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5.1 认识分式
课堂知识梳理
A A
1.整式A除以整式B,可以表示成B 的形式.如果除式B中含有字母,那么称B 为
分式。
分式有意义的条件：分母都不能为零.
分式值为0的条件：分子为0，分母不为0
{整式
有理式
分式
2. 整式和分式统称为有理式,即有:
3.分数的基本性质:
分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.
A A×M A A÷M
= , = (M≠0)
B B×M B B÷M
4. 一个分式的分子、分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子、分母
同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分.
5. 分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.
课后培优练
级练
培优第一阶——基础过关练
x+ y 3b 1 x+ y 3+ y
1．下列各式中： ，− ， ， ， ，分式的个数为（ ）
2 a x+ y 2 π
A．5 B．4. C．3 D．2
5
2．代数式 有意义时，x应满足的条件为（ ）
√x+1
A．x>−1 B．x≥−1 C．x<−1 D．x≠−1
3x
3．如果分式 中的x=2，y=1，那么这个分式的值（ ）
x−y
A．3 B．4 C．5 D．6
2−x
4．对于分式 ，下列说法错误的是（ ）
2x−6
1A．当x=2时，分式的值为0 B．当x=3时，分式无意义
8
C．当x>2时，分式的值为正数 D．当x= 时，分式的值为1
3
3mn
5．把分式 中的m、n都扩大到原来的8倍，那么此分式的值（ ）
m+n
1
A．扩大到原来的8倍B．扩大到原来的4倍 C．是原来的 D．不变
8
6．下列分式从左到右变形错误的是（ ）
c 1 3 3+b 1 1
A． = B． = C． =− D．
5c 5 4a 4a+b a−b b−a
a2−4 a−2
=
a2+4a+4 a+2
−x
7．分式 可化简为（ ）
x2−xy
1 1 1 1
A． B．− C． D．
y−x x+ y x+ y x−y
8．下列说法错误的是（ ）
x+1
A．若式子 有意义，则x的取值范围是x≠−1或x≠1
x2−1
x+ y
B．分式 中的x、y都扩大原来的2倍，那么分式的值不变
x
x+2
C．分式 的值不可能等于0
|x|−2
3
D．若 表示一个整数，则整数x可取值的个数是4个
x+1
x+1 |x|−2
9．若分式 在实数范围内有意义，则x___．若分式 的值为0，则x=_____．
x+2 2−x
√x
10．代数式 有意义时，x应满足的条件为______．
x−1
3−|a|
11．当a=__时，分式 的值为零．
6+2a
b a+b m+2n
12．给出下列3个分式：① ，② ，③ ．其中是最简分式有______（填
2a a2+b2 m2−4n2
写出所有符合要求的分式的序号）．
6x−5 y
13．若3x=|4 y|且xy≠0，则 的值等于______．
3x−2y
14．约分：
224ab3 (a−2b) 2
(1) (2)
4ab2 a2−4b2
15．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数．
1 1
x+ y
0.2x+1 2 4
(1) (2) ．
5−0.3x 1 1
x− y
2 3
√x+2y+|x2−4|
16．已知 =0，求2x+ y的值．
x−2
培优第二阶——拓展培优练
x 1 x4−x2+1
17．已知 = ，则 =______．
x2+1 3 x2
18．观察下列各式：
12+22+32 22+32+52
① =2， ② =2，
12+22+2 22+32+6
32+42+72 42+52+92
③ =2， ④ =2，
32+42+12 42+52+20
…… ……；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明.
x y z x2−y2+2z2
19．已知 = = ≠0，求 的值．
2 3 4 xy+ yz+xz
320．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而
8 6+2 2 2
假分数都可以化为带分数，如： = =2+ =2 ．我们定义：在分式中，对于只含有
3 3 3 3
一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分
x−1 x2
子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． , ，这样的分式就是假
x+1 x−1
3 2x
分式；再如： , 这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：
x+1 x2+1
x−1 (x+1)−2 2
整式与真分式的和的形式），如： = =1− ；
x+1 x+1 x+1
解决下列问题：
1
(1)分式 是________________（填“真分式”或“假分式”）；
3x2
4a+1 4a+1
(2)将假分式 化为整式与真分式的和的形式： =____________；
2a−1 2a−1
4a+1
(3)若假分式 的值为正整数，则整数a的值为________________；
2a−1
x2−2x−1
(4)将假分式 化为带分式（写出完整过程）．
x−1
3 1
21．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： =1+ ．在分式中，
2 2
对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，
4 x+1
如： ， ，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们
x+1 x2
x+2 x2−1
称之为“假分式”，如： ， ，这样的分式就是假分式．类似地，假分式也可以
x−1 2x+1
x+2 (x−1)+3 x−1 3 3
化为整式与真分式的和的形式，如： = = + =1+ ；
x−1 x−1 x−1 x−1 x−1
4x2 (x2−4)+4 (x+2)(x−2) 4 4
= = + =x+2+ ．
x−2 x−2 x−2 x−2 x−2
x2
(1)分式 是 分式（填“真”或“假”）；
2x
3x+1 x2+3
(2)将假分式 、 分别化为整式与真分式的和的形式；
x−1 x+2
2x2−1
(3)如果分式 的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值．
x−1
培优第三阶——中考沙场点兵
1
22．（2022·广东广州·统考中考真题）代数式 有意义时，x应满足的条件为（ ）
√x+1
A．x≠−1 B．x>−1 C．x<−1 D．x≤-1
2 1 2 2 1 x+1
23．（2022·湖南怀化·统考中考真题）代数式 x， ， ，x2﹣ ， ， 中，属于
5 π x2+4 3 x x+2
分式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
1
24．（2021·山东淄博·统考中考真题）若分式 有意义，则x的取值范围是_____．
3−x
2x
25．（2022·广西·统考中考真题）当x=______时，分式 的值为零．
x+2
a+1
26．（2022·浙江湖州·统考中考真题）当a＝1时，分式 的值是______．
a
5
