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第七章 平行线的证明
第 3 课时平行的性质
基础篇
1．如图，直线a，b被直线c所截，且a//b，若∠1=55°，则∠2等于（ ）
A．35° B．45° C．55° D．125°
【答案】C
【解析】
试题分析：根据图示可得：∠1和∠2是同位角，根据两直线平行，同位角相等可得：∠2=∠1=55°.
考点：平行线的性质
2．如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1=110°，则∠2等于（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【答案】B
【分析】
根据“两直线平行，同旁内角互补”和“对顶角相等”来求∠2的度数．
【详解】
解：如图，∵AB∥CD，∠1=110°，
∴∠1+∠3=180°，即100+∠3=180°，
∴∠3=70°，∴∠2=∠3=70°．
故选B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质．平行线性质定理：
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
3．如图， ， ，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D． 与 无关
【答案】B
【解析】
【分析】
根据AB∥CD得到∠2=∠CAB，再根据AD∥BC即可得到∠3=∠DAB=∠1＋∠2．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∵∠2=∠CAB，
∵AD∥BC，
∴∠3=∠DAB=∠1＋∠2.
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等和两直线平行，同位角相等是解题关键．
4．如图，下列条件中可得到AD∥BC的是 ( )①AC⊥AD AC⊥BC;②∠1=∠2，∠3=∠D;③∠4=∠5 ④ ∠BAD+∠ABC=180021cnjy.com
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
【答案】B
【分析】
根据平行线的判定定理逐个判断即可．
【详解】
解：∵AC⊥AD，AC⊥BC，
∴∠DAC=∠ACB=90°，
∴AD∥BC，故①正确；
∵∠1=∠2，
∵BC∥EF，
∵∠3=∠D，
∴AD∥EF，
∴AD∥BC，故②正确；
根据∠4=∠5能推出AB∥CD，不能推出AD∥BC，故③错误；
∵∠B+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，故④正确；
即正确的有①②④，
故选B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①
两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
5．如图，下列推理及所证明的理由都正确的是（ ）A．若 ，则 ，理由是内错角相等，两直线平行
B．若 ，则 ，理由是两直线平行，内错角相等
C．若 ，则 ，理由是内错角相等，两直线平行
D．若 ，则 ，理由是两直线平行，内错角相等
【答案】D
【分析】
根据平行线的性质与判定定理逐项判断即可．
【详解】
解：A、若 ，则 ，理由是两直线平行，内错角相等，故A错误；
B、若 ，不能判断 ，故B错误；
C、若 ，则 ，理由是两直线平行，内错角相等，故C错误；
D、若 ，则 ，理由是两直线平行，内错角相等，正确，
故答案为：D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定定理，解题的关键是熟练掌握平行线的性质与判定定理．
6．如图，AB//CD, ∠CED=90°, ∠BED=40°, 则∠C 的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【分析】
根据两直线平行，同旁内角互补可得∠BEC+∠C=180°，再由条件∠CED=90°，∠BED=40°可得答案．
【详解】
∵AB∥CD，
∴∠BEC+∠C=180∘，
∵∠CED=90∘,∠BED=40∘，
∴∠C=180∘−90∘−40∘=50∘
故选C.
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题的突破口在于根据两直线平行，同旁内角互补可得∠BEC+∠C=180°.7．如图，AB∥CD∥EF， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由平行线的性质，得到 ，求得 ，即可得到
的度数.
【详解】
解：∵AB∥CD∥EF，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选择：B.
【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键.
8．如图，AD⊥BC，DE∥AB，则∠B和∠1的关系是（ ）
A．相等 B．互补 C．互余 D．不能确定
【答案】C
【分析】
由DE∥AB，得出∠B＝∠EDC，由AD⊥BC，得出∠1+∠EDC＝90°，即可得出∠B和∠1互余．
【详解】解：∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC，
∵AD⊥BC，
∴∠1+∠EDC＝90°，
∴∠B+∠1＝90°，
∴∠B和∠1互余．
故选C．
【点睛】
此题考查平行线的性质，余角和补角，解题关键在于得出∠1+∠EDC＝90°.
9．如图，直线a∥b，∠1＝50°，∠2＝40°，则∠3的度数为（ ）
A．40° B．90° C．50° D．100°
【答案】B
【分析】
根据平行线的性质即可得到∠4的度数，再根据平角的定义即可得到∠3的度数.
【详解】
∵a∥b，
∴∠4＝∠1＝50°，
∵∠2＝40°，
∴∠3＝180°-40°-50°=90°，
故选B.
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质.
10．如图两平行线 、 被直线 所截，且 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用平行线的性质即可解决问题．
【详解】
解：如图：
∵a∥b，
∴∠1=∠3=40°，
∴∠2=∠3=40°，
故选B．
【点睛】
本题考查平行线的性质，对顶角相等等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11．如图， 是 上一点， 交 于点 ， ， ，若 ， ，则 的长是
( )
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【答案】B
【分析】根据平行线的性质，得出 ， ，根据全等三角形的判定，得出 ，根据
全等三角形的性质，得出 ，根据 ， ，即可求线段 的长．
【详解】
∵ ，
∴ ， ，
在 和 中 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
故选B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定 是解此题的关键．
12．如图， ， ，有下列结论：① ；② ；③ ；④
，其中正确的结论有（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
【答案】A
【分析】
由条件可先证明AB∥CD，再证明AE∥DF，结合平行线的性质及对顶角相等可得到∠AMC＝∠BND，可得出
答案．
【详解】
∵ ，
∴ .
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故①②④正确.由已知条件不能得出 ，故③不一定正确.
故选A.
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行 同位角相
等，②两直线平行 内错角相等，③两直线平行 同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c． ⇔
13．如图，a//b，∠⇔1=105°，∠2=140°，则∠3 的度⇔数是 （ ）
A．75° B．65° C．55° D．50°
【答案】B
【解析】
【分析】
如图作出两直线的交点，由a∥b可以推出∠1+∠4=180°，然后可以求出∠4=75°．再根据三角形的外角等于
不相邻的两个内角的和可以求出∠3．
【详解】
如图作出两直线的交点，
∵a∥b，
则∠1+∠4=180°，
∴∠4=75°，
根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和得到∠2=∠3+∠4，则∠3=65°.
故答案选B.
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质与平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握三角形的外角性质与平行线的性
质.
14．如图,AB∥CD,∠C=110°,∠B=120°,则∠BEC等于 ( )
A．110° B．120° C．130° D．150°
【答案】C
【分析】
首先过点E作EF∥AB，即可得EF∥AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠1与∠2的度数，
即可求得∠BEC的值．
【详解】
过点E作EF∥AB，如图所示：
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠1+∠B=180°，∠2+∠C=180°，
∵∠C=110°，∠B=120°，
∴∠1=60°，∠2=70°，
∴∠BEC=∠1+∠2=130°．
故选C．
【点睛】
考查了平行线的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，同旁内角互补定理的应用与辅助线的作法．
15．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上， ， ；则 的度数为______ .【答案】28
【分析】
根据两直线平行，同位角相等求出∠2的同位角，再根据三角形的外角性质求解即可．
【详解】
解：如图，
∵∠2=58°，并且是直尺，
∴∠4=∠2=58°（两直线平行，同位角相等），
∵∠1=30°，
∴∠3=∠4-∠1=58°-30°=28°．
【点睛】
本题主要考查了两直线平行，同位角相等的性质以及三角形的外角性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
16．如图， ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，那
么下列结论：△①△BDF和 CEF都是等腰三角形； ②△ADE的周长等于AB与AC的和；③BF=CF； ④F
为DE中点．其中正确的有△_____．（填正确结论的序号）
【答案】①②
【分析】
由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质逐项分析可得
解．【详解】
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCB，
∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，
∴DB＝DF，EF＝EC，
即△BDF和△CEF都是等腰三角形；
故①正确；
∵BD与CE无法判定相等，
∴DF与EF无法判定相等，
故④错误；
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AB+BD+CE+AE＝AB+AC；
故②正确；
∵∠ABC不一定等于∠ACB，
∴∠FBC不一定等于∠FCB，
∴BF与CF不一定相等，
故③错误．
故答案为：①②．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，
及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．
17．完成下面的证明过程：如图， ， 平分 ， 平分 ．
求证： ．
证明： ，（已知）
（________）
又 ，（已知）
_______
（__________）
平分 ，（已知）
．同理，
（已知）
（________
（________）
【答案】两直线平行，同旁内角互补； ；同角的补角相等；两直线平行，内错角相等；同位角相等，
两直线平行
【分析】
根据题中的证明过程写出每一步的推理过程及有关的角度和线段填写．
【详解】
解：完成下面的证明过程：
如图， ， 平分 平分 ．
求证：
证明： （已知）
（两直线平行，同旁内角互补）
又 ，（已知）
（同角的补角相等）
平分 ，（已知）同理，
（已知）
．（两直线平行，内错角相等）
（同位角相等，两直线平行）
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；∠ADC；同角的补角相等；两直线平行，内错角相等；同位角相
等，两直线平行．
【点睛】
本题考查平行线的性质和判定，根据题目本身的证明过程确定每空是填写推理依据、角度还是线段等等是
解题关键．
提升篇
18．如图，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C．填空并写出理由．
∵∠1+∠2＝180°（已知），∠2+∠CDB＝180°（平角定义）
∴∠1＝∠CDB （ ）
∴AE∥FC （ ）
∴∠C＝ （ ）
又∵∠A＝∠C
∴∠A＝∠CBE
∴ ∥ （ ）
【答案】同角或等角的补角相等；同位角相等，两直线平行；∠CBE；两直线平行，内错角相等；AD∥BC；同位角相等，两直线平行．
【分析】
根据平行线的判定与性质进行推理论证即可．
【详解】
解：∵∠1+∠2＝180°（已知），∠2+∠CDB＝180°（平角定义），
∴∠1＝∠CDB（同角或等角的补角相等），
∴AE∥FC（同位角相等，两直线平行），
∴∠C＝∠CBE（两直线平行，内错角相等），
又∵∠A＝∠C，
∴∠A＝∠CBE，
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）；
故答案为：同角或等角的补角相等；同位角相等，两直线平行；∠CBE；两直线平行，内错角相等；
AD∥BC；同位角相等，两直线平行．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键；属于中考常考题型．
19．推理填空：
如图， 于D， 于G， ，可得 平分 ．
理由如下：∵ 于D， 于G，（已知）
∴ ，（____________________）
∴ ，（____________________）
∴ __________，（____________________）
，（____________________）
又∵ ，（____________________）
∴ ___________，（____________________）
∴ 平分 ．（____________________）【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠2；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角
相等；已知；∠2；等量代换；角平分线的定义．
【分析】
根据证明的前后联系填写理由或结论即可．
【详解】
解：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，（已知）
∴∠ADC＝∠EGC＝90°，（垂直的定义）
∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）
∴∠1＝ ∠ 2 ， （两直线平行，内错角相等）
∠E＝∠3，（两直线平行，同位角相等）
又∵∠E＝∠1（已知）
∴∠3＝ ∠ 2（等量代换）
∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠2；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位
角相等；已知；∠2；等量代换；角平分线的定义．
【点睛】
本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角，明确每步说理的
原因是正确答题的关键．
20．如图，直线MN分别与直线AB、CD交于点E、F，且∠AEM＝∠NFC．∠AEF的角平分线EG交直线CD于
点G，∠EFC的角平分线FH交直线AB于点H．
（1）求证：EG//HF；
（2）若∠AHF＝36°，求∠EGD的度数．【答案】（1）见解析；（2）144°．
【分析】
利用对顶角相等及同位角相等，证明出 ，再根据角平分线定理通过等量代换得出内错角相等，推
出EG//HF；
（2）先根据两直线平行，同位角相等得出∠AEG＝∠AHF＝36°，再根据两直线平行得到内错角相等即可求
解．
【详解】
（1）证明：∵∠AEM＝∠NFC，∠NFC＝∠DFM，
∴∠AEM＝∠DFM，
∴AB//DC，
∴∠AEF＝∠EFC，
∵∠AEF的角平分线EG交直线DC于点G，∠MFC的角平分线FH交直线AB于点H，
∴∠GEF＝ ∠AEF，∠EFH＝ ∠EFC，
∴∠GEF＝∠EFH，
∴EG//HF；（2）解：∵EG//HF，∠AHF＝36°，
∴∠AEG＝∠AHF＝36°，
∵AB//CD，
∴∠AEG+∠EGD＝180°，
∴∠EGD＝180° 36°＝144°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定及性质，角平分线性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定及性质．
21．已知，直线AB∥CD．
（1）如图1，求证∠AEC=∠BAE+∠DCE；
（2）如图2，请直接写出∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，CF平分∠DCE，AF平分∠BAE，且∠E+∠F=60°．
①请直接写出∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系是 ；
②请直接写出∠E的度数是 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠DCE=∠AEC＋∠BAE，理由见解析；（3）①∠AEC=∠BAE－∠DCE；
②40°
【分析】
（1）过点E作EF∥AB，根据平行于同一条直线的两直线平行可得EF∥AB∥CD，然后根据平行线的性质可得
∠BAE=∠AEF，∠DCE=∠CEF，从而证出结论；
（2）过点E作EF∥AB，根据平行于同一条直线的两直线平行可得EF∥AB∥CD，然后根据平行线的性质可得
∠BAE=∠AEF，∠DCE=∠CEF，从而得出结论；
（3）①过点E作EG∥AB，根据平行于同一条直线的两直线平行可得EG∥AB∥CD，然后根据平行线的性质
可得∠BAE=∠AEG，∠DCE=∠CEG，从而得出结论；
②过点F作FH∥AB，根据平行于同一条直线的两直线平行可得FH∥AB∥CD，然后根据平行线的性质可得∠BAF=∠AFH，∠DCF=∠CFH，从而证出∠AFC=∠BAF－∠DCF，然后根据角平分线的定义可得∠AFC =
∠AEC，结合已知条件即可求出结论．
【详解】
证明：（1）过点E作EF∥AB，如图所示
∵AB∥CD
∴EF∥AB∥CD
∴∠BAE=∠AEF，∠DCE=∠CEF
∴∠AEC=∠AEF＋∠CEF=∠BAE＋∠DCE；
（2）∠DCE=∠AEC＋∠BAE，理由如下
过点E作EF∥AB，如图所示
∵AB∥CD
∴EF∥AB∥CD
∴∠BAE=∠AEF，∠DCE=∠CEF
∴∠CEF=∠AEC＋∠AEF
∴∠DCE=∠AEC＋∠BAE；
（3）①∠AEC=∠BAE－∠DCE过点E作EG∥AB，如图所示
∵AB∥CD
∴EG∥AB∥CD
∴∠BAE=∠AEG，∠DCE=∠CEG
∴∠AEC=∠AEG－∠CEG=∠BAE－∠DCE
故答案为：∠AEC=∠BAE－∠DCE；
②过点F作FH∥AB
∵AB∥CD
∴FH∥AB∥CD
∴∠BAF=∠AFH，∠DCF=∠CFH
∴∠AFC=∠AFH－∠CFH=∠BAF－∠DCF
∵CF平分∠DCE，AF平分∠BAE，
∴∠BAF= ∠BAE，∠DCF= ∠DCE
∴∠AFC=∠BAF－∠DCF= ∠BAE－ ∠DCE
= （∠BAE－∠DCE）
= ∠AEC
∵∠AEC＋∠AFC=60°
∴∠AEC＋ ∠AEC=60°
解得：∠AEC=40°
故答案为：40°．
【点睛】
此题考查的是平行线的判定及性质，掌握平行线的各个判定定理及性质定理是解题关键．
