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专题突破卷 21 圆锥曲线中的定直线问题
题型一：椭圆中的定直线问题
1．已知椭圆C： 的左右顶点分别为A，B，过 的直线与椭圆C交于E，
F两点（异于左右顶点），直线AE，BF相交于点P．
(1)求证：点P在定直线上；
(2)线段EF的中点为M，求 面积的最大值．
2．已知椭圆C： 的右顶点为 ，离心率为 ，过点 的直
线l与C交于M，N两点．
(1)若C的上顶点为B，直线BM，BN的斜率分别为 ， ，求 的值；
(2)过点M且垂直于x轴的直线交直线AN于点Q，证明：线段MQ的中点在定直线上．3．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，上､下顶点分别为 ，
四边形 的面积为 且有一个内角为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若以线段 为直径的圆与椭圆 无公共点，过点 的直线与椭圆 交于 两点
（点 在点 的上方），线段 上存在点 ，使得 ，求 的最小值.
4．已知椭圆 的短轴长为 ，左、右顶点分别为 ，过右焦点
的直线 交椭圆 于 两点（不与 重合），直线 与直线 交于点 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)求证：点 在定直线上.
5．已知椭圆 的左､右焦点分别为 是 上一点，且点
到点 的距离之和为 .
(1)求 的方程；
(2)斜率为 的直线 与 交于 两点，则 的外心是否在一条定直线上？若在，求
出该直线的方程；若不在，请说明理由.
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6．已知椭圆 的两个顶点分别为 、 ，焦点在 轴上，离心率为 ，直线
与椭圆 交于 、 两点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)当 变化时，是否存在过点 的定直线 ，使直线 平分 ？若存在，求出该定
直线的方程；若不存在，请说明理由.
7．已知椭圆 的右焦点为 ，过点 且不垂直于坐标轴的直线交
于 两点， 在 两点处的切线交于点 ．
(1)求证：点 在定直线上，并求出该直线方程；
(2)设点 为直线 上一点，且 ，求 的最小值．
8．已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 是C上一点，
.点 分别为C的上、下顶点，直线 ： 与C相交于 两点，
直线 交于点P.
(1)求C的标准方程；
(2)证明点Р在定直线 上，并求直线 ， 围成的三角形面积的最小值.9．平面直角坐标系xOy中，面积为9的正方形 的顶点 分别在x轴和y轴上滑动，
且 ，记动点P的轨迹为曲线 ．
(1)求 的方程；
(2)过点 的动直线l与曲线 交于不同的两点 时，在线段 上取点Q，满足
．试探究点Q是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若
不是，说明理由．
10．已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于P，Q两点，过点 作垂直于 轴的直线与直线AQ相交于点
，证明：线段PM的中点在定直线上．
题型二：双曲线中的定直线问题
11．已知双曲线 的右焦点为 ，过点 的直线 交双曲线 于点 ，
且 的最小值为 .
(1)求 的方程；
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(2)若 均在 的右支上且 的外心落在 轴上，求直线 的方程.
12．动点 与定点 的距离和它到定直线 的距离的比是2，记动点 的
轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)过 的直线 与 交于 两点，且 ，若点 满足 ，
证明：点 在一条定直线上.
13．在平面直角坐标系 中，O为坐标原点， ，动点P满足 ，
设点P的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 的直线l与曲线 在y轴右侧交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点
M，N的点D，满足 ．证明：点D在定直线上．
14．已知双曲线C的中心为坐标原点O，C的一个焦点坐标为 ，离心率为 ．
(1)求C的方程；
(2)设C的上、下顶点分别为 ， ，若直线l交C于 ， ，且点N在第
一象限， ，直线 与直线 的交点P在直线 上，证明：直线MN过定点．
15．已知双曲线 的左､右顶点分别是 ，直线 与 交于 两点（不与重合），设直线 的斜率分别为 ，且 .
(1)判断直线 是否过 轴上的定点.若过，求出该定点；若不过，请说明理由.
(2)若 分别在第一和第四象限内，证明：直线 与 的交点 在定直线上.
16．已知双曲线C： ，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于
A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为 .
(1)求C的方程；
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB
交于点N， ， 均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理
由.
17．已知曲线 上的动点 满足 ，且 .
(1)求 的方程；
(2)若直线 与 交于 、 两点，过 、 分别做 的切线，两切线交于点 .在以下两
个条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立.
①直线 经过定点 ；
②点 在定直线 上.
18．已知双曲线C： 的离心率为 ，过点 的直线l与C左右
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）．
(1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）；
(2)若A，B为双曲线的左右顶点，且 ，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在
定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由
19．已知双曲线 的离心率为 ，左､右焦点分别为 ，点
坐标为 ，且 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 的动直线 与 的左､右两支分别交于两点 ，若点 在线段 上，满足
，证明： 在定直线上.
20．已知 、 分别为双曲线 的上、下焦点，其中 坐标为
点 是双曲线 上的一个点.
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知过点 的直线与 上支交于不同的A、B两点，在线段
AB上取点Q，满足 ，证明：点Q总在某条定直线上.题型三：抛物线中的定直线问题
21．已知抛物线 ，过点 的直线 与 交于不同的两点 .当直线
的倾斜角为 时， .
(1)求 的方程；
(2)在线段 上取异于点 的点 ，且满足 ，试问是否存在一条定直线，使
得点 恒在这条定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由.
22．已知抛物线 的焦点为 ，过 作互相垂直的直线 ，分别与 交
于 和 两点（A，D在第一象限），当直线 的倾斜角等于 时，四边形 的
面积为 ．
(1)求C的方程；
(2)设直线AD与BE交于点Q，证明：点 在定直线上．
23．若抛物线 的方程为 ，焦点为 ，设 是抛物线 上两个不同的动点.
(1)若 ，求直线 的斜率；
(2)设 中点为 ，若直线 斜率为 ，证明 在一条定直线上.
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24．已知抛物线C:x2= y，过点 作直线交抛物线C于A，B两点，过A，B两点分别
作抛物线C的切线交于点P．
(1)证明：P在定直线上；
(2)若F为抛物线C的焦点，证明：∠PFA=∠PFB．
25．已知抛物线 的焦点为 ，直线 ： 与直线 与抛物
线 分别交于点 和点 .
(1)若 ，求 的面积；
(2)若直线 与 交于点 ，证明：点 在定直线上.
26．已知抛物线 ，过点 的两条直线 、 分别交 于 、 两点
和 、 两点．当 的斜率为 时， ．
(1)求 的标准方程；
(2)设 为直线 与 的交点，证明：点 在定直线上．
27．已知抛物线C： ，过 的直线与C相交于A，B两点，其中O为坐标原点.
(1)证明：直线OA，OB的斜率之积为定值；
(2)若线段AB的垂直平分线交y轴于M，且 ，求直线AB的方程.
28．已知抛物线 和圆 ，倾斜角为45°的直线 过 的焦点且与 相切．
(1)求p的值：
(2)点M在 的准线上，动点A在 上， 在A点处的切线l 交y轴于点B，设
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，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程．
29．已知直线 与抛物线C： 交于A，B两点，分别过A，B两点作C的切线，
两条切线的交点为 .
(1)证明点D在一条定直线上；
(2)过点D作y轴的平行线交C于点E，线段 的中点为 ，
①证明： 为 的中点；
②求 面积的最小值.
30．已知直线 与抛物线C： 交于A，B两点，分别过A，B两点作C的切线，
两条切线的交点为D．
(1)证明点D在一条定直线上；
(2)过点D作y轴的平行线交C于点E，求 面积的最小值．
1．椭圆 的左右焦点分别为 ，焦距为 ，点M为椭圆上位
于x轴上方的一点， ，且 的面积为2.
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)求椭圆C的方程；
(2)过点 的直线l与椭圆交于A，B两点，且 ，求直线l的方程.
2．已知 为 的两个顶点， 为 的重心，边 上的两条中
线长度之和为6.
(1)求点 的轨迹 的方程.
(2)已知点 ，直线 与曲线 的另一个公共点为 ，直线 与
交于点 ，求证：当点 变化时，点 恒在一条定直线上.
3．已知椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，且 ，离心率为
，过点 的直线l与椭圆C顺次交于点Q，P．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在定直线 与直线 交于点G，使 ，G，Q共线．
4．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， 且双曲
线 经过点 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 作动直线 ，与双曲线的左、右支分别交于点 、 ，在线段 上取异于点 、 的点 ，满足 ，求证：点 恒在一条定直线上．
5．在直角坐标平面内，已知 ， ，动点 满足条件：直线 与直线 的斜
率之积等于 ，记动点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)过点 作直线 交 于 ， 两点，直线 与 交点 是否在一条定直线上？
若是，求出这条直线方程；若不是，说明理由．
6．已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知点 是双曲线 的右支上异于顶点 的任意点，点 在直线 上，且 ，
为 的中点，求证：直线 与直线 的交点在某定曲线上．
7．设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率k 的直线 与 交于A，D两点，
.
（1）求 ；
（2）若 在 上，过点 作 的弦 ， ，若 ，证明：直线 过定点，
并求出定点的坐标.
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8．已知F为抛物线 的焦点，直线 与C交于A，B两点且
.
（1）求C的方程.
（2）若直线 与C交于M，N两点，且 与 相交于点T，证明：点
T在定直线上.
9．设抛物线 的焦点为 ，过点 的动直线 与抛物线 交于 ，
两点，当 在 上时，直线 的斜率为 .
（1）求抛物线的方程；
（2）在线段 上取点 ，满足 ， ，证明：点 总在定直线上.
10．已知抛物线C： （ ）与圆O： 相交于A，B两点，且点A的
横坐标为 .F是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N.
（1）求抛物线C的方程.
（2）过点M，N作抛物线C的切线 ， ， 是 ， 的交点，求证：点P在定直
线上.
