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5.1 认识分式
课堂知识梳理
A A
1.整式A除以整式B,可以表示成B 的形式.如果除式B中含有字母,那么称B 为
分式。
分式有意义的条件：分母都不能为零.
分式值为0的条件：分子为0，分母不为0
{整式
有理式
分式
2. 整式和分式统称为有理式,即有:
3.分数的基本性质:
分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.
A A×M A A÷M
= , = (M≠0)
B B×M B B÷M
4. 一个分式的分子、分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子、分母
同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分.
5. 分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.
课后培优练
级练
培优第一阶——基础过关练
x+ y 3b 1 x+ y 3+ y
1．下列各式中： ，− ， ， ， ，分式的个数为（ ）
2 a x+ y 2 π
A．5 B．4. C．3 D．2
【答案】D
3b 1
【详解】解：由分式的定义判断，仅有− ， 属于分式，其余各项均不满足分式的
a x+ y
定义，
故选：D．
5
2．代数式 有意义时，x应满足的条件为（ ）
√x+1
A．x>−1 B．x≥−1 C．x<−1 D．x≠−1
1【答案】A
5
【详解】解：∵代数式 有意义，
√x+1
∴¿，
∴x>−1，
故选A．
3x
3．如果分式 中的x=2，y=1，那么这个分式的值（ ）
x−y
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【详解】解：∵x=2，y=1，
3x 6
∴ = =6．
x−y 2−1
故选：D．
2−x
4．对于分式 ，下列说法错误的是（ ）
2x−6
A．当x=2时，分式的值为0 B．当x=3时，分式无意义
8
C．当x>2时，分式的值为正数 D．当x= 时，分式的值为1
3
【答案】C
2−x
【详解】解：A．当x=2时，2−x=0，2x−6=−2≠0，分式 的值为0，故此项选
2x−6
项不符合题意；
2−x
B．当x=3时，2x−6=0，分式 无意义，故此选项不符合题意；
2x−6
2−x
C 当x>2时，当x=3时，2x−6=0，分式 无意义，故此选项符合题意；
2x−6
8 2
2− −
8 2−x 3 3
D．当x= 时， = = =1，故此选项不符合题意．
3 2x−6 8 2
2× −6 −
3 3
故选：C．
3mn
5．把分式 中的m、n都扩大到原来的8倍，那么此分式的值（ ）
m+n
1
A．扩大到原来的8倍B．扩大到原来的4倍 C．是原来的 D．不变
8
【答案】A
【详解】解：m、n都扩大到原来的8倍时，原分式变为：
23×8m×8n 64×3mn 3mn
= =8×
，
8m+8n 8(m+n) m+n
可知此分式的值扩大到原来的8倍．
故选A．
6．下列分式从左到右变形错误的是（ ）
c 1 3 3+b 1 1
A． = B． = C． =− D．
5c 5 4a 4a+b a−b b−a
a2−4 a−2
=
a2+4a+4 a+2
【答案】B
c 1
【详解】解：A、 = ，故A不符合题意；
5c 5
3 3+b
B、 ≠ ，故B符合题意；
4a 4a+b
1 1
C、 =− ，故C不符合题意；
a−b b−a
a2−4 (a+2)(a−2) a−2
D、 = = ，故D不符合题意；
a2+4a+4 (a+2) 2 a+2
故选B．
−x
7．分式 可化简为（ ）
x2−xy
1 1 1 1
A． B．− C． D．
y−x x+ y x+ y x−y
【答案】A
−x
【详解】解：
x2−xy
−x
=
x(x−y)
1
=
y−x
故先：A．
8．下列说法错误的是（ ）
x+1
A．若式子 有意义，则x的取值范围是x≠−1或x≠1
x2−1
x+ y
B．分式 中的x、y都扩大原来的2倍，那么分式的值不变
x
x+2
C．分式 的值不可能等于0
|x|−2
33
D．若 表示一个整数，则整数x可取值的个数是4个
x+1
【答案】A
x+1
【详解】A. 若式子 有意义，则x的取值范围是x≠−1且x≠1，故原选项不正确，符
x2−1
合题意；
x+ y 2x+2y 2(x+ y) x+ y
B. 分式 中的x、y都扩大原来的2倍， = = ，所以分式的值不
x 2x 2x x
变，故原选项正确，不符合题意；
x+2
C. 分式 ，当x+2=0且|x−2|≠0时，此分式的值不等于0，此时x无解，所以分式
|x|−2
x+2
的值不可能等于0，故原选项正确，不符合题意；
|x|−2
3
D. 若 表示一个整数，则整数x可取值是−4、−2、0、2，共有4个，故原选项正
x+1
确，不符合题意；
故选：A
x+1 |x|−2
9．若分式 在实数范围内有意义，则x___．若分式 的值为0，则x=_____．
x+2 2−x
【答案】 ≠−2 −2
x+1
【详解】解：若分式 在实数范围内有意义，则x+2≠0，解得x≠−2；
x+2
|x|−2
若分式 的值为0，则¿，解得x=−2．
2−x
故答案为：≠−2；−2．
√x
10．代数式 有意义时，x应满足的条件为______．
x−1
【答案】x≥0且x≠1
【详解】解：由题意得¿，
解得：x≥0且x≠1．
故答案为：x≥0且x≠1．
3−|a|
11．当a=__时，分式 的值为零．
6+2a
【答案】3
3−|a|
【详解】解：由分式 的值为零，得3−|a|=0，
6+2a
且6+2a≠0，解得a=3．
43−|a|
所以当a=3时，分式 的值为零．
6+2a
故答案为：3．
b a+b m+2n
12．给出下列3个分式：① ，② ，③ ．其中是最简分式有______（填
2a a2+b2 m2−4n2
写出所有符合要求的分式的序号）．
【答案】 /
b
①②②①
【详解】解：① 是最简分式，
2a
a+b
② 是最简分式，
a2+b2
m+2n m+2n 1
= =
③ ，原分式不是最简分式，
m2−4n2 (m+2n)(m−2n) m−2n
故答案为：①②．
6x−5 y
13．若3x=|4 y|且xy≠0，则 的值等于______．
3x−2y
3 13
【答案】 或
2 6
【详解】解：∵3x=|4 y|，
4
∴x=± y，
3
4
6× y−5 y
4 3 8 y−5 y 3 y 3
当x= y时， = = = ，
3 4 4 y−2y 2y 2
3× y−2y
3
( 4 )
6× − y −5 y
4 3 −8 y−5 y −13 y 13
当x=− y时， = = = ，
3 ( 4 ) −4 y−2y −6 y 6
3× − y −2y
3
3 13
故答案为： 或 ．
2 6
14．约分：
24ab3 (a−2b) 2
(1) (2)
4ab2 a2−4b2
【答案】(1)6b
a−2b
(2)
a+2b
24ab3
【详解】（1）解： =6b；
4ab2
5(a−2b) 2 (a−2b) 2 a−2b
（2）解： = = ．
a2−4b2 (a+2b)(a−2b) a+2b
15．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数．
0.2x+1
(1)
5−0.3x
1 1
x+ y
2 4
(2) ．
1 1
x− y
2 3
2x+10 6x+3 y
【答案】(1) (2)
50−3x 6x−4 y
0.2x+1
【详解】（1）解：
5−0.3x
10×(0.2x+1)
= ；
10×(5−0.3x)
2x+10
=
50−3x
1 1
x+ y
2 4
（2）解：
1 1
x− y
2 3
(1 1 )
x+ y ×12
2 4
=
(1 1 )
x− y ×12
2 3
1 1
12× x+12× y
2 4
=
1 1
12× x−12× y
2 3
6x+3 y
=
6x−4 y
√x+2y+|x2−4|
16．已知 =0，求2x+ y的值．
x−2
【答案】−3
√x+2y+|x2−4|
【详解】解：∵ =0，
x−2
∴√x+2y+|x2−4|=0,x−2≠0，
∴ ¿，
解得：x=−2，y=1，
6∴ 2x+ y=2×(−2)+1=−3．
培优第二阶——拓展培优练
x 1 x4−x2+1
17．已知 = ，则 =______．
x2+1 3 x2
【答案】6
x 1
=
【详解】解：∵
x2+1 3
∴3x=x2+1
∴x2=3x−1
x4−x2+1
∴
x2
(3x−1) 2−(3x−1)+1
=
3x−1
9x2−6x+1−3x+1+1
=
3x−1
9x2−9x+3
=
3x−1
9(3x−1)−9x+3
=
3x−1
18x−6
=
3x−1
6(3x−1)
=
3x−1
=6
故答案为：6
18．观察下列各式：
12+22+32 22+32+52
① =2， ② =2，
12+22+2 22+32+6
32+42+72 42+52+92
③ =2， ④ =2，
32+42+12 42+52+20
…… ……；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明.
762+72+132
【答案】(1) =2
62+72+42
n2+(n+1) 2+(2n+1) 2
(2) =2；证明见解析
n2+(n+1) 2+n(n+1)
62+72+132
【详解】（1）解：第6个等式为 =2；
62+72+42
62+72+132
故答案为： =2．
62+72+42
n2+(n+1) 2+(2n+1) 2
（2）解：第n个等式为 =2，
n2+(n+1) 2+n(n+1)
n2+n2+2n+1+4n2+4n+1
左边=
n2+n2+2n+1+n2+n
6n2+6n+2
=
3n2+3n+1
2(3n2+3n+1)
=
3n2+3n+1
=2=右边．
n2+(n+1) 2+(2n+1) 2
故答案为： =2．
n2+(n+1) 2+n(n+1)
x y z x2−y2+2z2
19．已知 = = ≠0，求 的值．
2 3 4 xy+ yz+xz
27
【答案】
26
x y z
【详解】解：设 = = =k≠0，则x=2k,y=3k,z=4k．
2 3 4
x2−y2+2z2 (2k) 2−(3k) 2+2(4k) 2
∴ =
xy+ yz+xz 2k⋅3k+3k⋅4k+2k⋅4k
27k2
=
26k2
27
= ．
26
20．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而
8 6+2 2 2
假分数都可以化为带分数，如： = =2+ =2 ．我们定义：在分式中，对于只含有
3 3 3 3
一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分
x−1 x2
子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． , ，这样的分式就是假
x+1 x−1
83 2x
分式；再如： , 这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：
x+1 x2+1
x−1 (x+1)−2 2
整式与真分式的和的形式），如： = =1− ；
x+1 x+1 x+1
解决下列问题：
1
(1)分式 是________________（填“真分式”或“假分式”）；
3x2
4a+1 4a+1
(2)将假分式 化为整式与真分式的和的形式： =____________；
2a−1 2a−1
4a+1
(3)若假分式 的值为正整数，则整数a的值为________________；
2a−1
x2−2x−1
(4)将假分式 化为带分式（写出完整过程）．
x−1
【答案】(1)真分式
3
(2)2+
2a−1
(3)1，0，2，−1
2
(4)x−1−
x−1
【详解】（1）解：由题意得：
1
分式 是真分式，
3x2
故答案为：真分式；
（2）解：根据题意可得：
4a+1 4a−2+3 2(2a−1)+3 3
= = =2+ ，
2a−1 2a−1 2a−1 2a−1
3
故答案为：2+ ；
2a−1
4a+1 3
（3）解：由（2）可得： =2+ ，
2a−1 2a−1
3
当2+ 为正整数时，
2a−1
2a−1=±1或±3，
∴a=1，0，2，−1，
故答案为：1，0，2，−1；
（4）解：根据题意可得：
x2−2x−1 (x−1) 2−2 2
= =x−1− ．
x−1 x−1 x−1
93 1
21．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： =1+ ．在分式中，
2 2
对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，
4 x+1
如： ， ，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们
x+1 x2
x+2 x2−1
称之为“假分式”，如： ， ，这样的分式就是假分式．类似地，假分式也可以
x−1 2x+1
x+2 (x−1)+3 x−1 3 3
化为整式与真分式的和的形式，如： = = + =1+ ；
x−1 x−1 x−1 x−1 x−1
x2 (x2−4)+4 (x+2)(x−2) 4 4
= = + =x+2+ ．
x−2 x−2 x−2 x−2 x−2
x2
(1)分式 是 分式（填“真”或“假”）；
2x
3x+1 x2+3
(2)将假分式 、 分别化为整式与真分式的和的形式；
x−1 x+2
2x2−1
(3)如果分式 的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值．
x−1
【答案】(1)假
4 7
(2)3+ ，x−2+
x−1 x+2
2x2−1
(3)当x＝2或0时，分式 的值为整数
x−1
【详解】（1）解：∵分子的次数大于分母的次数，
x2
∴分式 是假分式，
2x
故答案为：假；
3x+1
（2）解：
x−1
3x−3+4
=
x−1
4
=3+ ，
x−1
x2+3
x+2
x2−4+7
=
x+2
(x+2)(x−2)+7
=
x+2
107
=x−2+ ；
x+2
2x2−1
（3）解：
x−1
2x2−2+1
=
x−1
2(x+1)(x−1)+1
=
x−1
1
＝2(x+1)+ ，
x−1
∵分式的值为整数，x为整数，
∴x﹣1＝1或x﹣1＝﹣1，
解得x=2或x=0，
2x2−1
∴当x＝2或0时，分式 的值为整数．
x−1
培优第三阶——中考沙场点兵
1
22．（2022·广东广州·统考中考真题）代数式 有意义时，x应满足的条件为（ ）
√x+1
A．x≠−1 B．x>−1 C．x<−1 D．x≤-1
【答案】B
【详解】解：由题意可知：x+1>0，
∴x>−1，
故选：B．
2 1 2 2 1 x+1
23．（2022·湖南怀化·统考中考真题）代数式 x， ， ，x2﹣ ， ， 中，属于
5 π x2+4 3 x x+2
分式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
2 1 x+1
【详解】分母中含有字母的是 ， ， ，
x2+4 x x+2
∴分式有3个，
故选：B．
1
24．（2021·山东淄博·统考中考真题）若分式 有意义，则x的取值范围是_____．
3−x
【答案】x≠3
11【详解】解：由题意得：3−x≠0，
解得：x≠3．
故答案为：x≠3．
2x
25．（2022·广西·统考中考真题）当x=______时，分式 的值为零．
x+2
【答案】0
【详解】解：由题意，得2x=0，且x+2≠0，解得：x=0，
故答案为：0．
a+1
26．（2022·浙江湖州·统考中考真题）当a＝1时，分式 的值是______．
a
【答案】2
【详解】解：当a=1时，
a+1 1+1
= =2．
a 1
故答案为：2．
12
