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第一章 勾股定理
1.2 一定是直角三角形吗
基础篇
一、单选题
1．【2022长春市第七十八中检测】下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由勾股定理的逆定理逐一分析各选项，从而可得答案．
【详解】
解： 故 不符合题意；
故 不符合题意；
故 符合题意；
故 不符合题意；
故选：
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握“利用勾股定理的逆定理判断三角形是不是直角三角形．”是解题
的关键
2【2022西交大二附中第一次检测】．若 的三边为下列四组数据，则能判断 是直角三角形
的是（ ）
A．1、2、2 B．2、3、4 C．6、7、8 D．6、8、10
【答案】D【分析】
利用勾股定理的逆定理逐一判断各选项即可得到答案．
【详解】
解：
不是直角三角形，故 不符合题意；
不是直角三角形，故 不符合题意；
不是直角三角形，故 不符合题意；
是直角三角形，故 符合题意；
故选：
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握利用勾股定理的逆定理判断直角三角形是解题的关键．
3．【2022沣东第一中学】下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52 C．3，4，5 D． ， ，
【答案】C
【分析】
根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足 ，称为勾股数．由此判定即可．
【详解】
解：A、 能构成直角三角形，但不是整数，不能构成勾股数，故选项错误；
B、 不能构成勾股数，故选项错误；
C、 能构成勾股数，故选项正确；D、 又不是整数，不能构成勾股数，故选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查勾股数，勾股定理的逆定理，掌握理解勾股数的含义是解题的关键．
4．【2022咸阳实验中学】在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件不能判断△ABC
是直角三角形的是（ ）
A．∠B＝∠C+∠A B．a2＝（b+c）（b﹣c）
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝3：4：5
【答案】C
【分析】
由三角形的内角和定理求解 可判断 由勾股定理的逆定理可判断 由三角形的内角和定理求解
可判断 设 则 利用勾股定理的逆定理可判断
【详解】
解：
故 不符合题意；
故 不符合题意；
不是直角三角形，故 符合题意，设 则
故 不符合题意，
故选：
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
5．【2022韩城交大分校】△ABC的三边长分别为a，b，c，由下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是
（ ）
A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠A＝∠C﹣∠B
C．a：b：c＝1： ：2 D．a2＝（b＋c）（b﹣c）
【答案】A
【详解】
解：设△ABC中，∠A的对边是a，∠B的对边是b，∠C的对边是c，
A、∵∠A＝2∠B＝3∠C，
∴∠B＝ ∠A，∠C＝ ∠A，
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＋ ∠A＋ ∠A＝180°，
解得：∠A＝（ ）°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
B、∵∠A＝∠C﹣∠B，
∴∠A＋∠B＝∠C，
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵a：b：c＝1： ：2，
∴ ，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵ ，
∴ ，
即 ，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
6．【2022南京师范大学附中】已知ΔABC的三边分别长为a，b，c，且满足 +|b-15|+
-16c+64=0，则ΔABC是（ ）
A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形
【答案】A
【详解】
∵(a-17)2+|b-15|+c2-16c+64=0，
∴(a-17)2+|b-15|+(c-8)2=0，
∴a-17=0，b-15=0，c-8=0，
∴a=17，b=15，c=8，
∵82+152=172，
∴△ABC是以a为斜边的直角三角形；
故选：A．
7．【2022北京师范大学模拟】如图所示，在正方形 中，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴
影部分），得到长为 的正方形，则下列等式成立的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意，在正方形ABCD中，将它剪去4个全等的直角三角形，得到长为c的正方形，在 中，
， ， ，即可得出结论．
【详解】
根据题意，在正方形ABCD中，将它剪去4个全等的直角三角形，得到长为c的正方形，
∴在 中， ， ， ，
∴ ，A选项不符合题意；
根据勾股定理得： ，符合题意；
C： ，不符合题意；
D： ，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，正确理解题意是解题的关键．
提升篇二、填空题
8．【2022北京人大附中模拟】若一个直角三角形的两边长分别是4cm，3cm，则第三条边长是 ___cm．
【答案】 或
【详解】
【解析】解：当4cm，3cm为这个直角三角形的直角边时，则有第三边为 ；
当4cm为这个直角三角形的斜边时，则有第三边为 ；
所以综上所述第三边长为 cm或 cm；
故答案为 或 ．
9．【2022广州市八十四中模拟】如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形 ，中间阴影部分
是一个小正方形 ，这样就组成一个“赵爽弦图”．若 ，则正方形 的面积
为____．
【答案】4
【分析】
利用勾股定理求得直角边的较短边，进一步根据正方形EFGH的面积=大正方形面积-4个直角三角形面积即
可求得正方形EFGH的面积．
【详解】
解：直角三角形直角边的较短边为 =6，
正方形EFGH的面积=10×10-8×6÷2×4=100-96=4．
故答案为：4．
【点睛】此题考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的推导过程是解决问题的关键．
10.．【2022西安市高新一种模拟】如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等
的直角三角形围成的，若 ，将四个直角三角形中的边长为 的直角边分别向外延长一倍，
得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是________。
【答案】
【分析】
由题意∠ACB为直角，AD=6，利用勾股定理求得BD的长，进一步求得风车的外围周长．
【详解】
解：依题意∠ACB为直角，AD=6，
∴CD=6+6=12，
由勾股定理得，BD2=BC2+CD2，
∴BD2=122+52=169，
所以BD=13，
所以“数学风车”的周长是：(13+6)×4=76．【点睛】
本题是勾股定理在实际情况中应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直
角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．
三、解答题
11.【2022长安一中第一次检测】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB 上一点，BD＝9，CD＝12
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）由 证明 从而可得答案；
（2）设 则 再利用勾股定理列方程： 解方程可得答案．
【详解】
证明：（1）
（2）
设 则【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理与勾股定理的逆定理是解题的关
键．
12.【2022铁一中期中考试】已知：如图，四边形ABCD，∠A＝90°，AD＝12，AB＝16，CD＝15，BC＝25．
（1）求BD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）BD＝20；（2）S ＝246．
四边形ABCD
【分析】
（1）由∠A＝90°，AD＝12，AB＝16，利用勾股定理：BD2＝AD2+AB2，从而可得答案；
（2）利用勾股定理的逆定理证明：∠CDB＝90°，再由四边形 的面积等于两个直角三角形的面积之
和可得答案．
【详解】
解：（1）∵∠A＝90°，AD＝12，AB＝16，
∴BD2＝AD2+AB2，∴BD2＝122+162，
∴BD＝20；
（2）∵BD2+CD2＝202+152＝625，
CB2＝252＝625，
∴BD2+CD2＝CB2，
∴∠CDB＝90°，
∴S ＝S +S ，
四边形ABCD Rt△ABD Rt△CBD
＝246．
【点睛】
本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
