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第三章 整式及其加减
3.5 探索与表达规律
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022·辽宁·阜新蒙古族自治县蒙古贞初级中学七年级期末）下列图形都是由相同大小的方块按照一定
规律组成的．其中第①个图形中一共有4个方块，第②个图形中一共有7个方块，第③个图形中一共有10
个方块，…，照此规律排列下去，第⑧个图形中方块的个数为（ ）
A．25 B．27 C．28 D．31
【答案】A
【分析】根据各图形中方块个数的变化可得出变化规律：第n个图形有（3n＋1）个方块，再利用规律计算
即可．
【详解】解：观察图形可得，第①个图形有3＋1＝4个方块，
第②个图形有3×2＋1＝7个方块，
第③个图形有3×3＋1＝10个方块，…，
∴第n个图形有（3n＋1）个方块，…，
∴第⑧个图形中方块的个数为3×8＋1＝25个，
故选：A．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中方块个数的变化找出变化规律是解题的关键．
2．（2022·河南·商水县希望初级中学七年级期末）现有一列数 ， ， ，…， ， ， ，其中， ， ，且满足任意相邻三个数的和为同一个常数，则
的值为（ ）
A．1986 B．－1986 C．2020 D．－2020
【答案】B
【分析】根据任意相邻三个数的和为常数列出等式，求出 ， ， ，从而得到每三个数为
一个循环组依次循环，再求出 ，然后分组相加即可得解．
【详解】解： 任意相邻三个数的和为同一常数，
，
，
，
， ， ，
， ， ， ，
， ，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了规律型 数字的变化类，求出每三个为一个循环组依次循环是解题的关键．
3．（2021·湖南·常德市第二中学八年级期中）一列数 ， ， ， ，其中 ， ，， ， ，则 （ ）
A． B．1 C．2020 D．
【答案】B
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出这列数的前几个数据，从而可以发现数字的变化特点，然
后即可求得所求式子的值．
【详解】解：由题意可得，
，
，
，
，
，
即这列数依次以 ， ，2循环出现，
， ，
，
故选：B．
【点睛】本题考查数字的变化特点，解题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值．
4．（2022·湖南衡阳·八年级期末）公园内有一段矩形走道，其地面使用灰色与白色两种全等的等腰直角三
角形地砖铺列，如图所示，若其中灰色等腰直角三角形地砖排列总共有80个，则步道上总共使用等腰直角
三角形地砖（ ）A．40个 B．80个 C．84个 D．164个
【答案】D
【分析】前面有3块白色等腰直角三角形，之后每增加两块灰色等腰直角三角形，则会增加两块白色等腰
直角三角形，最后还会有一个白色等腰直角三角形，由此计算即可．
【详解】解：3＋80×2＋1＝164．
答：步道上总共使用164个三角形地砖．
故选：D．
【点睛】本题考查了图形类规律探索，探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
5．（2022·新疆·和硕县第二中学七年级期末）若 ＝2， ＝4， ＝8， ＝16， ＝32…，则 的末
位数字是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
【答案】B
【分析】根据所给数据发现他们的个位数字以2、4、8、6为一个循环组，依次循环，然后计算即可．
【详解】解：由 ＝2， ＝4， ＝8， ＝16， ＝32，…，可知他们的个位数字以2、4、8、6为一个
循环组，依次循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴ 的末位数字与 的末位数字相同，
∴ 的末位数字是4，
故选：B．
【点睛】本题考查了数字类规律探索，观察所给数据得出末位数字的变化规律是解题的关键．
6．（2020·吉林·德惠市第三中学七年级阶段练习）按如图的方式摆放餐桌和椅子，n张餐桌可以摆放多少
把椅子？（ ）
A．4n+2 B．4n+1 C．5n+2 D．5n﹣2
【答案】A【分析】从餐桌和椅子的摆放方式，可总结出每多放一张桌子，就多放4把椅子，由此得出n张餐桌拼放
在一起可摆放的椅子数．
【详解】解：由图可知，1张餐桌可摆6把椅子，6=2+4×1；
2张餐桌拼放在一起可摆10把椅子，10=2+4×2；
3张餐桌拼放在一起可摆14把椅子，14=2+4×3；
即每多放一张桌子，就多摆放4把椅子，
所以n张餐桌拼放在一起可摆放椅子数为：2+4n；
故选：A．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到n张餐桌拼放在一起可摆放椅
子的数量．
二、填空题
7．（2021·四川·荣县一中七年级阶段练习）观察这些数的规律， 3，-8，15，-24，35，…则第10个数是
______．
【答案】
【分析】不难发现每个数的绝对值都是从 开始的自然数的平方减 ，且第奇数个数是正数，第偶数个数是
负数，由此即可解答．
【详解】解： ；
；
；
；
；
第 个数是 ，
故答案为：
【点睛】此题考查了数字变化的规律，根据数字变化的正负性确定数字变化的规律是解题的关键．
8．（2020·浙江·余姚市高风中学七年级期中）若a是不为1的有理数，我们把 称为a的差倒数．如：2的差倒数是 ，-1的差倒数是 ．已知 ， 是 的差倒数， 是 的差倒数，
是 的差倒数，……，以此类推，则 _______．
【答案】-
【分析】根据题意，可以写出这列数的前几个数，然后即可发现数字的变化特点，得到变化规律，利用变
化规律求解即可．
【详解】解：由题意可得，
， ， ， ，
…，
由上可得，这列数依次以 ， ，-2依次出现，
∴ = (-2)=-1，
∵2020÷3=673….1，
∴ =-1 =- ，
故答案为：- ．
【点睛】本题考查数字的变化类、新定义，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，利用变化
规律求值．
9．（2022·海南·海口中学七年级期末）将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）．
继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折两次后，可以得到3条折痕，连续对折三次
后，可以得到7条折痕，那么对折6次可以得到______条折痕，对折n次可以得到______条折痕．
【答案】 63
【分析】对前三次对折分析不难发现每对折1次把纸分成的部分是上一次的2倍，折痕比所分成的部分数
少1， 再根据对折规律求出对折n次得到的部分数，然后减1即可得到折痕条数，据此求解即可．
【详解】解：第一次对折后折痕的条数为 ，第二次对折后折痕的条数为 ，
第三次对折后折痕的条数为 ，
……
第 次对折后折痕的条数为 ，
当n=6时， ，
故答案为：①63；② ．
【点睛】本题是对图形变化规律的考查，观察得到对折得到的部分数与折痕的关系是解题的关键．
10．（2021·云南省元谋县第一中学七年级期中）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第 10个
图形有________个小圆．
【答案】114
【分析】分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为6；第2个图形中小圆的个数为10；第3个图形中小
圆的个数为16；第4个图形中小圆的个数为24；则知第n个图形中小圆的个数为n（n+1）+4，依此列出
方程即可求得答案．
【详解】解：根据图形可知：第1个图形中小圆的个数为6；
第2个图形中小圆的个数为10；
第3个图形中小圆的个数为16；
第4个图形中小圆的个数为24；
···
则知第n个图形中小圆的个数为n（n+1）+4；
故第10个图形有小圆的个数为 ．
故答案为：114．
【点睛】本题主要考查了图形的规律以及数字的规律，仔细观察图形，通过归纳总结找出其中的规律，是
解题的关键．
三、解答题11．（2021·新疆·昌吉市第二中学七年级期中）用黑白两种颜色的正六边形地面砖中力所示的规律，拼成
若干图案．
(1)第1个图形中有白色地砖 块；
第2个图形中有白色地砖 块；
第3个图形中有白色地砖 块；
第4个图形中有白色地砖 块；
(2)求第n个图案中有白色地砖的块数，并求出n＝100时白色地砖的块数．
【答案】(1)6；10；14；18；
(2)402块．
【分析】（1）观察前3个图形的变化即可得结论；
（2）结合（1）得到规律，进而运用规律即可得结论．
（1）
解：第1个图形中有白色地砖6块，即4×1+2=6；
第2个图形中有白色地砖10块，即4×2+2=10；
第3个图形中有白色地砖14块，即4×3+2=14．
第4个图形中有白色地砖4×4+2=18（块）；
故答案为：6；10；14；18；
（2）
解：根据（1）可知：
第n个图案中，白色地砖共（4n+2）块．
所以n=100时，白色地砖共4×100+2=402（块）．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律，运
用规律．
12．（2022·河南·郑州市第四初级中学七年级期末）用火柴棒按如图的方式搭图形．
(1)按图示规律完成下表：图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ ……
火柴棒根
5 9 ……
数
(2)按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要多少根火柴棒？
(3)搭第2022个图形需要多少根火柴棒？
【答案】(1)13，17，21
(2)
(3)8089
【分析】（1）根据后面的图形比前面的图形多4根火柴棒的规律填表即可；
（2）根据（1）的规律列式即可；
（3）将 代入（2）中的代数式即可．
（1）
解：根据图示得，后面的图形比前一个的图形多4根火柴棒，
故填表为：
图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ ……
火柴棒根 1
5 9 13 21 ……
数 7
故答案为：13，17，21；
（2）
解：分析表格中数据可知，
搭第1个图形，需要火柴棒根数为： ；
搭第2个图形，需要火柴棒根数为： ；
搭第3个图形，需要火柴棒根数为： ；
搭第4个图形，需要火柴棒根数为： ；
搭第5个图形，需要火柴棒根数为： ；
……
因此搭第n个图形需要火柴棒根数为： ．
（3）
解：当 时， ，因此搭第2022个图形需要8089根火柴棒．
【点睛】本题考查图形类规律探索，涉及到列代数式、代数式求值等，根据所给图形找出变化规律是解题
的关键．
提升篇
一、填空题
1．（2022·西藏·江达县第二初级中学校七年级期末）观察下列等式：
第1个 1＝12
第2个 2+3+4＝32
第3个 3+4+5+6+7＝52
第4个 4+5+6+7+8+9+10＝72
…
探究其中的规律，写出第n个等式（n为正整数）：__________________________．
【答案】
【分析】根据前4个等式，找到规律，左边为序数开始，连续自然数的和，个数为序数的2倍减1个，等
式的右边为左边数字个数的平方，据此即可求解．
【详解】解：第1个：1＝12
第2个：2+3+4＝32
第3个 ：3+4+5+6+7＝52
第4个：4+5+6+7+8+9+10＝72
…
第 个：
即
故答案为：
【点睛】本题考查了数字类规律题，找到规律是解题的关键．
2．（2022·广西南宁·七年级期末）如图，将一个正方形，第1次向右平移一下，平移的距离等于对角线长
的一半，即其中一个正方形的顶点与另一个正方形的中心重合，并把重叠部分涂上颜色；第2次向右平移连续平移两次，每次平移的距离与第一次平移的距离相同，并且每平移一次把重叠部分涂上颜色，……，
则第2022次平移后所得到的图案中所有正方形的个数是______．
【答案】8087
【分析】根据平移的性质和图示总结出规律，得出第n次平移后所得的图案中正方形的个数，再将次数代
入即可求出答案．
【详解】第一次平移形成3个正方形， ；
第二次平移形成7个正方形， ；
第三次平移形成11个正方形， ；
即第n次平移后可得到的正方形个数为， ；
将 代入可得， ，
故答案为8087．
【点睛】本题考查了平移的性质和规律的推算，根据前三次平移情况总结出规律，得出第n次平移后所得
的图案中正方形的个数为本题的关键．
3．（2022·山东威海·期末）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆周上4等分点处分别标上数字0、1、
2、3，让圆周上表示数字0的点与数轴上表示 的点重合，将该圆沿着数轴的负方向滚动，则数轴上表示
数 的点对应圆周上的数字是__________．
【答案】3
【分析】由于圆的周长为4个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以
4，如果余数分别是0，1，2，3，则分别与圆周上表示数字0，3，2，1的点重合．
【详解】解：∵-1-（-2022）=2021，
2021÷4=505…1，
∴数轴上表示数-2022的点与圆周上的数字3重合，故答案为：3．
【点睛】本题找到表示数-2022的点与圆周上起点处表示的数字重合，是解题的关键．
4．（2022·全国·七年级专题练习）用同样大小的黑色棋子按图1～图4所示的规律摆放下去，那么，第5
个图形中黑色（不棋子个数为_____个；第n个图形中黑色棋子的个数S与n的关系式为__________（不用
写出自变量n的取值范围）．
【答案】 64
【分析】第1个图形中黑色棋子的个数为： ，第2个图形中黑色棋子的个数为： ，
第3个图形中黑色棋子的个数为： ，由此得到规律进行求解即可．
【详解】解：第1个图形中黑色棋子的个数为： ，
第2个图形中黑色棋子的个数为： ，
第3个图形中黑色棋子的个数为： ，
∴第5个图形中黑色棋子的个数为： ；
∴第n个图形中黑色棋子的个数为： ，
故答案为：64； ．
【点睛】本题主要考查了与图形有关的规律题，正确理解题意找到对应的规律是解题的关键．
5．（2022·山东日照·八年级期末）观察下列各式：
， ， ，……请利用你所发现的规律，计算 ，其结果为
___________．
【答案】
【分析】直接根据已知数据变化规律，进而将原式变形为 ，
进行计算即可解答．
【详解】由题意得：
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了实数的运算，规律性：数字的变化类，正确将原式变形是解题的关键．
二、解答题
6．（2022·河南·郑州市第五十七中学七年级期末）下图是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方
形涂有阴影，依此规律完成此题
图形标号 第一个 第二个 第三个 第四个
涂有阴影的小正方形的个
5 a 13 b
数
(1)a＝_____ ， b＝_____；
(2)按照这种规律继续下去，则第n个图形中涂有阴影的小正方形的个数为___________；（用含n的代数
式来表示）(3)按照这种规律继续下去，用（2）中的代数式求第2022个图形中涂有阴影的小正方形的个数．
【答案】(1)9；17
(2)4n+1
(3)8089根
【分析】（1）观察图形规律，可知第1个小正方形阴影有5个，第2个小正方形阴影有5+4=9个，第3个
小正方形阴影有5+4×2=13个，以此类推，可知第4个为5+4×3=17个；
（2）第n个为5+4（n-1）= ；
（3）将 代入 即可．
（1）
第2个小正方形阴影有5+4=9个；
第4个小正方形阴影有5+4×3=17个
故答案为：9，17；
（2）
观察图形规律，可知：
第1个小正方形阴影有5个，
第2个小正方形阴影有5+4=9个，
第3个小正方形阴影有5+4×2=13个，
以此类推，
第n个为5+4（n-1）= ；
故答案为： ；
（3）
将 代入 中得：
即第2022个图形需要的火柴棒根数为8089根．
【点睛】本题是图形的规律探究题，找到题目中的规律，并用代数式把规律表示出来是解决本题的关键．
7．（2021·云南省元谋县第一中学七年级期中）下列材料：
……
解答问题：(1)
(2) …
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）观察已知的等式，可将原式变形，然后进行计算即可；
（2）结合（1）的方法进行计算即可得结论．
（1）
解：原式
=
（2）
原式
=
【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，
求出相应式子的结果．
8．（2022·浙江丽水·七年级期中）观察下列等式：
第1个等式： ；第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
……
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：a= = ；
5
(2)按以上规律列出第2015个等式：a = = ；
2015
(3)求a+a+a+a+…+a 的值．
1 2 3 4 2016
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；
（2）根据所得规律求出第n个等式，从而得到第2015个等式；
（3）利用（2）中的规律进行求解即可．
（1）
解：由题意得：第5个等式为： ，
故答案为： ， ；
（2）
第1个等式： ；
第2个等式： ；第3个等式： ；
第4个等式： ；
……
∴第n个等式： ，
∴第2015个等式： ；
（3）
=
=
=
=
= ．
【点睛】本题考查数字的规律，能够通过所给式子，找到数字的变化规律，并归纳出一般结论是解题的关
键．
