y）=160°
故答案为160°．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、三角形的外角等知识点，根据相关知识得到角之间的关系是
解答本题的关键．
15．（2020·广东揭阳·七年级期末）如图， 与 中， ， ， ， 交
于 .给出下列结论：① ；② ：③ ；④ .其中正确
的结论是_______.（填写所正确结论的序号）.
【答案】①③④
【解析】
∵ ， ， ，
∴ ≌ （SAS），
∴AF=AC，BC=EF，∠BAC=∠EAF，
∴
∴①正确；∵无法判定DF与FC的大小关系，
∴② 错误；
∵∠BAC-∠BAF=∠EAF-∠BAF,
∴∠BAE=∠CAF,
∵∠BFE+∠AFE=∠CAF+∠C, ,
∴∠BFE=∠CAF,
∴③ 正确；
④ 正确.
故答案为：①③④
【点睛】
此题考查三角形全等的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等.
