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第七章 平行线的证明
第 2 课时平行的判定
基础篇
1．如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（ ）
A．∵∠1＝∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
B．∵AB∥CD，∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）
C．∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
D．∵∠DAM＝∠CBM，∴AB∥CD（两直线平行，同位角相等）
【答案】D
【解析】
因为∠DAM和∠CBM是直线AD和BC被直线AB的同位角,因为∠DAM＝∠CBM根据同位角相等,两直线平
行可得AD∥BC，所以D选项错误,故选D.
2．如图，下列判断中错误的是（ ）
A．由∠A+∠ADC=180°得到AB∥CD
B．由AB∥CD得到∠ABC+∠C=180°
C．由∠1=∠2得到AD∥BC
D．由AD∥BC得到∠3=∠4
【答案】D
【分析】
根据平行线的性质与判定，逐一判定．
【详解】A．由∠A+∠ADC=180°得到AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），正确；
B．由AB∥CD得到∠ABC+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补），正确；
C．由∠1=∠2得到AD∥BC（内错角相等，两直线平行），正确；
D．由AD∥BC得到∠1=∠2（两直线平行，内错角相等），所以此选项错误．
故选：D．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质．解题时注意内错角与同旁内角的确定，关键是找到哪两条直线被第三条
直线所截构造的内错角与同旁内角．
3．如果∠2＝∠4，那么AD∥BC．判断的依据是（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．两直线平行，同位角相等
C．内错角相等，两直线平行
D．同旁内角互补，两直线平行
【答案】C
【分析】
直接根据这两个角之间的关系，利用平行线的判定即可得出答案．
【详解】
解：∵∠2＝∠4
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的判定的内容，首先学生要理解这两个角是同位角还是内错角，再进行判断，考查了学
生对书本概念的理解与运用．
4．如图，下列条件中，不能判断直线 的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平
行分别进行分析即可．
【详解】
解：A、根据内错角相等，两直线平行可判断直线l ∥l ，故此选项不合题意；
1 2
B、∠2=∠3，不能判断直线l ∥l ，故此选项符合题意；
1 2
C、根据同位角相等，两直线平行可判断直线l ∥l ，故此选项不合题意；
1 2
D、根据同旁内角互补，两直线平行可判断直线l ∥l ，故此选项不合题意；
1 2
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．
5．如图，点 在 的延长线上，下列条件不能判断 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由平行线的判定方法逐项判断即可．
【详解】
A．由 ，得 （内错角相等，两直线平行），故该选项不符合题意．B．由 ，得 （内错角相等，两直线平行），并不能证明 ，故该选项符合题意．
C．由 ，得 （同位角相等，两直线平行），故该选项不符合题意．
D．由 ，得 （同旁内角互补，两直线平行），故该选项不符合题意．
故选B．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，属于基础题型，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
6．如图，下列条件：①∠1=∠3，②∠2=∠3，③∠4=∠5，④∠2+∠4=180°中，能判断直线l ∥l 的有（
1 2
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
利用平行线的判定方法判断即可得到结果．
【详解】
解：∵∠1=∠3，
∴l ∥l ；
1 2
∵∠4=∠5，
∴l ∥l ；
1 2
∵∠2+∠4=180°，
∴l ∥l ，
1 2
则能判断直线l ∥l 的有3个．
1 2
故选：C．
【点睛】
本题题考查了平行线的判定，解题关键是熟练掌握平行线的判定方法．
7．如图，将一张四边形纸片沿EF折叠，以下条件中能得出AD∥BC的条件个数是（ )
①∠2=∠4：②∠2+∠3=180°；③∠1=∠6：④∠4=∠5A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
分别利用同旁内角互补两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行得出答案即可．
【详解】
① ∵∠2=∠4，
∴AD∥BC（同位角相等两直线平行），符合题意；
②∵∠2+∠3=180°，∠5+∠3=180°，
∴∠5=∠2，
∴GF∥HE，
因为GF和HE是由DF和CE折叠得到的，
∴FD∥EC，即AD∥EC，符合题意；
③∠1=∠6，由折叠性质知∠1=∠FEC，
∴∠6=∠FEC，
∴AD∥BC，符合题意：
④由折叠的性质知, ∠GFE=∠DFE，
∴∠DFE=∠5+∠6，
∵∠6+∠DFE=180°，
∴∠5+2∠6=180°，
∵∠4=∠5，
∴∠4+2∠6=180°，
又∵∠4+2∠1=180°，
∴∠6=∠1=∠FEC，
∴AD∥BC，符合题意.故答案为：D.
【点睛】
此题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁
内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定是解
8．如图，在下列给出的条件中，不能判定 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用平行线的判定定理，逐一判断，容易得出结论．
【详解】
解：A、∵∠A+∠2=180°，
∴AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行）；
B、∵∠A=∠3，
∴AB∥DF（同位角相等，两直线平行）；
C、∵∠1=∠4，
∴AB∥DF（内错角相等，两直线平行）；
D、∵∠1=∠A，
∴AC∥DE（同位角相等，两直线平行），不能证出AB∥DF．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的判定；正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
本题的关键．
9．下列四个图形中∠1＝∠2，能够判定AB∥CD的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据两条直线被第三条所截，如果同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，那么这两条直线平行．
【详解】
A选项中，∠1和∠2为对顶角，不能判断 ，此选项错误；
B选项中，根据∠1=∠2，且∠1和∠2的对顶角是同位角，可以得出 ，此选项正确；
C选项中，直线AB和直线CD被直线AC所截的同位角不是∠1和∠2，不能判断 ，此选项错误；
D选项中，∠1和∠2是内错角，可以得出 ，不能判断 ，此选项错误.
故选项B.
【点睛】
本题考查了平行线的判定，解题的关键是注意平行判定的前提条件必须是三线八角.
10．如图，在下列四组条件中，能判断 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据平行线的判定方法一一判断即可．【详解】
解：∵∠1=∠2，∴AD∥BC，故A选项不符合题意；
∵∠ABD=∠BDC∴AB∥CD，故B选项符合题意；
∵∠3=∠4，∴AD∥BC，故C选项不符合题意；
∵∠ABC+∠BAD=180°，∴AD∥CB．故D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11．如图所示，点 在 的延长线上，下列条件中能判断 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据平行线的判定定理逐项判断即可解题．
【详解】
A. 不能判断 ，故A错误；
B. 内错角相等，两直线平行， 能判断 ，故B正确；
C. 能判断AB CD，不能判断 ，故C错误；
D. 能判断AB//CD，不能判断 ，故D错误，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
12．如图，下列条件： 中能判断直
线 的有( )A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】
根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可．
【详解】
解：①∵∠1=∠3，∴l ∥l ，故本小题正确；
1 2
②∵∠2+∠4=180°，∴l ∥l ，故本小题正确；
1 2
③∵∠4=∠5，∴l ∥l ，故本小题正确；
1 2
④∠2=∠3不能判定l ∥l ，故本小题错误；
1 2
⑤∵∠6=∠2+∠3，∴l ∥l ，故本小题正确．
1 2
故选B．
【点睛】
本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键．
13．能判定直线 的条件是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】
同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；依据平行线的判定方
法得出结论．
【详解】
解：A．由∠1＝58°，∠3＝59°，不能判定直线a∥b；B．由∠2＝118°，∠3＝59°，不能判定直线a∥b；
C．由∠2＝118°，∠4＝119°，不能判定直线a∥b；
D．由∠1＝61°，∠4＝119°，可得∠3＝∠1＝61°，能判定直线a∥b；
故选D．
【点睛】
本题考查平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互
补，两直线平行．
14．如图，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠A=∠CDE；④∠A+∠ADC=180°．其中，能推出
AB∥DC的条件为（ ）
A．①④ B．②③ C．①③ D．①③④
【答案】D
【详解】
解：①∵∠1=∠2，∴AB∥CD，故本选项正确；
②∵∠3=∠4，∴BC∥AD，故本选项错误；
③∵∠A=∠CDE，∴AB∥CD，故本选项正确；
④∵∠A+∠ADC=180°，∴AB∥CD，故本选项正确．
故选D.
15．如图，下列条件中，能判断直线a∥b的有（ ）个．
①∠1＝∠4；
②∠3＝∠5；
③∠2+∠5＝180°；
④∠2+∠4＝180°
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C【分析】
根据平行线的判定方法，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：①∵∠1＝∠4，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）；
②∵∠3＝∠5，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行），
③∵∠2+∠5＝180°，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）；
④∠2和∠4不是同旁内角，所以∠2+∠4=180°不能判定直线a∥b．
∴能判断直线a∥b的有①②③，共3个．
故选C．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行，解
题时要认准各角的位置关系．
16．如图，下列条件中：①∠BAD+∠ABC＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠BAD＝∠BCD，能判定
AD∥BC的是_____．
【答案】①②③
【分析】
①由∠BAD+∠ABC=180°，利用同旁内角互补得到AD∥BC，本选项符合题意；②由∠1=∠2，利用内错角相等
两直线平行得到AD∥BC，本选项符合题意；③∠3=∠4，利用等式的性质一对内错角相等，进而得到
AB∥BC，本选项符合题意；④由∠BAD=∠BCD，不能判定出平行，本选项不合题意．
【详解】
解：①由∠BAD+∠ABC＝180°，得到AD∥BC，本选项符合题意；
②由∠1＝∠2，得到AD∥BC，本选项符合题意；
③由∠3＝∠4，得到AD∥BC，本选项符合题意；
④由∠BAD＝∠BCD，不能判定出平行，本选项不合题意．
故答案为：①②③．【点睛】
此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
17．如图，已知CE⊥AB，垂足为点E，DF⊥AB，垂足为点F，AF=BE，AC=BD，则下列结论：
①Rt△AEC≌Rt△BFD；②∠C+∠B=90°；③AC∥BD；④∠A=∠D．
其中正确的结论为____．（填序号）
【答案】①②③
【分析】
由CE⊥AB，DF⊥AB可得△ACE和△BDF都是直角三角形；进而结合AC=BD，可以证明出△ACE≌△BDF；从上
面的全等三角形可以得出其中相等的边和角，即可以判断题中正确的选项.
【详解】
∵CE⊥AB，DF⊥AB
∴△ACE和 BDF都是直角三角形
∵AF=BE，E△F公用
∴AE=BF
∵AE=BF，AC=BD， ACE和 BDF都是直角三角形
∴Rt△AEC≌Rt△BFD△ △
即①正确；
∵Rt△AEC≌Rt△BFD
∴∠CAB=∠ABD
故④错误；
∵在 AEC中，CE⊥AB
∴∠A△CE+∠CAB=90°
∵∠ACE+∠CAB=90°，∠CAB=∠ABD
∴∠ACE+∠ABD=90°
故②正确；
∵∠CAB=∠ABD∴AC∥BD
故③正确.
故答案为：①②③.
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握判定定理与相关性质是解题的关键．
18．如图，下列条件中：
①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5；
则一定能判定AB∥CD的条件有_____(填写所有正确的序号)．
【答案】①③④
【分析】
根据平行线的判定逐项分析即可．
【详解】
解：①∵∠B+∠BCD=180°，
∴AB∥CD；
②∵∠1=∠2，
∴AD∥CB；
③∵∠3=∠4，
∴AB∥CD；
④∵∠B=∠5，
∴AB∥CD，
一定能判定AB∥CD的条件有①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了平行线的判定：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线
平行．
19．学习近平行线后，学霸君想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半
透明的纸得到的，如图所示，由操作过程可知学霸君画平行线的依据可以是___________ （把下列所有正确结论的序号都填在横线上）
①两直线平行，同位角相等；②同位角相等，两直线平行；③内错角相等，两直线平行；④同旁内角互补，
两直线平行.
【答案】②③④
【解析】
【分析】
理解折叠过程，根据直线平行条件即可解答.
【详解】
由图可知，虚线与其他折痕垂直，根据折后角的关系可得同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线
平行；同旁内角互补，两直线平行，所以选②③④.
故答案为②③④
【点睛】
考查平行线的判定，理解折叠过程是解答本题的关键.
提升篇
20．如图，在 ABC的三边上有D，E，F三点，点G在线段DF上，∠1与∠2互补，∠3=∠C．
（1）若∠C=40°，求∠BFD的度数；
（2）判断DE与BC的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）40°；（2）DE∥BC，见解析【分析】
（1）根据平行线的判定定理得出AC∥DF，再根据平行线的性质得出∠BFD=∠C，即可得出答案；
（2）根据平行线的判定定理得出AC∥DF，得出∠BFD=∠C，从而得出∠BFD=∠3，即可得出DE∥BC.
【详解】
（1）∵∠1与∠2互补，
∴AC∥DF
∴∠BFD=∠C
（2）DE∥BC．理由如下：
∵∠1与∠2互补，
∴AC∥DF
∴∠BFD=∠C
∵∠C=∠3，
∵∠BFD=∠3
∴DE∥BC
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键．
21．如图，已知 ，点 、 在线段 上．
（1）线段 与 的数量关系是：_________，判断该关系的数学根据是： （用文字
表达）；
（2）判断 与 之间的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）相等（或写 ），全等三角形的对应边相等；（2） ，见详解
【分析】
（1）根据全等三角形的性质即可解答
（2）根据两个三角形全等得 ，然后根据等角的补角相等，得出 ，根据平行的判定条件：内错角相等，两直线平行即可证明
【详解】
（1）∵
∴AD=BC
根据全等三角形的对应边相等
故答案为：相等（或写 ）
全等三角形的对应边相等
（2）猜想： ．
理由：
∵ ，
∴ ，
∵∠ADB=180°－∠ADF
∠CBD=180°－∠CBE
∴ ，
∴
故答案为
【点睛】
本题考察全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等，以及平行四边形的判定条件：内错角相等，两直
线平行，熟练掌握性质和判定是解题的关键
22．已知：如图， ， 和 互余， 和 互余，求证： ．
【答案】证明见详解
【分析】
根据题意先由∠1和∠D互余，∠2和∠D互余，得到∠1=∠2，再由已知∠C=∠1，所以得∠C=∠2，从而证
得AB∥CD．
【详解】
解：证明：∵∠1和∠D互余，∠2和∠D互余，
∴∠1=∠2，∵∠C=∠1，
∴∠C=∠2，
∴AB∥CD．
【点睛】
本题考查的知识点是平行线的判定，解题的关键是利用内错角相等两直线平行进行求证．
23．如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，FB＝CE，AB∥ED．求证：AC∥FD．
【答案】见解析
【分析】
由“SAS”可证△ABC≌△DEF，可得∠ACB＝∠DFE，可得结论．
【详解】
证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
∵BF＝CE，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ACB＝∠DFE，
∴AC∥FD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
24．如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA＝FB，AB＝CD，EC＝FD．求证：（1）△AEC≌△BFD；
（2）EA∥FB．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）直接利用“SSS”证明即可；
（2）由全等可得出∠EAC＝∠FBD，从而得出结论．
【详解】
（1）∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
即AC＝BD，
在△AEC和△BFD中，
∴△AEC≌△BFD（SSS）；
（2）由（1）得：△AEC≌△BFD，
∴∠EAC＝∠FBD，
∴EA∥FB．（内错角相等，两直线平行）
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，灵活运用证明方法结合平行线的判定是解题关键．
25．如图，已知在 中， 是外角 的平分线， 是 的平分线．
（1）求证： ．（2）若 ，求证： ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据角平分线的性质和三角形的外角性质即可求证；
（2）由∠A=2∠E，∠A=∠ABC，∠ABC=2∠ABE得∠ABE=∠E，从而AB∥CE．21cnjy.com
【详解】
证明：（1）∵ 是 的一个外角， 是 的一个外角，
∴ ， ，
∴ ， ．
∵ 是外角 的平分线， 是 的平分线，
∴ ， ，
∴
．
（2）由（1）可知 ．
∵ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了三角形的综合问题，涉及平行线的判定，三角形的外角性质，角平分线的性质，灵活运用所学
知识是解题的关键．
26．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF．
求证：（1）△ABC≌△DEF；
（2）BC∥EF．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）求出AC＝DF，根据SSS推出△ABC≌△DEF；（2）由（1）全等三角形的性质可得∠ACB=∠F，即可证明BC∥EF．
【详解】
证明：（1）∵AD=CF，
∴AC=DF，
在 ABC和 ADC中，AC=DF，AB＝DE，BC＝EF
∴△△ABC≌△D△EF（SSS）．
（2）由（1） ABC≌△DEF，
∴∠ACB=∠F △
∴BC∥EF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用。平行线的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
27．如图，在四边形ABCD中，AD BC，连接BD，点E在BC边上，点F在DC边上，且∠1＝∠2．
（1）求证：EF BD；
（2）若DB平分∠ABC，∠A＝130°，求∠2的度数．
【答案】（1）见解析；（2）25°
【分析】
（1）由AD∥BC知∠1＝∠3，结合∠1＝∠2得∠3＝∠2，据此即可得证；
（2）由AD∥BC、∠A＝130°知∠ABC＝50°，再根据平分线定义及BD∥EF知∠3＝∠2＝25°，由三角形的内角
和定理可得答案．
【详解】
（1）证明：如图，
∵AD∥BC（已知），
∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）．∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠2（等量代换）．
∴EF∥BD（同位角相等，两直线平行）．
（2）解：∵AD∥BC（已知），
∴∠ABC+∠A＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠A＝130°（已知），
∴∠ABC＝50°．
∵DB平分∠ABC（已知），
∴∠3＝ ∠ABC＝25°．
∴∠2＝∠3＝25°
【点睛】
本题考查了平行线的性质，平行线的判定定理，和应用角平分线求角的度数，注意二者在做题中的区别．
28．已知， 是等边三角形， 、 、 分别是 、 、 上一点，且 ．
（1）如图1，若 ，求 ；
（2）如图2，连接 ，若 ，求证： ．
【答案】（1） ；（2）见详解
【分析】
（1）由等边三角形的性质得出 ，然后根据三角形外角的性质和等量代换得出 ，则 的
度数可求；
（2）由 和 得出 ，再根据内错角相等，两直线平行即可证明结论．
【详解】
（1）∵ 是等边三角形∴
∵
∵
∵
（2） ，
【点睛】
本题主要考查三角形外角的性质和平行线的判定，掌握三角形外角的性质和平行线的判定是解题的关键．
