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专题突破卷 20 曲线的轨迹方程问题
题型一：椭圆的轨迹方程问题
1．如图所示，以过焦点 的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立平面直
角坐标系．其中 ，椭圆上任意一点 满足 ，求椭圆
的标准方程．
【答案】 ．
【分析】直接按求曲线的方程步骤求解即可.
【详解】设椭圆上任意一点P(x,y)，焦点F (−c,0)， ，
1因为 ．
则 ，
即 ，
两边平方得，
整理得， ，
两边平方得，
整理得 ．
两边同除以 得， .
由椭圆定义知 ，即 ，所以 ．
令 ，得 ．
即椭圆的标准方程为 ．
2．已知椭圆 的离心率为 ，且 过点 .
(1)求 的方程；
(2)若AB分别为 的上、下顶点.O为坐标原点，直线l过 的右焦点F与 交于C，D两点，
与y轴交于P点.
①若E为CD的中点求点E的轨迹方程；
②若AD与直线BC交于点Q，求证 为定值.
【答案】(1) (2)① ；②证明见解析
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【分析】（1）根据离心率 以及 两点坐标构造方程组即可求得 的方程；
（2）①联立直线和椭圆方程并利用韦达定理求得中点 的表达式，再利用斜率公式可得E
的轨迹方程；
②对直线斜率以及 两点位置关系进行分类讨论，根据点共线时斜率相等整理变形可得
，即可求得 ，为定值.
【详解】（1）设 的焦距为2c，则 ，则 ，
将 代入椭圆方程可得 ，可得 ；
又 ，
解得 ，
所以 的方程为 .
（2）①由（1）知F(1,0)，由题意知直线l的斜率存在，
故设l的方程为y=k(x−1)， ，如下图所示：
联立 ，消去y并整理，得 ，
则 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
化简得 ，
即点E的轨迹方程为 .
②证明：由（1）知 ，由（2）①知 ，
当 时，C，D分别为 的左、右顶点，由椭圆的对称性知 ，不合题意，故
，
当P异于A，B时，设 ，
由A，Q，D三点共线，得 ，由B，Q，C三点共线，得 ，
因为 ，
两式相除，得
，
解得 .所以 ，为定值，
当P点与A点重合时， ，
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！当P点与B点重合时， ，
所以 ，为定值.
3．记椭圆 的左，右顶点和左，右焦点分别为 ， ， ， ，P是E上除
左右顶点外一点，记P在E处的切线为l，作直线 交l于点 ，作直线
交l于点 ，记直线 与 的交点为Q．
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)求 ；
(3)求四边形 面积的最大值．附：椭圆 在点 处的切线
为 （P在椭圆上）．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）设点P(x ,y )，联立直线 和 的方程求出 ，则
0 0
代入 ，可以得到点Q的轨迹方程.
（2）运用两点间距离公式得到|PF |， ， ， ，求出 ；求
1
出 ，求出 结合初中几何结论 ，求 即可.
（3）由（2）同理可求得 ，将四边形 转化为 ， 的面积之
差，结合余弦定理和基本不等式求解即可.【详解】（1）设点P(x ,y )，则 ，则 .
0 0
由题知，直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，联立直线 和 的方程有 ，
设 ，则 代入 ，得到 ,
点Q的轨迹方程为 ．
（2） ，
同理可得 ， ， ，
由对称性，可设 ， 时，则 ， ；
所以 ，此时 ； 时，由对称性可设 ，
设l与x轴交于点M，则 由初中几何有， ，
代入有 ，此时 ．综上所述， ．
（3）由（2）同理可证明 ，记四边形 ， ， 的面积分别为
， ， ，
则 ，
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！由前面知， ， ，
当且仅当 时取等；在 中，有 ，
代入数据有 ， ，
当且仅当 时取等， ，
当且仅当 时取等．
综上所述，四边形 面积的最大值为 ．
4．如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的左焦点为 为椭圆 上的动
点（异于左顶点），定点 在 轴上，点 满足 ，直线 与椭圆 交于
两点．
(1)求点 的轨迹方程；
(2)证明： 为 中点．【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）设 ，由 ，可得点 坐标，代入椭圆方程即可；
（2）分析可得 斜率存在，得出直线方程，联立椭圆消元后可得一元二次方程，根据根
与系数的关系及中点坐标公式化简即可得证.
【详解】（1）设 ，由 且 ，可知 ，
因为 在椭圆上且异于椭圆左顶点，所以 ，且 ，
所以点 的轨迹方程为 ；
（2）证明：易知直线 的斜率存在，设直线 ，
将直线方程与椭圆 的方程联立， ，
化简得 ，所以 ，
将直线方程与点 的轨迹方程联立， ，
化简得 ，
即 ，解得 ，
因为 ，所以 为 中点，原命题得证．
5．已知椭圆 的长轴长为 ，离心率为 .
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)求椭圆 的方程；
(2)过 作一条斜率存在且不为0的直线 交 于 两点.
（i）证明：直线 和直线 的斜率均存在且互为相反数；
（ii）若直线 与直线 交于点 ，求 的轨迹方程.
【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）根据已知条件直接计算出椭圆相关基本量即可；
（2）（i）设A(x ,y )，B(x ,y )，直线 的方程为 ，联立方程组，利
1 1 2 2
用韦达定理证明；（ii）设直线，直线 ，联立方程组得 ，
，采用代入法可得 的轨迹方程.
【详解】（1）根据题意， ，
因为椭圆离心率为 ，所以 ，
所以 ， ，
所以椭圆的方程为 ；
（2）（i）设A(x ,y )，B(x ,y )，直线 的方程为 ，
1 1 2 2
联立方程 ，消去y得： ，
则 ，即 ，
由韦达定理得， ， ，当 时， ， ，不合题意，故 ，
所以直线 和直线 的斜率均存在， ，
所以
，
即直线 和直线 的斜率均存在且互为相反数；
（ii）由（i）知 ，且 ，
可设直线 ，直线 ，
设 ，则 ，整理得 ①，
由题意知 ，由①知 ，
所以由①知， ， ②，
将②代入 得 ，化简得 ，
又因为 ，所以 ，
所以 的轨迹方程为 .
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6．已知椭圆 ，过 外一点 作 的两条切线 ，分别交 轴于 两点.
(1)记 的倾斜角分别为 .若 ，求 的轨迹方程.
(2)求 面积的最小值.
【答案】(1) (2)4
【分析】（1）设 ， ，过点 直线方程设为 ，联立直线与椭圆方程，
利用判别式为0，结合韦达定理，求解点 轨迹方程．
（2）根据点斜式可得 的坐标，即可根据三角形面积公式得表达式，结合韦达定理，以
及二次函数的性质即可求解最值.
【详解】（1）设 , ，过点 直线方程设为 ．
由 ，解得 ．
相切 ．
化简得： ．
，
点轨迹方程为 ．
（2）由（1）知：直线 的斜率 满足 ，且 ， ，
在直线 中，令 ，则 ，
因此 ,
故 ,
所以
,
由于 ，
当且仅当 时，取等号，故面积的最小值为4.
7．已知点 在曲线 上， 为坐标原点，若点 满足 ，记动点
的轨迹为 .
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)求 的方程；
(2)设 的右焦点为 ，过点 且斜率不为0的直线 交椭圆 于 两点，若 与 轴垂
直，且 是 与 在第一象限的交点，记直线 与直线 的斜率分别为 ，当
时，求 的面积.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）设 ，根据 ，把 点的坐标用 点的坐标表示，
再代入曲线 即可得解；
（2）设直线 的方程为 ，联立方程，利用韦
达定理求出 ，再结合 可求出 ，即可得直线 的方程，进而可求出三
角形的面积.
【详解】（1）设 ，因为点 在曲线 上，
所以 ，
因为 ，所以 ，
代入 可得 ，
即 ，即 的方程为 ；
（2）由（1）知， 的右焦点为 ，令 ，则 ，解得 ，所以 ，
据题意设直线 的方程为 ，
则 ，
于是由 得 ，
化简得 ，
由 ，消去 整理，得 ，
，
由根与系数的关系得 ，
代入 式得： ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，
方法一： ，
所以 ，
点 到直线 的距离 ，
所以 .
方法二：由题意可知 ，
14
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！代入 消去 ，
得 ，
所以 ，
所以 .
8．已知曲线 上的点 满足 .
(1)化简曲线 的方程；
(2)已知点 ，点 ，过点 的直线 （ 斜率存在）与椭圆 交于不同
的两点 ，直线 与 轴的交点分别为 ，证明： 三点在同一圆上.
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）根据已知曲线方程，进行移项平方，化简的方法，即可得曲线 的方程；
（2）设直线 的方程，并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，进而表示点 的坐标，
从而可得以 为直径的圆的方程，并化简，求出该圆与x轴交点坐标，即可证明结论.
【详解】（1）由题意知曲线 上的点 满足 ，
则 ，
故 ，即 ，故 ，
即 ，即化简曲线 的方程为 ；
（2）证明：由题意知直线 斜率存在，故设 ，联立 ，
得 ，
由于直线l过点 ，而点 在椭圆 内，故必有 ，
设 ，则 ，
直线AM的方程为 ，直线AN的方程为 ，
令 ，可得 ，
故以 为直径的圆的方程为 ，
即 ，
16
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！而
，
即以 为直径的圆的方程为 ，
令 ，则 ，
即 在以 为直径的圆上，故 三点在同一圆上.
9．椭圆 上有动点P，点 ， 分别是椭圆的左、右焦点，求 的重心M的
轨迹方程.
【答案】 .
【分析】根据重心坐标公式以及相关点代入法求出M的轨迹方程.
【详解】设点P，M的坐标分别为 ， ，
∵在已知椭圆的方程中， ， ，
∴ ，
则已知椭圆的两焦点为 ， .
∵ 存在，∴ .
由三角形重心坐标公式有 即
∵ ，∴ .∵点P在椭圆上，∴ ，
∴ ，
故 的重心M的轨迹方程为 .
10．已知点P，Q是圆 上的两个动点，若直线OP与OQ的斜率都存在且满足
．
(1)当 时，求PQ的中点M的轨迹方程；
(2)当 时，椭圆 与动直线PQ恒相切，求椭圆C的标准方程．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先根据 判断出 为等腰直角三角形以及点P，Q的限制条件，
求出 ；再利用两点间距离公式化简可得到点M的轨迹方程.
（2）根据条件对直线PQ的斜率是否存在进行分类讨论. 当直线PQ的斜率存在时，设出
直线方程；先与圆的方程联立，由 得到 ；再与椭圆方程联立，由
椭圆与动直线PQ相切得到 ；最后两式联立求出 的值，得到椭圆方程. 当
直线PQ的斜率不存在时，列出关系式求出直线PQ的方程，易判断直线PQ与椭圆相切.
【详解】（1）设点 ， ， .
如图所示：
18
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！点P，Q是圆 上的两个点，直线OP与OQ的斜率都存在.
， .
当 时，
， 为等腰直角三角形.
点M是PQ的中点
在 中 ,
由两点间距离公式得 ，其中 ，
即 .
所以PQ的中点M的轨迹方程为 ．
（2）由题意得：当 时， ．
当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为 ，如图
所示联立方程组 ，消去y可得： .
则 ，
，化简得： ．
联立方程组 ，消去y可得： ，
直线PQ与椭圆C恒相切，
，化简得 ．
，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！对任意的k都成立，
，
椭圆C的标准方程为 ．
当直线PQ的斜率不存在时， ，解得 ，此时直线PQ的方程为
，显然直线PQ与椭圆C： 相切．
综上可得：椭圆C的标准方程为 ．
题型二：双曲线的轨迹方程问题
11．已知直线 与双曲线 相切于点 .
(1)试在集合 中选择一个数作为 的值，使得相应的 的值存在，并求出相应
的 的值；
(2)过点 与 垂直的直线 分别交 轴于 两点， 是线段 的中点，求点 的轨迹
方程.
【答案】(1)当 时， ；当 时， ；当 时， .
(2)
【分析】（1）直线方程和双曲线方程联立，由 求得 与 的函数关系，再由 的值求出相应的 的值；
（2）设 ，利用导数求直线 的斜率，得直线 的斜率和方程，求出 两点的坐标，
表示出分点 的坐标，由 在双曲线上，得点 的轨迹方程.
【详解】（1）由 ，消去 得 ，
由 ，得 ，当 时， 不存在；
当 时， ；当 时， ；当 时， .
（2）设 ，则 ， ，
对C求导可得 ，则 ，
有 ，所以 ，
令 ，得 ，所以 ；令 ，得 ，所以 ，
所以 ，即 ，
则 ，所以 ，得 ， ，
即P的轨迹方程是
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12．在平面直角坐标系 中，已知双曲线 经过点 ，点 与点 关于
原点对称， 为 上一动点，且 异于 两点.
(1)求 的离心率；
(2)若△ 的重心为 ，点 ，求 的最小值；
(3)若△ 的垂心为 ，求动点 的轨迹方程.
【答案】(1) (2) (3) （去除点 ）.
【分析】（1）将点 代入双曲线的方程求出 值，即可求得 的离心率；
（2）根据三角形的重心公式求得动点 的轨迹方程，根据两点间距离公式求出 的最小
值；
（3）根据 求动点 的轨迹方程.
【详解】（1）因为双曲线 经过点 ，所以 ，解得 ，
所以 的离心率 ，
（2）易知 .设 .
因为△ 的重心为 ，所以 ,解得 ,
因为 ，所以 ，即 .
因为 不共线，所以 且 ，所以 的轨迹不含 两点.
故 ，当且仅当 时，等号成立，
即 的最小值为 .
（3）因为 为△ 的垂心，所以 ，
设 ，
当直线 或 的斜率为0时，点 的坐标为 或 ，
此时点 与点 重合，不合题意，舍.
当直线 或 的斜率不为0时，直线 与 的斜率存在，
则 ，
由（2）知 ，则 ，
则 .
因为 ，所以 ，
，则 ，得 ，
则 ，因为 构成三角形，故 不能在轨迹上，
综上，动点 的轨迹方程为 （去除点 ）.
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13．已知点 是双曲线 的上顶点．
(1)若点 的坐标为 ，延长 交双曲线于点 ，求点 的坐标；
(2)双曲线 与直线 有唯一的公共点 ，过点 且与 垂直的直线分别
交 轴， 轴于 两点，当点 运动时，求点 的轨迹方程．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）求出直线 的方程，联立双曲线方程，求出 ，进而求出 ，得到点
的坐标；
（2）联立 与双曲线方程，由 得到 ，求出 和过点 且与 垂直
的直线方程，表达出 的坐标，结合 得到轨迹方程，注意 .
【详解】（1）由题意得 ，
故直线 方程为 ，即 ，
联立 与 得 ，
由韦达定理得 ，解得 ，
故 ，则点 的坐标为 ；（2）联立 与 得，
，
，由 ，解得 ，则 ，
又 ， ，
故 ，由题可知 ，
过点 且与 垂直的直线方程为 ，即 ，
令 得 ，令 得 ，
因为 ，所以 ，故 ，显然 ，
代入 中得 ，
化简得 ，即 ；
14．已知过点 的直线 与双曲线 ： 的左右两支分别交于 、 两点.
(1)求直线 的斜率 的取值范围；
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(2)设点 ，过点 且与直线 垂直的直线 ，与双曲线 交于 、 两点.
当直线 变化时， 恒为一定值，求点 的轨迹方程.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）当 时，显然符合题意，当 时，设直线 的方程为 ，其
中 ，设 、 ，联立直线与双曲线方程，消元、依题意可得
，即可得到不等式求出 的取值范围，即可得解；
（2）由（1）知，因为 ，设 ，则直线 的方程为：
，设 ， ，联立直线与双曲线方程，消元，即可表示
出 ，从而表示出 ，即可得到 时，
为定值 ，从而求出动点的轨迹方程.
【详解】（1）当 时，显然符合题意，
当 时，设直线 的方程为 ，其中 ，设 、 ，
与双曲线方程联立可得 ，
因为直线 与双曲线交于不同的两支，所以 ，又 ，所以 ，解得 ，即 ，所以 且 ，解得 或
，
综上可得 ；
（2）由（1）知，因为 ，
所以 ，
设 ，则直线 的方程为： ，设 ，
直线 与双曲线方程联立可得 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，
得 ，
又因为 ，
所以 ，
当 时，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！即 时， 为定值 ，
所以 或 ，又因为 ，
所以点 的轨迹方程为 .
15．已知双曲线 与直线 ： 有唯一的公共点 ，
过点 且与 垂直的直线分别交 轴、 轴与 ， 两点.点 的坐标为 ，
当 点的坐标为 时， 点坐标为 .
(1)求双曲线的标准方程；
(2)当点 运动时，求 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
【答案】(1)
(2)点 的轨迹方程为 ，轨迹是焦点在 轴上，实轴长为20，虚轴长为10
的双曲线（去掉两个顶点）.
【分析】（1）根据直线和双曲线相切求出a,b即可写出双曲线的标准方程；
（2）相关点法求出P点的轨迹方程即可.
【详解】（1）设 ：， ，
，可得 ，
又因为直线 ： 过 ，则 ，
所以 ： ，
又因为 与双曲线相切，所以 ，
，
，且 ，
即 ，
即 ，（1）
又因为点 在双曲线上，所以 ，（2）
由（1）（2）式可得 ，
所以双曲线的标准方程为
（2）
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是双曲线与直线 的唯一公共点，
所以 ，即 ，（3）
解得 ，
即 ，其中
于是过点 且与 垂直的直线为 ，
可得 ， ， ，
所以
将（3）式代入可得：
即 ，其中 ，
所以，点 的轨迹方程为 ，
轨迹是焦点在 轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点）.
16．已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，-2），点C满
足 ，其中 ，且 .
(1)求点C的轨迹方程；
(2)设点C的轨迹与双曲线 ，（a>0）交于两点M，N，且OM ON，求该双曲
线的方程.【答案】(1)x+y=1；(2) .
【分析】（1）设C（x，y），由 即得解；
（2）设 ， ，联立 得到韦达定理，求出 即得解.
【详解】（1）解：设C（x，y），A（1，0），B（0，-2），由 ，得
（x，y）= （1，0）+ （0，-2），∴ ，又 ，
所以x+y=1.
即点C的轨迹方程为x+y=1.
（2）解：设 ， ，联立 ，得 .
所以 ， ，
∵OM ON，
∴ .即 ，∴ .
∴双曲线的方程 .
17．设动点P到两定点 和 的距离分别为 和 ， ，且存在常
数 ，使得 ．
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
(2)如图，过点 的直线与双曲线C的右支交于 两点．问：是否存在 ，使 是
以点B为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析； .(2)存在； .
【分析】（1）在 中，利用余弦定理得出 是一个常数，从而动点P的轨迹C
是以 为焦点的双曲线，最后求出双曲线的方程即可；
（2）在 中，设 ,对于存在性问题，可先假设存
在，即假设 为等腰直角三角形，再利用方程组，求出 的值，若出现矛盾，则说明
假设不成立，即不存在；否则存在.
【详解】（1）证明：在 中，
，
因为存在常数 ，使得 ，故 ，
∴ （小于2的常数），
故动点P的轨迹C是以 为焦点，实轴长 的双曲线， ，双曲线方程为 .
（2）在 中，设 ,
假设 为等腰直角三角形，则 ,
由②与③得 ，则 ,
由⑤得 ，即 ，又 ， ，
故 ，故存在 满足题设条件．
18．如图所示，过双曲线C： 的左焦点F作直线l与双曲线交于P、Q，以OP、
OQ为邻边作平行四边形OPMQ，求点M的轨迹方程.
【答案】
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【分析】设所求点 的坐标为 ，则平行四边形中心N的坐标为 ，设直线
， ，联立直线与双曲线方程，消元列出韦达定理，根据
为 的中点，即可得到 ，消去参数 ，即可得到动点 的轨迹；
【详解】解：设所求点 的坐标为 ，则平行四边形中心N的坐标为 ， 而双
曲线左焦点F为 ， 显然直线的斜率存在设 与双曲线方程联立
消去y得 ，则 ，
解得 ；
又设P、Q的坐标分别为 ，由韦达定理知 ， ，
依题意 ，解得 ，
∵ 为 的中点，∴ 即 ，因为 ，所以 ，
消去参数 得 ，这就是点M的轨迹，故点 的轨迹方程为.
19．双曲线 的一条渐近线为 ，且一个焦点到渐近线的距
离为 .
(1)求双曲线方程；
(2)过点 的直线 与双曲线交于异支两点 ，求点 的轨迹方程.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用渐近线方程以及焦点到直线的距离即可求解.
（2）首先设出直线方程，与椭圆联立后，设出 ，利用向量的坐标运算以及韦达定
理即可求解轨迹方程，最后确定好范围即可.
【详解】（1）由渐近线为 知， ①，又焦点到渐近线的距离为 ，即
到直线 的距离 ，所以 ， ②，联立①②，解得
， ，则双曲线方程为 .
（2）因为直线 与双曲线交于异支两点 ，所以直线 的斜率必存在，且经过 点，
可设直线 ，与双曲线联立得： ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！设 ，则有 解得 ，
由 知，
两式相除得 ，即 代入 得 ，
又 ，所以 ，
所以点 的轨迹方程为 .
20．（1）已知A， 两点的坐标分别是 ， ，直线 ， 相交于点 ，且
它们的斜率之积是 .求点 的轨迹方程，并判断轨迹的形状：
（2）已知过双曲线 上的右焦点 ，倾斜角为 的直线交双曲线于A， 两点，
求 .
【答案】（1）轨迹方程为 ，轨迹为焦点在 轴上的双曲线，不含左右
顶点；（2） .
【分析】（1）设 ，根据题意列出等式，化简即可得轨迹方程，判断轨迹形状，即
得答案；
（2）求出直线方程，并和双曲线方程联立，得到根与系数的关系式，根据弦长公式求出弦
长即得答案.【详解】（1）设 ，
因为 ， ，所以 ，
整理得 ，
故点 的轨迹方程为 ，
轨迹为焦点在 轴上的双曲线，不含左右顶点.
（2）由 得， ， ，所以 ,即 ，
所以右焦点 ，因为直线 的倾斜角是 ，且直线经过右焦点 ，
所以直线 的方程为 ,
由 可得： ，所以 ， ，
所以 .
题型三：抛物线的轨迹方程问题
21．抛物线 的对称轴为 轴，定点为坐标系原点，焦点 为直线 与坐标轴的
交点．
(1)求 的方程；
(2)已知 ，过点 的直线交 与 两点，又点 在线段 上（异于端点），且
，求点 的轨迹方程．
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案】(1) (2) （ 且 ）．
【分析】（1）根据题意求出焦点 的坐标，然后即可求得p的值,即可求得方程；
（2）利用直线 的方程与抛物线方程联立，应用韦达定理和已知等式，确定点 的横坐
标与直线 斜率的关系，再利用点 在直线 上，建立起方程，从而得到轨迹方程，
注意剔除不符合题意的点.
【详解】（1）因为抛物线 的对称轴为 轴，所以 的焦点在 轴上，直线 与
轴的交点为 ，
所以F(1,0)，所以 ，解得 ，所以抛物线 的方程为： ．
（2）显然直线 的斜率存在且不为0，设直线 的方程为： ，
设 ，联立直线 与抛物线方程： ，可得：
，
且 ，解得： 且 ，
因为 ，即 ，则有 ，
整理可得： ，即 ，
所以 ，又点 在直线 上，
所以 ，消 得 ，
由 且 得 且 ，所以 的轨迹方程为： （ 且 ）．
22．第一象限的点 在抛物线 上，过点 作 轴于点 ，点 为 中
点．
(1)求 的运动轨迹曲线 的方程；
(2)记 的焦点分别为 ，则四边形 的面积是否有最值？
【答案】(1) (2) 在 上没有最值．
【分析】（1）设 ，得到 ，求出 ， ，得到轨迹方程；
（2）根据四边形 为梯形，表达出面积 ，求导得到单调性， 在
上没有最值.
【详解】（1）设 ， ，则有 ，其中 ，因为 是 的中点，
所以 ，则 ，即 ， ，
故 的运动轨迹曲线 的方程 ．
（2）因为 与 平行，所以四边形 是梯形，
40
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！其上底为 ，下底为 ，高为 ，
所以其面积 ，又 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 即 关于 单调递增，
又当 时， ； 时， ，
所以 在 上没有最值．
23．已知直线 与抛物线 交于A，B两点，F为抛物线的焦点.
(1)若 ，求m的值；
(2)求线段AB中点M的轨迹方程.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）联立直线与抛物线方程，由韦达定理结合抛物线的定义，列式求解即可；
（2）设点 ，根据中点坐标运算得 ，代入 得 ，即可
求得动点的轨迹方程.
【详解】（1）联立方程 ，消去y得 ，
由 得 ，设 ， ，则 ，
由抛物线定义知： ，解得 ，符合题意，
所以 .（2）设点 ，则由题意得 ，因为 ，所以 ，
把 即 代入 得 ，
所以点M的轨迹方程为 .
24．已知抛物线C： 的焦点F到准线的距离为2．
(1)求C的方程；
(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求点Q的轨迹方程．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据抛物线的定义求出 ，即可得解；
（2）根据 ，将点 的坐标用 的坐标表示，再根据点P在C上，代入即可得解.
【详解】（1）由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p，故 ，
所以C的方程为 ；
（2）由（1）知F(1,0)，设P(x ,y )，Q(x ,y )，
1 1 2 2
则 ， ，
42
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！因为 ，
所以 ，可得 ，
又点P在抛物线C上，所以 ，即 ，
化简得 ，
则点Q的轨迹方程为 ．
25．已知圆M过点 ，且与直线 相切．
(1)求圆心M的轨迹 的方程；
(2)过点 的直线交抛物线 于A，B两点，过点 和A的直线与抛物线 交于另一
点C，证明：直线CB过定点．
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）设圆心 ，根据圆M与直线 相切，可得 ，
化简即可得解；
（2）设 ，分别求出直线 的方程，再根据直线
过点 ，直线 过点 ，求出 的关系，即可得证.
【详解】（1）设圆心 ，
由题意得 ，化简整理得 ，
所以圆心M的轨迹 的方程为 ；
（2）设 ，
则 ，所以直线 的方程为 ，即 ，
同理可得直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
因为直线 过点 ，所以 ，则 ，
因为直线 过点 ，所以 ，则 ，
所以 ，化简得 ，
故直线 的方程为 ，
所以直线 恒过定点 .
26．已知F是抛物线C： 的焦点，点P在C上，点Q满足 ，点Q的轨迹
为曲线E．
(1)求曲线E的方程；
(2)过点F的直线l与曲线E交于M，N两点， ，求直线l的方程．
【答案】(1) (2) 或 ．
【分析】（1）设出 ，根据 得到 ，代入抛物线方程，求出答
案；
44
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（2）设直线l的方程为 ，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，根据弦
长列出方程，求出 或 ，得到直线方程.
【详解】（1）由题意得 ，
设 ，则 ，
所以 ， ， ，
所以 ，
由P在抛物线C上可得 ，即 ，
则曲线E的方程为 ．
（2）显然当直线l的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求，
设直线l的方程为 ，设 ， ，
代入 ，消去x得 ，
则 ， ， ，
所以
，
所以 或 ．
所以直线l的方程为 或 ．
27．已知曲线 上任一点到 的距离等于它到直线 的距离．
(1)求曲线 的方程；(2)直线 与抛物线 相切于点 ，且与曲线 交于 两点，求 ．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）设曲线 上任意一点 ，再根据题意建立方程 ，
化简即可求出结果；
（2）根据题设求出直线直线 的方程 ，联立 ，消 得
，再利用弦长公式即可求出结果.
【详解】（1）设曲线 上任意一点 ，
由题有 ，化简得到 ，
所以曲线 的方程为 .
（2）因为直线 与抛物线 相切于点 ，
设直线 的方程为 ， ，
由 ，消 得到 ，
所以 ，即 ，得到 ，
所以直线 的方程为 ，
由 ，消 得 ，所以 ，
则 ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 ，
所以 .
28．已知P为抛物线C： （ ）上一点，且点P到抛物线的焦点F的距离为
12，到y轴的距离为10．
(1)求p的值；
(2)过点F作直线l交C于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程．
【答案】(1)4(2)
【分析】（1）根据抛物线的定义列出方程即可求解；
（2）设A(x ,y )，B(x ,y )，M(x,y)，利用点差法化简计算即可得出结果.
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【详解】（1）由抛物线的定义得 ，
故 ．
（2）由（1）得， ，则抛物线C的方程为 ，焦点 ，
设A(x ,y )，B(x ,y )，M(x,y)，
1 1 2 2
∴ ， ，
当M，F不重合时，相减整理得 ， ，
∴ ，即 ，
当M，F重合时，满足上式．
∴点M的轨迹方程为 ．29．抛物线 的顶点作互相垂直的两弦 ，求抛物线的顶点 在直线
上的射影 的轨迹．
【答案】轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，除去点 .
【分析】设 ，进而结合 得 ，再分别求出直线
方程 和 的方程 ，再消去 即可得轨迹
方程，再根据轨迹说明其轨迹即可.
【详解】解：点 在抛物线 上，设
所以， ，
因为 垂直 ，
所以， ，得 ，
因为
所以， 方程为 ，即 ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！把 代入得 方程 ①
又 的方程为 ②
由①②消去得 得 ，即得 ．
所以，点 的轨迹方程为 ，其轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，
除去点
30．已知抛物线C： 的焦点为F，P为抛物线C上一动点，点Q为线段PF的中点．
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)求点Q的轨迹与双曲线 的交点坐标．
【答案】(1) (2) ， ．
【分析】（1）利用中点坐标公式与直接代入法即可求得点Q的轨迹方程；
（2）联立两曲线方程，解之即可得解.
【详解】（1）设点Q的坐标为 ，
因为抛物线C： ，所以点F的坐标为 ，
又点Q为线段PF的中点，所以点P的坐标 ，
将点P的坐标代入抛物线C的方程，得 ，整理为 ，
故点Q的轨迹方程为 ；
（2）联立方 ，解得 ，
故点Q的轨迹与双曲线 的交点坐标为 ， ．1．在等腰 中，若一腰的两个端点分别为 ， ， 为顶点，求另一腰的
一个端点 的轨迹方程．
【答案】 （ 且 ）
【分析】设 ，求出 ，则 ，化简后再去
掉个别点即可.
【详解】设点 的坐标为 ，
为等腰三角形，且 为顶点， ．
又 ，
，
．
又 点 不能与点 重合，也不能使 ， ， 三点共线．
且 ，
点 的轨迹方程为 （ 且 ）．
2．动点 在曲线 上移动，点 和定点 连线的中点为 ，求点 的轨迹
方程.
【答案】
【分析】设出M和P点的坐标，利用中点坐标公式把M点的坐标用P点的坐标和常数表示，
再由M在定圆上，把M的坐标代入圆的方程整理后即可得到答案.
【详解】设P(x,y)， ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！因为 为 的中点，所以 ，即 ，
又因为点 在曲线 上，所以 ，
所以 ．
所以点 的轨迹方程为 即 .
3．已知圆C： ，直线l： .
(1)设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
(2)若定点 分弦AB为 ，求此时直线l的方程.
【答案】(1) (2) 或
【分析】（1）设 ，根据已知列式 化简，再考虑特殊情况即可
得解；
（2）联立方程组应用韦达定理结合向量关系求出直线方程.
【详解】（1）∵直线l： 过定点 ，
而 在圆C： 内，
∴直线l与圆C总有两个不同的交点；
圆C： 的圆心为C(0,1)，
如图，当M与P不重合时，连接CM，CP，则 ，
∴ .
设 ，则 ，
化简得： ；当M与P重合时， ， 也满足上式，
故弦的中点的轨迹为 ；
（2）设A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
由 ，得 ，
∴ ，化简得 ，①
又由 ，消去y得 .
∴ ，②
由①②解得 ，代入（*）解得 .
∴直线l的方程为 或 .
4．已知动点 到直线 的距离比它到定点 的距离多1，记 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)若过点 的直线 与 相交于 两点，且 ，求直线 的方程.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由抛物线的定义理解动点轨迹，即可写出动点轨迹方程；
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（2）设出直线方程 ，代入抛物线方程，消元后得出韦达定理，由题设等
式解得 的值，检验即得.
【详解】（1）由动点M(x,y)到直线 的距离比它到定点(2,0)的距离多1，
知动点M(x,y)到直线 的距离等于它到定点(2,0)的距离，
故动点M(x,y)的轨迹是以(2,0)为焦点， 为准线的抛物线，
故 的方程为： .
（2）
如图，由题意可设直线 ，
代入 ，消去 得： .
显然有 ，设A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
则 .
由 ，知 .
得 或 ，
解得 .
当 时，直线 经过原点，显然不合题意；
当 时，直线 ，符合题意；
综上，所求直线 的方程为： .5．设 ，定点 ，动点 ，点Q满足 ，经过点Q与x轴垂直的直
线交抛物线 于点C，点P满足 ，求点P的轨迹方程．
【答案】
【分析】设点 ，利用向量的坐标公式求出向量的坐标，代入已知条件中的
向量关系得到各点的坐标关系，表示出Q，C点的坐标，将的坐标代入 ，求出P
的轨迹方程．
【详解】设 ，由点 ， 和 ，
即 ，得点 ，
由经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线 于点C，得 ．
由 ，得
则 ，即 为点P的轨迹方程．
6．已知两个定点A、B的坐标分别为 和 ，动点P满足 （O为坐标
原点）．
(1)求动点P的轨迹E的方程；
54
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(2)设点 为x轴上一定点，求点C与轨迹E上点之间距离的最小值 ；
【答案】(1) (2)
【分析】（1）运用向量知识，结合 ，求出即可；
（2）设 ，则 ，
运用二次函数单调性解题即可.
【详解】（1）设P(x,y)， ， ， ，
， ．因为 ，
则 ，所以 ，所以轨迹E的方程为 ．
（2）设轨迹E： 上任一点为 ，所以 ，
所以 ，
令 ，对称轴为： ，
当 ，即 时， 在区间 严格增，所以当 时， 取得最小值，
即 的最小值为 ，所以 的最小值为 ；
当 ，即 时， 在区间 严格减，在区间 严格增，
所以当 时， 取得最小值，即 的最小值为 ，所以
的最小值为 ，
所以7．在平面直角坐标系xOy中，动圆M与圆N： 相内切，且与直线
相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C．求曲线C的方程．
【答案】 ．
【分析】设动圆圆心M(x,y)，半径为r，根据题意列方程化简可得曲线C的方程．
( 1)
【详解】解：设动圆圆心M(x,y)，半径为r，N 0,
2
1
依题意，|MN|=r− ，r= y+1，
2
消去r，得 √ x2+ ( y− 1) 2 = y+ 1 ，
2 2
化简得 ，
所以曲线C的方程为 ．
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8．已知向量 ， ，点 ， ，直线PD，QD的方向向量分别为
， ，其中 ，记动点D的轨迹为E，求E的方程
【答案】
【分析】设 ，根据向量 分别与 ， 平行列方程组，消去 可
得
【详解】设 ，则 ， ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
由已知得 ，
消 得： ，
∴点D的轨迹方程为 .
9．已知抛物线 的准线方程为 ，直线l与C交于A，B两点，且
（其中O为坐标原点），过点O作 交AB于点D.
(1)求点D的轨迹E的方程；
(2)过C上一点 作曲线E的两条切线分别交y轴于点M，N，求 面积的最小值.
【答案】(1) (2)8．
【分析】（1）由抛物线准线方程即可得到p，从而求得抛物线方程，然后利用两个垂直转
化为向量的数量积为0，再结合点D在直线AB上，得到等式，消元 即可求得点D
轨迹方程；
（2）易知 ，利用切线方程求出M，N的坐标，然后求得|MN|，最后用
表示 的面积，再利用基本不等式即可求得面积的最小值.
【详解】（1）由题意可得 ，即 ，所以抛物线方程为
设 ，则 ，
因为 ，所以 ，
及 ，又由题意可知 ，所以
又 ，且
所以 ，
即 ，
又因为点D在直线AB上，且 ，
所以 ，即 ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 ，
由①②式可得，
当 时， ，解得 ； ，此时 ；
当 时，消 可得， ，即 ，
点(2,0)同样满足该方程，
显然D与O不重合，所以 ，
综上，点D的轨迹E的方程为 ；
（2）因为 ，结合题意可得切线斜率存在且都不为0，
设切线的斜率为 ， 的斜率分别为 ，则
切线方程为 ，即 ，
令 ，得 ，
，
又 ，消元得
因为相切，所以 ，
即
易知 的斜率分别为 是方程③的两个根，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，
，当且仅当 ，即 时，取等号.
综上， 面积的最小值为8.
10．在平面直角坐标系 中，已知 ，其中B，C在x轴上，以 为圆心的圆
内切于 ，与边AB切于点M，且 等于点A到x轴的距离．
(1)求点A运动轨迹的方程；
(2)求 的面积的最小值．
【答案】(1) (2)8
【分析】（1）设A(x ,y )，由圆的切线的性质，得 ，列方程化简即可得
0 0
出答案；
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（2）解法一：设直线AB的方程为 ，由直线与圆E位置关系可得b，c是
方程 的两个根，由韦达定理求出 ，即可表示出 的面积，
由基本不等式即可求出面积的最小值；解法二：利用几何性质求出 ，即可表示出
的面积，由基本不等式即可求出面积的最小值；
【详解】（1）因为圆E与BC相切，B，C在x轴上，所以圆E的半径为1，
设A(x ,y )，由题意知， ．
0 0
由圆的切线的性质，得 ，
因为 等于点A到x轴的距离，
所以 ．
整理得 ，即点A运动轨迹的方程为 ．
（2）解法一：设 ，则直线AB的方程为 ．
由于直线AB与圆E相切，由点到直线的距离公式得 ，
整理得 ．同理有 ．
所以b，c是方程 的两个根，
故 ， ，
则 ，即 ，则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立．
故△ABC的面积的最小值为8．
解法二：（利用几何性质）如图易知， ， ， ，
由内切圆的性质得， ，
所以 ．
因为 ，而
，所以 ，
整理得 ，故 ．
则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立．
故△ABC的面积的最小值为8．
62
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