文档内容
第三章 概率的进一步认识
3.2 用频率估计概率
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022·重庆南开中学八年级期末）一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球有5个，这些球除颜色
外都相同．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回．大量重复试验后发现，摸到红球的
频率稳定在0.25，那么可以估算出m的值为（ ）
A．25 B．20 C．15 D．10
【答案】B
【分析】用红球的数量除以红球的频率即可．
【详解】解： （个 ，
所以可以估算出 的值为20，
故选：B．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握在大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定
位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，
这个固定的近似值就是这个事件的概率．
2．（2022·山东青岛·七年级期末）下列叙述不正确的是（ ）
A．某种彩票中奖的概率为1%，那么买100张这种彩票一定会中奖
B．掷一枚骰子，向上的一面出现的点数为4是随机事件
C．某兴趣小组14位同学中至少两人的生日在同一月份是必然事件
D．在相同条件下，试验的次数足够大时，某一随机事件发生的频率会稳定于某一数值
【答案】A
【分析】分别利用随机事件的定义以及利用频率估计概率的方法分析求出即可．
【详解】解：A.某种彩票中奖的概率为1%，那么买100张这种彩票不一定会中奖，此选项表述错误，符合
题意；
B.掷一枚骰子，向上的一面出现的点数为4是随机事件，正确，不符合题意；C.某兴趣小组14位同学中至少两人的生日在同一月份是必然事件，正确，不符合题意；
D.在相同条件下，试验的次数足够大时，某一随机事件发生的频率会稳定于某一数值，正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了随机事件以及确定时间和利用频率估计概率等知识，正确把握相关定义是解题关
键．
3．（2022·江苏无锡·八年级期中）只有颜色不同的 个红球和若干个白球装在不透明的袋子里，从袋子里
摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在 ，则袋中红球与白球
共有( )
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】根据概率的求法，找准两点： 全部情况的总数； 符合条件的情况数目；二者的比值就是其
发生的概率．
【详解】解：设袋中白球有 个，根据题意得：
，
解得： ，
经检验： 是分式方程的解，
故袋中白球有 个，共有 个球．
故选：C．
【点睛】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有 种可能，而且这些事件的可能
性相同，其中事件 出现 种结果，那么事件 的概率 是解题关键．
4．（2022·河北保定·九年级期末）在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他
完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则估计口袋中大约共有白球（
）
A．10 B．15 C．20 D．都不对
【答案】B
【分析】由摸到红球的频率稳定在0.25附近，可以得出摸到红球的概率，即可求出白球个数．
【详解】∵摸到红球的频率稳定在0.25附近，
∴摸到红球的概率为0.25，
∴总球数：5÷0.25=20（个）∴白球个数：20-5=15（个）
故答案为：B．
【点睛】本题考查了用频率估计概率、已知概率求数量，得出摸到红球的概率是本题的关键．
5．（2022·全国·九年级课时练习）一个不透明的袋子中装有除颜色外均相同的4个白球和若干个绿球，每
次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在0.2，则
摸到绿球的概率约为（ ）
A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.8
【答案】A
【分析】设袋中绿球有x个，根据经大量实验，发现摸到绿球的频率稳定在0.2,估计摸到绿球的频率为
0.2，从而确定答案．
【详解】】解：大量重复试验中，事件发生的频率可以估计概率，
∵经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在0.2，
∴摸到绿球的概率约为0.2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，
并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近
似值就是这个事件的概率．
6．（2021·陕西铜川·七年级期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘
制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小时随机出的是“剪刀”
B．袋子中有1个红球和2个黄球，从中任取一球是黄球
C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数
D．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃
【答案】C
【分析】利用折线统计图可得出试验的频率在0.5左右，进而得出答案．【详解】解：A、在“石关、剪刀、布”的游戏中，小时随机出的是“剪刀”为 ，不符合这一结果，故
此选项错误；
B、从一个装有1个红球2个黄球的袋子中任取一球，取到的是黄球的概率为： ，不符合这一结果，故此
选项错误；
C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数的概率是 =0.5，符合这一结果，故此选项
正确；
D、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为：0.25，不符合这一结果，
故此选项错误；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，正确求出各试验的概率是解题关键．
二、填空题
7．（2022·陕西安康·九年级期末）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相
同，小红通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子里黄球的个数最有可能是______．
【答案】12个##12
【分析】用球的总个数乘以摸到黄球的频率即可．
【详解】解：根据题意，袋子里黄球的个数约为 （个），
故答案为：12个．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，
并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近
似值就是这个事件的概率．
8．（2022·河北邢台·九年级期末）在一只不透明的袋子中，装有三个大小、质地都相同的乒乓球，球面上
分别标有数字1，-2，3，搅匀后先从袋中任意摸出一个球，记录球面上数字，做为点A的横坐标；然后将
球放回袋中搅匀，再从袋中任意摸出一个球，记录球面上数字，做为点A的纵坐标
（1）P（点A在第一象限）＝________．
（2）P（点A在直线y＝x上）＝________．
【答案】
【分析】先根据题意应用列表法列出所有可能的情况，再根据一次函数图像上点的坐标特征进行求解即可得出答案．
【详解】解：根据题意两次摸出乒乓球，可用下表列举出所有可能的情况，
由表可看出所有的结果有9种，这些结果出现的可能性相等，
（1）点A在第一象限共有4种，即（1，1），（3，1）（1，3），（3，3），
所以P（点A在第一象限）= ．
故答案为： ；
（2）点A在直线y=x上有3种，即（1，1），（-2，-2），（3，3），
所有P（点A在直线y=x上）= ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率的计算方法进行求解是解决本题的关键．
9．（2022·辽宁大连·九年级期末）某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如下表：
射击总次数n 10 100 200 500 1000
击中靶心次数m 9 86 168 426 849
击中靶心频率m/n 0.9 0.86 0.84 0.852 0.849
则这名运动员在此条件下击中靶心的概率大约是__________（精确到0.01）．
【答案】0.85
【分析】根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率．
【详解】解：由击中靶心频率m/n分别为：0.9、0.86、0.84、0.852、0.849，可知随着射击次数的增多,频率
都在0.85上下波动，
所以这名运动员在此条件下击中靶心的概率大约是0.85，
故答案为：0.85．【点睛】本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是求出每一次事件的频率，然后即可估计概率
解决问题．
10．（2022·江苏扬州·八年级期末）一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同．
将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据：
摸球的个数n 200 300 400 500 1000 1500 2000
摸到白球的个数m 116 192 232 298 590 906 1202
摸到白球的频率
0.580 0.640 0.580 0.596 0.590 0.604 0.601
根据以上数据，估计摸到白球的概率约为_________（精确到0.01）．
【答案】0.60
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这
个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】解：根据表格可知，摸到白球的频率在0.600左右摆动，
所以根据以上数据估计，摸到白球的概率约为0.60．
故答案为：0.60．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估
计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
三、解答题
11．（2022·江苏南京·八年级期末）在一个不透明的袋中装有若干个相同的白球，为了估计袋中白球的数
量，某数学学习小组进行了摸球试验：先将12个相同的黑球装入袋中，且这些黑球与白球除颜色外无其他
差别，搅匀后从袋中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复．如表是这次摸球试验获得的统
计数据：
摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500
摸到黑球的频
64 123 a 367 486 600
数
摸到黑球的频
0.427 0.410 0.415 0.408 0.405 b
率
(1)表中的a＝____；b＝____；(2)从袋中随机摸出一个球是黑球的概率的估计值是___；（精确到0.1）
(3)袋中白球个数的估计值为____．
【答案】(1)249、0.4##
(2)0.4##
(3)18
【分析】（1）根据频率=频数÷样本总数分别求得a、b的值即可；
（2）从表中的统计数据可知，摸到黑球的频率稳定在0.4左右；
（3）摸到黑球的概率为0.4，根据黑球的概率公式得到相应方程求解即可．
（1）
解：由表可得a=600×0.415=249，b=600÷1500=0.4，
故答案为：249，0.4；
（2）
解：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.4，据此可估计摸到黑球的概率是0.4；
故答案为：0.4；
（3）
解：设白球有x个，
根据题意得： ，
解得x=18，
经检验：x=18是分式方程的解，
∴估算这个不透明的口袋中白球有18个．
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=
所求情况数与总情况数之比．组成整体的几部分的概率之和为1．
12．（2022·江苏连云港·八年级期中）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球若干个，这些球除颜色
外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图根据统
计图提供的信息解决下列问题：(1)摸到黑球的频率会接近 （精确到0.1）；
(2)若袋子中白球有4个，
①估算一下袋中两种颜色球共有 个；
②若小明又将a个相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，
摸出黑球的概率估计值是多少？（用含a的式子表示）．
【答案】(1)0.5
(2)①8；②
【分析】（1）根据统计图找到摸到黑球的频率稳定到的常数即可求解；
（2）①摸到黑球的频率接近0.5知摸到白球的频率约为0.5，用白球个数除以其对应频率可得球的总个数
的估计值．
（1）
摸到黑球的频率会接近0.5，
故答案为：0.5．
（2）
①∵摸到黑球的频率接近0.5，
∴白球的频率约为0.5，
则估算袋中两种颜色球共有4÷0.5=8（个）；
故答案为：8．②小明又将a个相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，则袋中球的总个数约为（a+8）个，其中黑球的
个数为（a+4）个，
当重复大量试验后，摸出黑球的概率估计值是 ．
【点睛】本题主要考查概率公式和频率估计概率，熟练掌握概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之
比是解题的关键．
提升篇
一、填空题
1．（2022·辽宁沈阳·二模）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何
区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的
频率是0.3，摸到红球的频率是 _____，则估计盒子中大约有红球 _____个．
【答案】 0.7 14
【分析】根据频率之和为1，以及在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率
附近，列出方程求解，即可．
【详解】解：摸到黄球的频率是0.3，摸到红球的频率是 ，
设有红球x个，
根据题意得： ，
解得：x＝14，
经检验，x＝14是原方程的解．
故答案是：0.7，14．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关
键是根据黄球的频率得到相应的等量关系．
2．（2021·宁夏固原·二模）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其
它完全相同．小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在20%和45%，则口袋中白
色球的个数很可能是________．
【答案】14
【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数．
【详解】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在20%和45%，∴摸到白球的频率为1-20%-45%=35%，
故口袋中白色球的个数可能是40×35%=14个．
故答案为：14．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，具体数目应等于总数乘部分所占总体的比值．
3．（2022·江苏扬州·八年级期中）已知数据： ， ，π， ，0，其中无理数出现的频率为_____．
【答案】 ．
【分析】把每个数据进行化简，对最简结果进行有理数，无理数的甄别，后根据频率意义计算即可．
【详解】∵ =2，
∴ ， ，0是有理数， ，π是无理数，
∴无理数出现的频率为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了频率的意义，熟练掌握频率的数学意义是解题的关键．
4．（2022·北京东城·九年级期末）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有
20个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，
再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的
关系图象，如图所示，经分析可以推断“摸出黑球”的概率约为_______．
【答案】
【分析】根据“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，即可得出“摸出黑球”的概率．
【详解】解：由图可知，摸出黑球的概率约为0.2，故答案为：0.2．
【点睛】本题主要考查用频率估计概率，需要注意的是试验次数要足够大，次数太少时不能估计概率．
5．（2022·浙江·九年级专题练习）对一批口罩进行抽检，统计合格口罩的只数，得到合格口罩的频率如下：
抽取只数（只） 50 100 150 500 1000 2000 10000 50000
合格频率 0.82 0.83 0.82 0.83 0.84 0.84 0.84 0.84
估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为_____．
【答案】0.84
【分析】观察表格合格的频率趋近于0.84，从而由此得到口罩合格的概率即可．
【详解】解：∵随着抽样的增大，合格的频率趋近于0.84，
∴估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为0.84．
故答案为：0.84．
【点睛】本题考查了用频率估计概率，解题关键是熟练运用频率估计概率解决问题．
二、解答题
6．（2022·江苏镇江·八年级期中）一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除了颜色之外没
有其他任何区别，将袋中的球充分摇匀，闭眼从口袋中摸出一个球，经过很多次实验发现摸到黑球的频率
逐渐稳定在 ．
(1)估计摸到黑球的概率是_______；
(2)如果袋中原有黑球15个，估计原口袋中共有几个球？
(3)在（2）的条件下，又放入 个黑球，再经很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在 ，估计 的值．
【答案】(1)
(2)估计原口袋中共有40个球
(3)估计 的值为60
【分析】（1）利用频率估计概率即可得出答案；
（2）设原口袋中有m个球，根据题意得 ，解之即可得出答案；
（3）根据题意得 ，解之即可得出答案．（1）
解：∵经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在 ，
∴估计摸到黑球的概率是 ．
故答案为： ．
（2）
设原口袋中有m个球，根据题意得：
，
解得：m＝40，
经检验m＝40是分式方程的解，且符合题意，
答：袋中原有40个球．
（3）
解：根据题意得： ，
解得：n＝60，
经检验n＝60是分式方程的解，且符合题意，
∴n＝60．
答：估计 的值为60．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，
并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势，估计概率，这个固定的近
似值就是这个事件的概率．
7．（2022·江苏常州·八年级期中）某批乒乓球的质量检验结果如下：
抽取的乒乓球数n 50 100 200 500 1000 1500 2000
优等品的频数m 48 95 188 471 946 1426 1898
0.960 0.950 ______ 0.942 0.946 0.951 ______
优等品的频率 （精确到0.001）
(1)填写完成表格中的空格；
(2)画出该批乒乓球优等品频率的折线统计图；(3)从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是优等品的概率的估计值是___________（精确到0.01）
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)0.95
【分析】（1）用频数除以对应的乒乓球数即可得；
（2）用横轴表示乒乓球数，纵轴表示频率，再结合表格描点，连线即可得；
（3）由折线统计图最后趋于0.95可得答案．
（1）
解：补全表格如下：
抽取的乒乓球数n 50 100 200 500 1000 1500 2000
优等品的频数m 48 95 188 471 946 1426 1898
优等品的频率 0.960 0.950 0.940 0.942 0.946 0.951 0.949
（精确到0.001）
（2）
解：折线图如下：
（3）
解：从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是优等品的概率的估计值是0.95．
故答案为：0.95；
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似
值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．也考查了
频率分布折线图．
8．（2022·江苏泰州·八年级期中）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共40只，这些球除颜色外
都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统
计图提供的信息解决下列问题：
(1)估计袋中黑球的个数为 只；
(2)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，
发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了多少个黑球？
【答案】(1)20
(2)10
【分析】（1）根据大量重复试验中事件发生的频率稳定到的常数即为摸到黑球的概率，根据概率的计算
公式即可得出答案；
（2）设向袋子中放入x个黑球，根据摸到黑球最终稳定的频率即为概率的估计值，列出方程求解可得．
（1）
观察发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定在常数0.5附近，因此摸到黑球的概率为0.5，估计袋中黑球
的个数为 只，
故答案为：20；
（2）
设放入黑球x个，根据题意得：
，
解得 ，
经检验， 是原方程的根且符合题意，
∴小明后来放进了10个黑球．【点睛】本题主要考查概率公式和频率估计概率，熟练掌握概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之
比是解题的关键．
