文档内容
第 30 课 相似三角形（动态几何，坐标问题）
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是线段 上一
点，把 沿直线 翻折，点O恰好落在 上的点D处， 为折痕．
(1)求线段 的长；
(2)求直线 的解析式；
(3)若M是射线 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A，B，M，P为顶点的四边形是以
为一边的矩形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，将线段AP绕点P逆
时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
(1)观察猜想
如图1，当α＝60°时， 的值是 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 ．
(2)类比探究
如图2，当α＝90°时，请写出 ，并就图2的情形说明理由．
(3)解决问题
当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线
上时 的值．
3．问题背景：已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，∠B＝∠A＝∠EDF．
(1)初步尝试：如图①，当△ABC是等边三角形，判断：△ADM △BND（填相似或全等）；
(2)类比探究：如图②，当AC＝BC时，上述结论是否还成立？请说明理由．
(3)延伸拓展：如图③，在（2）的条件下，当点D在BA的延长线上运动到点M与点C重合时，若
S ADM：S BND＝1：2，BN：BM＝1：3，AD＝1，则DN＝ ．
△ △
4．
(1)[基础巩固]如图①，在三角形纸片ABC中， ，将 折叠，使点B与点C重合，折痕为
MN，则AM与BM的数量关系为______；
(2)[思维提高]如图②，在三角形纸片ABC中， ， ，将 折叠，使点B与点C重
合，折痕为MN，求 的值；
(3)[拓展延伸]如图③，在三角形纸片ABC中， ， ， ，将 沿过顶点C的直
线折叠，使点B落在边AC上的点 处，折痕为CM．求线段AC的长；
5．直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴的正半轴上，△ABC面积为10．(1)直接写出点C的坐标；
(2)如图1，F为线段AB的中点，点G在y轴上，以FG为边，向右作正方形FGQP，点Q落在直线BC
上，求点G的坐标；
(3)如图2，M在射线BA上，点N在射线BC上，直线MN交y轴于H点，若HB＝HM，求 的值．
6．如图1，在矩形ABCD中， ， ，点E在AB边上，且 ．点F是BC边上的动点．将
沿EF折叠得到 ．直线GF与直线AB的交点为H．
(1)如图2，点F与点C重合时，求 与 的面积比；
(2)如图3，当H在点A的上方，且满足三角形HEF是等腰三角形时，求线段EH的长．
(3)在点F的运动过程中，以E、G、H为顶点的三角形能否与以B、C、D为顶点的三角形相似？若能，求
BF的长；若不存在，请说明理由．
7．已知：在平面直角坐标系xOy中，直线 过点A（－1，0）、C（2，3）两点．
(1)如图1，求直线的解析式；(2)如图2，过点C作 轴于点B，点E是射线BC上一点，连接AE，过点E作 ，且
．连接FC交x轴于点G，延长FE交直线AC于点P，连接PG，设点P的横坐标为t，△PAG的面积为S，
求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点P作 轴于点H，过点F作 交PH延长线于点K．若
，求点K坐标．
8．如图1，在 中， 于点D，在DA上取点E，使 ，连接BE、CE．
(1)直接写出CE与AB的位置关系；
(2)如图2，将 绕点D旋转，得到 （点 ， 分别与点B，E对应），连接 ，在
旋转的过程中 与 的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由；
(3)如图3，当 绕点D顺时针旋转30°时，射线 与AD、 分别交于点G、F，若
，求 的长．
培优第二阶——拓展培优练
一、解答题
1．综合与实践：
数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．
问题情境：在 中，点P是边 上一点．将 沿直线 折叠，点D的对应点为E．
“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作 ，与 交于点F，连接
，则四边形 是菱形．
(1)数学思考：请你证明“兴趣小组”提出的问题；
(2)拓展探究：“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为 的中点时，延长 交 于点F，连接
．试判断 与 的位置关系，并说明理由．
请你帮助他们解决此问题．(3)问题解决：“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在 边上
时， ， ， ．则 的长为___________．（直接写出结果）
2．已知 中，点 、 分别在边 、 上，且 ，将 绕点 逆时针旋转．设旋转角
为
(1)试说明 ；
(2)若 ， ，当 时，若点 恰好落在 边中点处，求 的值；
(3)若 ， ，当点 恰好落在 边上时，延长 交 于 ，若 ，求 的
值．
3．如图1，在四边形ABCD中， ， ， ．
(1)求∠ACD的度数；
(2)如图2，F为线段CD的中点，连接BF，求证： ；
(3)如图3，若 ，线段BC上有一动点M，连接OM，将 沿OM所在直线翻折至
的位置，P为B的对应点，连接PA，PC，当 的值最小时，设O到直线PC的距离为 ，PC的长
度为 ，直接写出 的值．
4．（1）【探究发现】如图①所示，在正方形 中， 为 边上一点，将 沿 翻折到
处，延长 交 边于 点．求证：（2）【类比迁移】如图②，在矩形 中， 为 边上一点，且 将 沿 翻折到
处，延长 交 边于点 延长 交 边于点 且 求 的长．
（3）【拓展应用】如图③，在菱形 中， 为 边上的三等分点， 将 沿 翻折得
到 ，直线 交 于点 求 的长．
5．小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．
(1)温故：如图1，在 中， 于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，且 ．若 ， ，则正方形PQMN的边长等于______．
(2)操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画
，在AB上任取一点 ，画正方形 ，使 ， 在BC边上， 在 内，连结 并
延长交AC于点N，画 于点M， 交AB于点P， 于点Q，得到四边形PQMN．
(3)推理：如图3，若点E是BN的中点，求证： ．
(4)拓展：在（2）的条件下，射线BN上截取 ，连结EQ，EM（如图4）．当 时，猜
想 的度数，并尝试证明．
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．
6．矩形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，连
接AB，将 ABC沿AB折叠得 ABE，AE交y轴于点D，线段OD、OA的长是方程x2－7x＋12＝0的两个
根，且OA＞OD．
△ △
(1)请直接写出点A的坐标为________，点D的坐标为________；
(2)点P为直线AB上一点，连接PO、PD，当 POD的周长最小时，求点P的坐标；
(3)点M在x轴上，点N在直线AB上，坐标平面内是否在点Q，使以B、M、N、Q为顶点的四边形为正方
△
形?若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
7．问题情境：如图1所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE BC，在图1中将 ADE绕A
点顺时针旋转一定角度，得到图2，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM= BD，EN= CE，得到图
3，请解答下列问题：(1)猜想证明：若AB=AC，请探究下列数量关系：
①在图2中，BD与CE的数量关系是_________．
②在图3中，猜想∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；
(2)拓展应用：其他条件不变，若AB= AC，按上述操作方法，得到图4，请你继续探究：∠MAN与
∠BAC的数量关系？AM与AN的数量关系？直接写出你的猜想．
8．如图，矩形 中， ， ，点 是 的中点， 是射线 上一点，延长 交直线
于 ，过 作 ，分别交射线 、直线 于 、 ．
(1)①当 时， ______；
②点 在 上取不同位置， 的值是否变化？若不变，求出它的值，若改变，请说明理由；
(2)连接 ，当 是等腰直角三角形时，求 的长；
(3)直接写出 的最小值______．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、解答题
1．（2022·广东深圳·中考真题）（1）【探究发现】如图①所示，在正方形 中， 为 边上一点，
将 沿 翻折到 处，延长 交 边于 点．求证：（2）【类比迁移】如图②，在矩形 中， 为 边上一点，且 将 沿 翻折到
处，延长 交 边于点 延长 交 边于点 且 求 的长．
（3）【拓展应用】如图③，在菱形 中， 为 边上的三等分点， 将 沿 翻折得
到 ，直线 交 于点 求 的长．
2．（2022·四川达州·中考真题）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角
三角形 和等腰直角三角形 ，按如图1的方式摆放， ，随后保持 不动，
将 绕点C按逆时针方向旋转 （ ），连接 ， ，延长 交 于点F，连接
．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：(1)【初步探究】如图2，当 时，则 _____；
(2)【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出 ， ， 之间的数量关系：_________；
(3)【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；
若不成立，请说明理由．
(4)【拓展延伸】如图5，在 与 中， ，若 ， （m为
常数）．保持 不动，将 绕点C按逆时针方向旋转 （ ），连接 ， ，延长
交 于点F，连接 ，如图6．试探究 ， ， 之间的数量关系，并说明理由．
3．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴交于点A，
与y轴交于点 ，与直线OC交于点 ．
(1)求直线AB的函数表达式；
(2)过点C作 轴于点D，将 沿射线CB平移得到的三角形记为 ，点A，C，D的对应
点分别为 ， ， ，若 与 重叠部分的面积为S，平移的距离 ，当点 与点B重
合时停止运动．
①若直线 交直线OC于点E，则线段 的长为________（用含有m的代数式表示）；②当 时，S与m的关系式为________；
③当 时，m的值为________．
4．（2022·内蒙古通辽·中考真题）已知点 在正方形 的对角线 上，正方形 与正方形
有公共点 ．
(1)如图1，当点 在 上， 在 上，求 的值为多少；
(2)将正方形 绕 点逆时针方向旋转 ，如图2，求： 的值为多少；
(3) ， ，将正方形 绕 逆时针方向旋转 ，当 ， ， 三点共
线时，请直接写出 的长度．
5．（2022·辽宁营口·中考真题）如图1，在正方形 中，点M为 边上一点，过点M作
且 ，连接 ，点P，Q分别为 的中点，连接 ．
(1)证明： ；
(2)将图1中的 绕正方形 的顶点D顺时针旋转 ．①（1）中的结论是否成立？若成立，请结合图2写出证明过程；若不成立，请说明理由；
②若 ，在 绕点D旋转的过程中，当B，M，N三点共线时，请直接写出线段
的长．
6．（2022·黑龙江绥化·中考真题）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两
腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．
(1)如图一，在等腰 中， ， 边上有一点D，过点D作 于E， 于F，过
点C作 于G.利用面积证明： ．
(2)如图二，将矩形 沿着 折叠，使点A与点C重合，点B落在 处，点G为折痕 上一点，过
点G作 于M， 于N.若 ， ，求 的长．
(3)如图三，在四边形 中，E为线段 上的一点， ， ，连接 ，且 ，
， ， ，求 的长．
