文档内容
第五章 二元一次方程组
【清单01】二元一次方程（组）定义
1.二元一次方程组定义
含有两个未知数，并且 的方程，叫做二元一次方程．
2.二元一次方程组定义
方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且 ，像这样的方程组
x y2,
叫做 ． 如：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成
x y0
，
3.二元一次方程（组）的解
（1）使二元一次方程两边的值相等的两个 ，叫做 ．
（2）二元一次方程组中两个方程的 ，叫做二元一次方程组的解.
【清单02】 解二元一次方程组
（1） 思想二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的
一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、
逐一解决的思想，叫做 思想．
（2） 法
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用 表示出来，再代入另一个方程，实现消
元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法．
（3） 法
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别 ，
就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
【清单03】二元一次方程（组）的应用
一．解题步骤
1． ：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系；
2． ：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数；
3． ：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一
步 般情况下，未知数个数与方程个数是相同的；
骤
4． ；
5． ：检验方程的根是否符合题意；
6． ：检验后作出符合题目要求的答案．
二、基本公式
单价×数量=总价
利润=实际售价-成本
实际售价=标价（原价）×折扣 利润率= ×100
易错点1 利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值
易错总结
1. 对“一次”和“二元”概念理解不清：易忽略未知数的次数为1且系数不为0，或漏看方程中含两个未
知数。
2. 忽视方程组中每个方程的定义要求：在二元一次方程组中，每个方程都需满足二元一次方程的定义，易只关注一个方程而忽略另一个。
解题技巧总结
1. 紧扣定义列条件：明确二元一次方程需满足“含有两个未知数、未知数次数都是1、整式方程且未知
数系数不为0”，据此列出关于参数的不等式和等式。
2. 结合方程组整体分析：对于方程组，分别对每个方程应用二元一次方程定义，联立条件求解参数，同
时检验解是否使整个方程组符合定义
例题1：（24-25七年级下·山东临沂·期中）若 是关于 的二元一次方程，则 的
值为 ．
易错点2 已知二元一次方程（组）的解求参数或代数式的值
易错总结
1. 代入时符号或系数出错：将方程组的解代入代数式时，易因符号（如负号）或系数（如漏乘、错乘）
计算失误导致结果错误。
2. 忽视代数式的变形要求：有时需先对代数式变形（如因式分解、整体代入），若直接代入未变形，会
增加计算量且易出错。
解题技巧总结
1. 精准代入，分步计算：将解代入代数式时，分步骤代入每个未知数，注意符号和系数，每一步计算后
及时检查。
2. 优先代数式变形，整体代入：观察代数式结构，利用因式分解、合并同类项等方法变形，结合方程组
的整体关系（如x + y、x - y的值）进行整体代入，简化计算。
例题2：（24-25七年级下·吉林四平·期末）已知关于 、 的二元一次方程组 ，给出下列结
论：
(1)当 时，方程组的解为__________；
(2)当 时，请求出 的值；
(3)请说明不论 取什么有理数， 的值始终不变．易错点3 二元一次方程组之同解问题
方法技巧总结：
1. 重组方程组，求解公共解：从两个原方程组中，各拿出一个不含参数的方程，组成一个新的方程组。
解这个新方程组，得到的 x 和 y 的值，就是两个原方程组的公共解。
2. 代入求参，回代验证：将求出的公共解 (x, y) ，代入到含有参数的两个方程中。这样就得到了关
于参数的一元一次方程，解出参数即可。为确保正确，可将参数值和公共解回代到原方程组中进行验证。
例题3：（23-24七年级下·湖南永州·期中）如果方程组 与方程组 的解相同，则
．
易错点4 二元一次方程组中特殊解法问题
方法技巧总结：
1. 整体代入法：当方程组中某个代数式（如 x+y 或 x-y ）在两个方程中都出现时，可以把它看
作一个整体。先求出这个整体的值，再代入求解。这样能避免复杂的计算。
2. 参数法：对于比例形式的方程组（如 x/2 = y/3 ），可设它们的比值等于一个新参数 k 。这
样 x 和 y 都可用 k 表示，代入另一个方程就能解出 k ，进而求出 x 和 y 。
3. 轮换对称方程组：当方程组中 x 和 y 地位对称时，可先将两式相加或相减。得到 x+y
或 x-y 的值，再用加减法求解。
例题4：（24-25八年级下·河南许昌·期中）对于有理数x，y，定义新运算： ， ，
其中a，b是常数．已知 ， ．
(1)直接写出a，b的值；
(2)若关于x，y的方程组 的解也满足方程 ，求m的值；
(3)若关于x，y的方程组 的解为 ，直接写出关于x，y的方程组的解．
易错点5 二元一次方程组中新定义型探究问题
方法技巧总结：
1. 彻底理解新定义：这是第一步，也是最关键的一步。你需要仔细阅读题目，完全搞懂这个新定义是什
么意思。它可能是一种新的运算符号，也可能是一个新概念。可以试着用具体数字代入新定义，亲手算一
算，帮助理解。
2. 转化为数学等式：理解新定义后，你需要把题目中的文字描述或新符号，翻译成我们熟悉的数学语言。
通常是列出一个或几个二元一次方程，组成方程组。剩下的工作，就是用我们已经掌握的代入法或加减法
来求解了。
例题5：（24-25七年级下·福建福州·期中）定义：二元一次方程 与二元一次方程 互为
“反对称二元一次方程”，如二元一次方程 与二元一次方程 互为“反对称二元一次方
程”．
(1)直接写出二元一次方程 的“反对称二元一次方程”：__________．
(2)二元一次方程 的解 ，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m、n的值．
易错点6 二元一次方程组与一次函数的综合问题
易错总结
1. 概念混淆，数形结合失误：易混淆二元一次方程的解与一次函数图象上点的坐标的关系，在分析图象
交点、截距时，对“数”（方程解）与“形”（函数图象）的对应关系理解不清，导致求交点坐标、判断
函数位置时出错。
2. 计算失误，忽略取值范围：在联立方程求交点或分析函数增减性时，常因计算错误导致结果偏差；同
时易忽略实际问题中自变量的取值范围，使函数图象的应用不符合实际情境。
解题技巧总结
1. 强化数形结合，明确对应关系：牢记二元一次方程的解是对应一次函数图象上的点，方程组的解是两个函数图象的交点坐标，通过画图辅助分析，建立“数”与“形”的紧密联系。
2. 严谨计算，关注实际限制：联立方程时仔细计算，确保每一步准确；对于实际问题，结合题意确定自
变量的取值范围，保证函数图象和方程解的实际意义。
例题6：（24-25七年级下·广东·期末）【材料阅读】
二元一次方程 有无数组解，如： ， ， ， ，如果我们将方程的解看成
一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程 的解为
坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直
线称为该方程的图象．
【问题探究】
（1）请在图2中画出二元一次方程组 中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的解
为___________；
（2）已知关于 ， 的二元一次方程 无解，请在图3中画出符合题意的两条直线，设方程①
图象与 ， 轴的交点分别是 、 ，方程②图象与 ， 轴的交点分别是 、 ，计算
的度数．
【拓展应用】
（3）图4中包含关于 ， 的二元一次方程组 的两个二元一次方程的图象，请直接写出
该方程组的解___________一、单选题
1．（24-25八年级上·福建漳州·期末）已知 是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值是
（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）若一次函数 的图象经过点 ，则这个一次函数的
表达式为（ ）
A． B． C． D．3．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期末）若关于 、 的方程组 和 有相同的解，则
的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八年级下·江西上饶·竞赛）若方程组 的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值
之和是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）如果 是二元一次方程，那么 ．
6．（22-23八年级下·陕西汉中·期末）如图，已知一次函数 和 的图象交于点
，则关于x，y的二元一次方程组 的解是 ．
7．（24-25七年级下·湖北襄阳·阶段练习）已知方程组 和 有相同的解，则 的
平方根是 ．
8．（2023八年级上·湖南长沙·竞赛）已知方程组 ，若方程组有非负整数解，则正整数m的值
是 ．三、解答题
9．（24-25七年级上·湖南永州·期末）已知方程组 和方程组 的解相同，求 的值．
10．（24-25七年级下·福建·期中）定义：二元一次方程 与二元一次方程 互为“反对称
二元一次方程”，如二元一次方程 与二元一次方程 互为“反对称二元一次方程”．
(1)直接写出二元一次方程 的“反对称二元一次方程”：__________．
(2)二元一次方程 的解 ，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m、n的值．
11．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）有A型车和B型车两种客车在甲、乙两城市之间运营（每种车型的
运营速度不变），已知每隔1小时有一辆A型车从甲城开往乙城，如图所示， 是第一辆A型车离开甲
城的路程s（千米）与运行时间t（时）的函数图象， 是一辆从乙城开往甲城的B型车距甲城的路程s
（千米）与运行时间t（时）的函数图象，B型车的速度为80千米/时，请根据图中提供的信息，解答下列
问题：
(1)A型车的速度为______千米/时（直接填空）；
(2)请你在原图中直接画出第二辆A型车离开甲城的路程s（千米）与运行时间t（时）的函数图象；
(3) 的函数表达式为______，这辆B型车在行驶途中与迎面而来的相邻两辆A型车相遇的间隔时间为
______小时（直接填空）
12．（24-25七年级下·湖北宜昌·阶段练习）关于x，y的方程组 （n是常数）．
(1)当 时，直接写出第一个方程 的所有非负整数解；
(2)当 时，该方程组的解也满足 ，求m；(3)当 时，如果方程组也有整数解，求整数m．
13．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，直线 与直线 交于点 ，
与 轴、 轴分别交于点 和点 ，
(1)求 的值；
(2)直接写出二元一次方程组 的解；
(3)若点 是 轴上一点，当 的值最小时，求点 的坐标．
14．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）【定义】我们把关于 、 的两个二元一次方程 与
叫作“对称”二元一次方程”，二元一次方程组 叫做关于 、 的“对称二元
一次方程组”．例如： 与 是“对称二元一次方程”，二元一次方程组 叫做关
于 、 的“对称二元一次方程组”．
【理解】
（1）方程 的“对称二元一次方程”是___________；
（2）若关于 、 的方程组 为“对称二元一次方程组”，则 ___________．
___________．
【探究】（3）解下列方程组（直接写出方程组的解）：
① 的解为___________；
② 的解为___________，
③ 的解为___________；
（4）根据你的发现，直接写出方程组 的解为___________；
【拓展】
（5）若关于 、 的方程组 的解是 ，那么关于 、 的方程组 的解
为___________
