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第 31 课 投影
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．下列现象是物体的投影的是（ ）
A．灯光下猫咪映在墙上的影子 B．小明看到镜子里的自己
C．自行车行驶过后车轮留下的痕迹 D．掉在地上的树叶
【答案】A
【解析】解：A．灯光下猫咪映在墙上的影子是投影，符合题意；；
B．小明看到镜子里的自己是镜面对称，不是投影，不符合题意；
C．自行车行驶过后车轮留下的痕迹不是投影，不符合题意；
D．掉在地上的树叶不是投影，不符合题意，
故选：A
【点睛】考查了投影的知识，判断的关键在于熟练掌握投影的定义．
2．球的正投影是（ ）
A．圆面 B．椭圆面 C．点 D．圆环．
【答案】A
【解析】略
3．下列各种现象属于中心投影的是（ ）
A．晚上人走在路灯下的影子 B．中午用来乘凉的树影
C．上午人走在路上的影子 D．阳光下旗杆的影子
【答案】A
【分析】根据中心投影的性质，找到光源是灯光即可得．
【解析】解：A、晚上人走在路灯下的影子，光源是灯光，是中心投影，则此项符合题意；
B、中午用来乘凉的树影，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
C、上午人走在路上的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
D、阳光下旗杆的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了中心投影，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光．
4．媛媛拿一个等边三角形木框在阳光下玩（木框宽度忽略不计），等边三角形木框在地面上形成的投影不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在
变，方向也在改变，依此进行分析．
【解析】解：当等边三角形木框与阳光平行时，投影是A；
当等边三角形木框与阳光垂直时，投影是C；
当等边三角形木框与阳光有一定角度时，投影是D；
投影不可能是B．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同．
5．身高为155cm的小军和身高为165cm的小明站在同一盏路灯下，则小军与小明在同一路灯下的影长说
法正确的是( )
A．小军的影子长 B．小明的影子长 C．一样长 D．无法确定
【答案】D
【分析】根据中心投影的意义解答即可．
【解析】解：在路灯的照射下两人的影长不仅与身高有关，而且与到路灯的距离有关，离路灯越近，影子
短，在距离路灯一样的地点处，身高高的影子就相应的长些，
故无法确定．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心投影，掌握中心投影的概论是解题的关键．
6．如图是某学校操场上单杠（图中实线部分）在地面上的影子（图中虚线部分），可判断形成该影子的
光线为（ ）
A．该影子实际不可能存在 B．可能是太阳光线也可能是灯光光线C．太阳光线 D．灯光光线
【答案】D
【分析】根据平行投影和中心投影的特点分析判断即可．
【解析】解：若影子是由太阳光照射形成的，则两条直线一定平行；若影子是由灯光照射形成的，则两条
直线一定相交．据此可判断形成该影子的光线为灯光光线．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行投影和中心投影的特点及规律，解题关键是准确区分平行投影和中心投影．
7．如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面距离BC＝1米，已知
某一时刻BC在地面的影长CN＝1.5米，AC在地面的影长CM＝4.5米，则AB高为（ ）
A．3.5 B．2 C．1.5 D．2.5
【答案】B
【分析】由题意可得 ，根据平行线分线段成比例的性质可得 ，求得 ，即可求解．
【解析】解：由题意可得 ，
根据平行线分线段成比例的性质可得 ，
即 ，
解得： ，
，
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例性质的应用，解题的关键是掌握平行线分线段成比例的性质．
8．一天下午，小明先参加了校运动会男子 比赛，过一段时间又参加了男生 比赛，如图是摄影
师在同一位置拍摄了他参加这两场比赛的照片，那么下列说法正确的是（ ）A．乙照片是参加 的 B．甲照片是参加
C．乙照片是参加 的 D．无法判断甲、乙两张照片
【答案】A
【分析】根据影子的位置和大小，可以判断，下午影子在身体的东边，随着时间的推移，影子会越来越长，
因此乙的影子较短，故时间较早．
【解析】解：下午，影子在身体的东边，时间越早影子越短，故乙是参加200m的图片，
故选：A．
【点睛】本题考查平行投影的特点和规律，根据影子的位置和长短，可以判断时间的先后．
二、填空题
9．如图，日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，晷针在晷面上所形成的投影属于______投影．
【答案】平行
【分析】根据太阳光是平行光线可以判定晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影．
【解析】解：因为太阳光属于平行光线，而日晷利用日影测定时刻，所以晷针在晷面上所形成的投影属于
平行投影．
故答案为：平行．
【点睛】本题考查的是平行投影的概念：如果把中心投影法的投射中心移至无穷远处，则各投射线成为相
互平行的直线，这种投影法称为平行投影法．
10．下列投影：①中午林荫道旁树的影子；②海滩上撑起的伞的影子；③跑道上同学们的影子；④晚上路
灯下亮亮的手在墙上的投影．其中是平行投影的是_____（填序号）．
【答案】①②③
【分析】对于①②③，光源都是太阳光线，是平行投影；而④中的路灯是点光源，其光线不平行，是中心投影，由此可得出答案．
【解析】根据平行投影的定义：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影．
因为①②③中的光源都是太阳光，所以①②③都是平行投影；④中的路灯是点光源，不是平行投影，故④
错误，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查的是平行投影和中心投影，明确平行投影和中心投影的联系与区别是解本题的关键．
11．小华家客厅有一张直径为 高为 的圆桌 有一盏灯 到地面垂直距离 为 圆桌的影子
为 ，则点 到点 的距离为_______．
【答案】4
【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解析】解：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴ = .
∵AB=1.2，
∴CD=2.
又∵FC=2,
∴DF=CD+FC=2+2=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
12．如图，地面A处有一盏射灯，小超在A与墙BC之间运动，则他在墙上的投影长度随着他离射灯的距
离的变大而________．（填“变大”“变小”或“不变”）【答案】变小
【分析】利用相似三角形的性质可得影长BD与小超离光源的距离AF是反比例函数关系，从而可作出选择．
【解析】解：如图所示：
∵EF∥BD，
∴△AEF∽△ADB，
∴
∴ ．
∵光源与墙BC的距离AB为定值，小超的身高EF也为定值，
∴EF∙AB是定值，记为k，
则 ，
∴影长BD与小超离光源的距离AF是比例函数关系，
即小超在墙上的投影长度随着他离射灯的距离的变大而变小．
故答案为：变小．
【点睛】本题考查了投影及相似三角形的应用，根据相似三角形的性质得出影长与离光源的远近是反比例
函数关系，即垂直于地面的物体离光源越近，影长越长；离光源越远，影长越短．学会用数学思考问题是
解答的关键．
13．如图，把一根直的细铁丝（记为线段AB）放在三个不同位置；三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？（1）铁丝平行于投影面；
（2）铁丝倾斜于投影面；
（3）铁丝垂直于投影面（铁丝不一定要与投影面有交点）．
通过观察，我们可以发现：
（1）当线段AB平行于投影面α时，它的正投影是线段AB，线段与它的投影的大小关系为
1 1
AB_____AB；
1 1
（2）当线段AB倾斜于投影面α时，它的正投影是线段AB，线段与它的投影的大小关系为
2 2
AB______AB；
2 2
（3）当线段AB垂直于投影面α时，它的正投影是一个________．
【答案】 = > 点A(B)
3 3
【解析】略
14．小明家的客厅有一张直径为1米，高0.75米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为
DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为 ，则点E的坐标是______．
【答案】
【分析】根据相似三角形的相似比等于对应高的比，列方程求出DE，进而求出OE，确定点E的坐标．
【解析】解：过点B作BF⊥x轴，垂足为F，由题意得，BF=0.75，BC=1，
∵BC DE，
∴ ABC∽△ADE，
△
∴ = ，
即： ，
解得：DE=1.6，
∴OE=2+1.6=3.6，
∴E（3.6，0），
故答案为：（3.6，0）．
【点睛】考查中心投影的意义，将中心投影的问题转化为相似三角形的问题进行解答是常用的方法．
三、解答题
15．把下列物体与它们的投影用线连接起来．【答案】见解析
【分析】根据正投影的定义解答即可．
【解析】解：如图：
【点睛】本题主要考查了正投影，理解投影的定义成为解答本题的关键．
16．婷婷、小张在路灯下的影子如图所示，画出小高在该路灯下的影子（可以用线段表示影子）．
【答案】见解析
【分析】先根据婷婷、小张在路灯下的影子结合中心投影的性质，连接物体的顶点与其影长的顶点，两条
连线的延长线的交点是路灯的位置，即光源的位置，再画出小高的影长即可.
【解析】解：如图所示．【点睛】本题考查的是中心投影及中心投影的性质，确定中心投影时光源的位置是解题的关键.
17．如图是两根木杆及其影子的图形．
(1)这个图形反映的是中心投影还是平行投影？答： ．
(2)请你在图中画出表示小树影长的线段AB．
【答案】(1)中心投影
(2)图见详解
【分析】（1）根据木杆和影子画出投影线，根据投影线是否平行即可判断是中心投影还是平行投影；
（2）根据路灯的位置，与小树顶端连线即可得到小树的影长AB．
（1）
解：如图，分别过两根木杆的顶端与各自影子的顶端画两条直线，相交于点O，
∴这个图形反映的是中心投影；
（2）
解：如图，连接点O与小树的顶端，与水平线相交于点B，小树底端为A，线段AB即小树影长．
【点睛】本题考查了平行投影和中心投影，根据投影线之间的关系判断出是哪一种投影是解题的关键．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．下列结论正确的有（ ）
①同一时刻，同一公园内的物体在阳光照射下，影子的方向是相同的
②物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的
③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关
④物体在点光源照射下，影子的长短仅与物体的长短有关
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】利用平行投影和中心投影的特点进行逐项分析即可．
【解析】解：①由于太阳光线是平行光线，所以物体在阳光照射下，影子的方向是相同的，故正确；
②物体在太阳光线照射下影子的方向都是相同的，在灯光的照射下影子的方向与物体的位置有关，故错误；
③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关，故正确；
④物体在点光源的照射下，影子的长短与物体的长短和光源的位置有关，故错误．
所以正确的只有2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行投影和中心投影的特点，解题关键是理解：平行投影的特点是：在同一时刻，不
同物体的物高和影长成比例；中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近
的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光
源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
2．三根等长的木杆竖直地立在平地的同一个圆周上，圆心处有一盏灯光，其俯视图如图所示，图中画出
了其中一根木杆在灯光下的影子．下列四幅图中正确画出另两根木杆在同一灯光下的影子的是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据中心投影的定义，结合中心投影下物体的影子的位置、长短进行判断即可．
【解析】解：A．根据中心投影的意义，结合中心投影下影子的位置、长短关系可知，选项A符合题意；
B．由于是中心投影，根据三个杆子的位置可知，三个杆子的影子的位置不是同一个方向，因此选项B不
符合题意；
C．根据光源在圆心，结合其影子的位置可知，故选项C不符合题意；
D．利用中心投影下影子位置可得，选项D中的杆子的位置与影子不相匹配，因此选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了中心投影，理解中心投影的意义，掌握中心投影下物体的影子的位置、长短关系
是正确判断的前提．
3．如图，在平面直角坐标系中，点(2，2)是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为(0，1)，(3，1)．则木杆
AB在x轴上的投影A′B′长为（ ）A． B． C．5 D．6
【答案】D
【分析】利用中心投影，延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，证明
PAB∽△PA′B′，然后利用相似比可求出A'B'的长．
△【解析】解：延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，
∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）．
∴PD=1，PE=2，AB=3，
∵AB∥A′B′，
∴△PAB∽△PA′B′，
∴ ，即 ，
∴A′B′=6，
答：木杆AB在x轴上的投影A'B'的长为6．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影
是放大（即位似变换）的关系．4．下面四幅图是两个物体不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序正确的是（ ）
A．A⇒B⇒C⇒D B．D⇒B⇒C⇒A C．C⇒D⇒A⇒B D．A⇒C⇒B⇒D
【答案】C
【分析】根据平行投影的特点和规律可知，C、D是上午，A、B是下午，再据影子的长度即可解答.
【解析】根据平行投影的特点和规律可得，C、D是上午，A、B是下午，再对比影子的长度可知先后为C
D A B.
【点睛】本题主要考察平行投影的特点，熟练掌握平行投影的特点是解题的关键.
5．圆桌面（桌面中间有一个直径为1m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面
的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面
2m，则地面圆环形阴影的面积是（ ）
A．2πm2 B．3πm2 C．6πm2 D．12πm2
【答案】B
【分析】先根据AC⊥OB，BD⊥OB可得出 AOC∽△BOD，由相似三角形的对应边成比例可求出BD的长，
进而得出BD′＝1m，再由圆环的面积公式即△可得出结论．
【解析】解：如图所示：
∵AC⊥OB，BD⊥OB，
∴△AOC∽△BOD，
∴ ，即 ，
解得：BD＝2m，同理可得：AC′＝0.5m，则BD′＝1m，
∴S ＝22π﹣12π＝3π（m2）．
圆环形阴影
故选B．
【点睛】考查的是相似三角形的应用以及中心投影，利用相似三角形的对应边成比例得出阴影部分的半径
是解题关键．
6．在小明住的小区有一条笔直的路，路中间有一盏路灯，一天晚上他行走在这条路上如图，当他从 点
走到 点的过程，他在灯光照射下的影长 与所走路程 的变化关系图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据中心投影的特点，当他从A点走到路灯下时，影长l逐渐变小，当从路灯下走到B点时，影
长l逐渐变长，从而可对四个选项进行判断．
【解析】解：当他从A点走到路灯下时，影长l逐渐变小，当从路灯下走到B点时，影长l逐渐变长, 即随
S的逐渐增大，l先由大变小，再由小变大，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了函数图象以及中心投影的性质，得出l随s的变化规律是解决问题的关键．
二、填空题
7．高为8米的旗杆在水平地面上的影子长为6米，同一时刻测得附近一个建筑物的影子长30米，则此建
筑物的高度为_____米．
【答案】40
【分析】根据投影的实际应用，在同一时刻太阳光线平行，不同物体的实际高度与影长之比相等建立方程，
可求出答案．
【解析】解：设建筑物的的高为x米，可得方程：，
解得： =40
答：此建筑物的高度为40米．
故答案是：40
【点睛】本题主要考查投影中的实际应用，正确理解相似三角形在平行投影中的应用是解题的关键．
8．天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量
祈年段的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿 长2米，在太阳光下，
它的影长 为1.5米，同一时刻，祈年殿的影长 约为28.5米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度
约为__________米．
【答案】38
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，据此解答即可．
【解析】解：根据相同时刻的物高与影长成比例，
设祈年殿 的高度为 米，
则可列比例为 ，
解得 ．
所以祈年殿 的高度为38米．
故答案为：38．
【点睛】本题考查了投影的知识，利用在同一时刻物高与影长的比相等的知识，考查利用所学知识解决实
际问题的能力．
9．一块直角三角形板 ， ， ， ，测得 边的中心投影 长为 ，
则 长为__ ．【答案】
【分析】由题意易得△ABC∽△ ，根据相似比求解即可．
【解析】解： ， ， ， ＝24，
∴ ，
∵ △ ，
，即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用，解题的关键是利用中心投影
的特点可知这两组三角形相似，利用其相似比作为相等关系求出所需要的线段．
10．据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，
借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图所示，木杆EF的长为2m，它的影长FD
为3m，测得OA为201m，则金字塔的高度BO为_____ m．
【答案】134
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者
构成的两个直角三角形相似.
【解析】据相同时刻的物高与影长成比例，设金字塔的高度 为 ，则可列比例为： ，
解得： 米.
故答案为： .
【点睛】本题主要考查同一时刻物高和影长成正比.考查利用所学知识解决实际问题的能力.
11．现有m，n两堵墙，两个同学分别站在A处和B处，请问小明在哪个区域内活动才不被这两个同学发
现(用阴影部分的序号表示)________．
【答案】①②③
【分析】根据图形找出AB两点的盲区即可
【解析】由图可知，①②③都在AB两个视点的盲区内，因此在这三处，不会被两个同学发现，因此选
①②③.
【点睛】投影和视图是本题的考点，根据图形正确找出盲区是解题的关键.
12．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一
时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片 ，此时各叶片影子在点M右侧成线段 ，测得
，垂直于地面的木棒 与影子 的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于
___________米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于___________米．【答案】 10
【分析】过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作BI⊥OJ，
垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，求出CH的长度，根据 ，求出OM的长度，证明
，得出 ， ，求出IJ、BI、OI的长度，用勾股定理求出OB的长，即可算出
所求长度．
【解析】如图，过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作
BI⊥OJ，垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，
由题意可知，点O是AB的中点，
∵ ，
∴点H是CD的中点，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵由题意可知： ，
∴ ，解得 ，
∴点O、M之间的距离等于 ，
∵BI⊥OJ，
∴ ，
∵由题意可知： ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，∴四边形IHDJ是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∵在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴叶片外端离地面的最大高度等于 ，
故答案为：10， ．
【点睛】本题主要考查了投影和相似的应用，及勾股定理和平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是
解答本题的关键．
三、解答题
13．如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在
广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置，
（1）在小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为
．
（2）请你在图中画出小亮站立AB处的影子．【答案】（1）变短；（2）见详解．
【分析】（1）先选取B，O之间一点D，分别作出小亮的影子，比较代表影长的线段长度即可得出变化情
况即可；
（2）连结线段PA，并延长交底面于点E，得到线段BE即可．
【解析】解（1）在小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程取点D，
通过灯光在B处小亮的影长为BE，当小亮走到D处时，小亮的影长为FD，
BE＞FD，
∴小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短，
故答案为：变短；
（2）如图所示，连结PA，并延长交底面于E，则线段BD为求作小亮的影长．
【点睛】本题考查投影知识，从远处向灯光处走去影长的变化，掌握影长变化规律，向灯光走近，影长变
短，远离灯光，影长变长，先走近再走远先变短再变长是解题关键．14．如图，在安装路灯AB的路面CD比种植树木的地面PQ高 ，身高 的红英MN站在距离
C点15米的路面上．在路灯的照射下，路基CP留在地面上的影长EP为0.4米，
(1)画出红英MN在地面的影子NF；
(2)若红英留在路面上的影长NF为3m，求路灯AB的高度．
【答案】(1)见解析
(2)9米
【分析】（1）根据相似即可画出影子NF；
（2）如图，设AB=x m，CB=y m．构建方程组解决问题即可．
（1）解：如图所示：
（2）解：设 ， ∵ ， ， ∴ ∴解得 ，经检
验 是分式方程的解，∴ ，答：灯AB的高度为 米．【点睛】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程组
解决问题．
15．小军和小丽准备测量学校旗杆的高度，如图，小军站在点D处时，他的影子顶端恰好与旗杆的影子顶
端重合，小丽测得小军的影子 ，小军向西走 到达点F处时，测得旗杆顶端A的仰角为 ，
已知小军的身高 ．点B、F、D、G在同一水平直线上， ， ， ，
求旗杆 的高度．
【答案】
【分析】如图，连接 并延长，交 于点 ，根据题意分别气得 ，根据 列出比例
式，代入数据解方程即可求解．
【解析】解：如图，连接 并延长，交 于点 ，
， ， ，
则四边形 是矩形，
是等腰直角三角形，
设 ，
，，即
解得
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
16．雨后的一天晚上，小明和小亮想利用自己所学的有关《测量物体的高度》的知识，测量路灯的高度
AB．如图所示，当小明直立在点C处时，小亮测得小明的影子CE的长为5米；此时小明恰好在他前方2
米的点F处的小水潭中看到了路灯点A的影子．已知小明的身高为1.8米，请你利用以上的数据求出路灯
的高度AB．
【答案】4.2米．
【分析】设 米， 米．利用相似三角形的性质，构建方程组求解即可．
【解析】解：设 米， 米．
，
，
，
①，
由题意， ， ，
，
，
②，
由①②解得， ，经检验， 的分式方程组的解．
米．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，中心投影等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决
问题．
17．在阳光下，小玲同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时小强同学测量树的高
度时，发现树的影子有一部分0.2米落在教学楼的第一级台阶上，落在地面上的影长为4.42米，每级台阶
高为0.3米．小玲说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度应该是4.62米”；小强说：“要是没有台
阶遮挡的话，树的影子长度肯定比4.62米要长”．
（1）你认为小玲和小强的说法对吗？
（2）请根据小玲和小强的测量数据计算树的高度；
（3）要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度是多少？
【答案】（1）小玲的说法不对，小强的说法对；（2）树的高度为8米；（3）树的影子长度是4.8米．
【分析】（1）根据题意可得小玲的说法不对，小强的说法对；
（2）根据题意可得 ＝ ，DE=0.3，EH=0.18，进而可求大树的影长AF，所以可求大树的高度；
（3）结合（2）即可得树的影长．
【解析】（1）小玲的说法不对，小强的说法对，理由如下（2）可得；
（2）根据题意画出图形，如图所示，根据平行投影可知： ＝ ，DE＝0.3，
∴EH＝0.3×0.6＝0.18，
∵四边形DGFH是平行四边形，
∴FH＝DG＝0.2，
∵AE＝4.42，
∴AF＝AE+EH+FH＝4.42+0.18+0.2＝4.8，
∵ ＝ ，
∴AB＝ ＝8（米）．
答：树的高度为8米．
（3）由（2）可知：
AF＝4.8（米），
答：树的影子长度是4.8米．
【点睛】考查了相似三角形的应用、平行投影，解题关键是掌握并运用平行投影．
18．如图，广场上一个立体雕塑由两部分组成，底座是一个正方体，正上方是一个球体，且正方体的高度
和球的高度相等．当阳光与地面的夹角成60°时，整个雕塑在地面上的影子AB长2米，求这个雕塑的高度．
（结果精确到百分位，参考数据： ≈1.73）【答案】雕塑的高度为4.24米．
【分析】先过D作DF⊥AB于F，过O作OG⊥AB于G，过O作DF的垂线，交DF于H，交⊙O于E，则
AE为⊙O的切线，延长AE交BD于C，设⊙O的半径为r，则OG= 3r=HF=AE，OD=r，根据
∠ACB=30°，∠DOE=30°，得到Rt△ODH中，DH= OD= r，DF= r+3r，进而得出CE=CD=AC-AE=2
-3r，再根据AC∥DF，得出 ，进而求得r≈1.06，据此可得这个雕塑的高度．
【解析】如图所示，设D为光线与⊙O的切点，过D作DF⊥AB于F，过O作OG⊥AB于G，
过O作DF的垂线，交DF于H，交⊙O于E，
则AE为⊙O的切线，延长AE交BD于C，
设⊙O的半径为r，则OG＝3r＝HF＝AE，OD＝r，
∵∠ABD＝60°，
∴∠ACB＝30°，∠DOE＝30°，
∴Rt ODH中，DH＝ OD＝ r，
△
∴DF＝ r+3r，
又∵Rt ABC中，AB＝2，
△∴AC＝2 ，BC＝4，
∴CE＝CD＝AC﹣AE＝2 ﹣3r，
∵AC∥DF，
∴ ，即，
解得r≈1.06，
∴雕塑的高度为4r＝4×1.06＝4.24米．
【点睛】本题主要考查了平行投影，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据含30°角的直角三
角形的性质进行计算，依据平行线分线段成比例定理列式计算．解题时注意方程思想的运用．
19．学习投影后,小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度,并探究影子长度的变化规律.
如图,在同一时间,身高为1.6 m的小明(AB)的影子BC长是3 m,而小颖(EH)刚好在路灯灯泡的正下方H点,并
测得HB=6 m.
(1)请在图中画出形成影子的光线,并确定路灯灯泡所在的位置G;
(2)求路灯灯泡的垂直高度GH;
(3)如果小明沿线段BH向小颖(点H)走去,当小明走到BH的中点B 处时,其影子长为BC ;当小明继续走剩下
1 1 1
路程的 到B 处时,其影子长为BC ;当小明继续走剩下路程的 到B 处,…,按此规律继续走下去,当小明走
2 2 2 3
剩下路程的 到Bn处时,其影子BnCn的长为 m.(直接用含n的代数式表示)
【答案】(1)详见解析；（2）路灯灯泡的垂直高度GH是4.8 m；（3）BnCn= .
【分析】（1）确定灯泡的位置，可以利用光线可逆可以画出；
（2）要求垂直高度GH可以把这个问题转化成相似三角形的问题，图中△ABC∽△GHC由它们对应成比例
可以求出GH；
（3）的方法和（2）一样也是利用三角形相似，对应相等成比例可以求出，然后找出规律．
【解析】解:(1)形成影子的光线如图所示,路灯灯泡所在的位置为点G.(2)根据题意,得 ABC∽ GHC,∴ ,∴ ,解得GH=4.8 m.
△ △
答:路灯灯泡的垂直高度GH是4.8 m.
(3)提示:同理可得 ABC ∽ GHC ,∴ ,
1 1 1 1
△ △
设BC 长为x m,则 ,
1 1
解得x=1.5,即BC =1.5 m.
1 1
同理 ,解得BC =1 m,
2 2
∴ ,解得BnCn= .
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用及中心投影，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似
三角形的性质对应边成比例解题．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2017·黑龙江绥化·中考真题）正方形的正投影不可能是（ ）
A．线段 B．矩形 C．正方形 D．梯形
【答案】D
【解析】试题分析：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形
或线段．
故正方形纸板ABCD的正投影不可能是梯形，
故选D．
考点：平行投影．
2．（2020·贵州贵阳·中考真题）如图所示,表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是( )A． B． C． D．
【答案】B
【分析】平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例．
【解析】解：A、影子的方向不相同，故本选项错误；
B、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确；
C、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误；
D、影子的方向不相同，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行投影特点，难度不大，注意结合选项判断．
3．（2016·广西南宁·中考真题）把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是(
)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】试题分析：根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解．
把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是正六边形．
考点：平行投影．
4．（2012·四川绵阳·中考真题）把一个正五棱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是
图中的( )A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据正投影的性质，该物体为五棱柱，当投射线由正前方射到后方时，其正投影应是矩形，且宽
度为对角线的长，
故选C.
5．（2018·吉林长春·中考真题）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中
有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：
有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长
五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（ ）
A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺
【答案】B
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【解析】设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，
∴ ，
解得x=45（尺），
即竹竿的长为四丈五尺．
故选B
【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
6．（2021·江苏南京·中考真题）如图，正方形纸板的一条对角线重直于地面，纸板上方的灯（看作一个
点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以
是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】因为中心投影物体的高和影长成比例，正确的区分中心投影和平行投影，依次分析选项即可找到
符合题意的选项
【解析】因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，
则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，则上方的边长影子会更长一些，
故选D
【点睛】本题考查了中心投影的概念，应用，利用中心投影的特点，理解中心投影物体的高和影长成比例
是解题的关键．
二、填空题
7．（2022·广西·中考真题）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为______米．
【答案】12
【分析】根据同时、同地物高和影长的比不变，构造相似三角形，然后根据相似三角形的性质解答．
【解析】解：设旗杆为AB，如图所示：
根据题意得： ，
∴
∵ 米， 米， 米，
∴
解得：AB=12米．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了中心投影、相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应
边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
8．（2018·广西百色·中考真题）如图，长方体的一个底面ABCD在投影面P上，M，N分别是侧棱BF，
CG的中点，矩形EFGH与矩形EMNH的投影都是矩形ABCD，设它们的面积分别是S ，S2，S，则S ，
1 1
S2，S的关系是_____（用“=、＞或＜”连起来）【答案】S =S＜S2
1
【分析】根据长方体的概念得到S=S，根据矩形的面积公式得到S＜S，得到答案．
1 2
【解析】解：∵立体图形是长方体，
∴底面ABCD∥底面EFGH．
∵矩形EFGH的投影是矩形ABCD，
∴S=S．
1
∵EM＞EF，EH=EH，
S＜S，
2
∴S=S＜S．
1 2
故答案为S=S＜S．
1 2
【点睛】本题考查了平行投影和立体图形，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影．
三、解答题
9．（2022·陕西·中考真题）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某
一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长
FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，
EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．
【答案】旗杆的高AB为3米．【分析】证明 AOD∽ EFG，利用相似比计算出AO的长，再证明 BOC∽ AOD，然后利用相似比计算
OB的长，进一△步计算即△可求解． △ △
【解析】解：∵AD∥EG，
∴∠ADO=∠EGF．
又∵∠AOD=∠EFG=90°，
∴ AOD∽ EFG．
△ △
∴ ．
∴ ．
同理， BOC∽ AOD．
△ △
∴ ．
∴ ．
∴AB=OA−OB=3（米）．
∴旗杆的高AB为3米．
【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子
就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
10．（2015·江苏镇江·中考真题）某兴趣小组开展课外活动．如图，A，B两地相距12米，小明从点A出
发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒
到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原
来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他（GH）在同一灯光下的影长为BH（点C，E，G在一条直线
上）．
（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）；
（2）求小明原来的速度．
【答案】（1）作图见试题解析；（2）1.5m/s．
【分析】（1）利用中心投影的定义作图；
（2）设小明原来的速度为xm/s，则CE=2xm，AM=（4x﹣1.2）m，EG=3xm，BM=13.2﹣4x，由OCE∽△OAM， OEG∽△OMB，得到 ，即代入解方程即可．
△ △
【解析】解：（1）如图，
（2）设小明原来的速度为xm/s，
则CE=2xm，AM=AF﹣MF=（4x﹣1.2）m，EG=2×1.5x=3xm，BM=AB﹣AM=12﹣（4x﹣1.2）=13.2﹣4x，
∵点C，E，G在一条直线上，CG∥AB，
∴△OCE∽△OAM， OEG∽△OMB，
△
∴ ， ，
∴ ，即 ，
解得x=1.5，经检验x=1.5为方程的解，
∴小明原来的速度为1.5m/s．
答：小明原来的速度为1.5m/s．
【点睛】本题考查相似三角形的应用以及中心投影，掌握中心投影的定义以及相似三角形的判定与性质是
解题关键．
11．（2015·甘肃兰州·中考真题）如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根
高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：
某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10
米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米，依据这些数据，
该小组的同学计算出了电线杆的高度．
(1)该小组的同学在这里利用的是 投影的有关知识进行计算的；
(2)试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程．
【答案】(1) 平行；(2)电线杆的高度为7米．【分析】（1）有太阳光是平行光线可得利用的是平行投影；
（2）连接AM、CG，过点E作EN⊥AB于点N，过点G作GM⊥CD于点M，根据平行投影时同一时刻物
体与他的影子成比例求出电线杆的高度．
【解析】（1）平行；
（2）连接AM、CG，过点E作EN⊥AB于点N，过点G作GM⊥CD于点M，
则BN=EF=2,GH=MD=3，EN=BF=10，DH=MG=5
所以AN=10-2=8，
由平行投影可知： 即
解得CD=7
所以电线杆的高度为7m．
12．（2019·台湾·中考真题）在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地
面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为 公分．敏敏观察到高度 公分矮圆柱的影子落在地面上，其
影长为 公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示．
已知落在地面上的影子皆与墙面互相重直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，
请回答下列问题：
（1）若敏敏的身高为 公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？
（2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为 公分，则高圆柱的高度为多少公分？请详细解释或完整
写出你的解题过程，并求出答案．
【答案】（1）敏敏的影长为 公分；（2）高圆柱的高度为 公分．【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．
（2）如图，连接 ，作 ．分别求出 ， 的长即可解决问题．
【解析】解：（1）设敏敏的影长为 公分．
由题意： ，
解得 （公分），
经检验： 是分式方程的解．
∴敏敏的影长为 公分．
（2）如图，连接 ，作 ．
，
∴四边形 是平行四边形，
公分，
设 公分，由题意 落在地面上的影从为 公分．
，
（公分），
（公分），
答：高圆柱的高度为 公分．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，平行投影，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运
用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
