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2.6 实数
课堂知识梳理
实数：有理数和无理数统称为实数。
实数的分类：
从符号分，实数可以分为正实数、0、负实数，即：
实数 正实数
{ {0
¿ ¿ ¿¿¿
从实数的概念也可以进行如下分类：
实数 ¿{有理数
¿¿¿
实数与数轴：
（1）每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实
数，即实数与数轴上的点是一一对应的；
（2）在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
1．实数3的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用相反数的定义分析得出答案．
【详解】
解：实数3的相反数是：-3．
故选：A．【点睛】
此题主要考查了实数的性质，正确掌握相反数的定义是解题关键．
2．下列各实数中，是有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，可得答案．
【详解】
解： A、π是无理数，该选项不符合题意；
B、 是无理数，该选项不符合题意；
C、 是无理数，该选项不符合题意；
D、 是有理数，该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了实数，正确区分有理数与无理数是解题的关键．常见的无理数有：开方开不尽的数，π，
1.010010001...等．
3．实数 的倒数是（ ）
A．23 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据倒数的意义可直接进行求解．
【详解】
解：实数 的倒数是 ；
故选D．
【点睛】
本题主要考查实数与倒数的意义，熟练掌握倒数的意义是解题的关键．4．在实数 ，0， ，3.1415926， ， ， ， ，1.353353335…中，无理数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据常见无理数的构成：带根号的要开不尽方，无限不循环小数，含 的数等，然后逐项判断即可确定选
择项．
【详解】
解：无理数有 、 、1.353353335…共3个，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，含 及其
倍数的也是无理数．
5．下列说法错误的个数有（ ）
①带根号的数都是无理数；②零是最小的实数；③无限小数都是无理数；④不带根号的数都是有理数；
⑤数轴上的所有点都表示实数
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据无理数的定义，实数的性质与分类，数轴上的点与实数一一对应，逐项分析判断即可求解．
【详解】
解：①带根号的数不一定都是无理数，例如 是有理数，故①不正确；
②没有最小的实数，故②不正确；
③无限不循环的小数都是无理数，故③不正确；
④不带根号的数不一定都是有理数，例如 ,故④不正确；
⑤数轴上的所有点都表示实数，故该⑤正确，符合题意；
错误的有①②③④，共4个，
故选C
【点睛】本题考查了实数的定义与分类，数轴与实数，掌握实数的定义是解题的关键．
6．如图，点A表示的实数是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
【答案】B
【解析】
【分析】
根据勾股定理可求得OA的长为 ，再根据点A在原点的左侧，从而得出点A所表示的数．
【详解】
解：如图，
∵OB= ，OA=OB，
∴OA= ，
∵点A在原点的左侧，
∴点A在数轴上表示的实数是- ，故B正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了实数和数轴，以及勾股定理，注意原点左边的数是负数．
7．比较大小： ____ （填“＞”、“＜”或“=”）
【答案】＜
【解析】
【分析】
先通分，再比较分子的大小即可．【详解】
解： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
故答案为：＜．
【点睛】
本题考查了实数的大小比较，解题关键是先通分，然后对分子中的 进行估值，并比较分子之间的大小．
8．如图，一条长度为 的线段OA绕着O点旋转一周，当OA与数轴重合时，A点表示的数为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】
求出点A到原点的距离，确认A的符号，就是点表示的数．
【详解】
∵O点为-2，点A在原点的右侧，
∴当OA与数轴重合时，点A到原点的距离是 ，
∴点A表示的数是 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查的是数轴上的点，解题的关键是算出点到原点的距离，加上性质符号就是表示的实数．9．把下列各数写入相应的集合中： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
（相邻两个 之间的 的个数逐次加1）
有理数集合 ______ ；
无理数集合 ______ ；
正实数集合 ______ ；
负实数集合 ______ ．
【答案】 ， ， ， ， ， ， ， ； ， ， （相邻两个
之间的 的个数逐次加1）； ， ， ， ， ； ， ， ，
（相邻两个 之间的 的个数逐次加1）
【解析】
【分析】
利用有理数，无理数，正实数，以及负实数的定义判断即可得到结果．
【详解】
解：有理数集合： ， ， ， ， ， ， ， ；
无理数集合： ， ， （相邻两个 之间的 的个数逐次加1）；
正实数集合： ， ， ， ， ；
负实数集合： ， ， ， （相邻两个 之间的 的个数逐次加1）.
故答案为： ， ， ， ， ， ， ， ； ， ， （相邻两
个 之间的 的个数逐次加1）； ， ， ， ， ； ， ， ，
（相邻两个 之间的 的个数逐次加1）．
【点睛】此题考查了实数，熟练掌握实数的范围以及分类方法是解本题的关键．
10．分别求下列各数的绝对值和相反数：
（1）－3 ；（2） ；（3）－ ；（4）3－π．
【答案】（1） 的绝对值是 ，相反数是 ；（2） 的绝对值是 ，相反数是 ；（3）
的绝对值是 ，相反数是 ；（4） 的绝对值是 ，相反数是 ．
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值运算、相反数的定义即可得；
（2）根据绝对值运算、相反数的定义即可得；
（3）根据绝对值运算、相反数的定义即可得；
（4）先判断出 ，再根据绝对值运算、相反数的定义即可得．
【详解】
绝对值运算：正数和0的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，
相反数：只有符号不相同的两个数互为相反数，
（1） 的绝对值是 ，相反数是 ；
（2） 的绝对值是 ，相反数是 ；
（3） 的绝对值是 ，相反数是 ；
（4）因为 ，
所以 的绝对值是 ，相反数是 ．
【点睛】
本题考查了绝对值运算、相反数的定义、实数，熟练掌握绝对值运算、相反数的定义是解题关键．
11．计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
根据算术平方根，立方根的定义进行计算即可求解．
(1)
解：原式＝
；
(2)
解：原式＝
．
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，正确的计算是解题的关键．
12．如图，在3×3的方格中，有一阴影正方形，设每一个小方格的边长为1个单位．请解决下面的问题．
（1）阴影正方形的面积是________？（可利用割补法求面积）
（2）阴影正方形的边长是________？
（3）阴影正方形的边长介于哪两个整数之间？请说明理由．
【答案】（1）5；（2） ；（3）2与3两个整数之间，见解析
【解析】
【分析】
（1）通过割补法即可求出阴影正方形的面积；
（2）根据实数的性质即可求解；
（3）根据实数的估算即可求解．
【详解】（1）阴影正方形的面积是3×3-4× =5
故答案为：5；
（2）设阴影正方形的边长为x，则x2=5
∴x= （- 舍去）
故答案为： ；
（3）∵
∴
∴阴影正方形的边长介于2与3两个整数之间．
【点睛】
本题考查了无理数的估算能力和不规则图形的面积的求解方法：割补法．通过观察可知阴影部分的面积是
5个小正方形的面积和．会利用估算的方法比较无理数的大小．
13．如图：
(1)已知点A、B表示两个实数﹣ 、 ，请在数轴上描出它们大致的位置，用字母标示出来；
(2)O为原点，求出O、A两点间的距离．
(3)求出A、B两点间的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）估算出- 和 的值，在数轴上标出即可；
（2）用表示点O的数减去表示点A的数即为两点之间的距离；
（3）用表示点B的数减去表示点A的数即为A、B间的距离．
(1)解：∵2.25<3<4，1<2<2.25，
∴-2<- <-1.5，1< <1.5，
- 和 数轴上的位置如图所示，
；
(2)
解：∵表示点A的数为﹣ ，表示点O的数为0，
∴OA=0﹣（﹣ ）= ；
(3)
解：∵表示点A的数为﹣ ，表示点B的数为 ，
∴AB= ﹣（﹣ ）= + ．
【点睛】
本题考查了实数与数轴以及两点间的距离，在数轴上准确表示出点A、B的位置是解题的关键．
培优第二阶——拓展培优练
14．若记 表示任意实数的整数部分例如： ， ，则
（其中“ ”“ ”依次相间）的值为___________
【答案】
【解析】
【分析】
按照整数是1，整数是2，…整数是44，确定算术平方根的个数，运用估算思想，列式，寻找规律计算．
【详解】
解：∵ 即 时， ，此时n=1，2，3，
∴ ；∵ 即 时， ，此时n=4，5，6，7，8，
∴ ；
∵ 即 时， ，此时n=9，10，11，12，13，14，15，
∴ = ；
由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1，且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数
部分是2的算术平方根的整数和是-2，整数部分是3的算术平方根的整数和是3，
∵ ， ，
∴ 即 时， ，
∴ =-44，
∴
=1-2+3-4+5-6+…+43-44
=(1-2)+(3-4)+…+(43-44)
=
=-22，
故答案为：-22．
【点睛】
本题考查了实数的新定义运算，解题的关键是正确运用估算思想，确定整数部分中的运算规律．
15．计算：
【答案】 -9
【解析】
【分析】
先按照二次根式、零次幂、负指数幂等知识对原式进行化简，然后再进行运算即可.
【详解】解：
= +1-5-4
= -9
【点睛】
本题主要考查了二次根式、零次幂、负指数幂等知识，考查知识点多，容易出错，需引起足够关注.
16．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A示﹣ ，设点B所表示的数为m．
（1）求m的值；
（2）求|m﹣1|的值．
【答案】（1）2− （2） -1
【解析】
【分析】
（1）根据数轴的特点即可计算；
（2）根据绝对值的意义和实数的混合运算法则计算．
【详解】
解：（1）由题意A点和B点的距离为2，A点表示的数为− ，因此点B所表示的数m＝2− ．
（2）把m的值代入得：|m−1|＝|2− −1|＝|1− |= -1．
【点睛】
本题考查了数轴、绝对值和实数的混合运算，熟练掌握数轴的意义和实数的运算法则是解题的关键．
17．根据已学知识，我们已经能比较有理数的大小，下面介绍一种新的比较大小的方法：
①∵3－2＝1＞0，∴3＞2；②∵（－2）－1＝－3＜0，∴－2＜1；③∵（－2）－（－2）＝0，∴－2＝－
2
像上面这样，根据两数之差是正数、负数或0，判断两数大小关系的方法叫做作差法比较大小．
(1)请将上述比较大小的方法用字母表示出来：
若 ，则 _________ ；若 ，则 _________ ；若 ，则 _________ ；(2)请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）﹒
① ______________ ；
②当 时， ____________ ；
(3)试比较 与 的大小，并说明理由．
【答案】(1)＞，=，＜
(2)＜，＞
(3) ，理由见详解
【解析】
【分析】
（1）根据作差法可作答；
（2）利用作差法即可作答；
（3）结合整式的加减混合运算法则，利用作差法即可作答；
(1)
∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
故答案为：＞、=、＜；
(2)
①∵ ，
∴ ；
②∵ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
故答案为：＜、＞；
(3)
，
理由如下：
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了实数比较大小、二次根式的加减混合运算、整式的加减混合运算等知识，掌握相关的加减混合
运算法则是解答本题的关键．
18．如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形进行拼接，可得到一
个的大正方形．若将得到的直角三角形 按如图2所示放置在数轴上，使直角顶点A与数轴上的原点重
合，（1）图1中大正方形的边长为_______．
（2）如图2，若将直角三角形 绕顶点C按顺时针方向翻转，使顶点B落在数轴上，称为第1次翻转，
将翻转所得到的的图形再绕顶点B按顺时针方向翻转，使顶点A落在数轴上，称为第2次翻转…．以此类
推．
①第1次翻转后得到的三角形顶点B在数轴上对应的数是_______．
②第2010次翻转后得到的三角形顶点C在数轴上对应的数是____________．
【答案】（1） （2）① ②
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理求出 的长即为大正方形的边长；
（2）①根据旋转以后点B的位置可判断B代表的数即为 的长度，据此计算即可；
②根据翻转规律可知每翻转三次为一个循环，每个循环点C代表的数都增加 个单位，据此解答即
可．
【详解】
解：（1）∵小正方形的边长为1，即 ,
∴ ,
则大正方形的边长为 ；
（2）①∵直角顶点A与数轴上的原点重合， ,
∴点A表示的数为0，点C表示的数为1，
第一次翻转以后点B表示的数为 的长度，
即为 ，故答案为： ；
②根据图形翻转规律，每翻转三次为一个循环，
每一个循环，点C代表的数增加 个单位，
个循环，
∵点C的初始位置为1，
∴经过2010次翻转后点C代表的数为： ，
即 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查勾股定理、实数与数轴、以及结合数轴的规律探索问题，结合图形找出翻转的规律是解题的
关键．
19．（1）比较大小： +1 （填“＞”、“＜”或者“ =”）
（2）其实我们可以利用三角形的知识在方格纸上画图验证⑴的结果，请在图①中画出相应的图形（设小
正方形的边长为1）
（3）请用（2）中的方法在图②中画图比较大小：
【答案】（1）＞；（2）详见解析；（3）＜
【解析】
【分析】
（1）直接利用 ， 的近似值进而比较得出答案；
（2）直接利用勾股定理构造三角形进而得出答案；
（3）直接利用勾股定理构造三角形进而得出答案．【详解】
（1）∵ 1.41， +1≈2.41， ≈2.23，
≈
∴ +1＞ ；
故答案为：＞；
（2）如图①所示：
AB=1，AC= ，BC= ，
易得AB+ BC＞AC；
（3）“＜”．
如图②所示，
AB= ，BC= ，AC= ，则BC -AB＜AC．
故答案为：＜．
【点睛】
此题主要考查了应用设计与作图以及勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键．
20．（1）写出两个负数，使它们的差为﹣5，并写出具体算式．
（2）“一个无理数与一个有理数的积一定是无理数”是否正确，请举例说明．
（3）在图4×4方格中画一个面积为2或5或8（任选之一）的格点正方形（四个顶点都在方格顶点上）；
并把图中的数轴补充完整，用圆规在数轴上表示相应实数 ， ， ．（任选之一）【答案】（1）见解析，答案不唯一；（2）不正确，证明见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意和有理数的运算法则书写即可；
（2）根据0乘以任何数都得0，证明说法即可；
（3）首先根据题意画出面积符合要求的正方形，根据正方形的面积公式可推出边长，进而利用圆规在数
轴上截取出相应长度的点即可得出对应数据．
【详解】
解：（1）-8和-3，计算如下：
原式
（答案不唯一）
（2）不正确；理由如下：
若有理数为0，无理数为 ，那么， ，结果仍为有理数，
∴原说法不正确；
（3）如图所示建立数轴；
①选择面积为2，如图所示，构造正方形ABCD，点A为原点处，
则根据正方形面积公式可得： ，
∴ ，
此时，以点A为圆心，AB长为半径作圆弧，与数轴交于点P，则 ，即点P表示的数为 ；
②选择面积为5，如图所示，构造正方形ABCD，点A为原点处，
则根据正方形面积公式可得： ，
∴ ，
此时，以点A为圆心，AB长为半径作圆弧，与数轴交于点P，
则 ，即点P表示的数为 ；
③选择面积为8，如图所示，构造正方形ABCD，点A为原点处，
则根据正方形面积公式可得： ，
∴ ，
此时，以点A为圆心，AB长为半径作圆弧，与数轴交于点P，
则 ，即点P表示的数为 ；（以上任选其一作答即可，答案不唯一）．
【点睛】
本题考查有理数的运算，实数与数轴等，掌握有理数的运算法则，理解实数与数轴的关系是解题关键．
培优第三阶——中考沙场点兵
21．（2022·广西·中考真题）如图，数轴上的点A表示的数是 ，则点A关于原点对称的点表示的数是
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据数轴上表示一对相反数的点关于原点对称即可求得答案．
【详解】
∵数轴上的点A表示的数是−1，
∴点A关于原点对称的点表示的数为1，
故选：C．
【点睛】
本题考查了实数与数轴之间的对应关系，熟练掌握对称的性质是解题的关键．
22．（2022·辽宁营口·中考真题）在 ，0， ，2这四个实数中，最大的数是（ ）A．0 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】
解：∵2＞ ＞0＞-1，
∴在 ，0，-1，2这四个实数中，最大的数是2．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对
值大的反而小．
23．（2022·福建·中考真题）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）
A． B． C． D．π
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据数轴确定点P对应的数的大小，再结合选项进行判断即可．
【详解】
解：由数轴可得，点P对应的数在1与2之间，
A. ，故本选项不符合题意；
B. ，故此选项符合题意；
C. ，故本选项不符合题意；
D. ，故本选项不符合题意；故选：B
【点睛】
本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，正确确定点P对应的数的大小是解答本题的关键．
24．（2022·四川广安·中考真题）比较大小： __________3（填“＞”、“＜”或“＝”）
【答案】＜
【解析】
【分析】
先分别计算两个数的平方，然后进行比较即可解答．
【详解】
解：∵ ，32=9，
∴7＜9，
∴ ＜3，
故答案为：＜．
【点睛】
本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键．
25．（2022·山东临沂·中考真题）比较大小： ______ （填写“ ”或“<”或“＝”）．
【答案】＞
【解析】
【分析】
比较两者平方后的值即可．
【详解】
解： ， ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是灵活变通，比较两者平方后的结果．
