文档内容
2.3 立方根
课堂知识梳理
立方根：
一般地，如果一个数 x的立方等于 a，即 x3=a，那么这个数 x就叫做 a的立方根（cube
root, 也叫做三次方根）．如：0是0的立方根．
正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数．开立方与立方互为逆运算．
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
1． 的立方根是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据立方根的定义进行计算即可．
【详解】
解：因为（-3）3=-27，
所以-27的立方根是-3，
故选：B．
【点睛】
本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键．
2．下列结论正确的是（ ）
A． 没有平方根 B．立方根等于本身的数只有0
C．4的立方根是 D．
【答案】A【解析】
【分析】
根据平方根和立方根的性质逐项判断即可得．
【详解】
解：A、负数没有平方根，则 没有平方根，此项正确，符合题意；
B、立方根等于本身的数有0和 ，则此项错误，不符题意；
C、4的平方根是 ，立方根是 ，则此项错误，不符题意；
D、 ，则此项错误，不符题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题关键．
3．－8的立方根是（ ）
A．2 B．－2 C．－4 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
本题转化为求 的结果，直接求解即可．
【详解】
∵ ，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了立方根的定义，注意将求立方根转化为求一个数的立方的形式是解题的关键．
4．下列说法正确的是（ ）
A．一个正数的立方根有两个，它们互为相反数
B．负数没有立方根
C．任何一个数的立方根都是非负数
D．正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根【答案】D
【解析】
【分析】
根据一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零，结合选项
即可作出判断．
【详解】
A．一个数的立方根只有1个，故A错误；
B．负数有立方根，故B错误；
CD．正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零，故C错误，D正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了立方根的概念，解决本题的关键是熟练掌握正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，
零的立方根是零．
5．如果a是64的算术平方根，则a的立方根是________．
【答案】2
【解析】
【分析】
先求出64的算术平方根a，再求出8的立方根即可．
【详解】
a是64的算术平方根，
，
的立方根是 ，
，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了求一个数的算术平方根和立方根，熟练掌握知识点是解题的关键．
6．比较大小： ______ ．
【答案】＜
【解析】【分析】
先化简 ，再根据 ，得出答案．
【详解】
解：∵ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：<．
【点睛】
本题考查立方根，比较朋理数大小，熟练掌握求一个数的立方根和比较有理数大小法则是解题的关键．
7．（2022·北京·人大附中七年级期中）己知 ， ， ， ．若n为整数
且 ，则n的值为____________________．
【答案】12
【解析】
【分析】
由已知可得， ，由立方根定义及不等式性质可得， ，结合题中
条件可知， ，即 ．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
∵n为整数且 ，
∴ ．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了立方根的定义及估值，准确理解相关概念掌握估值的方法是解题的关键．
8．求下列各式的值： ， ， ， ， ．
【答案】 ， ， ， ， ．
【解析】
【分析】
利用立方根定义开立方即可．
【详解】
解： =2， = ， =-3， =-125， =-3
【点睛】
本题主要考查了立方根，任何数都有立方根，且只有1个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0
的立方根是0.
9．求下列各数的立方根： ， ， ， ， ， ．
【答案】 ， ， ， ， ， ．
【解析】
【分析】
根据立方根的概念进行计算即可．
【详解】
解： ，，
，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查了立方根的计算，如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x
就叫做a的立方根，注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
10．（2022·湖北·黄石八中七年级期中）求下列各式中x的值:
(1)
(2)3（x﹣5）3+24＝0
【答案】(1)x=±8
(2)x=3
【解析】
【分析】
（1）根据平方根的定义，即可求解；
（2）根据立方根的定义，即可求解．
(1)
解： ，
，
∴x=±8；
(2)
3（x﹣5）3+24＝0，
（x﹣5）3＝-8，
x﹣5＝-2，
∴x=3．【点睛】
本题主要考查解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
11．已知 的平方根是 ， 的算术平方根是3．
(1)求a与b的值；
(2)求 的立方根．
【答案】(1) ，
(2)2
【解析】
【分析】
（1）由平方根、立方根的定义得出含有a、b的二元一次方程组，解这个方程组即可；
（2）求出 的值，再求出其立方根即可．
(1)
解：由题意，得 ， ，
解得： ， ．
(2)
解：∵ ，
∴ 的立方根为： ．
【点睛】
本题考查平方根、立方根、算术平方根，掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提，列
出含有a、b的二元一次方程组是解决问题的关键．
12．己知： 和 是a的两个不同的平方根， 是a的立方根．
(1)求x，y，a的值；
(2)求 的平方根．
【答案】(1)x=-2，y=1，a=64；
(2)1-4x的平方根为 ．
【解析】
【分析】
（1）根据正数的两个平方根互为相反数列方程求出x的值，再求出a，然后根据立方根的定义求出y即可；
（2）先求出1-4x，再根据平方根的定义解答．(1)
解：由题意得：（x-6）+（3x+14）=0，
解得，x=-2，
所以，a=（x-6）2=64；
又∵2y+2是a的立方根， ∴2y+2= =4，
∴y=1，
即x=-2，y=1，a=64；
(2)
由（1）知：x=-2，
所以，1-4x=1-4×（-2）=9，
所以， ，
即：1-4x的平方根为 ．
【点睛】
本题考查了立方根，平方根，算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键，要注意准确计算．
13．填写下表，并回答问题：
a … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 …
… …
（1）数a与它的立方根 的小数点的移动有何规律？
（2）根据这个规律，若已知 ，求a的值．
【答案】填表见解析；（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据被开方数 的小数点每向右或向左移动三位，立方根 的小数点相应地向右或向左移动一位解
答；
（2）根据（1）总结的规律解答．
【详解】
a … 0.000001 0.001 1 100 1000000 …0
… 0.01 0.1 1 10 100 …
（1）由题可知，被开方数 的小数点每向右或向左移动三位，立方根 的小数点相应地向右或向左移动
一位；
（2）由（1）总结的规律可知：0.1738的小数点向右移动了一位，
∴0.00525的小数点应向右移动三位，得到 ．
【点睛】
本题考查实数的开方与被开方数之间的关系，注意引导学生仔细分析表格．
培优第二阶——拓展培优练
14．（2021·湖北·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）七年级期中）已知x＝ ，y＝ 是x的相
反数，求x2+y2的平方根与立方根．
【答案】平方根为0或± ，立方根是0或
【解析】
【分析】
利用算术平方根和立方根定义可得m的值，进而可得x、y的值，然后计算出x2+y2的平方根与立方根．
【详解】
解：∵x＝ ，y＝ 是x的相反数，
∴m＝0或1，
当m＝0时，y＝0，x＝0，
x2+y2＝0，
0的平方根是0，立方根也是0；
当m＝1时，x＝1，y＝﹣1，
则x2+y2＝2，
2的平方根是± ，立方根是 ．∴x2+y2的平方根为0或± ，立方根是0或 ．
【点睛】
本题考查平方根与立方根，熟练掌握平方根与立方根定义是解题的关键．
15．小燕在测量铅球的半径时，先将铅球完全浸没在一个带刻度的圆柱形小水桶中，拿出铅球时，小燕发
现小水桶中的水面下降了 ，小燕量得小水桶的直径为 ，于是她就算出了铅球的半径．你知道她是
如何计算的吗？请求出铅球的半径．（球的体积公式 ，r为球的半径．）
【答案】3cm．
【解析】
【分析】
设球的半径为r，求出下降的水的体积，即圆柱形小水桶中下降的水的体积，最后根据球的体积公式列式
求解即可．
【详解】
解：设球的半径为r，
小水桶的直径为 ，水面下降了 ，
小水桶的半径为6cm，
下降的水的体积是π×62×1=36π(cm3)，
即 ，
解得： ， ，
答：铅球的半径是3cm．
【点睛】
本题考查了立方根的应用，涉及圆柱的体积求解，解此题的关键是得出关于r的方程．
16．已知 是 算术平方根， 是 的立方根，求
的值．
【答案】
【解析】
【分析】由算术平方根与立方根的含义可得方程组 ，再解方程组求解 的值，从而可得答案.
【详解】
解：根据题意得： ，
解得： ，
∴ ， ，
∴ ； ，
∴ ，
∴
【点睛】
本题考查的是算术平方根与立方根的含义，二元一次方程组的解法，理解题意，求解 是解本题的
关键.
17．根据下表回答问题：
16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8
256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24
4096 4173.281 4251.528 4330.747 4410.944 4492.125 4574.296 4657.463 4741.632
(1)272.25的平方根是______；4251.528的立方根是______．
(2) ______； ______； ______．
(3)设 的整数部分为 ，求 的立方根．
【答案】(1) ；16.2
(2)167；1.62；168
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据表格中的数据可求出结果；（2）根据图表，结合算术平方根和立方根的移位规律即可得出答案；
（3）根据题意先求出a的值，再求出-4a的值，然后根据立方根的定义即可得出答案．
(1)
272.25的平方根是：±16.5；
4251.528的立方根是：16.2；
故答案为：±16.5，16.2；
(2)
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：167，1.62，168；
(3)
∵ ，
∴ ，
∴a=16，-4a=-64，
∴-4a的立方根为-4．
【点睛】
此题考查了算术平方根和立方根，观察表格发现规律是解题的关键．
培优第三阶——中考沙场点兵
18．（2022·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据合并同类项法则、幂的乘方运算法则、开立方运算、求一个数的算术平方根，即可一一判定．
【详解】
解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了合并同类项法则、幂的乘方运算法则、开立方运算、求一个数的算术平方根，熟练掌握和运用
各运算法则是解决本题的关键．
19．（2020·四川攀枝花·中考真题）下列说法中正确的是（ ）．
A．0.09的平方根是0.3 B．
C．0的立方根是0 D．1的立方根是
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平方根，算术平方根和立方根的定义分别判断即可.
【详解】
解：A、0.09的平方根是±0.3，故选项错误；
B、 ，故选项错误；
C、0的立方根是0，故选项正确；
D、1的立方根是1，故选项错误；
故选：C.【点睛】
本题考查了平方根，算术平方根和立方根，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键．
20．（2021·江苏南京·中考真题）一般地，如果 （n为正整数，且 ），那么x叫做a的n次方根，
下列结论中正确的是（ ）
A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是
C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意n次方根，列举出选项中的n次方根，然后逐项分析即可得出答案．
【详解】
A. ， 16的4次方根是 ，故不符合题意；
B. ， ， 32的5次方根是2，故不符合题意；
C.设
则
且
当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，故符合题意；
D.由 的判断可得： 错误，故不符合题意．
故选 ．
【点睛】
本题考查了新概念问题，n次方根根据题意逐项分析，得出正确的结论，在分析的过程中注意x是否为负
数,通过简单举例验证选项是解题关键．
21．（2021·湖南益阳·中考真题）若实数a的立方等于27，则 ________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据立方根的定义即可得．
【详解】
解：由题意得： ，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了立方根，熟练掌握立方根的运算是解题关键．
22．（2021·内蒙古·中考真题）一个正数a的两个平方根是 和 ，则 的立方根为_______．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据一个正数的平方根互为相反数，将 和 相加等于0，列出方程，解出b，再将b代入任意一个
平方根中，进行平方运算求出这个正数a，将 算出后，求立方根即可．
【详解】
∵ 和 是正数a的平方根，
∴ ，
解得 ，
将b代入 ，
∴正数 ，
∴ ，
∴ 的立方根为： ，
故填：2．
【点睛】
本题考查正数的平方根的性质，求一个数的立方根，解题关键是知道一个正数的两个平方根互为相反数．
