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第 31 课 投影
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．下列现象是物体的投影的是（ ）
A．灯光下猫咪映在墙上的影子 B．小明看到镜子里的自己
C．自行车行驶过后车轮留下的痕迹 D．掉在地上的树叶
2．球的正投影是（ ）
A．圆面 B．椭圆面 C．点 D．圆环．
3．下列各种现象属于中心投影的是（ ）
A．晚上人走在路灯下的影子 B．中午用来乘凉的树影
C．上午人走在路上的影子 D．阳光下旗杆的影子
4．媛媛拿一个等边三角形木框在阳光下玩（木框宽度忽略不计），等边三角形木框在地面上形成的投影
不可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．身高为155cm的小军和身高为165cm的小明站在同一盏路灯下，则小军与小明在同一路灯下的影长说
法正确的是( )
A．小军的影子长 B．小明的影子长 C．一样长 D．无法确定
6．如图是某学校操场上单杠（图中实线部分）在地面上的影子（图中虚线部分），可判断形成该影子的
光线为（ ）
A．该影子实际不可能存在 B．可能是太阳光线也可能是灯光光线
C．太阳光线 D．灯光光线
7．如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面距离BC＝1米，已知
某一时刻BC在地面的影长CN＝1.5米，AC在地面的影长CM＝4.5米，则AB高为（ ）A．3.5 B．2 C．1.5 D．2.5
8．一天下午，小明先参加了校运动会男子 比赛，过一段时间又参加了男生 比赛，如图是摄影
师在同一位置拍摄了他参加这两场比赛的照片，那么下列说法正确的是（ ）
A．乙照片是参加 的 B．甲照片是参加
C．乙照片是参加 的 D．无法判断甲、乙两张照片
二、填空题
9．如图，日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，晷针在晷面上所形成的投影属于______投影．
10．下列投影：①中午林荫道旁树的影子；②海滩上撑起的伞的影子；③跑道上同学们的影子；④晚上路
灯下亮亮的手在墙上的投影．其中是平行投影的是_____（填序号）．
11．小华家客厅有一张直径为 高为 的圆桌 有一盏灯 到地面垂直距离 为 圆桌的影子
为 ，则点 到点 的距离为_______．
12．如图，地面A处有一盏射灯，小超在A与墙BC之间运动，则他在墙上的投影长度随着他离射灯的距
离的变大而________．（填“变大”“变小”或“不变”）13．如图，把一根直的细铁丝（记为线段AB）放在三个不同位置；三种情形下铁丝的正投影各是什么形
状？
（1）铁丝平行于投影面；
（2）铁丝倾斜于投影面；
（3）铁丝垂直于投影面（铁丝不一定要与投影面有交点）．
通过观察，我们可以发现：
（1）当线段AB平行于投影面α时，它的正投影是线段AB，线段与它的投影的大小关系为
1 1
AB_____AB；
1 1
（2）当线段AB倾斜于投影面α时，它的正投影是线段AB，线段与它的投影的大小关系为
2 2
AB______AB；
2 2
（3）当线段AB垂直于投影面α时，它的正投影是一个________．
14．小明家的客厅有一张直径为1米，高0.75米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为
DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为 ，则点E的坐标是______．
三、解答题
15．把下列物体与它们的投影用线连接起来．16．婷婷、小张在路灯下的影子如图所示，画出小高在该路灯下的影子（可以用线段表示影子）．
17．如图是两根木杆及其影子的图形．
(1)这个图形反映的是中心投影还是平行投影？答： ．
(2)请你在图中画出表示小树影长的线段AB．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．下列结论正确的有（ ）
①同一时刻，同一公园内的物体在阳光照射下，影子的方向是相同的
②物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的
③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关
④物体在点光源照射下，影子的长短仅与物体的长短有关
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．三根等长的木杆竖直地立在平地的同一个圆周上，圆心处有一盏灯光，其俯视图如图所示，图中画出
了其中一根木杆在灯光下的影子．下列四幅图中正确画出另两根木杆在同一灯光下的影子的是（ ）A． B．
C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，点(2，2)是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为(0，1)，(3，1)．则木杆
AB在x轴上的投影A′B′长为（ ）
A． B． C．5 D．6
4．下面四幅图是两个物体不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序正确的是（ ）
A．A⇒B⇒C⇒D B．D⇒B⇒C⇒A C．C⇒D⇒A⇒B D．A⇒C⇒B⇒D
5．圆桌面（桌面中间有一个直径为1m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面
的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面
2m，则地面圆环形阴影的面积是（ ）A．2πm2 B．3πm2 C．6πm2 D．12πm2
6．在小明住的小区有一条笔直的路，路中间有一盏路灯，一天晚上他行走在这条路上如图，当他从 点
走到 点的过程，他在灯光照射下的影长 与所走路程 的变化关系图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．高为8米的旗杆在水平地面上的影子长为6米，同一时刻测得附近一个建筑物的影子长30米，则此建
筑物的高度为_____米．
8．天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量
祈年段的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿 长2米，在太阳光
下，它的影长 为1.5米，同一时刻，祈年殿的影长 约为28.5米．请你根据这些数据计算出祈年殿的
高度 约为__________米．
9．一块直角三角形板 ， ， ， ，测得 边的中心投影 长为
，则 长为__ ．10．据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木
杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图所示，木杆EF的长为2m，它的影长
FD为3m，测得OA为201m，则金字塔的高度BO为_____ m．
11．现有m，n两堵墙，两个同学分别站在A处和B处，请问小明在哪个区域内活动才不被这两个同学发
现(用阴影部分的序号表示)________．
12．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一
时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片 ，此时各叶片影子在点M右侧成线段 ，测得
，垂直于地面的木棒 与影子 的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于
___________米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于___________米．
三、解答题13．如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在
广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置，
（1）在小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为
．
（2）请你在图中画出小亮站立AB处的影子．
14．如图，在安装路灯AB的路面CD比种植树木的地面PQ高 ，身高 的红英MN站在距离
C点15米的路面上．在路灯的照射下，路基CP留在地面上的影长EP为0.4米，
(1)画出红英MN在地面的影子NF；
(2)若红英留在路面上的影长NF为3m，求路灯AB的高度．
15．小军和小丽准备测量学校旗杆的高度，如图，小军站在点D处时，他的影子顶端恰好与旗杆的影子顶
端重合，小丽测得小军的影子 ，小军向西走 到达点F处时，测得旗杆顶端A的仰角为 ，
已知小军的身高 ．点B、F、D、G在同一水平直线上， ， ，
，求旗杆 的高度．
16．雨后的一天晚上，小明和小亮想利用自己所学的有关《测量物体的高度》的知识，测量路灯的高度
AB．如图所示，当小明直立在点C处时，小亮测得小明的影子CE的长为5米；此时小明恰好在他前方2
米的点F处的小水潭中看到了路灯点A的影子．已知小明的身高为1.8米，请你利用以上的数据求出路灯
的高度AB．17．在阳光下，小玲同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时小强同学测量树的高
度时，发现树的影子有一部分0.2米落在教学楼的第一级台阶上，落在地面上的影长为4.42米，每级台阶
高为0.3米．小玲说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度应该是4.62米”；小强说：“要是没有台
阶遮挡的话，树的影子长度肯定比4.62米要长”．
（1）你认为小玲和小强的说法对吗？
（2）请根据小玲和小强的测量数据计算树的高度；
（3）要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度是多少？
18．如图，广场上一个立体雕塑由两部分组成，底座是一个正方体，正上方是一个球体，且正方体的高度
和球的高度相等．当阳光与地面的夹角成60°时，整个雕塑在地面上的影子AB长2米，求这个雕塑的高
度．（结果精确到百分位，参考数据： ≈1.73）
19．学习投影后,小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度,并探究影子长度的变化规律.
如图,在同一时间,身高为1.6 m的小明(AB)的影子BC长是3 m,而小颖(EH)刚好在路灯灯泡的正下方H点,并
测得HB=6 m.
(1)请在图中画出形成影子的光线,并确定路灯灯泡所在的位置G;
(2)求路灯灯泡的垂直高度GH;
(3)如果小明沿线段BH向小颖(点H)走去,当小明走到BH的中点B 处时,其影子长为BC ;当小明继续走剩下
1 1 1
路程的 到B 处时,其影子长为BC ;当小明继续走剩下路程的 到B 处,…,按此规律继续走下去,当小明走
2 2 2 3
剩下路程的 到Bn处时,其影子BnCn的长为 m.(直接用含n的代数式表示)培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2017·黑龙江绥化·中考真题）正方形的正投影不可能是（ ）
A．线段 B．矩形 C．正方形 D．梯形
2．（2020·贵州贵阳·中考真题）如图所示,表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是( )
A． B． C． D．
3．（2016·广西南宁·中考真题）把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是(
)
A． B． C． D．
4．（2012·四川绵阳·中考真题）把一个正五棱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是
图中的( )
A． B． C． D．
5．（2018·吉林长春·中考真题）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中
有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意
即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的
影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（ ）A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺
6．（2021·江苏南京·中考真题）如图，正方形纸板的一条对角线重直于地面，纸板上方的灯（看作一个
点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以
是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2022·广西·中考真题）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为
2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为______米．
8．（2018·广西百色·中考真题）如图，长方体的一个底面ABCD在投影面P上，M，N分别是侧棱BF，
CG的中点，矩形EFGH与矩形EMNH的投影都是矩形ABCD，设它们的面积分别是S ，S2，S，则S ，
1 1
S2，S的关系是_____（用“=、＞或＜”连起来）三、解答题
9．（2022·陕西·中考真题）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某
一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长
FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，
EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．
10．（2015·江苏镇江·中考真题）某兴趣小组开展课外活动．如图，A，B两地相距12米，小明从点A出
发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒
到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原
来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他（GH）在同一灯光下的影长为BH（点C，E，G在一条直线
上）．
（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）；
（2）求小明原来的速度．
11．（2015·甘肃兰州·中考真题）如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根
高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：
某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10
米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米，依据这些数据，
该小组的同学计算出了电线杆的高度．(1)该小组的同学在这里利用的是 投影的有关知识进行计算的；
(2)试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程．
12．（2019·台湾·中考真题）在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地
面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为 公分．敏敏观察到高度 公分矮圆柱的影子落在地面上，其
影长为 公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示．
已知落在地面上的影子皆与墙面互相重直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，
请回答下列问题：
（1）若敏敏的身高为 公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？
（2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为 公分，则高圆柱的高度为多少公分？请详细解释或完整
写出你的解题过程，并求出答案．
