文档内容
第 06 讲 数列（2022-2024 高考真题）
（新高考专用）
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:20)(cid:26)(cid:21)
1(cid:27)(cid:28)2024·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:13)(cid:39){ }(cid:40)(cid:41) (cid:25)(cid:42)(cid:43) (cid:44)(cid:45) =1(cid:44)(cid:46) + =(cid:28) (cid:34)
9 3 7
7 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑆 2 𝑎 𝑎
A(cid:27) B(cid:27) C(cid:27)1 D(cid:27)
3 9
−2
2(cid:27)(cid:28)2024·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:47) (cid:43)(cid:37)(cid:38)(cid:13)(cid:39){ }(cid:40)(cid:41) (cid:25)(cid:42)(cid:44)(cid:35)(cid:36) = (cid:44) =1(cid:44)(cid:46) =(cid:28) (cid:34)
5 10 5 1
7 7 𝑆𝑛 𝑎𝑛 1 𝑛 𝑆 𝑆 7𝑎 𝑎
A(cid:27) B(cid:27) C(cid:27) D(cid:27)
2 3 3 11
− −
3(cid:27)(cid:28)2023·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:47) (cid:43)(cid:37)(cid:38)(cid:13)(cid:39){ }(cid:40)(cid:41) (cid:25)(cid:42)(cid:27)(cid:45) + =10, =45(cid:44)(cid:46) =(cid:28) (cid:34)
2 6 4 8 5
A(cid:27)25 B(cid:27)22 𝑆𝑛 𝑎C𝑛(cid:27)20 𝑛 𝑎 D𝑎(cid:27)15 𝑎 𝑎 𝑆
4(cid:27)(cid:28)2023·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:48)(cid:37)(cid:49)(cid:13)(cid:39){ }(cid:40)(cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:43)(cid:52)(cid:13)(cid:44)(cid:41)n(cid:25)(cid:42) (cid:44)(cid:45) =1(cid:44) =5 (cid:44)(cid:46) =
1 5 3 4
(cid:28) (cid:34) 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑆 𝑆 −4 𝑆
15 65
A(cid:27) B(cid:27) C(cid:27)15 D(cid:27)40
8 8
5(cid:27)(cid:28)2023·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:13)(cid:39){ }(cid:40)(cid:7)(cid:38)(cid:43) (cid:44)(cid:53)(cid:54) ={cos | N }(cid:44)(cid:45) ={ }(cid:44)(cid:46) =
3
2𝜋
∗
(cid:28) (cid:34) 𝑎𝑛 𝑆 𝑎𝑛 𝑛∈ 𝑆 𝑎,𝑏 𝑎𝑏
1 1
A(cid:27)(cid:55)1 B(cid:27) C(cid:27)0 D(cid:27)
2 2
−
6(cid:27)(cid:28)2023·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:47) (cid:43)(cid:13)(cid:39){ }(cid:40)(cid:41) (cid:25)(cid:42)(cid:44)(cid:48)(cid:56)(cid:10){ }(cid:43)(cid:37)(cid:38)(cid:13)(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:10){ }(cid:43)(cid:37)(cid:38)(cid:13)(cid:39)(cid:44)(cid:46)
𝑆𝑛
(cid:28) (cid:34)
𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑎𝑛 𝑛
A(cid:27)(cid:56)(cid:59)(cid:58)(cid:40)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:59)(cid:66)(cid:67)(cid:62)(cid:63)
B(cid:27)(cid:56)(cid:59)(cid:58)(cid:40)(cid:66)(cid:67)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)
C(cid:27)(cid:56)(cid:59)(cid:58)(cid:40)(cid:60)(cid:67)(cid:62)(cid:63)
D(cid:27)(cid:56)(cid:68)(cid:65)(cid:59)(cid:58)(cid:40)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:69)(cid:65)(cid:59)(cid:58)(cid:40)(cid:66)(cid:67)(cid:62)(cid:63)
7(cid:27)(cid:28)2023·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:47) (cid:43)(cid:37)(cid:49)(cid:13)(cid:39){ }(cid:40)(cid:41)n(cid:25)(cid:42)(cid:44)(cid:45) = (cid:44) =21 (cid:44)(cid:46) =(cid:28) (cid:34)(cid:27)
4 6 2 8
A(cid:27)120 B(cid:27)85 𝑆𝑛 𝑎C𝑛(cid:27) 𝑆 D−(cid:27)5 𝑆 𝑆 𝑆
8(cid:27)(cid:28)2022·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:49)(cid:13)(cid:39){ }(cid:40)(cid:41)−835(cid:25)(cid:42)(cid:43)168(cid:44) −=14220(cid:44)(cid:46) =(cid:28) (cid:34)
2 5 6
A(cid:27)14 B(cid:27)12 𝑎𝑛C(cid:27)6 𝑎 D−(cid:27)𝑎 3 𝑎
9(cid:27)(cid:28)2022·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:9)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:44)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:78)(cid:89)(cid:44)(cid:77)(cid:43)(cid:90)(cid:30)(cid:91)(cid:22)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:95)1
(cid:96)(cid:97)(cid:86)(cid:40)(cid:98)(cid:99)(cid:86)(cid:74)(cid:44)(cid:43)(cid:100)(cid:101)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:9)(cid:94)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:94)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:40)(cid:49)(cid:108)(cid:44)(cid:109)(cid:110)(cid:13)(cid:39){ }(cid:10) =1+ (cid:44) =1+
1 2
1
1 1 𝑏𝑛 𝑏 𝛼 𝑏
1
1(cid:44)
3
=1+
1
1
1
(cid:44)…(cid:44)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:44)(cid:115)(cid:116) = (cid:27)(cid:46)(cid:28) (cid:34)
2 2 3 ∗
𝛼 +𝛼
A(cid:27)
𝑏
<
𝛼 + 𝛼 +𝛼
B(cid:27) < C
𝛼
(cid:27)
𝑘∈𝑁
<
(𝑘 1,2,⋯)
D(cid:27) <
1 5 3 8 6 2 4 7
10(cid:27)(cid:28)2𝑏022·𝑏(cid:117)(cid:118)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)𝑏(cid:34)(cid:48)𝑏{ }(cid:59)(cid:7)(cid:38)(cid:65)(cid:43)0𝑏(cid:40)(cid:119)𝑏(cid:120)(cid:37)(cid:38)(cid:13)(cid:39)(cid:44)(cid:46)“{𝑏 }(cid:43)𝑏(cid:121)(cid:122)(cid:13)(cid:39)”(cid:59)“(cid:123)(cid:75)(cid:52)(cid:124)(cid:13) (cid:44)
0
(cid:125) > (cid:126)(cid:44) >0”(cid:40)(cid:28) (cid:34) 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑁
0
𝑛A(cid:27)𝑁(cid:60)(cid:61)(cid:127)𝑎𝑛(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:62)(cid:63) B(cid:27)(cid:66)(cid:67)(cid:127)(cid:65)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)
C(cid:27)(cid:60)(cid:61)(cid:66)(cid:67)(cid:62)(cid:63) D(cid:27)(cid:68)(cid:65)(cid:60)(cid:61)(cid:69)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:62)(cid:63)
(cid:72)(cid:23)(cid:128)(cid:88)(cid:21)
11(cid:27)(cid:28)2024·(cid:129)(cid:130)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:119)(cid:120)(cid:37)(cid:49)(cid:13)(cid:39){ }(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:25) > >1(cid:44)(cid:47) =
1
{ | [ , ] [ , ]}(cid:44)(cid:45)(cid:134)(cid:80)(cid:135)(cid:52)𝑎(cid:124)𝑛(cid:13) (cid:53)(cid:54) 𝑎(cid:59)(cid:136)(cid:137)0,𝑞(cid:138)(cid:44)(cid:46) (cid:40)𝐼𝑛(cid:139)(cid:108)(cid:140)(cid:141)(cid:59) (cid:27)
1 2 +1
1𝑥2−(cid:27)𝑦(cid:28)𝑥2,𝑦02∈4·(cid:29)𝑎 (cid:30)𝑎·(cid:31)∪(cid:32)𝑎(cid:33)𝑛𝑎(cid:21)𝑛(cid:34)(cid:47) (cid:43)(cid:37)(cid:38)(cid:13)(cid:39){ }(cid:40)𝑛 (cid:41)n𝐼(cid:25)𝑛 (cid:42)(cid:44)(cid:45) + 𝑞=7(cid:44)3 + =5(cid:44)(cid:46) = .
3 4 2 5 10
13(cid:27)(cid:28)2024·(cid:117)(cid:118)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:48)𝑆{ 𝑛 }(cid:105){ }(cid:59)(cid:142)𝑎𝑛(cid:143)(cid:65)(cid:144)(cid:40)(cid:119)(cid:120)(cid:13)(cid:39)𝑎(cid:44)(cid:145)𝑎(cid:146)(cid:65)(cid:59)(cid:147)𝑎(cid:13)(cid:39).𝑎(cid:47)(cid:53)(cid:54) =𝑆
{ = N }(cid:44)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:39)4(cid:143)𝑎𝑛(cid:151)(cid:152)(cid:10)𝑏𝑛 𝑀
∗
𝑘|(cid:45)𝑎𝑘{ 𝑏}𝑘(cid:105),𝑘{∈ }(cid:51)(cid:43)(cid:37)(cid:38)(cid:13)(cid:39)(cid:44)(cid:46)M(cid:116)(cid:153)(cid:154)(cid:155)1(cid:143)(cid:156)(cid:157)(cid:57)
①(cid:45){𝑎𝑛}(cid:105){𝑏𝑛}(cid:51)(cid:43)(cid:37)(cid:49)(cid:13)(cid:39)(cid:44)(cid:46)M(cid:116)(cid:153)(cid:154)(cid:155)2(cid:143)(cid:156)(cid:157)(cid:57)
②(cid:45){𝑎𝑛}(cid:43)(cid:37)𝑏𝑛(cid:38)(cid:13)(cid:39)(cid:44){ }(cid:43)(cid:37)(cid:49)(cid:13)(cid:39)(cid:44)(cid:46)M(cid:116)(cid:153)(cid:154)(cid:155)3(cid:143)(cid:156)(cid:157)(cid:57)
③(cid:45){𝑎𝑛}(cid:43)(cid:121)(cid:122)(cid:13)(cid:39)(cid:44){𝑏𝑛}(cid:43)(cid:121)(cid:158)(cid:13)(cid:39)(cid:44)(cid:46)M(cid:116)(cid:153)(cid:154)(cid:155)1(cid:143)(cid:156)(cid:157).
④(cid:115)(cid:116)(cid:52)𝑎(cid:159)𝑛 (cid:151)(cid:152)(cid:40)(cid:160)(cid:9)(cid:59) 𝑏 𝑛 .
14(cid:27)(cid:28)2023·(cid:117)(cid:118)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:90)(cid:30)(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:40)(cid:164)(cid:165)(cid:155)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:40)(cid:169)(cid:170)(cid:44)(cid:171)(cid:30)(cid:126)(cid:104)(cid:172)(cid:35)(cid:173)(cid:149)(cid:174)(cid:175)(cid:113)(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:179)(cid:40)(cid:23)(cid:109)
(cid:180)(cid:89)(cid:162)(cid:14)(cid:181)(cid:182)(cid:162)(cid:40)“(cid:93)(cid:183)”(cid:27)(cid:35)(cid:36)9(cid:184)(cid:93)(cid:183)(cid:40)(cid:182)(cid:162)(cid:28)(cid:24)(cid:185)(cid:10)(cid:186)(cid:34)(cid:187)(cid:188)(cid:110)(cid:189)(cid:190)(cid:77)(cid:25)(cid:13)(cid:43)9(cid:40)(cid:13)(cid:39){ }(cid:44)(cid:191)(cid:13)(cid:39)(cid:40)
(cid:41)3(cid:25)(cid:77)(cid:37)(cid:38)(cid:13)(cid:39)(cid:44)(cid:82)7(cid:25)(cid:77)(cid:37)(cid:49)(cid:13)(cid:39)(cid:44)(cid:145) =1, =12, =192(cid:44)(cid:46) = (cid:57)(cid:13)(cid:39){𝑎𝑛}(cid:192)(cid:155)(cid:25)(cid:40)(cid:42)
1 5 9 7
(cid:43) (cid:27) 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎𝑛
15(cid:27)(cid:28)2023·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:47) (cid:43)(cid:37)(cid:49)(cid:13)(cid:39){ }(cid:40)(cid:41) (cid:25)(cid:42)(cid:27)(cid:45)8 =7 (cid:44)(cid:46){ }(cid:40)(cid:7)(cid:49)(cid:43) (cid:27)
6 3
16(cid:27)(cid:28)2023·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36)𝑆𝑛 { }(cid:43)(cid:37)(cid:49)(cid:13)𝑎(cid:39)𝑛 (cid:44) 𝑛 = 𝑆(cid:44) 𝑆 = (cid:44)𝑎𝑛(cid:46) = .
2 4 5 3 6 9 10 7
17(cid:27)(cid:28)2022·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:47) (cid:43)𝑎𝑛(cid:37)(cid:38)(cid:13)(cid:39){ }(cid:40)(cid:41)𝑎 𝑎n(cid:25)𝑎 (cid:42)(cid:27)𝑎(cid:45)𝑎2 𝑎=𝑎3 +−68(cid:44)(cid:46)(cid:7)𝑎(cid:38) = (cid:27)
3 2
18(cid:27)(cid:28)2022·(cid:117)(cid:118)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36)𝑆𝑛(cid:13)(cid:39){ }(cid:50)(cid:25)𝑎(cid:51)𝑛(cid:43)(cid:52)(cid:13)(cid:44)(cid:115)(cid:41)n(cid:25)𝑆(cid:42) (cid:131)𝑆(cid:132) = 𝑑= (cid:27)(cid:148)(cid:149)(cid:150)
(cid:39)(cid:193)(cid:143)(cid:151)(cid:152)(cid:10) 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑎𝑛⋅𝑆𝑛 9(𝑛 1,2,⋯)
{ }(cid:40)(cid:91)2(cid:25)(cid:188)(cid:177)3(cid:57) { }(cid:43)(cid:37)(cid:49)(cid:13)(cid:39)(cid:57)
① 𝑎𝑛 ② 𝑎𝑛1
{ }(cid:43)(cid:121)(cid:158)(cid:13)(cid:39)(cid:57) { }(cid:116)(cid:123)(cid:75)(cid:188)(cid:177) (cid:40)(cid:25)(cid:27)
100
(cid:115)③(cid:116)𝑎(cid:192) 𝑛 (cid:155)(cid:52)(cid:159)(cid:151)(cid:152)(cid:40)(cid:160)(cid:9)④(cid:59) 𝑎 𝑛 (cid:27)
(cid:194)(cid:23)(cid:195)(cid:196)(cid:21)
19(cid:27)(cid:28)2024·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:49)(cid:13)(cid:39){ }(cid:40)(cid:41) (cid:25)(cid:42)(cid:43) (cid:44)(cid:145)2 =3 .
+1
(1)(cid:197){ }(cid:40)(cid:198)(cid:25)(cid:7)(cid:199)(cid:57) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑆𝑛 𝑎𝑛 −3
(2)(cid:197)(cid:13)𝑎𝑛(cid:39){ }(cid:40)(cid:41)n(cid:25)(cid:42).
𝑆𝑛
20(cid:27)(cid:28)2024·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:47) (cid:43)(cid:13)(cid:39){ }(cid:40)(cid:41) (cid:25)(cid:42)(cid:44)(cid:35)(cid:36)4 =3 +4(cid:27)
(1)(cid:197){ }(cid:40)(cid:198)(cid:25)(cid:7)(cid:199)(cid:57) 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑎𝑛
(2)(cid:48) 𝑎𝑛= (cid:44)(cid:197)(cid:13)(cid:39){ }(cid:40)(cid:41) (cid:25)(cid:42) (cid:27)
𝑛−1
𝑏𝑛 (−1) 𝑛𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑛 𝑇𝑛
21(cid:27)(cid:28)2024·(cid:200)(cid:201)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:13)(cid:39){ }(cid:59)(cid:7)(cid:49)(cid:189)(cid:177)0(cid:40)(cid:37)(cid:49)(cid:13)(cid:39)(cid:27)(cid:115)(cid:41) (cid:25)(cid:42)(cid:43) (cid:27)(cid:45) =1, = (cid:27)
1 2 3
(1)(cid:197)(cid:13)(cid:39){ }(cid:41) (cid:25)(cid:42) (cid:57) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑆 𝑎 −1
𝑎𝑛 𝑛 𝑆=𝑛
(2)(cid:48) = (cid:44) 2(cid:27)
+ < <
+1
𝑘,𝑛 𝑎𝑘
(cid:28)ⅰ(cid:34) 𝑏 (cid:125) 𝑛 𝑏𝑛−1= 2𝑘,𝑎(cid:126)𝑘 (cid:44)𝑛(cid:197)(cid:202)𝑎(cid:10)𝑘 𝑘∈𝐍∗,𝑘 (cid:57) ≥
+1
𝑘≥2,𝑛 𝑎𝑘 𝑏𝑛−1≥𝑎𝑘⋅𝑏𝑛
(cid:28)ⅱ(cid:34)(cid:197) (cid:27)
𝑆= 𝑛 1
𝑏𝑖
𝑖
22(cid:27)(cid:28)2024·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:48)m(cid:43)(cid:52)(cid:124)(cid:13)(cid:44)(cid:13)(cid:39) , ,..., (cid:59)(cid:7)(cid:38)(cid:65)(cid:43)0(cid:40)(cid:37)(cid:38)(cid:13)(cid:39)(cid:44)(cid:45)(cid:187)(cid:116)(cid:203)(cid:204)(cid:142)(cid:25)
1 2 +2
(cid:42) ( < )(cid:82)(cid:205)(cid:206)(cid:40) (cid:25)(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:51)(cid:61)(cid:43) (cid:210)(cid:44)(cid:145)(cid:211)𝑎 (cid:210)𝑎(cid:40)4𝑎4(cid:143)𝑚(cid:13)(cid:146)(cid:212)(cid:190)(cid:77)(cid:37)(cid:38)(cid:13)(cid:39)(cid:44)(cid:46)(cid:213)(cid:13)(cid:39) , ,...,
1 2 +2
𝑎𝑖 𝑎𝑗 𝑖 𝑗 4𝑚 𝑚 𝑎 𝑎 𝑎4𝑚(cid:59)( ) (cid:207)(cid:61)(cid:13)(cid:39)(cid:27)
(1)(cid:214)𝑖,𝑗(cid:149)−(cid:192)(cid:155)(cid:40)( )(cid:44)1 < 6(cid:44)(cid:215)(cid:13)(cid:39) , ,..., (cid:59)( ) (cid:207)(cid:61)(cid:13)(cid:39)(cid:57)
1 2 6
(2)(cid:125) 3(cid:126)(cid:44)𝑖(cid:202),𝑗(cid:216)(cid:10)≤(cid:13)𝑖(cid:39) 𝑗≤, ,..., (cid:59)𝑎(2𝑎,13)𝑎(cid:207)(cid:61)𝑖(cid:13),𝑗 (cid:39)−(cid:57)
1 2 +2
(3)(cid:187)𝑚1,2≥,... +2(cid:116)(cid:22)(cid:217)(cid:80)𝑎(cid:139)(cid:142)𝑎 (cid:143)(cid:13)𝑎4𝑚(cid:42) ( < )(cid:44)−(cid:47)(cid:13)(cid:39) , ,..., (cid:59)( ) (cid:207)(cid:61)(cid:13)(cid:39)(cid:40)(cid:218)(cid:219)(cid:43) (cid:44)(cid:202)(cid:216)(cid:10)
1 2 +2
1 ,4𝑚 𝑖 𝑗 𝑖 𝑗 𝑎 𝑎 𝑎4𝑚 𝑖,𝑗 − 𝑃𝑚
> (cid:27)
8
𝑃𝑚
23(cid:27)(cid:28)2023·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:47) (cid:43)(cid:37)(cid:38)(cid:13)(cid:39){ }(cid:40)(cid:41) (cid:25)(cid:42)(cid:44)(cid:35)(cid:36) =11, =40(cid:27)
2 10
(1)(cid:197){ }(cid:40)(cid:198)(cid:25)(cid:7)(cid:199)(cid:57) 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑎 𝑆
(2)(cid:197)(cid:13)𝑎𝑛(cid:39){| |}(cid:40)(cid:41) (cid:25)(cid:42) (cid:27)
𝑎𝑛 𝑛 𝑇𝑛
24(cid:27)(cid:28)2023·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:48) (cid:43)(cid:13)(cid:39){ }(cid:40)(cid:41)n(cid:25)(cid:42)(cid:44)(cid:35)(cid:36) =1,2 = (cid:27)
2
(1)(cid:197){ }(cid:40)(cid:198)(cid:25)(cid:7)(cid:199)(cid:57) 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑎 𝑆𝑛 𝑛𝑎𝑛
(2)(cid:197)(cid:13)
𝑎𝑛
(cid:39) +1 (cid:40)(cid:41)n(cid:25)(cid:42) (cid:27)
2
𝑎𝑛
𝑛 𝑇𝑛
25(cid:27)(cid:28)2023·(cid:200)(cid:201)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36){ }(cid:59)(cid:37)(cid:38)(cid:13)(cid:39)(cid:44) + =16, =4(cid:27)
2 5 5 3
2 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 −𝑎
(1)(cid:197){ }(cid:40)(cid:198)(cid:25)(cid:7)(cid:199)(cid:42) 𝑛 ( N )(cid:27)
=−21
∗
(2)(cid:48){ 𝑎𝑛 }(cid:59)(cid:37)(cid:49)(cid:13)(cid:39)(cid:44)(cid:145)(cid:134)𝑖 (cid:80) 𝑛− (cid:135) 1𝑎(cid:40) 𝑖 𝑛∈N*(cid:44)(cid:125)2 2 (cid:126)(cid:44)(cid:46) < < (cid:44)
+1
𝑘−1 𝑘
(cid:28)Ⅰ(cid:34)(cid:125)𝑏𝑛 2(cid:126)(cid:44)(cid:197)(cid:202)(cid:10)2 < 𝑘<∈2 +1(cid:57) ≤𝑛≤ −1 𝑏𝑘 𝑎𝑛 𝑏𝑘
𝑘 𝑘
(cid:28)Ⅱ(cid:34)(cid:197)𝑘{≥}(cid:40)(cid:198)(cid:25)(cid:7)(cid:199)(cid:220)(cid:41)−1(cid:25)(cid:42)𝑏𝑘(cid:27)
𝑏𝑛 𝑛2
26(cid:27)(cid:28)2023·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:48)(cid:37)(cid:38)(cid:13)(cid:39){ }(cid:40)(cid:7)(cid:38)(cid:43) (cid:44)(cid:145) >1(cid:27)(cid:221) = (cid:44)(cid:47) , (cid:61)(cid:222)(cid:43)(cid:13)(cid:39){ },{ }
𝑛 +𝑛
(cid:40)(cid:41) (cid:25)(cid:42)(cid:27)
𝑎𝑛 𝑑 𝑑 𝑏𝑛 𝑎𝑛 𝑆𝑛𝑇𝑛 𝑎𝑛 𝑏𝑛
(1)(cid:45)𝑛3 =3 + , + =21(cid:44)(cid:197){ }(cid:40)(cid:198)(cid:25)(cid:7)(cid:199)(cid:57)
2 1 3 3 3
(2)(cid:45){𝑎}(cid:43)(cid:37)𝑎(cid:38)(cid:13)𝑎(cid:39)𝑆(cid:44)(cid:145)𝑇 =99𝑎(cid:44)𝑛(cid:197) (cid:27)
99 99
𝑏𝑛 𝑆 −𝑇 𝑑
为奇数
27(cid:27)(cid:28)2023·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36){ }(cid:43)(cid:37)(cid:38)(cid:13)(cid:39)(cid:44) = (cid:44)(cid:47) (cid:44) (cid:61)(cid:222)(cid:43)(cid:13)(cid:39){ }(cid:44){ }
2 为偶数
𝑎𝑛−6,𝑛
(cid:40)(cid:41)n(cid:25)(cid:42)(cid:44) =32(cid:44) =16(cid:27)
𝑎𝑛 𝑏𝑛
𝑎𝑛,𝑛
𝑆𝑛 𝑇𝑛 𝑎𝑛 𝑏𝑛
4 3
(1)(cid:197){ }(cid:40)(cid:198)(cid:25)𝑆 (cid:7)(cid:199)(cid:57) 𝑇
(2)(cid:202)(cid:216)𝑎𝑛(cid:10)(cid:125) >5(cid:126)(cid:44) > (cid:27)
𝑛 𝑇𝑛 𝑆𝑛
28(cid:27)(cid:28)2023·(cid:117)(cid:118)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:13)(cid:39){ },{ }(cid:40)(cid:25)(cid:13)(cid:51)(cid:43)m >2)(cid:44)(cid:145) , { },{ }(cid:40)(cid:41)n
(cid:25)(cid:42)(cid:61)(cid:222)(cid:43) , (cid:44)(cid:223)(cid:224)(cid:225) = =0(cid:27)𝑎(cid:134)𝑛 (cid:177)𝑏𝑛 { }(cid:44)(𝑚(cid:225)(cid:226) =m𝑎a𝑛x𝑏{ 𝑛∈{1,2,⋯,𝑚}, 𝑎𝑛 𝑏𝑛 }(cid:44)(cid:115)
0 0
(cid:116)(cid:44)max (cid:227)𝐴𝑛(cid:228)𝐵(cid:13)𝑛(cid:53)M(cid:116)(cid:153)𝐴(cid:189)(cid:40)𝐵(cid:13). 𝑘∈ 0,1,2,⋯,𝑚 𝑟𝑘 𝑖∣𝐵𝑖≤𝐴𝑘,𝑖∈{0,1,2,⋯,𝑚}
(1)(cid:45) =𝑀2, =1, =3, =1, =3, =3(cid:44)(cid:197) , , , (cid:40)(cid:108)(cid:57)
1 2 3 1 2 3 0 1 2 3
(2)(cid:45)𝑎 𝑎(cid:44)(cid:145)2𝑎 𝑏 + 𝑏 = 𝑏 (cid:44)𝑟(cid:197)𝑟 𝑟(cid:57)𝑟
1 1 +1
(3)(cid:202)𝑎(cid:216)(cid:10)≥(cid:123)𝑏(cid:75) 𝑟𝑗≤{𝑟𝑗 𝑟𝑗−1 },(cid:44)𝑗 (cid:131)1(cid:132),2,⋯>,𝑚−1>, (cid:215)𝑟𝑛(cid:229) + = + (cid:27)
𝑝,𝑞,𝑠,𝑡∈ 0,1,2,⋯,𝑚 𝑝 𝑞,𝑠 𝑡, 𝐴𝑝 𝐵𝑡 𝐴𝑞 𝐵𝑠29(cid:27)(cid:28)2022·(cid:200)(cid:201)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:48){ }(cid:59)(cid:37)(cid:38)(cid:13)(cid:39)(cid:44){ }(cid:59)(cid:37)(cid:49)(cid:13)(cid:39)(cid:44)(cid:145) = = = =1(cid:27)
1 1 2 2 3 3
(1)(cid:197){ }(cid:105){ }(cid:40)(cid:198)(cid:25)(cid:7)(cid:199)(cid:57) 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑎 𝑏 𝑎 −𝑏 𝑎 −𝑏
(2)(cid:48){𝑎𝑛}(cid:40)(cid:41)𝑏𝑛n(cid:25)(cid:42)(cid:43) (cid:44)(cid:197)(cid:202)(cid:10)( + ) = (cid:57)
+1 +1 +1 +1
𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑆𝑛 𝑏𝑛 −𝑆𝑛𝑏𝑛
(3)(cid:197) (cid:27)
+1
2=𝑛1
𝑘
𝑎𝑘 −(−1) 𝑎𝑘 𝑏𝑘
𝑘
30(cid:27)(cid:28)2022·(cid:230)(cid:231)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:13)(cid:39){ }(cid:40)(cid:133)(cid:25) = (cid:44)(cid:7)(cid:38) >1(cid:27)(cid:47){ }(cid:40)(cid:41)n(cid:25)(cid:42)(cid:43)
1
( )(cid:27) 𝑎𝑛 𝑎 −1 𝑑 𝑎𝑛 𝑆𝑛
∗
(1𝑛)(cid:45)∈𝑁 +6=0(cid:44)(cid:197) (cid:57)
4 2 3
(2)(cid:45)(cid:134)𝑆 −(cid:177)2(cid:211)𝑎(cid:143)𝑎 (cid:44)(cid:123)(cid:75)𝑆(cid:232)𝑛(cid:13) (cid:44)(cid:215) + , +4 , +15 (cid:77)(cid:37)(cid:49)(cid:13)(cid:39)(cid:44)(cid:197)d(cid:40)(cid:139)(cid:108)(cid:140)(cid:141)(cid:27)
+1 +2
∗
𝑛∈𝑁 𝑐𝑛 𝑎𝑛 𝑐𝑛𝑎𝑛 𝑐𝑛𝑎𝑛 𝑐𝑛
31(cid:27)(cid:28)2022·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36){ }(cid:43)(cid:37)(cid:38)(cid:13)(cid:39)(cid:44){ }(cid:59)(cid:7)(cid:49)(cid:43)2(cid:40)(cid:37)(cid:49)(cid:13)(cid:39)(cid:44)(cid:145) = =
2 2 3 3 4
(cid:27) 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑎 −𝑏 𝑎 −𝑏 𝑏 −
4
(𝑎1)(cid:202)(cid:216)(cid:10) = (cid:57)
1 1
(2)(cid:197)(cid:53)(cid:54)𝑎{ | 𝑏= + ,1 500}(cid:116)(cid:156)(cid:157)(cid:143)(cid:13)(cid:27)
1
𝑘 𝑏𝑘 𝑎𝑚 𝑎 ≤𝑚≤
32(cid:27)(cid:28)2022·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:47) (cid:43)(cid:13)(cid:39){ }(cid:40)(cid:41)n(cid:25)(cid:42)(cid:27)(cid:35)(cid:36) 2 + =2 +1(cid:27)
𝑆𝑛
(1)(cid:202)(cid:216)(cid:10){ }(cid:59)(cid:37)(cid:38)(cid:13)(cid:39)(cid:57) 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑛 𝑎𝑛
𝑎𝑛(2)(cid:45) , , (cid:77)(cid:37)(cid:49)(cid:13)(cid:39)(cid:44)(cid:197) (cid:40)(cid:153)(cid:188)(cid:108)(cid:27)
4 7 9
𝑎 𝑎 𝑎 𝑆𝑛
33(cid:27)(cid:28)2022·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:47) (cid:43)(cid:13)(cid:39){ }(cid:40)(cid:41)n(cid:25)(cid:42)(cid:44)(cid:35)(cid:36) =1, (cid:59)(cid:7)(cid:38)(cid:43) 1 (cid:40)(cid:37)(cid:38)(cid:13)(cid:39)(cid:27)
1 3
𝑆𝑛
(1)(cid:197){ }(cid:40)(cid:198)(cid:25)(cid:7)(cid:199)(cid:57)
𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛
𝑎𝑛 1 1 1
(2)(cid:202)(cid:216)(cid:10) + + + <2(cid:27)
1 2
𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎𝑛
