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第五章 二元一次方程组（复习讲义）
1. 了解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的意义，体会二元一次方程组各知识点之间的整体联
系。
2. 能用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组，体会消元思想。
3. 理解并利用二元一次方程组解决实际问题，掌握审题、设元、列方程组、解方程组、检验、作答的基
本步骤，能运用基本公式分析和解决问题。
【清单01】二元一次方程（组）定义
1.二元一次方程组定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程．
2.二元一次方程组定义方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫
x y2,
x y0
做二元一次方程组． 如：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ，
3.二元一次方程（组）的解
（1）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
【清单02】 解二元一次方程组
（1）消元思想
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的
一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、
逐一解决的思想，叫做消元思想．
（2）代入消元法
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现
消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法．
（3）加减消元法
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，
就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
【清单03】二元一次方程（组）的应用
一．解题步骤
1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系；
2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数；
3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程
步 组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的；
骤
4．解方程组；
5．检验：检验方程的根是否符合题意；
6．作答：检验后作出符合题目要求的答案．
二、基本公式
单价×数量=总价
利润=实际售价-成本
实际售价=标价（原价）×折扣 利润率= ×100【题型一】二元一次方程（组）的概念
【例1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列式子是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键；
根据含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，逐项判断即可，
【详解】解： A、含有1个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，是一元一次方程，故不符合题意；
B、未知数项的最高次数是2，不是二元一次方程，故不符合题意；
C、分母中含有未知数，不是整式方程，更不是二元一次方程，故不符合题意；
D、含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，是二元一次方程，符合题意，
故选：D．
【变式1-1】（24-25七年级下·青海西宁·期中）下列是二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程的定义；根据含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整
式方程叫做二元一次方程，逐项判断即可，
【详解】解： A、分母中含有未知数，不是整式方程，不是二元一次方程，本选项不符合题意；
B、未知数项的最高次数是2，不是二元一次方程，本选项不符合题意；
C、 是二元一次方程，本选项符合题意，
D、未知数项的最高次数是2，不是二元一次方程，本选项不符合题意；
故选：C．
【变式1-2】（24-25七年级下·山东烟台·期中）在下列方程组：① ，② ，③，④ ，⑤ 中，是二元一次方程组的是（ ）
A．①②⑤ B．①②④ C．①②③ D．①②③⑤
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．分析各个方程组是否满足二元一次方程组的定义“①只有两
个未知数；②未知数的项最高次数都应是一次；③都是整式方程”．据此即可判断．
【详解】解：① ，符合二元一次方程组的概念；
② ，符合二元一次方程组的概念；
③ 中， 中含未知数的项的次数不是一次，不符合二元一次方程组的概念；
④ 中， 不是整式方程，不符合二元一次方程组的概念；
⑤ ，符合二元一次方程组的概念；
综上，①②⑤是二元一次方程组．
故选：A．
【题型二】二元一次方程（组）的解
【例2】（24-25七年级下·四川泸州·期中）下列各组数中，是二元一次方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解与二元一次方程的关系是解题的关键．
分别将选项中的解代入二元一次方程，使方程成立的即为所求．【详解】解：当 时， ，故A不符合题意；
当 时， ，故B不符合题意；
当 时， ，故C符合题意；
当 时， ，故D不符合题意；
故选：
【变式2-1】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）下列方程组中，解为 的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，正确理解定义是关键．根据方程组的解的定义，只
要检验 是否是选项中方程的解即可．
【详解】解：A、把 代入方程 ，左边 ，故不是方程组的解，故选项错误；
B、把 满足 中的两个方程，故是方程组的解，故选项正确；
C、把 代入方程 ，左边 ，故不是方程组的解，故选项错误；D、把 代入方程 ，左边 ，故不是方程组的解，故选项错误．
故选B．
【变式2-2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）表1为二元一次方程 的部分解，表2为二元一
次方程 的部分解，则方程组 的解为 （ ）
表1 x 1 2
y 1
表2 x 0 1 2
y 0
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．根据二元一次
方程组的解的定义，从表格中找到答案即可．
【详解】解：由表格可知， ， 是二元一次方程 的解， ， 是二元一次方程
的解，
关于 ， 的二元一次方程组 的解为 ．
故选：C．
【题型三】解二元一次方程组
【例3】（24-25七年级下·甘肃武威·期中）用你掌握的方法解下列方程组：
(1)(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握二元一次方程组的解法．
（1）利用加减消元法求解即可；
（2）将原方程组化为 ，再利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：
得
，
将 代入②得
，
该方程组的解为 ；
（2）
方程组整理得 ，得
，
将 代入①得 ，
该方程组的解为 ．
【变式3-1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）解方程组：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．
（1）运用加减消元法求解即可；
（2）运用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解： ，
得： ，
解得： ，
将 代入①得： ，
解得： ，∴原方程组的解是： ．
（2）解： ，
得： ，
解得： ，
将 代入②得： ，
解得： ，
∴原方程组的解是： ．
【变式3-2】（24-25八年级上·重庆·期中）解方程组：
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键．
（1）将方程组中的第二个方程变形为 ，代入第一个方程，消去 ，解方程可得 的值，再将
的值代入 可得 的值，由此即可得；
（2）先将方程组变形为 ，再将第二个方程的两边同乘以 ，与第一个方程相加，消去 ，解
方程可得 的值，再将 的值代入第二个方程，解方程可得 的值，由此即可得．【详解】（1）解： ，
由②得： ③，
将③代入①得： ，
解得 ，
将 代入③得： ，
所以方程组的解为 ．
（2）解：方程组 可变形为 ，
由① ② 得： ，
解得 ，
将 代入②得： ，
解得 ，
所以方程组的解为 ．
【题型四】二元一次方程组-错解复原问题
【例4】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）错题是最好的素材，识错和辨错能有效的检测我们的知识漏洞，
纠错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养。请你根据小明在解方程组 时的运算步骤回答
下面的问题．
解：由 ，得 ， …第一步
，得 ， …第二步
得 ． …第三步
把 代入①，得 ， …第四步所以原方程组的解为
(1)小明的解题过程从第________步开始出现错误（填一、二、三、四）；
(2)请你写出正确的解方程组的过程．
【答案】(1)一
(2)见解析
【分析】本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组．
（1）根据等式的性质即可得出答案．
（2）按照加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：第一步开始错误，
∵由 ，方程右边的常数项没有 ；
故答①案为：一；
（2）解： ，
由 ，得 ，
① ③
，得 ，
③ ②
把 代入 ，得 ，
①
所以原方程组的解为 ．
【变式4-1】（24-25七年级下·福建泉州·期中）下面是小华同学解方程组 的过程，请你观察
计算过程，回答下面问题．
解： 得： ③ 第一步
得： 第二步
将 代入②得： ． 第三步所以该方程的解是 第四步
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做____________；其中第一步这样做的依据是______________．
(2)第_______步开始出现了错误．
(3)请你帮小华同学写出正确的解题步骤．
【答案】(1)①加减消元法，②等式的基本性质2
(2)二
(3)见解析
【分析】（1）解二元一次方程组的方法主要是消元，根据解题过程可知用的加减消元法；第一步的依据
是等式的基本性质2；
（2）第二步计算时，合并同类项时y的系数计算错误．
（3）利用加减消元法解方程组即可．
此题考查了二元一次方程组的求解能力，关键是键是能熟练运用加减消元法．
【详解】（1）解：小华同学使用的是加减消元法，第一步的依据是等式的基本性质2，即等式两边同时乘
以一个相同的数，等式仍然成立．
（2）解：第二步出现错误，原因是合并同类项时y的系数计算错误；
（3）解： 得： ③，
得： ，解得 ，
将 代入②得： ，
∴该方程组的解是 。
【变式4-2】（24-25七年级下·河北唐山·期中）老师在黑板上写了一道题目：求二元一次方程组
的解．
琪琪同学进行了板演，过程如图：解：把①变形为： ③…………第一步
把③代入②中得： …………第二步
解这个方程，得第三步 …………第三步
把 代入①中，得 …………第四步
所以，方程组的解为 …………第五步
(1)琪琪在解方程组时，使用了________消元法；
(2)琪琪在解方程组时，首次出现错误在第________步；
(3)请写出正确的解答过程．
【答案】(1)代入
(2)第一步
(3)
【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组．熟练掌握代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．
（1）根据代入消元法解二元一次方程组求解作答即可；
（2）根据代入消元法解二元一次方程组求解过程作答即可；
（3）根据代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：琪琪在解方程组时，使用代入消元法，
故答案为：代入；
（2）解：琪琪在解方程组时，首次出现错误在第一步，移项没有变号，
故答案为：第一步；
（3）解：把①变形为： ③
把③代入②中得：
解这个方程，得第三步把 代入①中，得
所以，方程组的解为 ．
【题型五】二元一次方程组的应用之古代问题
【例5】（24-25七年级下·河南洛阳·期中）我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知
长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长
木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺．问长木多少尺？
【答案】长木为6.5尺
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关
键．
根据绳子的长度不变，得出关于x的一元一次方程，即为答案．
【详解】解：设长木为x尺，则绳长为 尺
依题意得
解这个方程，得
答：长木为6.5尺.
【变式5-1】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）《九章算术》中有这样的一道题：今有四人共车，一车空．
三人共车，五人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若
每3人共乘一车，最终剩余5个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
【答案】共有32人，9辆车
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键．设有 辆车，根据
每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余5个人无车可乘，列出方程，解方程即
可．
【详解】解：设有 辆车，根据题意得：
，
解得 ，
（人），
答：共有32人，9辆车．【变式5-2】（24-25七年级上·云南昆明·期中）《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车
空；二人共车，九人步，问人和车各几何？”这个题的意思是：今有若干人乘车，若每3人乘一辆车，则
余2辆空车；若每2人乘一辆车，则余9人需步行，问共有多少辆车，多少人？
(1)设有x辆车，根据题意，用含有x的式子填空：
“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”即共有________辆车坐满3人，则乘车人数可表示为________；
“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”即共有________辆车坐满2人，则乘车人数可表示为________．
(2)列出方程，求出问题的答案．
【答案】(1) ， ， ，
(2)见解析
【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出代数式和
方程，是解题的关键．
（1）根据题意，列出代数式即可；
（2）根据人数不变，列出方程进行求解即可；
【详解】（1）解：设有x辆车，若每3人乘一辆车，则余2辆空车”即共有 辆车坐满3人，则乘车
人数可表示为 ；若每2人乘一辆车，则余9人需步行”即共有 辆车坐满两人，则乘车人数可表示
为 ；
故答案为： ， ， ， ；
（2）解：由题意，得： ，
解得： ，
∴ ，
答：有15辆车，39人．
【题型六】二元一次方程组的应用之几何问题
【例6】（24-25七年级下·陕西延安·期中）某校为开展劳动拓展课程，拟在一块长比宽多 的长方形场地
内建造两个面积相等的植物养殖区长方形 和长方形 ，植物养殖区的两边
，要求两个植物养殖区之间有间隔 的小路，求长方形场地 的面积．【答案】长方形场地 的面积为 ．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设植物养殖区 的长为 ， 的长为 ，由题意得
，然后解方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键．
【详解】解：设植物养殖区 的长为 ， 的长为 ，
由题意得 ，解得 ，
∴ ，
∴ ．
答：长方形场地 的面积为 ．
【变式6-1】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）我校为开展劳动拓展课程，拟在一块长比宽多 的长方形
场地内建造由两个大棚组成的植物养殖区．如图（ ）为大棚，设计方案如图（ ），要求两个大棚之间
有间隔 的路，已知每个大棚的周长为 ．
(1)求每个大棚的长和宽各是多少？
(2)当面积超过 平方米时，有两种大棚造价的方案，方案一：每平方米 元，总价优惠 元；方案二：
每平方米 元，总价优惠 ，试问选择哪种方案更优惠？说明理由．
【答案】(1)大棚的长为 米，宽为 米
(2)选择方案二更优惠，理由见解析
【分析】（ ）设大棚的长为 米，宽为 米，根据题意列出方程组即可求解；（ ）求出大棚的面积为，再分别求出两种方案的造价，比较即可求解；
本题考查了二元一次方程组的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意正确列出方程组是解题的关键．
【详解】（1）解：设大棚的长为 米，宽为 米，
根据题意得， ，
解得 ，
答：大棚的长为 米，宽为 米；
（2）解：选择方案二更优惠，理由如下：
大棚的面积为 平方米，
若按照方案一计算，大棚的造价为： 元，
若按照方案二计算，大棚的造价为： 元，
∵ ，
∴选择方案二更优惠．
【变式6-2】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图
形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积．
小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长
方形的面积公式得出每个小长方形的面积．
(1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积；
(2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13
个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是多少厘米？
【答案】(1)60
(2)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出方程组是解题的关键．
（1）设小长方形的长为x，宽为y，根据图1可知3个长等于5个宽，根据图2可知两个宽减去1个长等于2，据此建立方程组求解即可；
（2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高 ，单独一个纸杯的高度为 ，根据3个纸杯
，8个纸杯 建立方程组求解即可．
【详解】（1）解：设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意得： ，
解得 ，
．
每个小长方形的面积为60；
（2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高 ，单独一个纸杯的高度为 ，
由题意得 ，
解得 ，
．
小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 ．
【题型七】二元一次方程组的应用之销售问题
【例7】（24-25七年级下·四川泸州·期中）某纪念品店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物
雪容融共60个，花去2000元，这两种吉祥物的进价、售价如表：
进价（元/个） 售价（元/个）
冰墩墩 30 40
雪容融 50 65
(1)求冰墩墩、雪容融各进了多少个？
(2)这60个吉祥物玩具很快售完，所得利润再次用于购进冰墩墩与雪容融（至少一个），且恰好用完，那
么该纪念品店再次购进冰墩墩与雪容融各多少个？
【答案】(1)冰墩墩进了50个，雪容融进了10个
(2)该纪念品店再次购进冰墩墩5个，雪容融10个或冰墩墩10个，雪容融7个或冰墩墩15个，雪容融4个或冰墩墩20个，雪容融1个
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设冰墩墩进了x个，雪容融进了y个，根据某纪念品店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会
吉祥物雪容融共60个，花去2000元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设再次购进冰墩墩a个，雪容融b个，根据所得利润再次用于购进冰墩墩与雪容融（每种至少一个），
且恰好用完，列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论．
【详解】（1）解：设冰墩墩进了x个，雪容融进了y个，
根据题意得： ，
解得： ，
答：冰墩墩进了50个，雪容融进了10个；
（2）解：由题意可知， （元）
设再次购进冰墩墩a个，雪容融b个，
根据题意得： ，
整理得： ，
、b为正整数，
或 或 或 ，
答：该纪念品店再次购进冰墩墩5个，雪容融10个或冰墩墩10个，雪容融7个或冰墩墩15个，雪容融4
个或冰墩墩20个，雪容融1个．
【变式7-1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）小林在某商店购买商品 ， 若干次（每次 ， 两种商
品都购买）．其中第一、二次购买时，均按标价购买；第三次购买时，商品 ， 有打折优惠．三次购买
商品 ， 的数量和费用如表：
购买商品A的数量 购买商品B的数量 购买总费用
第一次购
买第二次购
买
第三次购
买
(1)求商品 ， 的标价．
(2)若第三次购买时商品 ， 的折扣相同，则该商店是打几折出售这两种商品的？
(3)在（2）的条件下，若小林第四次购买时共花了 元，则小林有哪几种购买方案？
【答案】(1)商品A的标价为80元/个，商品B的标价为100元/个
(2) 折
(3) 种，见解析
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，折扣问题，解题的关键是熟练的掌握二元一次方程组的应用．
（1）设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个，根据题目中的等量关系列出方程组求解即可；
（2）根据总价除以实际价格乘以10，即可得出折扣；
（3）设小林购买m个商品A，n个商品B，根据题意列出二元一次方程，再分情况讨论即可．
【详解】（1）解：设商品 的标价为 元 个，商品 的标价为 元 个，
根据题意得： ，
解得： ．
答：商品 的标价为 元 个，商品 的标价为 元/个．
（2） ．
答：商店是打8折出售这两种商品的．
（3）设小林购买 个商品 ， 个商品 ，
根据题意得： ，
．
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
答：小林共有三种购买方案，方案一：购买 个商品 ， 个商品 ；方案二：购买 个商品 ， 个商
品 ；方案三：购买 个商品 ， 个商品 ．【变式7-2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某校计划建一间多功能数学实验室，将采购两类桌椅：
类是三角形桌，每桌可坐3人， 类是五边形桌，每桌可坐5人．学校拟选择甲、乙两家公司中的一家来
采购，两家公司的标价均相同，且规定两类桌椅均只能在同一家公司采购．甲公司对两类桌椅均是以标价
出售；乙公司对 类桌椅涨价 、 类桌椅降价 出售，经咨询，两家公司给出的数量和费用如下表：
A类桌椅（套） B类桌椅（套） 总费用（元）
甲公司 6 5 1900
乙公司 5 5 1700
(1)设甲公司一套A类桌椅标价为x元，一套B类桌椅标价为y元，则乙公司出售一套A类桌椅的售价为
______元；一套B类桌椅的售价为______元；
(2)求A、B两类桌椅每套的价格分别是多少？
(3)如果该数学实验室需设置48个座位，学校到甲公司采购，应分别采购A、B两类桌椅各多少套时所需费
用最少？
【答案】(1) ；
(2)A、 两类桌椅每套的价格分别是 、 元；
(3)应分别采购A、B两类桌椅分别为1套和9套时，所需费用最小．
【分析】本题考查了代数式求值问题、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用代数式
的性质和方程的知识解答．
（1）根据题列代数式即可求解；
（2）根据表格中的数据可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；
（2）设到甲公司采购A类桌椅a套，B类桌椅b套，根据题意可以得到相应的方程，然后根据代数式的性
质，即可解答本题，注意 ．
【详解】（1）解： 甲公司对两类桌椅均是以标价出售；乙公司对 类桌椅涨价 、 类桌椅降价
出售，设甲公司一套∵A类桌椅标价为x元，一套B类桌椅标价为y元，
乙公司出售一套A类桌椅的售价为 元；一套B类桌椅的售价为 元，
∴
故答案为： ；
（2）解：由题意得， ，解得 ，
答：A、 两类桌椅每套的价格分别是 、 元；
（3）解：设到甲公司采购A类桌椅a套，B类桌椅b套，
则所需费用为： ，
，
，
，
， ，
当b取最大值时，费用最小，
，
的最大值是9，此时 ，
当 时，费用取得最小值，最小值为： ，
故应分别采购A、B两类桌椅分别为1套和9套时，所需费用最小．
【题型八】二元一次方程组的应用之方案问题
【例8】（24-25七年级下·云南昆明·期中）某校八年级660名学生到郊外参加研学活动，已知用3辆小客
车和1辆大客车每次可运送学生105人，用2辆小客车和3辆大客车每次可运送学生175人．
(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
(2)若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有的
租车方案．
【答案】(1)每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生；
(2)有三种租车方案：方案一：小客车租24辆，大客车租4辆；方案二：小客车租15辆，大客车租8辆；
方案三：小客车租6辆，大客车租12辆
【分析】本题考查了二元一次方程与二元一次方程组的应用，理解题意并列出方程组是解题的关键．
（1）设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生；根据等量关系：用3辆小客车和1辆大客车
每次可运送学生105人，用2辆小客车和3辆大客车每次可运送学生175人，列出二元一次方程组，解方
程组即可；
（2）由题意得 ，根据m、n为正整数求出其整数解即可．
【详解】（1）解：设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生；由题意得： ，
解得： ；
答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生；
（2）解：由题意得 ，
则 ；
由于m、n为正整数，且n只能是4的倍数；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当n为大于16的4的倍数时，不符合题意；
故有三种租车方案：方案一：小客车租24辆，大客车租4辆；方案二：小客车租15辆，大客车租8辆；
方案三：小客车租6辆，大客车租12辆．
【变式8-1】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）根据图中的信息，解答下列问题．
(1)如果放入6个球，水面升高了 ，那么放入的大球、小球各多少个？
(2)要使水面升高 ，有哪几种放球的方案？
【答案】(1)放入2个大球，4个小球
(2)放球的方案有：只放入6个小球；放入3个大球和2个小球
【分析】本题考查二元一次方程（组）解实际应用题，读懂题意，找准等量关系列出方程或方程组求解是
解决问题的关键．
（1）由题意可知放入一个小球水面升高的高度 、放入一个大球水面升高的高度为 ，设放入大球个，小球 个，列二元一次方程组求解即可得到答案；
（2）设放入大球 个，小球 个，列二元一次方程 ，讨论求解即可得到答案．
【详解】（1）解：由图知，放入一个小球水面升高的高度为： ；
放入一个大球水面升高的高度为： ；
设放入大球 个，小球 个，
根据题意得 ，
解得 ，
放入2个大球，4个小球水面升高 ；
（2）解：设放入大球 个，小球 个，
根据题意得 ，
解得 或 ，
放球的方案有：只放入6个小球；放入3个大球和2个小球．
【变式8-2】（24-25七年级下·浙江衢州·期中）某市人民政府为了促进消费决定发放2025年消费券，其中
消费券分为三种类型，如表：
A型 B型 C型
满199减76 满99减36 满49减16
在此次活动中，小柯领到了三种不同类型的“消费券”若干张，准备给妈妈买礼物．
(1)若小柯同时使用三种不同类型的“消费券”消费，共优惠了272元，已知她用了2张A型“消费券”，
3张C型“消费券”，则她用了_______张B型“消费券”
(2)若小柯同时使用了5张A、B型“消费券”，共优惠了260元，那么她使用了A，B型“消费券”各几张？
(3)若小柯共领到三种不同类型的“消费券”各8张（部分未使用），她同时使用A、B、C型中的两种不同
类型的“消费券”消费，共优惠了184元，请问有哪几种消费券的使用方案？选哪一种方案小柯实际付款
金额最少？
【答案】(1)
(2)她使用了A型“消费券” 张， B型“消费券” 张；(3)有3种使用方案：①A型“消费券” 张， B型“消费券” 张；②A型“消费券” 张， C型“消费
券” 张；③B型“消费券” 张， C型“消费券” 张；使用了A型“消费券” 张， B型“消费券”
张，小柯实际付款金额最少．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程（组）的应用，有理数混合运算的应用，理解题
意是解题关键．
（1）设她用了 张B型“消费券”，根据不同类型的“消费券”的优惠金额和张数列方程求解即可；
（2）设她使用了A型“消费券” 张， B型“消费券” 张，根据“同时使用了5张A、B型“消费券”，
共优惠了260元”，列二元一次方程组求解即可；使用了A型“消费券” 张， B型“消费券” 张，小
柯实际付款金额最少．
（3）设小柯使用了A型“消费券” 张， B型“消费券” 张，C型“消费券” 张，
由题意可知， 、 、 均为正整数，且 ， ， ，分三种情况讨论：根据优惠金额列二元一次
方程，从而得到 、 、 的可能取值，再分别求出实际付款金额，即可求解．
【详解】（1）解：设她用了 张B型“消费券”，
由题意得： ，
解得： ，即她用了 张B型“消费券”，
故答案： ；
（2）解：设小柯使用了A型“消费券” 张， B型“消费券” 张，
由题意得： ，解得： ，
答：她使用了A型“消费券” 张， B型“消费券” 张；
（3）解：设小柯使用了A型“消费券” 张， B型“消费券” 张，C型“消费券” 张，
由题意可知， 、 、 均为正整数，且 ， ， ，
①若她使用了A、B型“消费券”，
则 ，
化简得： ，
此时， 、 的可能取值为 ， ；
②若她使用了A、C型“消费券”，
则 ，
化简得： ，
此时， 、 的可能取值为 ， ；
③若她使用了B、C型“消费券”，则 ，
化简得： ，
此时， 、 的可能取值为 ， ；
即有3种使用方案：①A型“消费券” 张， B型“消费券” 张；②A型“消费券” 张， C型“消费
券” 张；③B型“消费券” 张， C型“消费券” 张；
若她使用了A型“消费券” 张， B型“消费券” 张，
则实际付款金额为 元；
若她使用了A型“消费券” 张， C型“消费券” 张，
则实际付款金额为 ；
若她使用了B型“消费券” 张， C型“消费券” 张，
则实际付款金额为 ，
即使用了A型“消费券” 张， B型“消费券” 张，小柯实际付款金额最少．
【题型九】二元一次方程组的应用之配套问题
【例9】（24-25七年级下·福建泉州·期中）某车间有 名工人，每人每天能生产螺栓 个或螺母 个，
且一个螺栓配两个螺母，为使每天生产的螺栓与螺母刚好配套，则该车间应分配多少名工人生产螺栓，多
少名工人生产螺母？
【答案】21名工人生产螺栓，28名工人生产螺母
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程组．设应安排
x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母， 根据题意列出方程组求解即可．
【详解】解：设应安排x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，
根据题意，得 ，
解得： ，
答：应安排21名工人生产螺栓，28名工人生产螺母．
【变式9-1】（24-25七年级下·全国·期中）今年元旦期间某物流公司计划用两种车型运输新年物资，用2
辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨：用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨．
(1)求每辆A型车和每辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨．(2)某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完且恰好每辆车都装满．
若A型车每辆需租金每次200元，B型车租金每次300元，求最少租车费用．
【答案】(1)每辆A型车装满物资一次可运3吨，每辆B型车装满物资一次可运4吨
(2)最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为1700元
【分析】本题考查的是二元一次方程（组）的应用；
（1）设每辆A型车装满物资一次可运x吨，每辆B型车装满物资一次可运y吨，结合用2辆A型车和1辆
B型车装满物资一次可运10吨：用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨，再建立方程组解题即可；
（2）计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，装运31吨货物资，建立二元一次方程方程，再利用正整数
解的含义解题即可.
【详解】（1）解：设每辆A型车装满物资一次可运x吨，每辆B型车装满物资一次可运y吨，
依题意得： ，
解得： ，
答：每辆A型车装满物资一次可运3吨，每辆B型车装满物资一次可运4吨；
（2）解：依题意得： ，
∵a，b均为正整数，
∴ 或 或 ，
∴该物流公司共有3种租车方案，
方案1：租用9辆A型车，1辆B型车，所需租金 （元）；
方案2：租用5辆A型车，4辆B型车，所需租金为 （元）；
方案3：租用1辆A型车，7辆B型车，所需租金为 （元）；
∵ ，
∴最省钱的租车方案为租用9辆A型车，1辆B型车，最少租车费为2100元．
【变式9-2】（24-25七年级下·重庆·期中）春节期间市场上对礼品盒的需求量激增．为了满足市场的需求，
沙坪坝区某工厂计划制作一批圆柱形礼品盒，已知该工厂共有90名工人，其中女工人数比男工人数的3倍
少10名，并且每名工人平均每天可以制作这种礼品盒的盒身400个或盒底1000个．
(1)该工厂有男工、女工各多少名？
(2)该工厂计划安排一部分工人负责制作盒身，另一部分工人负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么应安排制作盒身和盒底的工人各多少名，才能使每天生产的产品刚好配套？
【答案】(1)该工厂有男工25人，女工65人
(2)安排制作盒身的工人50名，制作盒底的工人40名，才能使每天生产的产品刚好配套
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题的关键．
（1）设该工厂有男工x名，女工y名，根据题意列出方程组，即可得出答案；
（2）设安排制作盒身的工人a名，制作盒底的工人b名，才能使每天生产的产品刚好配套，根据题意列出
方程组，即可得出答案．
【详解】（1）解：设该工厂有男工x名，女工y名，
根据题意，得 ，
解得： ，
答：设该工厂有男工25人，女工65人．
（2）解：设安排制作盒身的工人a名，制作盒底的工人b名，才能使每天生产的产品刚好配套，
根据题意，得 ，
解得： ，
答：安排制作盒身的工人50名，制作盒底的工人40名，才能使每天生产的产品刚好配套．
【题型十】两直线的交点与二元一次方程组的解
【例10】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图所示的是函数 与 的图象，则方程
组 的解是 ．【答案】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组 ，解题的关键是方程组的解就是使方程组中两个方程
同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就
是两个相应的一次函数图象的交点坐标．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判
断．
【详解】解： 一次函数 与 的图象交于点 ，
则二元一次方程组 的解是 ，
故答案为： ．
【变式10-1】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知函数 的图象与函数 的
图象的交点坐标为 ，则方程组 的解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，已知交点坐标，根据一次函数的交点坐标即为两个
一次函数解析式组成的二元一次方程组的解即可．
【详解】解：把两个一次函数图象的交点坐标 代入函数 的图象与函数
得：的解为： ,
方程组 化为：
.
解这个方程组得： .
故答案为：
【变式10-2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数 与 的图
象交于点 ，则方程组 的解为 ．
【答案】
【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，两个一次函数图象的交点坐标就是对应的二元一次方程
组的解，所以直接找交点坐标即可．
本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元
一次方程组的解是解题的关键．
【详解】解：∵ 函数 与 的图象交于点∴ 方程组 的解为
故答案为： ．
【变式10-3】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）在平面直角坐标系内，一次函数 与
的图象如图所示，则关于 的方程组 的解是
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握函数图象法是解题关键．结合函数图象，根据
两个一次函数的交点坐标即可得．
【详解】解：由函数图象可知，一次函数 与 的交点坐标为 ，
所以关于 的方程组 的解是 ，
故答案为： ．
【题型十一】二元一次方程组与一次函数的综合问题
【例11】（24-25八年级下·湖南·期末）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．另有一次函数 的图象过点 ，与 交于点D．
(1)求点A、B、D的坐标．
(2)若点E在 的图象上，且点E的纵坐标为1，求四边形 的面积．
【答案】(1) ， ， ；
(2)18
【分析】（1）根据一次函数 的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，分别令 和 ，求出
对应x，y值，即可得到点A、B的坐标，根据一次函数 的图象过点 ，求出 ，再
联立两个方程求解，即可求得交点D的坐标；
（2）由点E在 的图象上，且点E的纵坐标为1，可得E点坐标，由 ，进而计
算可以得解．
【详解】（1）解： 一次函数 的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，
令 ，则 ；令 ，则 ，
， ，
一次函数 的图象过点 ，
，
，
一次函数 ，联立方程组 ，
，
；
（2）解： 点E在 的图象上，且点E的纵坐标为1，
令 ，则 ，
，
如图，
．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运
用一次函数的性质是关键．
【变式11-1】（24-25八年级下·福建福州·期末）平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，
与直线 交于点A．(1)求点A的横坐标；
(2)若 ，求 的最小值，并求此时 的值；
【答案】(1)2
(2)最小值为5，
【分析】（1）联立两直线方程求出x的值，即可得出答案；
（2）先求出点O关于直线 的对称点 的坐标 ，连接 交直线 于点A，此时
最小，根据 点和P点的坐标求出直线 的解析式，再令 ，求出y的值，即可得出点A的坐标，再
将点A的坐标代入 中即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意得 ，
解得 ．
∴A点横坐标为2，
（2）解：如图，点 关于直线 的对称点为 ；
连接 交直线 于点A，此时 最小，
其值为 ；
设直线 的解析式为 ，
将 和 的坐标代入得： ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴ ．
即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是一次函数的交点问题以及平面直角坐标系中求两条线段之和的最小值．熟练运用数
形结合的思想解决问题是解题的关键．
【变式11-2】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线 与
轴交于点 ，与 轴交于点 ，点 ．
(1)求 ；
(2)过点 作 交 于 ，求 点坐标；
(3)若直线 与线段 有交点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)(3)
【分析】本题考查了一次函数与几何综合、全等三角形的性质与判定，熟练掌握一次函数的性质是解题的
关键．
（1）利用一次函数的性质求出点 和点 的坐标，再利用三角形的面积公式即可求解；
（2）过点 作 轴，交 的延长线于点 ，通过证明 ，得到 ，进而得出
，直线 的解析式为 ，再联立函数解析式即可求出 点坐标；
（3）分别求出直线 经过点 和点 时对应 的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：当 ，则 ，解得 ；
当 ，则 ；
，
，
，
，
．
（2）解：如图，过点 作 轴，交 的延长线于点 ，
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
代入 得， ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，解得
∴点 的坐标为 ；
（3）解：当直线 经过点 ，则 ，解得 ；
当直线 经过点 ，则 ，解得 ；
∵直线 与线段 有交点，
∴ 的取值范围为 ．
【变式11-3】（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与坐标轴交
于 两点，过点 作直线 ，交 于点 ，交 轴于点 ．(1)求证： ；
(2)求点 的坐标；
(3)如图2， 是线段 上一动点（不与点 ， 重合）， ， 交 于点 ，连接 ，求
证： ．
【答案】(1)见解析
(2)点 的坐标为
(3)见解析
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质、一次函数与二元一次方程组、全等三角形的判定和性质、
待定系数法求函数解析式等知识点，运用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）把 代入直线 求出 ，得出直线 的解析式为 ，求出直线 与x轴
的交点即可得出点A的坐标可得 ，再说明 ；再说明 、 ，然后根据
证明结论即可；
（2）先运用待定系数法求得直线 的解析式为 ，然后联立 即可求出点D的坐标；
（3）新运用 证明 ，然后运用全等三角形的性质即可证明结论．
【详解】（1）解：把 代入直线 得： ，
直线 的解析式为 ，
把 代入 得： ，解得： ，
；，
，
，
，
∵ ，
．
（2）解：设直线 的解析式为 ，把 代入得：
，解得： ，
直线 的解析式为 ，
联立 ，解得： ，
点 的坐标为 ．
（3）解：∵ ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，基础巩固通关测
一、单选题
1．（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列各式是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是求解本题的关键．含有两个未知数，
并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
根据二元一次方程的定义分别对各选项进行判断．
【详解】解：A、 不是整式，不是二元一次方程，所以该选项不符合题意；
B、 为二次，不是二元一次方程，所以该选项不符合题意；
C、方程 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，是二元一次方程，所以该选项符合
题意；
D、 有三个未知数，不是二元一次方程，所以该选项不符合题意；
故选：C．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程中，解为 的二元一次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二元一次方程的解．将 代入方程，判断两边是否相等，相等则为方程的解．
【详解】解：A：∵ ，∴ 不是方程的解；
B：∵ ，
∴ 是该方程的解；
C：∵ ，
∴ 不是方程的解；
D：∵ ，
∴ 不是方程的解；
故选：B．
3．（25-26八年级上·河北邯郸·开学考试）在解关于 的二元一次方程组 时，若 可
直接消去未知数 ，则 和 满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法是解题的关键．根据加减消元法的原理，
当两个方程相减后消去未知数 ，需满足 的系数之差为0．
【详解】解：将方程组①和②相减，得到： ，
化简后为： ，
若 可直接消去未知数 ，需使其系数为0，即： ，
故选：C．
4．（25-26八年级上·全国·期末）若方程组 和 同解，则a的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．不存在【答案】B
【分析】本题考查的是解二元一次方程组，由于所给两个方程组的解相同，那么先利用加减消元法对第二
个方程组进行求解，从而得到x和y的值； 再将所得x和y的值代入含有a的方程中，进而通过解方程组
就能得到a的值．
【详解】解： ，
得： ，
解得： ，
把 代入①，得 ，
解得： ，
∴方程组的解为 ，
∵方程组 和 同解，
∴把 代入 ，得 ，
解得： ，
故选：B．
二、填空题
5．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）由 得到用x表示y的式子为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，将x看作已知数，移项、系数化为 ，即可求解．
【详解】解：，
故答案为： ．
6．（24-25七年级下·北京·期中）如果 是关于x，y的二元一次方程 的一个解，那么m的
值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
根据二元一次方程的解的定义把 代入关于x，y的二元一次方程 中即可求出m的值．
【详解】解：把 代入关于x，y的二元一次方程 中，得 ，
解得 ，
故答案为：
7．（2025·江苏盐城·中考真题）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四
钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱
八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是
分．
【答案】6
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设每尺绫的价格是 分，每尺绢的价格是 分，根据三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值
六钱八分；列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设每尺绫的价格是 分，每尺绢的价格是 分，
根据题意得： ，
解得： ，
即每尺绢的价格是6分，
故答案为：6．8．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）若关于x，y的方程组 的解x与y互为相反数，则k的
值为 ．
【答案】1
【分析】本题主考查二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，掌握方程组的解以及解二元一次方程组
是解题的关键．
根据方程组的解x与y互为相反数，即可将 替换成 ，解关于 与 的方程即可．
【详解】解：∵x与y互为相反数，
∴ ，即 ，
把 代入 ，可得： ，
解得： ，
故答案为：1；
三、解答题
9．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）解下列方程组：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；
（1）根据代入消元法可进行求解；
（2）根据加减消元法可进行求解；
（3）根据加减消元法可进行法求解；
（4）根据加减消元可进行求解．
【详解】（1）解：
把②代入①可得： ，解得： ，
把 代入②得： ，
∴原方程组的解为 ；
（2）解：
得： ，解得： ，
把 代入①得： ，解得： ，
∴原方程组的解为 ；
（3）解：得： ，解得： ，
把 代入①得： ，解得： ，
∴原方程组的解为 ；
（4）解：
得： ，解得： ，
把 代入①得： ，解得： ，
∴原方程组的解为 ．
10．（25-26七年级上·全国·课后作业）双十一期间，某超市开展促销活动，小文一家去逛该超市，准备购
买牛奶，根据以下素材探索完成任务．
生活中的数学问题
素材
该超市有大瓶和小瓶两种型号的A品牌牛奶，大瓶牛奶每瓶15元，小瓶牛奶每瓶10元．
1
素材
小文在超市购买了8瓶A品牌牛奶，共花了89元．
2
问题解决
任务
小文妈妈说：按原价购买，不可能是89元！请说明小文妈妈这样说的理由．
1
任务 小文看了一下购物小票，发现有1瓶是“会员打6折限购1瓶”的大瓶牛奶，则小文购买的A品牌
2 的大瓶牛奶和小瓶牛奶分别为多少瓶？
【答案】任务1：理由见解析；任务2：购买A品牌的大瓶牛奶为3瓶，小瓶牛奶为5瓶
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出对应的方程组是解题的关键．
任务1：设A品牌的大瓶牛奶买了 瓶，A品牌的小瓶牛奶买了 瓶，根据一共买了8瓶牛奶，花费为89
元建立方程组求解即可；
任务2：设小文购买的A品牌的大瓶牛奶为 瓶，A品牌的小瓶牛奶为 瓶，根据一共买了8瓶牛奶（其中
一瓶大瓶牛奶打折），花费为89元建立方程组求解即可．【详解】解：任务1：设A品牌的大瓶牛奶买了 瓶，A品牌的小瓶牛奶买了 瓶．
由题意得 ，
解得 ，
∵ 均为整数，
∴按原价购买，不可能是89元；
任务2：设小文购买的A品牌的大瓶牛奶为 瓶，A品牌的小瓶牛奶为 瓶，
由题意得 ，
解得 ，
答：小文购买的A品牌牛奶大瓶为3瓶，小瓶为5瓶．
能力提升进阶练
一、单选题
1．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程组中不是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解答本题的关键．
根据二元一次方程组的定义判断逐项分析即可，方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项
的次数都是1次的方程叫做二元一次方程．
【详解】解：A． 是二元一次方程组，不符合题意；B． 是二元一次方程组，不符合题意；
C． 是二元一次方程组，不符合题意；
D． 的 项的次数是2，故不是二元一次方程组，符合题意．
故选D．
2．（24-25七年级下·广西柳州·期中）小明在解关于 的二元一次方程组 时，解得 ，
则 和★代表的数分别是( )
△A． 、 B． 、 C． 、 D． 、
【答案】D
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，读懂题意准确计算是解题的关键．把 代入①解得 ，把
， 代入②求解，即可得到答案．
【详解】解： ，
把 代入①得：
，
，
，
把 ， 代入②得：
，
即 和 代表的数分别是 ， ，
故选 ：D．
3．（2025·四川巴中·中考真题）《九章算术》中记载：今有共买砖，人出半盈四；人出少半，不足三．问
人数，砖价各几何？其大意是：今有人合伙买砖石，每人出 钱，会多出4钱，每人出 钱，又差3钱．
问人数，砖价各是多少？设人数为x，砖价为y，则可列方程组为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程即可解答，正确找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得方程组，
，
故选：A．
4．（24-25八年级下·云南保山·期末）直线 与 的图象交于点 ，则关于x，y的二元
一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）， 直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成
的方程组的解得到答案，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解是解题的关键．
【详解】解：∵直线 与 的图像交于点 ，
∴关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，
故选：B．
5．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）已知 是方程组 的解，则 的值是（ ）
A．－1 B．1 C．－5 D．5
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法.把 代入方程组，可得关于a、b的方程组，继而根据二元一次方程组的解法即可求出答案．
【详解】解：将 代入 ，
可得： ，
两式相加： ，
故选：A．
二、填空题
6．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）已知方程组 的解满足 ，则k的值为
．
【答案】4
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键．先将方程组中的两个方程相减可得
，则可得方程组 ，解方程组可得 的值，再代入方程 计算即可得．
【详解】解： ，
由① ②得： ，
联立 ，
由③ ④得： ，
将 代入④得： ，
将 ， 代入②得： ，
故答案为：4．7．（24-25七年级下·四川内江·期中）已知方程组 的解为正整数，则正整数a的值为
【答案】1
【分析】本题考查了二元一次方程组的整数解，解题的关键是根据题意解出含a的x，y的式子．
通过解方程组得到 和 ，根据解为正整数的条件，确定正整数 的值．
【详解】解：
，得 ，
解得 ，
将 代入①，得 ，
解得 ，
∵方程的解为正整数，
∴ 且为整数，
∴ ，即 ，
又∵ 是正整数，
∴ 或 ，
当 时， ，不是正整数；
当 时， ，是正整数，
因此，正整数 的值为 1．
故答案为：1．
8．（23-24八年级上·四川·期末）若x，y为实数，且满足 ，则 的值是
．
【答案】
【分析】本题主要考查了绝对值和算术平方根的非负性和解二元一次方程组等知识点，熟练掌握绝对值和
算术平方根的非负性是解题的关键．由绝对值和算术平方根的非负性列方程组求解后，代入x，y的值计算
即可．【详解】解：由题意 ，
解得 ，
则 ．
故答案为： ．
9．（24-25九年级·浙江·自主招生）若方程组 有无穷多组解，则直线 不经过第
象限．
【答案】四
【分析】本题主要考查了一次函数图象所经过的象限，方程组的解，
根据方程组有无穷组解可得 ，求出解可得一次函数关系式，即可得出答案.
【详解】解：∵方程组 有无穷组解，
∴ ，
解得 ，
一次函数关系式为 ，
则一次函数 经过第一，二，三象限，
所以不经过第四象限.
故答案为：四.
10．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图所示，A，B两点的坐标分别是 ， ，M是y轴上的一点，沿 折叠，点B刚好落在x轴上点 处，则直线 的解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理、折叠的性质、待定系数法求函数解析式，方程思想等，掌握折叠的性质是
解题的关键．
由折叠的性质可以得到 ，然后结合已知条件可以得到点 的坐标；
设 ，用勾股定理列出关于未知数的方程，从而确定出M的坐标，设直线 的解析式为 ，
把点A的坐标和M点坐标代入可求出．
【详解】解：由折叠可知：
A，B两点的坐标分别是 ， ，
，
，
，
设 ，则 ，
在 中，
，
解得 ，
，
设直线 的解析式为 ，
把点A的坐标和M点坐标代入得： ，解得 ，
．
故答案为： ．
三、解答题
11．（25-26七年级上·全国·课后作业）用适当的方法解下列方程组：
(1)
(2)
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】 方程①中 的系数为 ，适合用代入消元法；
的系数既不相等也不互为相反数，适合用加减消元法．
【详解】解：（1）由①，得 ．③
把③代入②，得 ，解得 ．
把 代入③，得 ，所以原方程组的解为
故答案为：
（2）① ② ，得 ，解得 ．把 代入①，得 ，解得 ，
所以原方程组的解为
故答案为： .
【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，解题关键是根据方程组特点选择代入消元法或加减消元法，将
二元方程转化为一元方程求解．
12．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）在同一个直角坐标系中，画出一次函数 和
的图象，并在图象中标出交点坐标．
（2）求二元一次方程组 的解．
（3）交点坐标与方程组的解有关系吗？什么关系？请说明理由．
【答案】（1）图象见解析；（2） ；（3）有关系，关系为交点的横坐标与纵坐标即为方程组的解，
理由见解析
【分析】本题考查画一次函数图象，解二元一次方程组，一次函数与二元一次方程组；
（1）用描点法画出两一次函数的图象；
（2）用加减消元法解二元一次方程组；
（3）两一次函数图象的交点的横坐标与纵坐标即为方程组的解.
【详解】解：（1）图象及交点坐标，如图所示，（2）
将 得：
解得
将 代入①得：
解得
∴方程组的解为 .
（3）交点坐标与方程组的解有关系，关系为交点的横坐标与纵坐标即为方程组的解，理由如下：
∵方程组中 可变形为 ， 可变形为 ，
∴方程组中的两个方程为两一次函数的解析式，
∵交点坐标是同时满足两个解析式的，
∴交点的横坐标与纵坐标满足两个方程，
∴交点的横坐标与纵坐标即为方程组的解.
13．（25-26八年级上·安徽宣城·阶段练习）定义新运算：对于任意实数 都有 ，等式右
边是通常的加法、减法及乘法运算．比如： ．
(1)若 ，且 ，求 的值；
(2)对于变量 ，满足 ，求出 关于 的函数关系式，并求出该函数图象上与 轴距离为2的
点的坐标标．【答案】(1) ，
(2) ， 或
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，函数的关系式，理解新定义是解题的关键．
（1）根据新运算可得 ，然后解二元一次方程组即可；
（2）根据新运算可得y关于x的函数关系式，再分别把 和 代入，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
联立方程组 ，
①＋②得， ，解得 ，
把 代入②得， ；
（2）解： ，
即 ；
把 代入得， ，解得 或0，
该函数图象上与 轴距离为2的点的坐标是 或 ．
14．（25-26八年级上·广西崇左·阶段练习）直线 与x轴交于点A ，与y轴交于点B，直线
与x轴交于点 ，与直线 m 交于点 P ，若点P的横坐标为1 ．(1)求A，B两点的坐标；
(2)直接写出方程组 的解；
(3)求a，b的值；
(4)求 的面积．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及两直线的交点问题，图象法解二元一次方程组，直线围成
的三角形面积等知识点．
（1）分别令 求解即可；
（2）先求出点 的坐标，根据交点的横坐标、纵坐标即为方程组的解求解即可；
（3）将 ， 代入直线 ，解方程组即可；
（4）先求出 ，再由三角形面积公式求解．
【详解】（1）解：对于直线 ，
当 时， ，解得 ；当 时， ，解得 ，
∴ ， ；
（2）解：∵直线 与直线 m 交于点 P ，若点P的横坐标为1，
∴将 代入 ，则 ，解得 ，
∴ ，
∴方程组 的解为 ；
（3）解：将 ， 代入直线 ，
则 ，
解得 ；
（4）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
15．（24-25七年级下·陕西商洛·阶段练习）【问题背景】
某物流公司准备租用 两种型号的车运送货物，已知用2辆 型车和3辆 型车载满货物时一次可运货
184吨，用3辆 型车和4辆 型车载满货物时一次可运货256吨．根据以上信息，解答下列问题：
【问题提出】
（1）求1辆 型车和1辆 型车都载满货物时一次可分别运货多少吨；
【问题解决】
（2）若该物流公司现有304吨货物待运，计划租用 型车 辆， 型车 辆恰好一次运完，且每辆车都载满货物但不超载． 型车每辆需租金1000元/次， 型车每辆需租金1200元/次．请你帮该物流公司设计租
车方案，并求租车费最少是多少元？
【答案】（1）1辆车 型车载满货物时一次可运货32吨，1辆车 型车载满货物时一次可运货40吨；
（2）该物流公司共有2种租车方案，方案1：租用7辆 型车，2辆 型车；方案2：租用2辆 型车，6
辆 型车，租车费最少是9200元．
【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设1辆车 型车载满货物时一次可运货 吨，1辆车 型车载满货物时一次可运货 吨，根据题意建
立二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意得到二元一次方程 ，再根据解为非负整数，进行分类讨论求出租车费即可．
【详解】解：（1）设1辆车 型车载满货物时一次可运货 吨，1辆车 型车载满货物时一次可运货 吨，
根据题意得：
解得：
答：1辆车 型车载满货物时一次可运货32吨，1辆车 型车载满货物时一次可运货40吨．
（2）根据题意得： ，
，
又 均为非负整数，
或
该物流公司共有2种租车方案，
选择方案1所需租车费用为 （元）；
选择方案2所需租车费用为 （元）．
，
最少租车费是9200元．
答：该物流公司共有2种租车方案，方案1：租用7辆 型车，2辆 型车；方案2：租用2辆 型车，6
辆 型车，租车费最少是9200元．
