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第五章 分式与分式方程
5.1 认识分式
基础篇
一、单选题
1．（2023春·重庆万州·九年级重庆市万州第一中学校联考期中）在代数式 ， ， ， ，
， 中，是分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式，据此逐个判
断即可．
【详解】解：根据分式定义，所给代数式中是分式的有 ， ， ，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查分式的定义，理解分式的定义是解答的关键．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）若 ，则下列分式化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可得到答案．
【详解】 已是最简分式，无法约分化简，
A选项错误；
已是最简分式，无法约分化简，
B选项错误；
可以分子分母同除以5，得到 ，C选项正确；
已是最简分式，无法约分化简，
D选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
3．（2023春·福建泉州·八年级晋江市第一中学校联考期中）如果分式 在实数范围内有意义，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C．全体实数 D．
【答案】D
【分析】根据分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：∵分式 在实数范围内有意义，
∴ ，
∴ ．
故选D．
【点睛】本题考查分式有意义的条件．掌握分式的分母不能为0是解题关键．
4．（2022秋·八年级校考单元测试）对于x取任何实数都有意义的分式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可．
【详解】解：A、∵ ，∴分式 对于x取任何实数都有意义，符合题意；
B、当 时， ，则分式 此时无意义，不符合题意；
C、当 时， ，则分式 此时无意义，不符合题意；
D、当 时， ，则分式 此时无意义，不符合题意；故选A．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．
5．（2023·贵州黔南·统考一模）分式 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】据分式的值为 的条件，即可求解．
【详解】解： 分式 ，
且 ，
解得： ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式值为零的条件，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零
且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
6．（2023春·湖南衡阳·八年级衡阳市华新实验中学校考阶段练习）如果把分式 中 、 都扩大为原
来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大2倍 B．扩大4倍 C．缩小2倍 D．不变
【答案】D
【分析】将原式中的 、 分别用 、 代替，化简，再与原分式进行比较．
【详解】解： 把分式 中的 与 同时扩大为原来的 倍，
原式变为： ，
这个分式的值不变．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变
化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
二、填空题
7．（2023秋·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）关于分式 的说法：①当 取 时，
这个分式有意义，则 ．②当 时，分式的值一定为零．③若这个分式的值为零，则 ．④当取任何值时，分式有意义，则 ．其中正确的有________．（填序号）
【答案】①③④
【分析】根据分式的定义，性质，化简方法即可求解．
【详解】解：①当 取 时，这个分式有意义，指的是分母不能为零，则 ，故符合题意；
②当 时，分式的值一定为零，若 ，则分式无意义，故不符合题意；
③若这个分式的值为零，则 ，且分母不能为零，则 ，符合题意；
④当 取任何值时，分式有意义，则 ，则 ，故符合题意；
综上所述，正确的有①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查分式的基础知识，掌握分式的定义，分式的性质，方程的知识是解题的关键．
8．（2023春·山西临汾·八年级校联考阶段练习）马头关黄河大桥，连接山西大宁县和陕西延长县，桥梁全
长 米，桥宽 米（其中 ），马头关黄河大桥的全长是桥宽的_________倍（用含 的
代数式表示）．
【答案】
【分析】用长比上宽，然后化简即可．
【详解】解：依题意得：
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的约分，平方差公式即提公因式法因式分解；解题的关键是运用平方差公式和提
公因式法分别对分子分母因式分解．9．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）若分式 在实数范围内有意义，则x___．若分式
的值为0，则 _____．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案；根据分式的值为零的条件：分子等于0且
分母不等于0即可得出答案．
【详解】解：若分式 在实数范围内有意义，则 ，解得 ；
若分式 的值为0，则 ，解得 ．
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件以及分式的值为零的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0
是解题的关键．
10．（2023春·广东广州·九年级广州市第六十五中学校考阶段练习）代数式 有意义时， 应满足的条
件为______．
【答案】 且
【分析】根据二次根式有意义时被开方数为非负数，分式有意义时分母不为零可求解x的取值范围．
【详解】解：由题意得 ，
解得： 且 ．
故答案为： 且 ．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，根据二次根式及分式有意义的条件求
解是解题的关键．
三、解答题
11．（2022秋·山东泰安·八年级校考阶段练习）约分：
(1)(2)
(3)
(4)
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【分析】（1）公因式为 ，再约分即可；
（2）公因式为 ，再约分即可；
（3）公因式为 ，再约分即可；
（4）公因式为 ，再约分即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ；
（4）解：
【点睛】本题考查约分，掌握分式的基本性质，正确计算是解题的关键．
12．（2021春·八年级课时练习）水果店购进一箱橘子需要a元，已知橘子与箱子的总质量为 ，箱子的质量为 ，为了不亏本，这箱橘子的零售价至少应定为每千克多少元？
【答案】这箱橘子的零售价至少定为每千克 元．
【分析】根据题意，可以列出相应的不等式，从而可以求得零售价的取值范围，本题得以解决．
【详解】解：设这箱橘子的零售价定为x元，
（m-n）x≥a，
解得，x≥ ，
答：这箱橘子的零售价至少定为每千克 元．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式，求出零售
价的最小值．
提升篇
一、填空题
1．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）若 ，则 的值为______．
【答案】0或2/2或0
【分析】分 和 两种情况求解即可．
【详解】解：当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
∴ 的值0或2．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝
对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数．分类讨论是解答本题的关键．
2．（2023春·重庆万州·九年级重庆市万州第一中学校联考期中）已知 ，则 ______．
【答案】6
【分析】由 得 ，从而可得 ，再整体代入后面的分式化简即可．【详解】解：∵
∴
∴
∴
故答案为：6
【点睛】本题考查了分式的值，掌握整体代入思想的运用是解题的关键．
3．（2023春·福建厦门·九年级厦门双十中学校考期中）已知非零实数x、y满足 ，则
的值等于______．
【答案】
【分析】将 通过变形得到 ，将变式代入 ，即可解答．
【详解】解：根据 ，可得 ，即 ，
，
将 代入 ，得： ．
故答案为： ．【点睛】本题考查了分式得值，根据已知条件得到 是解题的关键．
4．（2023春·江苏·八年级专题练习）若 ，则 _______．
【答案】
【分析】直接利用已知进而变形得出a，b的关系．
【详解】解：∵
则
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了分式的性质，正确将已知变形是解题关键．
5．（2023春·河北衡水·九年级校考阶段练习）某市为进一步加快文明城市的建设，园林局尝试种植A、B
两种树种．经过试种后发现，种植A种树苗a棵，种下后成活了 棵，种植B种树苗b棵，种下后
成活了 棵．则两种树苗的总的成活率为___________（用分子和分母各项系数都为整数的分数表示）；
第一阶段两种树苗共种植了40棵，且两种树苗的成活棵数相同，则种植A种树苗___________棵．第二阶
段，该园林局又种植A种树苗m棵，B种树苗n棵，若 ，在第一阶段的基础上进行统计，则这两个
阶段种植A种树苗成活棵数___________种植B种树苗成活棵数（填“>”“<”或“=”）．
【答案】
【分析】总的成活率将成活数除总数即可；
用未知数表示A和B的棵树然后列方程求解即可；
将成活率分别表示出来比较大小即可．
【详解】总的成活率为 ；
第一阶段：设A种植了x棵，则B种植了 棵，
即可得： ，解得 ；第二阶段： ，则种植A种树苗 棵，B种树苗n棵，
A种树苗成活 （棵），B种树苗 棵，
所以种植A种树苗成活棵数： ，
种植B种树苗成活棵数： ，
因为 ，
则这两个阶段种植A种树苗成活棵数 种植B种树苗成活棵数；
故答案为： ， ， ．
【点睛】此题考查分式的应用，解题关键是先读懂题意，然后找准数量关系列方程计算．
二、解答题
6．（2023春·安徽·八年级淮北一中校联考阶段练习）已知 ，求 的值．
【答案】
【分析】根据使分式值为零的条件并结合非负数的性质列出方程求出 ， 的值，代入所求代数式计算即
可．
【详解】解： ，
∴ ，
，
解得： ， ，
．
【点睛】本题主要考查的是算术平方根，绝对值的非负性，分式值为零及分式有意义的条件，求代数式的
值，解题的关键是根据题意求出 ， 的值．
7．（2023·全国·九年级专题练习）已知 ，求 的值．【答案】
【分析】设 ，得到 ，代入分式求值即可．
【详解】解：设 ，则 ．
∴
．
【点睛】本题考查分式求值．熟练掌握设参法，是解题的关键．
8．（2022春·广东河源·八年级校考期末）已知 ，且 为奇数，求 的值．
【答案】
【分析】由二次根式的非负性可确定 的取值范围，再根据 为奇数可确定 的值，然后对原式先化简再
代入求值．
【详解】解：由分式和二次根式有意义的条件，可得 ，
解得 ，且 为奇数，
∴ ，
∴原式．
【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件、二次根式的化简求值等知识，解答本题的关键是
根据x的取值范围，确定x的值，然后代入求解．
