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复习专题六 曲线运动的临界极值问题
——精剖细解细复习讲义
知识点1：临界极值问题
（1）临界状态定义
由某种物理现象变化为另一种物理现象或由某种物理状态变化为另一种物理状态时，
发生转折的状态叫临界状态。
（2）临界问题简单理解
临界状态可以理解为“恰好出现”或“恰好不出现”某种现象时的状态。在问题的描
述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述。
（3）临界问题解题关键
解题的关键是确定“恰好不出界”或“速度方向恰好与斜面平行”等的条件。
（4）极值问题定义
指在运动变化过程中的最大值和最小值问题。极值是指研究曲线运动中某物理量变化
情况时出遭到的最大值或最小值。可分为简单极值问题和条件极值问题。
临界问题的特征
有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界
点。
若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在
着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。
若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极
值，这个极值点往往是临界点。
临界问题求解常用的方法
解析法 通过对问题的分析，依据物体的条件写出物理量之间的函数关系，
进而画出函数图像，运用数学方法进行求解（如求二次函数极值、
基本不等式等）。
图解法 根据矢量图进行动态分析，确定该情景下的最大值和最小值。
极限法 一种处理临界问题的有效方法，它是指通过恰当选取某个变化的物
理量将问题推向极端（“极大”、“极小”、“极右”、“极左”
等），从而把比较隐蔽的临界现象暴露出来，使问题清晰明朗，便
于分析求解。
解题思路：
找出情景中临界条件 如“恰好”、“最大”、“最小”等关键词，明确其含义。
画出运动过程的草图 确定物体的临界位置，标注位移、速度等临界值。明确临界过程的轨迹 运用曲线运动的规律进行求解。
处理平抛运动临界问题的关键
平抛运动临界问题解决的重点是：对题意进行分析，提取实际模型并提炼出关于临界
条件的关键信息。此类问题的临界条件：通常为位置关系的限制或速度关系的限制，列出
竖直方向与水平方向上的方程，将临界条件代入即可求解。
在分析此类问题时一定要注意从实际出发寻找临界点，画出物体运动过程的草图，明
确临界条件。
平抛运动临界极值问题
一、单选题
1．如图，在某闯关娱乐节目中，小红从轨道 上的不同位置由静止自由滑下，从c处水
平飞出，都能落到直径为l的圆形浮板上，轨道、直径在同一竖直面内。c点离水面的高度
为h，浮板左端离c点的水平距离为l。运动过程中，小红视为质点并忽略空气阻力，重力
加速度为g，则小红离开c时速度v的范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】根据
运动时间
当落到浮板左端时，速度当落到浮板右端时，速度
所以小红离开c时速度v的范围为
故选B。
2．如图所示，小球B在A球的正下方两球相距h，将A球以速率v 沿水平向右抛出，同时
1
将小球B以速率v 沿竖直向上抛出，不考虑两球的大小及空气阻力，则两球在落地前球A
2
与B之间的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设经过时间t，A在竖直方向的距地面的高度为
A在水平方向的位移为
x=vt
1
B在水平方向的位移始终为0，在竖直方向做竖直上抛运动，距地面的高度为
两球在竖直方向的距离为
y=h ﹣h ＝h﹣vt
A B 2
两球之间的距离为
根据数学知识可知当 （二次函数求极值）时，s取得最小值 。
故选C。
3．2022年北京冬奥会中国滑雪运动员谷爱凌在女子大跳台滑雪比赛中获得金牌。现假定
某运动员从滑雪跳台以不同的速度 水平跳向对面倾角为45°的斜坡（如图所示），已知跳台的高度为h，不计空气阻力，重力加速度为g，则该运动员落到斜坡上的最小速度为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设该运动员落到斜坡上经历的时间为t，由平抛运动的规律可得，水平方向上的位
移
竖直方向上的位移
由几何关系可得
整理得到
该运动员落到斜坡上时速度v满足
再整理可以得到
变形为
当 时，速度v最小，且最小为
故选C。
二、多选题
4．中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作
手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面圈（可视为质点）刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面
圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g。则下列关于所有小面圈
在空中运动的描述，正确的是（ ）
A．运动的时间都相同
B．速度的变化量都相同
C．若小面圈的初速度为v，则
0
D．小面圈落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍
【答案】ABC
【详解】A．每片面做平抛运动的高度相同，则运动的时间都相同，A正确；
B．根据
可知下落时间相等，则速度变化量都相同，B正确；
CD．落入锅中时，最大水平速度
最小水平速度
合速度
其中
则最大速度不是最小速度的3倍，初速度的范围
C正确，D错误。
故选ABC。
5．如图所示，倾斜放置的挡板OQ与竖直方向的夹角为45°，从O点正下方的P点以
的水平初速度向右抛出一小球（可视为质点），若小球的运动轨迹恰好与挡板上
的M点相切（M点未画出），重力加速度g取10m/s2，不考虑空气阻力，则（ ）A．小球到达M点时的速度大小为
B．从P到M过程中，小球的速度的变化量大小为2m/s
C．O、P两点间的距离为0.2m
D．小球经过M点之后将沿直线MQ运动
【答案】BC
【详解】A．运动轨迹恰好与挡板上的M点相切，则小球在B点的实际速度与水平方向夹
角为45，即
M点速度大小
故A错误；
B．速度为矢量，水平方向速度不变，则
故B正确；
C．小球从P到M过程，下落时间
水平方向位移
又因为速度的反向延长线交于水平位移的中点，根据几何关系得
故C正确；
D．小球经过M点之后将继续做曲线运动，不会沿直线 运动，故D错误。
故选BC。
6．在山顶扔石块，可以简化如图所示，倾角为 的斜面固定在水平面上，从斜面顶端以速
度 水平抛出一小球，经过时间 恰好落在斜面底端，速度是 ，不计空气阻力。下列说
法正确的是（ ）A．若以速度 水平抛出小球，则落地速度大小等于
B．若以速度 水平抛出小球，则落地速度方向与 同向
C．若以速度 水平抛出小球，则撞击斜面时速度方向与 同向
D．以速度 水平抛出时，距离斜面最远时所用时间一定等于
【答案】CD
【详解】AB．根据运动的合成可得
落地速度方向与水平方向夹角的正切值
若以速度 水平抛出小球，则小球一定落在水平面上，根据
可知，下落高度相同，所以落地时间也一定等于 ，根据运动的合成可得落地时物体的速
度
可知落地速度大小大于 ，落地速度方向与水平方向夹角的正切值
可知落地速度方向与 不同，AB错误；
C．速度小于 时，小球都落在斜面上，设落在斜面时速度与水平方向的夹角为 ，根据
平抛运动的推论有
由于斜面的倾角 不变，所以只要落在斜面上的小球的速度方向都相同，C正确；
D．以速度 水平抛出时，当垂直于斜面方向上的速度为零时，离斜面最远，垂直斜面方
向，根据对称性可知距离斜面最远时所用时间一定等于 ，D正确。
故选CD。斜抛运动临界极值问题
一、单选题
7．如图所示，某同学在篮筐前某位置跳起投篮。篮球出手点离水平地面的高度h=1.8m。
篮球离开手的瞬间到篮筐的水平距离为5m，水平分速度大小v=10m/s，要使篮球到达篮筐
时，竖直方向的分速度刚好为零。将篮球看成质点，篮筐大小忽略不计，忽略空气阻力，
取重力加速度大小g=10 m/s2。篮筐离地面的高度为（ ）
A．2.85m B．3.05m C．3.25m D．3.5m
【答案】B
【详解】篮球离开手到篮筐的时间为
要使篮球到达篮筐时，竖直方向的分速度刚好为零，则有
，
联立解得
故选B。
8．某同学不小心将球踢出围墙，他请墙外的路人帮他将球踢进围墙内，围墙AB有一定厚
度，路人从P点（P点可左右移动）将球踢过围墙。设球踢出时的速度与水平向右的方向
成 角，不计空气阻力，以下说法正确的是（ ）
A．若P点位置确定，无论 角多大，只要速度足够大，一定能将球踢进围墙内
B．路人将球踢过围墙内做的功最小时， 角应满足
C．路人越靠近围墙，将球踢过围墙所做的功越小
D．路人将球踢过围墙内做的功越小，球从踢出到越过墙壁后落到地面所花的时间越短
【答案】B
【详解】A若P点位置确定，如果 ，则将毽子竖直抛出，不能将毽子踢进围墙内，
故A错误；
B.从P点到A点再到B点位置做斜抛运动，设A点在的速度为 ，此时速度方向与水平方向的夹角为 ，AB间距离为 ，从A点到B点水平方向做匀速直线运动
竖直方向为竖直上抛
解得
根据数学知识，当
即
A点的速度最小，则抛出的动能最小，路人将毽子踢过围墙内做的功最小，根据斜抛运动
可知，P点速度的夹角一定大于A点速度的夹角，即
故B正确；
C．当P点位于A点下面时， ，则将毽子竖直抛出，不能将毽子踢进围墙内，故C
错误；
D．根据斜抛运动飞行时间
毽子飞的高度越低，所需的时间越小，所以当做的功最小时，过A点相等高度的夹角为
45°，对应的飞行高度并不是最低高度，故D错误。
故选B。
9．如图所示，某人手持一小球并将它抛向竖直墙的洞里，洞口较小，仅在小球的速度方向
垂直于墙面时小球才能进入，洞离地面的高度 ，球抛出手时，球离地面的高度
，人和墙之间有一张竖直网，网的高度 ，网离墙的距离 ，忽略空气
阻力，取 ，则下列说法正确的是（ ）
A．只要人调整好抛球速度的大小以及抛射角度，不管人站在离网多远的地方，都可以把
球扔进洞
B．要使小球被扔进洞，人与网之间的距离至少为1.5mC．若小球能进入洞中，人距离网越远，球抛出手时的速度与水平方向的夹角越大
D．若小球能进入洞中，人距离网越远，球抛出手时的速度越大
【答案】D
【详解】AB．小球的运动是斜上抛运动，可以把它看成是从洞开始的平抛运动，若恰好擦
网，从洞到网的过程中
解得
在水平方向上，则
解得
从洞的位置到球抛出手的位置处，竖直方向上，由
解得
故人距离墙的水平距离至少为
故要使小球被扔进洞，人与网的距离至少为
故AB错误；
CD．从洞到球抛出手的位置处，竖直方向的距离一定，小球下降的高度和时间一定，小球
的竖直速度一定，若人距离网越远，则水平距离越大，水平速度就越大，球抛出手时的速
度越大，则水平速度与竖直速度之比越大，则球抛出手时的速度与水平方向的夹角越小，
故D正确，C错误。
故选D。
二、多选题
10．如图所示，某场比赛中篮球运动员在三分线外离地面高度h＝2.3m，与篮筐中心的水
平距离L＝6.8m的位置将篮球抛出。篮球离手时的速度与水平方向夹角为45°，并恰好无
擦碰地进入篮筐。已知篮筐离地面高H＝3.05m，重力加速度 ，忽略空气阻力的
影响，下列说法正确的是（ ）A．从离手到刚进入篮筐，篮球做的是匀变速曲线运动
B．离手1.1s后篮球进入篮筐
C．离手时，篮球的速度大小约为6.2m/s
D．从离手到刚进入篮筐，篮球速度的改变量的大小为10m/s
【答案】AB
【详解】A．从离手到刚进入篮筐，忽略空气阻力的影响只受重力，又速度方向与重力方
向不共线，所以篮球做匀变速曲线运动，故A正确；
BC．篮球做斜抛运动，轨迹如图
设从离手到刚进入篮筐运动时间为 ，竖直方向先做竖直上抛运动，有
水平方向做匀速直线运动，有
联立解得
故B正确，C错误；
D．从离手到刚进入篮筐，根据公式
可知篮球速度的改变量的大小为
故D错误。
故选AB。
11．如图所示，有一半圆形曲面固定于地面上。一质量为m的小球（可视为质点）静止于
曲面最高位置A点，由于受到轻微扰动，小球由静止沿曲面向右侧滑动，控制小球与曲面之间的摩擦因数，使其运动至曲面上B点时恰好脱离曲面，最终落在水平地面上C点（未
画出）。已知曲面半径大小为5m，AO与OB之间夹角为60°，g=10m/s2。则（ ）
A．小球运动至B点速度大小为5m/s
B．小球运动至B点速度大小为
C．小球运动至C点速度大小为
D．小球落地位置C点到圆心O点之间的水平距离为
【答案】ACD
【详解】AB．小球运动至曲面上B点时恰好脱离曲面，说明此时曲面对小球的支持力为
0，则
小球运动至B点速度大小为
A正确，B错误；
C．根据机械能守恒
小球运动至C点速度大小为
C正确；
D．小球从B到C的运动过程中，水平方向
竖直方向
位置C点到圆心O点之间的水平距离为
联立得
D正确。故选ACD。
12．如图所示，将一个小球以初速度 从倾角为30°的足够长的斜面底端斜向上抛出，其
初速度方向与水平面夹角为60°，不考虑空气阻力和浮力，且该地重力加速度为g，则下列
说法正确的是（ ）
A．小球运动过程中的最小速度为 B．小球抛出 时间后距离斜面最远
C．小球抛出 时间后距离斜面最远 D．小球落至斜面上时的速度方向与斜面夹角
为30°
【答案】AC
【详解】A.小球斜抛运动至最高点时速度最小，最小值为
A项正确；
BC.将小球的运动在沿斜面方向和垂直斜面方向分解，垂直斜面方向的初速度为
垂直斜面方向的加速度为
垂直斜面方向速度减小至0时小球距离斜面最远，经历的时间
B项错误，C项正确；
D.小球落至斜面上时垂直斜面的速度大小仍为 ，沿斜面方向的速度为
小球落至斜面上时的速度方向与斜面夹角解得
D项错误。
故选AC。
类平抛运动临界极值问题
一、单选题
13．如图所示，一光滑宽阔的斜面，倾角为 ，高为h，重力加速度为g。现有一小球在A
处贴着斜面以水平速度 射出，最后从B处离开斜面。下列说法中正确的是（ ）
A．小球的运动轨迹不是抛物线
B．小球所受合力始终与速度垂直
C．小球到达B点的时间为
D．小球的加速度大小为
【答案】C
【详解】AB．对小球受力分析，竖直向下的重力、垂直于斜面斜向上的支持力。其合力大
小为重力的下滑分力，即
方向沿斜面向下，依题意可知小球合力方向与初速度方向垂直，且为恒力，随着时间的变
化，合外力方向与速度方向夹角变小，所以运动轨迹为抛物线，故AB错误；
C．把小球的实际运动分解为水平方向的匀速直线运动和沿合力方向的初速度为零的匀加
速直线运动，根据运动的等时性，可得
解得
故C正确；
D．根据牛顿第二定律，可得
故D错误；故选C。
14．一足够大且光滑的矩形斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处沿平行于底边的初
速度v 滑上斜面，最后从B处离开斜面。已知重力加速度大小为g。下列说法正确的是（
0
）
A．小球的加速度为g
B．小球的运动轨迹为抛物线
C．小球从A处到达B处所用的时间为
D．小球从A处到达B处的水平位移为
【答案】B
【详解】B．小球受重力和支持力两个力作用，合力沿斜面向下，与初速度方向垂直，小
球做类平抛运动，其运动轨迹为抛物线，B正确；
A．根据牛顿第二定律知，有
解得
A错误；
C．由几何关系得，小球沿加速度方向上的位移为
根据公式
解得
C错误；
D．小球在沿初速度方向的位移为小球从A处到达B处的水平位移为
故D错误。
故选B。
15．如图所示，一光滑斜面体固定在水平面上，其斜面ABCD为矩形，与水平面的夹角为
，AD边水平且距水平面的高度为h。现将质量为m的小球从斜面上的A点沿AD方向以
速度 水平抛出，忽略空气阻力，小球恰好运动到斜面的左下角C点，已知重力加速度为
g，下列说法正确的是（ ）
A．小球从A点运动到C点的过程中做变加速曲线运动
B．小球从A点运动到C点的时间为
C．AD边的长度为
D．小球运动到C点时的速度大小为
【答案】C
【详解】A．对小球受力分析，受重力，斜面的支持力，两力的合力大小为 ，
方向沿斜面向下，由牛顿第二定律可得
解得
小球从斜面上的A点沿AD方向以速度 水平抛出，可知初速度与加速度垂直，小球做匀
加速曲线运动，A错误；
B．小球从A点运动到C点，在沿斜面向下方向的位移为
解得小球从A点运动到C点的时间为B错误；
C．小球沿AD方向做匀速直线运动，可知AD边的长度为
C正确；
D．小球沿斜面向下方向的速度为
小球运动到C点时的速度大小为
D错误。
故选C。
1．如图所示，竖直面内虚线与x轴之间宽度为H的区域内存在大小恒定的水平风力（其他
区域不存在风力）。自该区域上方某一点A（图中未画出）将质量为m的小球以一定初速
度水平抛出，恰好从坐标原点O进入风力区域。若风力沿水平向左方向，小球从点
离开风力区域时的速度方向恰好竖直向下；若风力沿水平向右方向，小球恰好
做直线运动，并从P点离开该区域。竖直方向只受重力作用，且重力加速度大小为
。求：
（1）P点坐标；
（2）小球从Q点离开时的速度大小；
（3）小球抛出点A的坐标。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）设小球平抛初速度为 ，O点竖直方向速度大小为 ，穿过风力区域的时间为t，则根据匀变速运动规律可知：水平方向
所以P点水平方向分速度大小应为 ，由匀变速运动规律知
所以
综上，P点坐标为
（2）将速度分解到x轴和y轴方向，设经过Q点（P点）时y轴方向分速度大小为 ，根
据几何关系可知
根据匀变速运动规律
联立解得
即经过Q点时速度大小为 。
（3）从A到Q竖直方向做自由落体运动，由（2）中可知： 竖直方向高度差
由平抛运动推论，将O点速度反向延长交水平位移于中点处，故由几何关系可知： 水
平距离为 ，综上，抛出点A点坐标为 。
2．风洞实验室可以产生水平方向的、大小可以调节的风力。如图，两水平面(虚线)间距为
H，虚线区域存在方向水平向右、大小恒定的风力。在该区域上方O点将质量均为m的小
球A、B以大小相等、方向相反的水平速度抛出，其中A球向右，B球向左。两小球在重力
作用下进入虚线区域，并从该区域的下边界离开。已知B球离开虚线区域时速度竖直向下；
A球在虚线区域做直线运动，刚离开虚线区域时其速度为B球刚离开虚线区域时的 倍。
不计虚线区域上方的空气阻力，重力加速度为g。求：
(1)A与B在虚线区域中的水平位移之比；(2)O点距虚线区域上边界的距离；
(3)虚线区域中水平风力的大小。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）两球刚进入虚线区域时的水平速度均为 ，A球在风洞中水平方向上做匀加
速直线运动，B球在水平方向上做匀减速直线运动，水平方向上的加速度大小相等。两球
在竖直方向均受重力，竖直方向上做加速度为g的匀加速直线运动，由于竖直方向上的位
移相等，则运动的时间相等，设为t，设水平方向的加速度大小为a，对A球，有
对B球，有
可得
解得A与B在风洞中沿水平方向的位移之比为
（2）设小球A离开风洞时的竖直分速度为 ，水平分速度为 ，两球离开风洞时竖直分速
度相等，因为A在风洞中做直线运动，刚离开风洞时的速度为B刚离开风洞时的速度的
倍，则有
解得
因为
则有
因为A做直线运动，设小球进风洞时在竖直方向上的分速度为 ，则有
解得在竖直方向上有
解得A点距风洞上边界的高度为
（3）因为A做直线运动，合力方向与速度方向在同一条直线上，设水平风力大小为F，则
解得
3．如图所示，在足够高的竖直墙面上A点，以水平速度v=10m/s向左抛出一个质量为
0
m=1kg的小球，小球抛出后始终受到水平向右的恒定风力的作用，风力大小F=5N，经过
一段时间小球将再次到达墙面上的B点处，重力加速度为g=10m/s2，则在此过程中：（注
意：计算结果可用根式表示）
（1）小球水平方向的速度为零时距墙面的距离；
（2）墙面上A、B两点间的距离；
（3）小球速度的最大值；
（4）小球速度的最小值。
【答案】（1）10；（2）80；（3） ；（4）
【详解】（1）小球在水平方向先向左做匀减速运动而后向右做匀加速运动，小球在竖直方
向上做自由落体运动。水平方向
得则小球水平方向的速度为零时距墙面的距离
（2）水平方向速度减小为零所需的时间
从A到B的时间为
墙面上A、B两点间的距离
（3）小球运动到B点的速度最大
，
到达B点的速度
（4）将运动沿图示方向分解
当 时，小球速度最小，此时
根据力三角形知
解得
4．一玩具小车从水平桌面上的A点以v=3m/s的速度大小飞出，沿切线方向从C点进入光
0
滑竖直圆弧轨道CB，并以 m/s的速度大小从B点进入水平直线轨道BD和斜面DE。若
小车可看成质点，其质量为m＝0.5kg，圆弧轨道CB、直线轨道BD段和斜面DE均平滑连接（即小车经过衔接处的速度大小不变），直线轨道和斜面与小车间动摩擦因数均为μ＝
0.5，圆弧CB的圆心角为53°，圆弧轨道的半径为R＝0.5m，直线轨道BD段长度为l＝
0.9m，斜面的倾角θ＝37°，斜面足够长，不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2，sin53°＝
0.8，cos53°＝0.6。求：
（1）A点到C点的竖直高度H；
（2）小车对圆弧轨道B点的压力大小；
（3）小车在斜面DE上运动的时间（计算结果可以用根号表示）。
【答案】（1） （2）34N（3） s
【详解】（1）在C点进行速度的分解有
竖直方向做自由落体运动，有
解得
（2）设小车在B点时的速度大小为vB，由牛顿第二定律有
根据牛顿第三定律N'=N，可得
N'=34N
（3）小车从B运动到D，由牛顿第二定律有
由运动学公式有
代入数据解得
m/s
小车在斜面向上滑行，有
解得a＝10m/s2
2
而
解得
由
解得
由于
小车会沿着斜面向下滑行，下滑过程由牛顿第二定律有
解得
由
得到
小车回到D点时的速度
小车继续向左滑行的加速度大小为a＝5m/s2，设小车再经过l′停止运动，则有
1
解得
所以小车不会再返回斜面，故小车在斜面上滑行的时间
解得
