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专题突破卷 20 曲线的轨迹方程问题
题型一：椭圆的轨迹方程问题
1．如图所示，以过焦点 的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立平面直
角坐标系．其中 ，椭圆上任意一点 满足 ，求椭圆
的标准方程．
2．已知椭圆 的离心率为 ，且 过点 .
(1)求 的方程；(2)若AB分别为 的上、下顶点.O为坐标原点，直线l过 的右焦点F与 交于C，D两点，
与y轴交于P点.
①若E为CD的中点求点E的轨迹方程；
②若AD与直线BC交于点Q，求证 为定值.
3．记椭圆 的左，右顶点和左，右焦点分别为 ， ， ， ，P是E上除
左右顶点外一点，记P在E处的切线为l，作直线 交l于点 ，作直线
交l于点 ，记直线 与 的交点为Q．
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)求 ；
(3)求四边形 面积的最大值．附：椭圆 在点 处的切线
为 （P在椭圆上）．
4．如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的左焦点为 为椭圆 上的动
点（异于左顶点），定点 在 轴上，点 满足 ，直线 与椭圆 交于
两点．
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)求点 的轨迹方程；
(2)证明： 为 中点．
5．已知椭圆 的长轴长为 ，离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过 作一条斜率存在且不为0的直线 交 于 两点.
（i）证明：直线 和直线 的斜率均存在且互为相反数；
（ii）若直线 与直线 交于点 ，求 的轨迹方程.
6．已知椭圆 ，过 外一点 作 的两条切线 ，分别交 轴于 两点.
(1)记 的倾斜角分别为 .若 ，求 的轨迹方程.
(2)求 面积的最小值.
7．已知点 在曲线 上， 为坐标原点，若点 满足 ，记动点
的轨迹为 .
(1)求 的方程；(2)设 的右焦点为 ，过点 且斜率不为0的直线 交椭圆 于 两点，若 与 轴垂
直，且 是 与 在第一象限的交点，记直线 与直线 的斜率分别为 ，当
时，求 的面积.
8．已知曲线 上的点 满足 .
(1)化简曲线 的方程；
(2)已知点 ，点 ，过点 的直线 （ 斜率存在）与椭圆 交于不同
的两点 ，直线 与 轴的交点分别为 ，证明： 三点在同一圆上.
9．椭圆 上有动点P，点 ， 分别是椭圆的左、右焦点，求 的重心M的
轨迹方程.
10．已知点P，Q是圆 上的两个动点，若直线OP与OQ的斜率都存在且满足
．
(1)当 时，求PQ的中点M的轨迹方程；
(2)当 时，椭圆 与动直线PQ恒相切，求椭圆C的标准方程．
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！题型二：双曲线的轨迹方程问题
11．已知直线 与双曲线 相切于点 .
(1)试在集合 中选择一个数作为 的值，使得相应的 的值存在，并求出相应
的 的值；
(2)过点 与 垂直的直线 分别交 轴于 两点， 是线段 的中点，求点 的轨迹
方程.
12．在平面直角坐标系 中，已知双曲线 经过点 ，点 与点 关于
原点对称， 为 上一动点，且 异于 两点.
(1)求 的离心率；
(2)若△ 的重心为 ，点 ，求 的最小值；
(3)若△ 的垂心为 ，求动点 的轨迹方程.
13．已知点 是双曲线 的上顶点．
(1)若点 的坐标为 ，延长 交双曲线于点 ，求点 的坐标；
(2)双曲线 与直线 有唯一的公共点 ，过点 且与 垂直的直线分别
交 轴， 轴于 两点，当点 运动时，求点 的轨迹方程．14．已知过点 的直线 与双曲线 ： 的左右两支分别交于 、 两点.
(1)求直线 的斜率 的取值范围；
(2)设点 ，过点 且与直线 垂直的直线 ，与双曲线 交于 、 两点.
当直线 变化时， 恒为一定值，求点 的轨迹方程.
15．已知双曲线 与直线 ： 有唯一的公共点 ，
过点 且与 垂直的直线分别交 轴、 轴与 ， 两点.点 的坐标为 ，
当 点的坐标为 时， 点坐标为 .
(1)求双曲线的标准方程；
(2)当点 运动时，求 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
16．已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，-2），点C满
足 ，其中 ，且 .
(1)求点C的轨迹方程；
(2)设点C的轨迹与双曲线 ，（a>0）交于两点M，N，且OM ON，求该双曲
线的方程.
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17．设动点P到两定点 和 的距离分别为 和 ， ，且存在常
数 ，使得 ．
(1)证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
(2)如图，过点 的直线与双曲线C的右支交于 两点．问：是否存在 ，使 是
以点B为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
18．如图所示，过双曲线C： 的左焦点F作直线l与双曲线交于P、Q，以OP、
OQ为邻边作平行四边形OPMQ，求点M的轨迹方程.19．双曲线 的一条渐近线为 ，且一个焦点到渐近线的距
离为 .
(1)求双曲线方程；
(2)过点 的直线 与双曲线交于异支两点 ，求点 的轨迹方程.
20．（1）已知A， 两点的坐标分别是 ， ，直线 ， 相交于点 ，且
它们的斜率之积是 .求点 的轨迹方程，并判断轨迹的形状：
（2）已知过双曲线 上的右焦点 ，倾斜角为 的直线交双曲线于A， 两点，
求 .
题型三：抛物线的轨迹方程问题
21．抛物线 的对称轴为 轴，定点为坐标系原点，焦点 为直线 与坐标轴的
交点．
(1)求 的方程；
(2)已知 ，过点 的直线交 与 两点，又点 在线段 上（异于端点），且
，求点 的轨迹方程．
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22．第一象限的点 在抛物线 上，过点 作 轴于点 ，点 为 中
点．
(1)求 的运动轨迹曲线 的方程；
(2)记 的焦点分别为 ，则四边形 的面积是否有最值？
23．已知直线 与抛物线 交于A，B两点，F为抛物线的焦点.
(1)若 ，求m的值；
(2)求线段AB中点M的轨迹方程.
24．已知抛物线C： 的焦点F到准线的距离为2．
(1)求C的方程；
(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求点Q的轨迹方程．
25．已知圆M过点 ，且与直线 相切．
(1)求圆心M的轨迹 的方程；
(2)过点 的直线交抛物线 于A，B两点，过点 和A的直线与抛物线 交于另一
点C，证明：直线CB过定点．26．已知F是抛物线C： 的焦点，点P在C上，点Q满足 ，点Q的轨迹
为曲线E．
(1)求曲线E的方程；
(2)过点F的直线l与曲线E交于M，N两点， ，求直线l的方程．
27．已知曲线 上任一点到 的距离等于它到直线 的距离．
(1)求曲线 的方程；
(2)直线 与抛物线 相切于点 ，且与曲线 交于 两点，求 ．
28．已知P为抛物线C： （ ）上一点，且点P到抛物线的焦点F的距离为
12，到y轴的距离为10．
(1)求p的值；
(2)过点F作直线l交C于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程．
29．抛物线 的顶点作互相垂直的两弦 ，求抛物线的顶点 在直线
上的射影 的轨迹．
30．已知抛物线C： 的焦点为F，P为抛物线C上一动点，点Q为线段PF的中点．
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)求点Q的轨迹与双曲线 的交点坐标．
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1．在等腰 中，若一腰的两个端点分别为 ， ， 为顶点，求另一腰的
一个端点 的轨迹方程．
2．动点 在曲线 上移动，点 和定点 连线的中点为 ，求点 的轨迹
方程.
3．已知圆C： ，直线l： .
(1)设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
(2)若定点 分弦AB为 ，求此时直线l的方程.
4．已知动点 到直线 的距离比它到定点 的距离多1，记 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)若过点 的直线 与 相交于 两点，且 ，求直线 的方程.
5．设 ，定点 ，动点 ，点Q满足 ，经过点Q与x轴垂直的直
线交抛物线 于点C，点P满足 ，求点P的轨迹方程．6．已知两个定点A、B的坐标分别为 和 ，动点P满足 （O为坐标
原点）．
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)设点 为x轴上一定点，求点C与轨迹E上点之间距离的最小值 ；
7．在平面直角坐标系xOy中，动圆M与圆N： 相内切，且与直线
相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C．求曲线C的方程．
8．已知向量 ， ，点 ， ，直线PD，QD的方向向量分别为
， ，其中 ，记动点D的轨迹为E，求E的方程
9．已知抛物线 的准线方程为 ，直线l与C交于A，B两点，且
（其中O为坐标原点），过点O作 交AB于点D.
(1)求点D的轨迹E的方程；
(2)过C上一点 作曲线E的两条切线分别交y轴于点M，N，求 面积
的最小值.
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10．在平面直角坐标系 中，已知 ，其中B，C在x轴上，以 为圆心的圆
内切于 ，与边AB切于点M，且 等于点A到x轴的距离．
(1)求点A运动轨迹的方程；
(2)求 的面积的最小值．
