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专题突破卷 20 立体几何的截面问题
1.作出截面图
1．如图，直四棱柱 的底面为正方形， 为 的中点．
(1)请在直四棱柱 中，画出经过 三点的截面 并写出作法（无需证明）．
(2)求截面 的面积．
【答案】(1)图形见解析
(2)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）取 的中点 ，连接 、 、 、 ，则四边形 即为所求；
（2）依题意可得四边形 为菱形，连接 ， ，求出 ， ，即可得解.
【详解】（1）取 的中点 ，连接 、 、 、 ，
则四边形 即为过点 、 和 的平面截直四棱柱 所得截面 ；
取 的中点 ，连接 、 ，因为 为 的中点， 为直四棱柱，底面 为正
方形，
所以 且 ， 且 ，所以 且 ，
所以 为平行四边形，所以 ，
又 且 ，所以 为平行四边形，所以 ，
所以 ，即 、 、 、 四点共面.
（2）在直四棱柱 中， ， 、 分别为 、 的中点，
所以 ，
所以四边形 为菱形，连接 ， ，则 ，
又 ， ，
所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．如图，在棱长为2的正方体 中，E，F，G分别为 的中点.过 作该正方
体的截面，使得该截面与平面 平行，写出作法，并说明理由；
【答案】答案见解析
【分析】利用线面平行的判定定理、面面平行的判定定理即可求解.
【详解】取 的中点H，
连接 ，截面 为要求作的截面.
理由如下：
因为E，F分别为 的中点，所以 ，
又 平面 平面 ，所以 平面 .
A B C D
1 1 1 1
在正方形 中，因为G为 的中点，
所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，同理可证 ，
又 平面 平面 ，
可得 平面 .
又 ， 平面 ，
所以平面 平面 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】连接 ，因为G为 的中点， H为 中点，
所以 ，
又 ，则 ，
所以 ，B，H，G四点共面，
从而截面 为要求作的截面.
3．如图，正方体 的棱长为6， 是 的中点，点 在棱 上，且 .作出过
点 ， ， 的平面截正方体 所得的截面，写出作法；
【答案】答案见解析
【分析】由平面的基本性质作图.
【详解】如图所示，五边形 即为所求截面.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】作法如下：连接 并延长交 的延长线于点 ，
连接 交 于点 ，交 的延长线于点 ，
连接 交 于点 ，连接 ， ，
所以五边形 即为所求截面.
4．如图，在正方体 ，中，H是 的中点，E，F，G分别是DC，BC，HC的中点．求证：
(1)证明；F，G，H，B四点共面；
(2)平面 平面 ﹔
(3)若正方体棱长为1，过A，E， 三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)画图见解析，截面的面积为 ．
【分析】（1）连接BH，可得 ，即可证明F，G，H，B四点共面；
（2）由面面平行的判定定理即可证明；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）取 的中点N，连接 ， ，取 的中点M，连接 ， ，画出截面 ，求解即
可.
【详解】（1）证明：连接BH，∵FG为 的中位线，
∴ ，∴F，G，H，B四点共面；
（2）由（1）知， ，
∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ；
∵ ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，
∵ ，EF、EG都在面EFG内，∴平面 平面
（3）取 的中点N，连接 ， ，∴ ， ，
取 的中点M，连接 ， ，∴ ， ，
∴截面 为平行四边形，且 ，
所以截面的面积为 ．
5．如图，在棱长为2的正方体 中，E，F，G分别为 的中点.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)过 作该正方体的截面，使得该截面与平面 平行，写出作法，并说明理由；
(2)设 分别为棱 上一点， 与 均不重合，且 ，求三棱锥 体积的最大
值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）取 的中点H，连接 ，所以截面 为要求作的截面.通过面面平行的
判定进行证明；
（2）利用三棱锥的体积公式并结合均值不等式进行求解.
【详解】（1）取 的中点H，
连接 ，所以截面 为要求作的截面.
理由如下：
因为E，F分别为 的中点，所以 ，又 平面 平面 ，所以 平面
.
A B C D
1 1 1 1
在正方形 中，因为G为 的中点，所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，同理可证 ，
又 平面 平面 ，可得 平面 .
又 ， 平面 ，所以平面 平面 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】连接 ，因为G为 的中点， H为 中点，所以 ，又 ，则 ，
所以 ，B，H，G四点共面，从而截面 为要求作的截面.
（2）设 ，由 ，
得 ，则 ，
当仅当 时，等号成立.
，
因为 ，所以三棱琟 体积的最大值为 .
2.截面的周长及面积问题
6．如图，在棱长为1的正方体 中， 分别为棱 的中点，过 作该正方体
外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】易得正方体外接球的球心在其中心点 处，要使过 的平面截该球得到的截面面积最小，则截
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】面圆的圆心为线段 的中点 求解.
【详解】解：如图，
正方体外接球的球心在其中心点 处，球的半径 ，
要使过 的平面截该球得到的截面面积最小，则截面圆的圆心为线段 的中点 ，
连接 ，则 ，
所以 ，
此时截面圆的半径 ，
此时，截面面积的最小值 .
故选：C.
7．已知正方体 的棱长为2，点 为线段 的中点，若点 平面 ，且 平面 ，
则平面 截正方体 所得截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】记 的中点分别为E，F，先证三角形 即为平面 截正方体所得截面，然后可得周长.
【详解】记 的中点分别为E，F，连接 ，
由正方体性质可知， 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 平面 ，所以
又 为正方形，所以
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以
因为P，E分别为 的中点，所以 ，所以 ，
同理可证，
又 ， 平面
所以 平面 ，
所以三角形 即为平面 截正方体所得截面，
易知三角形 为正三角形，
所以截面周长为 .
故选：C
8．在棱长为2的正方体 中，P，Q是 ， 的中点，过点A作平面 ，使得平面
平面 ，则平面 截正方体所得截面的面积是（ ）
A． B．2 C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】C
【分析】取 中点 ， 中点 ，利用面面平行的判定定理确定平面 ，利用余弦定理及三角形面
积公式求解即可.
【详解】如图，取 中点 ， 中点 ，连接 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，又 ，
平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ，
即三角形 为所得截面 ，
在 中， ， ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
9．如图，在棱长为4的正方体 中， 的中点是P，过点 作与截面 平行的截面，
则该截面的周长为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】分别取 的中点 ，可得四边形 为平行四边形，即为过点 的截面，求出其周
长可得答案.
【详解】分别取 的中点 ，连接 ，
可得 ，可得四边形 为平行四边形，可得 ，
因为 ，所以四边形 为平行四边形，可得 ，
所以 ，所以四边形 为平行四边形， ，
平面 即为过点 的截面，
平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ，所以四边形 为平行四边形，可得 ，
平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
且 ， 平面 ，所以平面 平面 ，
， ，
所以截面 的周长为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：C.
10．在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”，如图，棱柱 为一
“堑堵”， 是 的中点， ，则在过点 且与直线 平行的截面中，当截面图形为
等腰梯形时，该截面的面积等于 ，该“堑堵”的外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】取中点，利用线线平行可得线面平行，进而可得四边形 即为符合要求的等腰梯形．即可由
长度关系确定 、 、 均为等边三角形．由三角形面积即可求解空1，补形为正方体，即
可由正方体的外接球求解.
【详解】如图，分别取 的中点E，F，G，连接FG，EP，EF， ，
则 且 ．在直三棱柱 中，易知 且 ，
∵E，P分别为 的中点， 且 ，
∴四边形 为平行四边形， 且 ，
，目 ， 四点共面．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∵E，F分别为 的中点， ，又 平面 ， 平面 ，
平面 ．
，且F，G分别为 的中点， ，
，
∴四边形 即为符合要求的等腰梯形．
当 不是 的中点时， 不平行于平面 ，
则四边形 不是等腰梯形，故等腰梯形有且仅有一个．
取 的中点 ，连接DF、DG，
∵ ， ，且点 为 的中点，∴ 且 ，
∴四边形 为平行四边形，可得 ，同理可得 ，
、 、 均为等边三角形．
．
将三棱柱 补成正方体 ，
则其外接球即为正方体的外接球，故正方体的体对角线为外接球的一条直径，
∴外接球的直径 ，
故球的表面积为 ．
故答案为： ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】11．在正三棱柱 中， ， ， ， ，平面CMN截三棱柱所得
截面的周长是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先作出截面，再根据几何关系求边长，即可求解周长.
【详解】如图1，延长 与 交于点 ，连结 ，与 交于点 ，
连结 ，则四边形 为所求截面，
其中 ， ，
如图2， ，所以 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】如图1，若 ，则 ，所以 ，
即点 是 的中点，
所以 ，
中， ，
所以 ，
所以四边形 的周长为 .
故选：B
3.截面分体积
12．在斜三棱柱 中， ， 分别为侧棱 ， 上的点，且知 ，过 ， ，
的截面将三棱柱分成上下两个部分体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知中三棱柱的侧棱 和 上各有一动点 ， 满足 ，可得四边形 与四
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】边形 的面积相等，等于侧面 的面积的一半，根据等底同高的棱锥体积相等，可将四棱锥
的体积转化三棱锥 的体积，进而根据同底同高的棱锥体积为棱柱的 ，求出四棱锥
的体积，进而得到答案.
【详解】设三棱柱 的体积为
侧棱 和 上各有一动点 ， 满足 ，
四边形 与四边形 的面积相等.
故四棱锥 的体积等于三棱锥 的体积等于 .
则四棱锥 的体积等于 .
故过 ， ， 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积比为
故选： .
13．如图，正方体 ，中，E､F分别是棱AB､BC的中点，过点 ､E､F的截面将正方体分
割成两个部分，记这两个部分的体积分别为 ，记 ，则 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【分析】根据平面的基本性质画出过 的截面，再利用柱体、锥体的体积公式求 ，即可得结果.
【详解】延长 交 的延长线与点 ，连接 交 于点 ，连接 ：
延长 交 的延长线与点 ，连接 交 于点 ，连接 ：
所以过 的截面为 ，如下图示：
设正方体的棱长为 ，
则过 的截面下方几何体的体积为
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以另一部分体积为 ，则 .
故答案为：
14．如图，在长方体 中， ．分别过 的两个平行截面将长方
体分成三部分，其体积分别记为 ，若 ，则截面
的面积为（ ）
A． B． C． D．16
【答案】C
【分析】由体积比求出 的长，则 ，进而即可得到截面 的面积.
【详解】因为长方体 平面 平面 ，
平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，同理可得 ，
所以 ， ， ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 ，
故选：C.
15．如图，正方体 中，点 ， ，分别是 ， 的中点，过点 ， ， 的截面将正
方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图所示，过点 ， ， 的截面下方几何体转化为一个大的三棱锥，减去两个小的三棱锥，上
方部分，用总的正方体的体积减去下方的部分体积即可.
【详解】作直线 ，分别交 于 两点，连接 分别交 于 两点，
如图所示， 过点 ， ， 的截面即为五边形 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设正方体的棱长为 ，
因为点 ， ，分别是 ， 的中点
所以 ，即 ，
因为 ，
所以
则过点 ， ， 的截面下方体积为： ，
∴另一部分体积为 ，
∴ .
故选：C.
16．在棱长为a的正方体 中，E，F分别为棱BC， 的中点，过点A，E，F作一个截面，
该截面将正方体分成两个多面体，则体积较小的多面体的体积为 .
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】先作出截面 ，判断出 为三棱台，结合台体体积公式运算求解.
【详解】如图，依次连接 ，四边形 即为所求截面，
因为点E、F分别为棱 、 的中点，所以 ∥ ，
可知 为三棱台，所以 ，
其体积 ，
且正方体的体积为 ，
则另一部分的体积为 ，
因为 ，所以体积较小的多面体的体积为 .
故答案为： .
17．如图所示，已知平行六面体 ，E是 中点，过 的截面 把平行六面体分成两个部分，
求左右两部分体积之比.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】7：17
【分析】被截面 分割成的左边的几何体是个三棱台，要求其体积，由于E为中点，可补成锥体
，也即补上一个全等的平行六面体 就能迅速求解.
【详解】
的延长线交 延长线于 ，由E为 中点知A为 中点，联结 ，则 和 的交点必在
F.作 ， ， ，即补上一个全等的平行六面体.
，
，
.
又
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， .
4.球截面问题
18．在三棱锥 中， 和 都是等边三角形， ，平面 平面 ，M是棱
AC上一点，且 ，则过M的平面截三棱锥 外接球所得截面面积的最大值与最小值之和
为（ ）
A．24π B．25π C．26π D．27π
【答案】D
【分析】根据题设找到三棱锥 外接球球心位置，由已知及球体截面的性质求过M平面截球体的最
大截面积，根据外接球球心、面面垂直以及比例关系易知 共线，且过M平面截球体的最小截面积
时 该平面，且 ，即可求最大、最小面积和.
【详解】由题设，若 为 中点， 分别是等边 和等边 的中心，
连接 ，则 分别在 上，且 ，
， ， ， 面 ，故 面 ，
又 面 ，所以，面 面 ，
又面 面 ，过 作面 的垂线与过 作面 的垂线交于 ，
即 面 ， 面 ，则 为 外接球球心，
面 ，且 ， ，则 面 ，所以面 面 ，
综上，结合面 面 ，面 面 ，则面 、面 为同一平面，所以
面 ，
由面 面 ， ， 面 ，面 面 ，
所以 面 ， 面 ，即 ，且 知： 为正方形，
如图，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，若 外接球半径为 ，
所以 ，
由球体的性质，要使过M平面截三棱锥 外接球所得截面面积的最大，则平面必过球心，
所以，最大截面圆面积为 ，
要使过M平面截三棱锥 外接球所得截面面积的最小，则 该平面，
因为 ，而 都在面 上，故 ，
而 ，故 ，显然 共线，故 ，
此时截面圆的半径为 ，则 ，
所以，最小截面圆面积为 ，
综上，最大值与最小值之和为 .
故选:D.
【点睛】关键点点睛：根据球的性质判断过M平面截棱锥外接球截面面积最大、最小时截面与 的位置
关系，利用几何关系求截面圆半径，最后求面积和.
19．已知正四面体ABCD的表面积为 ，E为棱AB的中点，球О为该正四面体的外接球，则过DE的平
面被球О所截得的截面面积最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据表面积求出四面体的棱长，得出外接球的半径，根据截面圆的性质可得答案.
【详解】设正四面体 的棱长为 ，则 ，∴ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴正四面体的高为 ；
将正四面体 放置于正方体中，如图1所示：可得正方体的外接球就是正四面体 的外接球，
∵正四面体 的棱长为2，∴正方体的棱长为 ，可得外接球半径 满足 ，
E为棱AB的中点，过DE作其外接球的截面，当球心O到截面的距离最大时，截面圆的面积达到最小值，
此时球心O到截面的距离等于O到DE的距离，O到DE的距离为 ，
可得截面圆的半径为 ，得到截面圆的面积最小值为 .
故选:C.
20．在矩形 中， ，将 沿对角线 翻折至 的位置，使得平面 平
面 ，则在三棱锥 的外接球中，以 为直径的截面到球心的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，取 的中点为 ，连接 ，过 作 ，垂足为 ，连接 ，可证 为三
棱锥 的外接球的球心，利用解直角三角形可求 ，据此可求球心到以 为直径的截面
的距离.
【详解】如图，取 的中点为 ，连接 ，过 作 ，垂足为 ，连接 .
因为三角形 为直角三角形，故 ，
同理 ，故 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 为三棱锥 的外接球的球心，而 ，
因为 ， 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，故 平面 ，
而 平面 ，故 .
在直角三角形 中， ，故 ，
故 ，
在直角三角形 中， ，
故 ，故 .
设球心到以 为直径的截面的距离为 ，
则 ，
故选：B.
【点睛】思路点睛：三棱锥外接球的球心，可根据球心的定义来判断（即球心到各顶点的距离相等），而
球面截面圆的半径、球心到截面的距离、球的半径可构成直角三角形.
21．已知三棱锥 满足 底面 ，在 中， ， ， ， 是线段
上一点，且 ，球 为三棱锥 的外接球，过点 作球 的截面，若所得截面圆的面积的
最小值与最大值之和为 ，则球 的表面积为（ ）
A．72π B．86π C．112π D．128π
【答案】D
【分析】先找到外接球球心，过 的中点 作 ，则 平面 ，取 ，则 为
外接球球心，过点 作球 的截面，最大的截面过球心，最小的截面是过 且与 垂直的截面，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由此可用 表示出两截面圆半径．
【详解】如图， 是 边中点， 是 边中点，∵ ，∴ 是 的外心，
作 ，∵ 平面 ，∴ 平面 ， 平面 ，
∴ ，取 ，易得 ，
∴ 是三棱锥 的外接球的球心.
是 中点，则 ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
设 ，则 ， ，又 ，
∴ ，
过 且与 垂直的截面圆半径为 ，则 ，
这是最小的截面圆半径，最大的截面圆半径等于球半径 ，
∴ ， ，
， .
故选：D.
22．如图，已知正四棱锥 的所有棱长均为4，平面 经过 ，则平面 截正四棱锥
的外接球所得截面圆的面积的最小值为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接 、 交于 ，连接 ，求出 ， ，可得点 即为正四棱锥 的外接
球球心，取 中点 ，连接 ，当 时，截面圆的面积最小，线段 也即此时截面圆的直径，求
出截面圆的面积即可．
【详解】连接 ， 交于 ，连接 ，则 底面 且 是 中点，
， ，
所以 到 ， ， ， ， 的距离均为 ，点 即为正四棱锥 的外接球球心，取 中点 ，
连接 ，分析可知，当 时，截面圆的面积最小，线段 也即此时截面圆的直径，所以截面圆的
面积的最小值为 ．
故选：C．
23．已知三棱锥 中，Q为BC中点， ，侧面 底面 ，则过
点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为 ．
【答案】
【分析】连接 ，找到球心 到平面 和平面 的射影为 和 的中心 , ，再通过
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理得到 ，再利用勾股定理求出相关长度，找到截面圆的
最值情况，代入计算即可得到答案.
【详解】连接 ,由 ,
可知： 和 是等边三角形,
设三棱锥 外接球的球心为 ,
所以球心 到平面 和平面 的射影是 和 的中心 , ，
是等边三角形, 为 中点,所以 ,
又因为侧面 底面 ,侧面 底面 ， 侧面 ，
所以 底面 ,而 底面 ,因此 ,
所以 是矩形,应为 和 是边长为4的等边三角形,
所以两个等边三角形的高 ,
在矩形 中, ，
连接 ,所以 ,
设过点 的平面为 ,当 时,此时所得截面的面积最小,该截面为圆形,
可得 ,
因此圆 的半径为 ,
所以此时面积为 ,当点 在以 为圆心的大圆上时,此时截面的面积最大,
面积为: ,所以截面的面积范围为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为： .
5.求截面图形的个数
24．过正四面体 的顶点P作平面 ，若 与直线 ， ， 所成角都相等，则这样的平面的
个数为（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】如图补全四棱柱 ，易得平面 与直线 ， ， 所成角都相等，即可得一
个平面 ，说明 ， ， 与平面 所成的角相等，同理可得直线 ， ， 与平面 、平
面 所成角都相等，从而可得出答案.
【详解】解：如图，将正四面体 看成四棱柱 的左下角一部分，
由正四面体 可知，
平面 与直线 ， ， 所成角都相等，
故过点P做平面 平面 ，
则此时的平面 与直线 ， ， 所成角都相等，
因为 ，
则 与平面 所成的角相等，
又因 ，
所以直线 ， ， 与平面 所成的角相等，
故过点P做平面 平面 ，
则此时的平面 与直线 ， ， 所成角都相等，
同理，直线 ， ， 与平面 、平面 所成角都相等，
即平面 平面 时，平面 与直线 ， ， 所成角都相等，
平面 平面 时，平面 与直线 ， ， 所成角都相等，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上所述，这样的平面的个数为4个.
故选：B.
25．正方体 中 与 的交点 称为正方体 的中心，平面 经过点 ，
且顶点 ， 到平面 的距离相等，则这样的平面 的个数为（ ）
A．1 B．2 C．0 D．无数个
【答案】D
【分析】取正方体各条棱的中点并连接，形成三个过点 的平面，显然这三个平面是符合题意的平面，根
据排除法可知，选项D正确.
【详解】
由题意得，取正方体各条棱的中点并连接，如图，形成三个过点 的平面，显然这三个平面是符合题意的
平面，根据排除法可知，选项D正确.
故选：D.
26．设四棱锥 的底面不是平行四边形, 用平面 去截此四棱锥,使得截面四边形是平行四边形,则
这样的平面
A．有无数多个 B．恰有 个 C．只有 个 D．不存在
【答案】A
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】
如图由题知面 与面 相交，面 与面 相交，可设两组相交平面的交线分别为 ，由
决定的平面为 ，作 与 且与四条侧棱相交，交点分别 则由面面平行的性质定理
得： 从而得截面必为平行四边形．由于平面 可以上下平移，可知满足条件
平面 有无数多个．故本题答案选 ．
27．用一个平面去截正四面体，使它成为形状、大小都相同的两个几何体，则这样的平面的个数为 .
【答案】9.
【分析】根据正四面体的结构特征，分别取各条棱的中点，利用相交直线确定的平面，即可求解.
【详解】由题意，如图所示，设三棱锥 的各条棱长都相等，
取 的中点 ，分别连接 ，
则两相交直线 所确定的平面可把正四面体分成形状、大小都相同的两个几何体，
同理分别取各条棱的中点，可构成6个这样的平面，满足题意，
所以这样的平面的个数为6个.
还有过AB，AC，SB，SC的中点构成的平行四边形所在平面，可把正四面体分成形状、大小都相同的两
个几何体，
类似这种共有3个.
所以共有9个
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，其中解答中确定正四面体性质和结构特征是解答的关键，
着重考查了空间想象能力，属于基础题.
6.截面的最值问题
28．在三棱锥 中， ，平面 经过 的中点E，并且与BC垂直，当
α截此三棱锥所得的截面面积最大时，此时三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取 靠近 的四等分点 ， 的中点 ， 截此三棱锥所得的截面为平面 ，当
时截面面积最大， ， 为 ， 外接圆圆心，球心 满足 面 ， 面
，由 求得外接球的半径进而求得球的表面积.
【详解】
如图所示，取 中点 及靠近 的四等分点 ， 的中点 ，连接 ， ， ， ， ，
由 ，所以 ，又 是 中点， 是 的中点，所以
可知 ，同理可得 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，所以平面 即为平面 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
所以 截此三棱锥所得的截面面积为 ，
当 时， 取得最大值，
设外接球球心为 ，半径为 ， ， 分别为 ， 外接圆圆心，球心 满足 面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】面 ，
又因为 和 均为边长为4的正三角形，所以 ，
所以四边形 为正方形，且 ，又 ,所以
，
∴ .
故选：D.
29．在正方体 中，平面 经过点B、D，平面 经过点A、 ，当平面 分别截正方
体所得截面面积最大时，平面 所成的锐二面角大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设平面 与面 所成的二面角为 ，二面角 为 ，分 和 两种情
况讨论，证明平面 经过点B、D且截正方体所得截面面积最大时，平面 与面 重合，从而可得出
答案.
【详解】平面 经过点B、D且截正方体所得截面面积最大时，平面 与面 重合，
证明：设平面 与面 所成的二面角为 ，二面角 为 ，
当 时，记平面 截正方体所得截面为面 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
令 ，
因为 ，所以 ，
当 时，显然平面 截正方体所得截面面积最大时，
截面为面 ，
当 时，平面 截正方体所得截面为 ，
所以平面 截正方体所得截面面积最大时截面为面 ，
同理平面 过 时，截正方体所得截面面积最大时截面为面 ，
连接 ，面 与面 所成锐二面角为 ，
因为 面 面 ，
所以 的所成角大小为二面角 大小，
因为 ，所以面 与面 所成锐二面角大小为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：C．
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于说明平面 经过点B、D且截正方体所得截面面积最大时，平
面 与面 重合，考查了分类讨论思想和极限思想.
30．已知圆锥的侧面积为20π，底面圆O的直径为8，当过圆锥顶点的平面截该圆锥所得的截面面积最大
时，则点O到截面的距离为 .
【答案】
【分析】由题可得圆锥的高，母线长，可得过圆锥顶点的平面截该圆锥所得的截面为直角三角形时面积最
大，再利用等体积法即求.
【详解】设圆锥的底面圆的半径为r，高为h,母线长为l,则 ，
∴ ，h=3,
由于h
