第02讲常用逻辑用语_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）

第2讲 常用逻辑用语 知识梳理 一、充分条件、必要条件、充要条件 1、定义 如果命题“若p，则q”为真(记作p⇒q)，则p是q的充分条件；同时q是p的必要条件． 2、从逻辑推理关系上看 (1)若p⇒q且q⇏p，则p是q的充分不必要条件； (2)若p⇏q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件； (3)若p⇒q且q⇒p，则p是q的的充要条件(也说p和q等价)； (4)若p⇏q且q⇏p，则p不是q的充分条件，也不是q的必要条件． 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：p⇒q，则p是q的充分条件， 同时q是p的必要条件．所谓“充分”是指只要p成立，q就成立；所谓“必要”是指要使得p 成立，必须要q成立(即如果q不成立，则p肯定不成立)． 二．全称量词与存在量词 (1)全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量 词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对M中的 任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为“∀x∈M,p(x)”，读作“对任意x属于M，有p(x) 成立”． (2)存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在 量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在M 中的一个x ，使p(x )成立”可用符号简记为“∃x ∈M,P(x )”，读作“存在M中元素x ，使 0 0 0 0 0 p(x )成立”(存在量词命题也叫存在性命题)． 0 三．含有一个量词的命题的否定 (1)全称量词命题p:∀x∈M,p(x)的否定¬p为∃x ∈M，¬p(x )． 0 0 (2)存在量词命题p:∃x ∈M,p(x )的否定¬p为∀x∈M,¬p(x)． 0 0 注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一． 【解题方法总结】 1、从集合与集合之间的关系上看 设A=x|p(x)  ,B=x|q(x)  ． (1)若A⊆B，则p是q的充分条件(p⇒q)，q是p的必要条件；若A⊊ B，则p是q的 充分不必要条件，q是p的必要不充分条件，即p⇒q且q⇏p； 注：关于数集间的充分必要条件满足：“小⇒大”． (2)若B⊆A，则p是q的必要条件，q是p的充分条件； (3)若A=B，则p与q互为充要条件． 2、常见的一些词语和它的否定词如下表 原词语 等于(= 大于(> 小于(< 是 都是 任意 (所 至多有一 至多有一 第 页 共 页 32 3427) ) ) 有) 个 个 否定词 不等于 小于等 大于等 不 不都 某个 至少有两 一个都没 语 (≠) 于 于 是 是 个 有 (≤) (≥) (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成 立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x ，使得其不成立即可，这就 0 是通常所说的举一个反例． (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x 使之成立即 0 可，否则这个存在量词命题就是假命题． 必考题型全归纳 1 题型一：充分条件与必要条件的判断 【解题总结】 1、要明确推出的含义，是p成立q一定成立才能叫推出而不是有可能成立． 2、充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合． 3、充分必要条件考察范围广，失分率高，一定要注意各个知识面的培养．  24 (2024·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测)已知向量a=m2,-9   ，b=1,-1  ，则“m=-3”   是“a⎳b”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A  【解析】若m=-3，则a=9,-9     =9b，所以a⎳b；   若a⎳b，则m2×-1  --9  ×1=0，解得m=±3，得不出m=-3．   所以“m=-3”是“a⎳b”的充分不必要条件． 故选：A． 25 (2024·全国·高三专题练习)已知直线a⊥平面α，则“直线a⎳平面β”是“平面α⊥平面β” 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若“直线a⎳平面β”成立，设l⊂β，且l⎳a，又a⊥平面α，所以l⊥平面α，又l⊂ β，所以“平面α⊥平面β”成立； 若“平面α⊥平面β”成立，且直线a⊥平面α，可推出a⎳平面β或a⊂平面β， 所以“直线a⎳平面β”不一定成立. 综上“，直线a⎳平面β”是“平面α⊥平面β”的充分不必要条件. 故选：A. 1 1 26 (2024·天津和平·高三天津一中校考阶段练习)“cos2α=- ”是“cosα= ”的 ( ) 2 2 第 页 共 页 33 3427A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 1 1 【解析】cos2α=2cos2α-1=- ,cosα=± ， 2 2 1 1 所以“cos2α=- ”是“cosα= ”的必要不充分条件. 2 2 故选：B 27 (2024·天津南开·南开中学校考模拟预测)已知a，b∈R，则“a>b”是“a2>b2”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】若a=0>b，则a2>b2不成立，若a  >b且a<0=b，此时a2>b2推不出a>b， 所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件. 故选：D 2 题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围 【解题总结】 1、集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系． 2、在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错． 28 (2024·山东潍坊·统考二模)若“x=α”是“sinx+cosx>1”的一个充分条件，则α的一个可 能值是 . π π 【答案】 (只需满足α∈2kπ,2kπ+ 4 2  k∈Z  即可) π 【解析】由sinx+cosx>1可得 2sinx+ 4  π >1，则sinx+ 4  2 > ， 2 π π 3π 所以，2kπ+ 1”的一个充分条件，故α的一个可能取值为 . 4 π π 故答案为： (只需满足α∈2kπ,2kπ+ 4 2  k∈Z  即可). 29 (2024·上海长宁·统考二模)若“x=1”是“x>a”的充分条件，则实数a的取值范围为 ． 【答案】-∞,1  【解析】∵“x=1”是“x>a”的充分条件，∴x=1⇒x>a，∴a<1， 即实数a的取值范围为-∞,1  . 故答案为：-∞,1  . 30 (2024·全国·高三专题练习)若“x<2”是“xbx， ②∀x∈(0,1)，log x>logx，③∃x∈(0,1)，xa>xb，④∃x∈(0,b)，ax>log x． a b a 其中是真命题的有 ( ) A.①③ B.②④ C.①② D.③④ 【答案】C a ax a 【解析】对于①，由01，∀x∈(0,+∞)， = b bx b  x a > b  0 =1，则 ax>bx，①正确； a 对于②，∀x∈(0,1)，log a-log b=log logx，②正确； b 对于③，函数y=mx(0log b>log a=1，即ax0，方程3a2-10a+7=0有解，④对. 故选：C. 4 题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定 【解题总结】 1、全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论变 否定． 2、全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否． 34 (2024·四川成都·三模)命题“∀x∈R,x2+x-1≤0”的否定是 ( ) A.∃x ∈R,x2+x -1≤0 B.∃x ∈R,x2+x -1>0 0 0 0 0 0 0 C.∀x∈R,x2+x-1>0 D.∃x ∈R,x2+x -1≥0 0 0 0 【答案】B 【解析】由题意可得“，∀x∈R,x2+x-1≤0”的否定是∃x ∈R,x2+x -1>0， 0 0 0 故选：B 35 (2024·贵州贵阳·统考模拟预测)已知命题p:∀n∈N，2n-2不是素数，则¬p为 ( ) A.∃n∉N，2n-2是素数 B.∀n∈N，2n-2是素数 C.∀n∉N，2n-2是素数 D.∃n∈N，2n-2是素数 【答案】D 【解析】命题p为全称量词命题，该命题的否定为¬p:∃n∈N，2n-2是素数. 故选：D. 36 (2024·四川成都·成都七中统考模拟预测)命题“有一个偶数是素数”的否定是 ( ) A.任意一个奇数是素数 B.任意一个偶数都不是素数 C.存在一个奇数不是素数 D.存在一个偶数不是素数 【答案】B 【解析】由于存在量词命题p:∃x∈M,p(x)，否定为¬p:∀x∈M,¬p(x).所以命题“有一 个偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”. 故选：B 5 题型五：根据命题的真假求参数的取值范围 【解题总结】 1、在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题， 去求真命题的补级即可． 第 页 共 页 36 34272、全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取 到． 37 (2024·全国·高三专题练习)若命题“∃a∈-1,3  ,ax2-2a-1  x+3-a<0”为假命题， 则实数x的取值范围为 ( ) A. -1,4  5 B.  0,  3  C. -1,0  5 ∪  ,4  3  D. -1,0  5 ∪ ,4 3  【答案】C 【解析】命题“∃a∈-1,3  ,ax2-2a-1  x+3-a<0”为假命题，其否定为真命题， 即“∀a∈-1,3  ,ax2-2a-1  x+3-a≥0”为真命题． 令g(a)=ax2-2ax+x+3-a=(x2-2x-1)a+x+3≥0， 则 g(-1)≥0 ，即 -x2+3x+4≥0 ，  g(3)≥0  3x2-5x≥0 -1≤x≤4  解得 5 ，所以实数x的取值范围为-1,0 x≥ 或x≤0 3  5 ∪  ,4  3  . 故选：C 38 (2024·全国·高三专题练习)已知命题p：∃x∈R，x2+2x+2-a<0，若p为假命题，则实 数a的取值范围为 ( ) A.(1,+∞) B.[1,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,1] 【答案】D 【解析】因为命题p：∃x∈R，x2+2x+2-a<0， 所以¬p：∀x∈R，x2+2x+2-a≥0， 又因为p为假命题，所以¬p为真命题， 即∀x∈R，x2+2x+2-a≥0恒成立， 所以Δ≤0，即22-4(2-a)≤0， 解得a≤1， 故选：D． 39 (2024·全国·高三专题练习)若命题P:“∃x∈R,k2-1  x2+41-k  x+3≤0”是假命题， 则k的取值范围是 ( ) A. 1，7  B. 1,7  C. -7，1  D. -7,1  【答案】B 【解析】因为命题“∃x∈R，k2-1  x2+4(1-k)x+3≤0”是假命题， 所以命题“∀x∈R，k2-1  x2+41-k  x+3>0”是真命题， 若k2-1=0，即k=1或k=-1， 当k=1时，不等式为3>0，恒成立，满足题意； 当k=-1时，不等式为8x+3>0，不恒成立，不满足题意； k2-1>0 当k2-1≠0时，则需要满足 Δ=161-k  2-4×k2-1   ，  ×3<0 k-1 即  k+1  >0 k-1  k-7    ，解得10”为假命题，则实数a的取 值范围是 ( ) A. -∞,5  B. 6,+∞  C. -∞,3  D. 3,+∞  【答案】D 【解析】因为命题“∀x∈1,2  ，2x+x-a>0”为假命题，则命题的否定“∃x 0 ∈1,2  ，2x0 +x 0 -a≤0”为真命题，所以a≥2x+x  min ，x∈1,2  ． 易知函数y=2x+x在1,2  上单调递增，所以当x=1时，y=2x+x取最小值，所以a≥ 21+1=3．所以实数a的取值范围为3,+∞  ． 故选：D． 第 页 共 页 38 3427