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专题21.15 一元二次方程（全章专项练习）（拓展培优篇）
【试题信息】专项练习（拓展培优篇）分为选择题10题，填空题8题，解答题6题，满
分120分.建议用时50——60分钟.
一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要
求）
1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）用配方法解方程 ，应在方程两边同时加上（ ）
A．9 B．6 C．36 D．3
2．（24-25九年级上·河北邢台·期中）若 是关于x的一元二次方程 的一个解，则
的值是（ ）
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
3．（24-25九年级上·全国·期中）如果将方程 配方成 的形式，则 的值为
（ ）
A． B．10 C．5 D．9
4．（2025·山东淄博·二模）关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
5．（2025·河南平顶山·二模）已知三角形的三边长分别为 ，则关于x的方程
的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
6．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）方程 必有一个解是（）
A． B． C． D．
7．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知关于 的一元二次方程 ，其中 在数轴上的
对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．两根之和小于0 D．两根之积大于0
8．（24-25九年级下·全国·假期作业）若 的两边长是方程 的两个根，则
的斜边长为（ ）
A．6 B． 或
C．6或 D．6或
9．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某县是我国生态环境第一县，全国各地前去旅游的人逐年增多．据
统计，2022年“五一”假期期间，该县接待游客15万人次，2024年增长至46万人次．设这两年“五
一”假期该县接待旅游人次的年平均增长率为x，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
10．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）满足 的整数 有几个（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（24-25八年级下·上海·阶段练习）方程 的根是 ．
12．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的一元二次方程 恰有一个根小
于 ，则k的取值范围为 ．
13．（2025·湖南·模拟预测）某班“课后服务”开设数学兴趣班，参与学生人数 满足方程
，则 ．
14．（2025·江苏南京·一模）在 中， ， 边上的高是10，则 的最小值为 ．
15．（2025九年级下·四川成都·专题练习）在平面直角坐标系中，对于点 ，若 ， 均为整数，则称点 为“整点”．特别地，当 时，称“整点” 为“平衡整点”．已知点 是一
个“平衡整点”，则 ．
16．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）已知 ，则
的值等于 ．
17．（2025·江苏淮安·二模）图①为淮安清晏园中的曲桥，桥身蜿蜒曲折，与周围亭台阁楼相映成趣．图
②是某景区池塘的示意图，点 与点 由 段曲桥连接，各段桥长如图所示（单位： ），桥中各弯曲处
均成直角．若 边与 边垂直， 边比 边长 ，则
18．（2025·湖北·模拟预测）代数基本定理是代数学中的一个核心定理，它指出：任何一个一元n次复系
数多项式方程在复数域内都恰好有n个根（重根按重数计算）．对于给定的方程 ，这
是一个3次方程，根据代数基本定理可知它在复数范围内有3个根．已知其中一个根为 ，请你运用
代数基本定理所蕴含的数学思想，求出该方程剩下的两个实数根 和 ，并在解题
过程中深入体会代数基本定理在求解多项式方程时所起到的重要作用．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·重庆长寿·阶段练习）解下列方程
（1） ； （2） ．20．（本小题满分8分）（2025·北京海淀·二模）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等
的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若 是一元二次方程 的解，求该方程的另一个解．
21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知 的两边 的长是关于
x的一元二次方程 的两个根，第三边 的长是10．
（1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）当n为何值时， 为等腰三角形？并求 的周长．
22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·浙江·期中）服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售
出20件，每件盈利40元，为了迎接“五•一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈
利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？
（2）平均每天销售这种服装盈利能不能达到1500元？如果能达到，请计算应该降价多少元？如果不能，
请说明为什么？
23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）阅读下列材料：把形如 的二次三
项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即
．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题．
例如：当 取何值时，代数式 有最小（或最大）值？∵ ，∴
∴当 时，代数式 有最小值 ．
【直接应用】
（1）仿照上述例子解决问题：当 取何值时，代数式 有最小（或最大）值；
【类比应用】
（2）已知 （ 为任意实数），判断 与 的大小关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成．
①请直接写出 与 的函数关系式及自变量 的取值范围；
②当 为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？
24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·安徽六安·期中）对于关于 的代数式 ，若存在实
数 ，使得当 时代数式的值也等于 ，则称 为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于 的代
数式 ，当 时，代数式等于0；当 时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不
动值”．（1）关于 的代数式 的不动值是_______．
（2）判断关于 代数式 是否有不动值，若有请求出，没有则说明理由．
（3）已知关于 的代数式 ．
①若此代数式仅有一个不动值，求 的值；
②若此代数式的不动值至少有一个是整数，求出正整数 的值．
