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4.2 一次函数与正比例函数
课堂知识梳理
若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的
一次函数．特别地，当b＝0时，称y是x的正比例函数．
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
1．下列函数中，一次函数一共有（ ）个．
（1） ；（2）y＝kx+b；（3）y＝3x；（4）y＝（x+1）2﹣x2；（5）y＝x2﹣2x+1．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一次函数的定义，逐一判断即可．
【详解】
解：（1）y＝ +1不是一次函数，不符合题意；
（2）y＝kx+b中，当k＝0时不符合题意；
（3）y＝3x是一次函数，符合题意；
（4）y＝（x+1）2﹣x2=2x+1是一次函数，符合题意；
（5）y＝x2﹣2x+1不是一次函数，不符合题意；
综上，一共有2个一次函数，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数的定义，准确掌握该定义是解题的关键．
2．在一次函数 中，k的值是（ ）
A．5 B．－5 C．1 D．－1
【答案】B【解析】
【分析】
根据一次函数解析式的基本形式即可求解．
【详解】
∵一次函数解析式为 ，
∴k=-5，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数解析式的基本形式，理解一次函数解析式的基本形式是解答本题的基础．
3．下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正比例函数的定义进行判断即可．
【详解】
A、y是x的正比例函数，所以A选项符合题意；
B、y是x的二次函数，所以B选项不符合题意；
C、y是x的反比例函数，所以C选项不符合题意；
D、y是x的一次函数，所以D选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了正比例函数的定义：一般地，形如y = kx(k是常数，k ≠ 0)的函数叫做正比例函数，熟练掌握知
识点是解题的关键．
4．下列问题中，变量y与x成一次函数关系的是（ ）
A． 长铁丝折成长为 ，宽为 的长方形
B．斜边长为 的直角三角形的直角边 和
C．圆的面积 与它的半径D．路程一定时，时间 和速度 的关系
【答案】A
【解析】
【分析】
分别求出各个选项的函数关系式，即可得到答案．
【详解】
解：A、∵ 长铁丝折成长为 ，宽为 的长方形，∴ ，满足一次函数关系，符合题意；
B、∵斜边长为 的直角三角形的直角边 和 ，∴ ，不满足一次函数的关系，不
符合题意；
C、圆的面积 与它的半径 ，关系式为 ，不是一次函数关系，不符合题意；
D、路程一定时，时间 和速度 的关系式为 （k表示路程），不是一次函数关系，不符合
题意；
故选A
【点睛】
本题主要考查了一次函数的定义，熟知如果x、y满足 （ ，k、b是常数），那么y是x的一次
函数是解题的关键．
5．某商场存放处每周的存车量为5000辆次，其中自行车存车费是每辆一次1元，电动车存车费为每辆一
次2元，若自行车存车量为x辆次，存车的总收入为y元，则y与x之间的关系式是（ ）
A．y＝﹣x+10000 B．y＝﹣2x+5000 C．y＝x+1000 D．y＝x+5000
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意得：总收入为y元=自行车存车费+电动车存车费，据此写出题目中的函数解关系式，从而可以解
答本题．
【详解】
解：由题意可得，
，
故选： ．【点睛】
本题考查函数关系式，解答本题的关键是明确题意，写出题目中的函数关系式．
6．在计算器上按照下面的程序进行操作：
下表分别是x和输入的6个数及相应的计算结果
x -2 -1 0 1 2 3
y -5 -2 1 4 7 10
当从计算器上输入的x的值为-10时，则计算器输出的y的值为（ ）
A．-26 B．-30 C．26 D．-29
【答案】D
【解析】
【分析】
根据表格中数据求出x、y之间的关系就可以解决这个问题．
【详解】
根据表格中数据分析可得：x与y之间的关系为y=3x+1，
当x=-10时，y=-10×3+1=-29．
故选D．
【点睛】
考查学生的分析、归纳能力、观察能力，解题关键是用函数的描述x、y的关系．
7．若 是一次函数，则k＝_________．
【答案】-3
【解析】
【分析】
根据一次函数的定义得到 且 ，解方程和不等式即可求解．
【详解】
解：∵ 是一次函数，
∴ 且 ，∴ 且 ，
∴ ．
故答案为：－3．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的定义．一般地，形如 （ ，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
8．若函数 是正比例函数，则m的值是_____，n的值为_______．
【答案】 2
【解析】
【分析】
根据正比例函数的定义，符合 形式，是正比例函数解答即可．
【详解】
解：若函数 是正比例函数，
则 ， ，
解得 ， ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是解题的关键．
9．下列函数：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中一定是一次函
数的有____________．（只是填写序号）
【答案】②③⑤
【解析】
【分析】
根据一次函数的定义条件解答即可．
【详解】
解：①y＝kx当k＝0时原式不是一次函数；
② 是一次函数；
③由于 ＝x，则 是一次函数；
④y＝x2＋1自变量次数不为1，故不是一次函数；⑤y＝22−x是一次函数．
故答案为：②③⑤．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx＋b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为
1．
10．下表中记录了一次试验中时间和温度的数据．若温度的变化是均匀的，则18分钟时的温度是______
°C．
时间/分钟 0 5 10 15 20 25
温度/°C 10 25 40 55 70 85
【答案】64
【解析】
【分析】
根据表格中的数据可知温度随时间的增加而上升，且每分钟上升 ，写出函数关系式，进而把 代入
计算即可．
【详解】
解：根据表格中的数据可知温度 随时间 的增加而上升，且每分钟上升 ，
则关系式为： ，
当 时， ．
故 分钟时的温度是 ．
故答案为：64．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是分析表格得出温度 与时间 的关系式．
11．某工厂生产甲乙两种产品，共有工人200名，每人每天可以生产5件甲产品或3件乙产品，若甲产品
每件可获利4元，乙产品每件可获利7元，工厂每天安排x人生产甲产品，其余人生产乙产品，则每日的
利润y（元）与x之间的函数关系式为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据人数乘以生产件数乘以每件商品利润即可得解．
【详解】解：∵工厂每天安排x人生产甲产品，其余（200-x）人生产乙产品，
∴每日的利润y（元）与x之间的函数关系式y=x×5×4+（200-x）×3×7=4200- x，
∴每日的利润y（元）与x之间的函数关系式为y= 4200- x．
故答案为y=4200- x．
【点睛】
本题考查列一次函数解析式，掌握总利润=人数乘以生产件数乘以每件商品利润即可得解．
12．汽车以60千米/时的平均速度，由A地驶往相距420千米的上海，汽车距上海的路程s（千米）与行驶
时间t（时）的函数关系式是_____．
【答案】s=420﹣60t
【解析】
【分析】
根据速度乘时间等于路程，可得函数关系式．
【详解】
由“速度×时间=路程”，得：
s=420﹣60t，
故答案为：s=420﹣60t．
【点睛】
本题考查了函数关系式．能够正确利用“速度乘以时间等于路程”这一关系来列函数关系式是解题的关键．
13．一水池的容积是 ，现有水 ，用水管以每小时 的速度向水池中注水，直到注满为止，则水
池水量 与注水时间 （小时）之间的关系式为_______，自变量 的取值范围是_______．
【答案】 V＝10+5t 0≤t≤16
【解析】
【分析】
根据蓄水量等于现蓄水量加注水量，可得函数关系解析式，根据水池容量即可确定自变量的取值范围．
【详解】
由蓄水量等于现蓄水量加注水量，得V=5t+10，
由5t+10≤90，
解得t≤16，
∴自变量 的取值范围是0≤t≤16，
故答案为：（1）V=5t+10；（2）0≤t≤16．【点睛】
本题考查了一次函数的解析式，是一道实际应用问题，根据蓄水量等于现蓄水量加注水量的数量关系建立
解析式是解题关键．
14．写出下列各题中 关于 的函数关系式，并判断 是否为 的一次函数，是否为正比例函数．
（1）长方形的面积为20，长方形的长 与宽 之间的函数关系式；
（2）刚上市时西瓜每千克3.6元，买西瓜的总价 元与所买西瓜 千克之间的函数关系式；
（3）仓库内有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，仓库内余下的粉笔盒数 与星期数 之间的函数关
系式；
（4）爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入10 000元，以后每个月存入500元，存入总数 元与月数
之间的函数关系式．
【答案】（1） ，不是一次函数，也不是正比例函数；（2） ，是正比例函数，也是一次函
数；（3） ，是一次函数，不是正比例函数；（4） ，是一次函数，不是正
比例函数．
【解析】
【分析】
根据题意列出表达式，再根据一次函数及正比例函数的定义进行解答．
【详解】
（1） ，不是一次函数，也不是正比例函数．
（2） ，是正比例函数，也是一次函数．
（3） ，是一次函数，不是正比例函数．
（4） ，是一次函数，不是正比例函数．
【点睛】
本题考查了一次函数、正比例函数的定义．一次函数y＝kx＋b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量
次数为1．
15．已知函数 ；
(1)当 取何值时，这个函数是正比例函数？(2)当 在什么范围内取值时，这个函数是一次函数？
【答案】(1)当 时，这个函数为正比例函数
(2)当 时，这个函数是一次函数
【解析】
【分析】
（1）根据正比例函数的定义求解即可；
（2）根据一次函数的定义求解即可．
(1)
解：∵函数 是正比例函数，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，这个函数为正比例函数；
(2)
解：∵函数 是一次函数，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，这个函数是一次函数．
【点睛】
本题主要考查了一次函数与正比例函数的定义，熟知二者的定义是解题的关键．
16．学校阅览室有一种能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌按图中的方式摆放，2张方桌摆放到一
起能坐6人，请你结合这个规律，回答问题：
(1)写出总人数y（人）与方桌数x（张）之间的函数解析式（不要求写自变量的取值范围），并判断y是不
是x的一次函数；
(2)若八年级（1）班有42人去阅览室看书，则需要多少张这样的方桌？
【答案】(1) ；(2)20张【解析】
【分析】
（1）根据第一张桌子可坐4人，以后每多一张桌子多2人，可列函数关系式，再判断即可；
（2）将y=42代入（1）中的函数关系式即可求出．
(1)
解：∵一张方桌坐4人，每多一张方桌就多坐2人，
∴如果是x张方桌，则所坐人数是 ．
∴y与x之间的函数解析式为 ，
(2)
解：把 代入 ，
得 ，解得 ．
答：需要20张这们样的方桌．
【点睛】
本题考查了根据图形求一次函数的解析式，及一次函数的判断、求自变量的取值，根据图形列出函数表达
式是解题的关键．
17．正方形的面积S是边长x的函数，它的表达式是S＝x2．如果正方形的边长的变化范围很小，例如x从
1变到1.08，我们来观察面积S的变化情况：
x 1 1.02 1.04 1.06 1.08
S 1 1.040 1.082 1.124 1.166
（1）分别计算x从1变到1.02，从1.02变到1.04，从1.04变到1.06，从1.06变到1.08时，面积S增大了
多少；
（2）根据第（1）题的计算结果，当边长x从1变到1.08时，正方形的面积S可不可以看成边长x的一次
函数？由此受到启发，你能做出什么猜测？
【答案】（1）面积S依次增大了0.040，0.042，0.042，0.042；（2）不可以，猜测：面积与边长不成一次
函数关系
【解析】
【分析】
（1）根据表格中的数据，计算出x的相邻两个值之间所对应的面积之差即可求解；（2）比较（1）计算计算的差值，看看是否相等，相等即为一次函数，若不相等，则不是一次函数．
【详解】
解：（1）1.040﹣1＝0.040，
1.082﹣1.040＝0.042，
1.124﹣1.082＝0.042，
1.166﹣1.124＝0.042，
即x从1变到1.02，从1.02变到1.04，从1.04变到1.06，从1.06变到1.08时，面积S依次增大了0.040，
0.042，0.042，0.042；
（2）因为x由1变到1.08时，正方形面积S的变化值不是定值，所以正方形的面积S不可以看成边长x的
一次函数，
猜测：面积与边长不成一次函数关系．
【点评】
本题考查了一次函数的定义，能理解一次函数的定义是解此题的关键，注意：形如y＝kx+b（k、b为常数，
k≠0）的函数叫一次函数．
18．如图，甲、乙两地相距 ，现有一列火车从乙地出发，以 的速度向丙地行驶．
设 表示火车行驶的时间， 表示火车与甲地的距离．
（1）写出 与 之间的关系式，并判断 是否为 的一次函数；
（2）当 时，求 的值．
【答案】（1） ， 是 的一次函数；（2）140
【解析】
【分析】
（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案；
（2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案．
【详解】
（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km）
∵甲、乙两地相距100km
∴火车与甲地的距离表示为：（100+80x）km∴y=100+80x
∴y是x的一次函数；
（2）当 时，得：y=100+80×0.5=140．
【点睛】
本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9cm，BC＝6cm，点D在AC上运动，设AD长为xcm，△BCD
的面积为ycm2．当x从小到大变化时，y也随之变化．
（1）求出y与x之间的关系式．
（2）完成下面的表格
x（cm） 4 5 6 7
y（cm2） 6
（3）由表格看出当x每增加1cm时，y如何变化？
【答案】（1）y＝27﹣3x；（2）15，12，9；（3）当x每增加1cm时，y减少3 cm2．
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的面积公式： 底×高，写出关系式即可；
（2）由（1）的关系式代入计算；
（3）用面积后一列的数减前一列的数即可.
【详解】
解：（1）依题意，得：CD＝9﹣x
∵y＝ CD×CB＝ （9﹣x）×6＝27﹣3x
∴y与x的关系式为：y＝27﹣3x；
（2）当x＝4时，y＝15；当x＝5时，y＝12；当x＝6时，y＝9；
故答案为：15，12，9；（3）由表格看出当x每增加1cm时，y减少3cm2.
【点睛】
本题考查了一次函数与三角形面积的结合，解题的关键是写出面积的表达式，再进行计算.
培优第二阶——拓展培优练
20．已知 和 成正比例，且 时， ，则y与x之间的函数表达式为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意设出函数解析式，把当x=-2时，y=-7代入解析式，便可求出未知数的值，从而求出其解析式．
【详解】
解：∵ 和 成正比例，
∴设
当x=-2时，y=-7代入解析式得，
解得，
∴
整理得 ，
故答案为：
【点睛】
本题考查待定系数法求一次函数解析式，注意掌握待定系数法的运用．
21．在一次函数 的图象上有一点 ，将点 沿该直线移动到点 处，若点 的横坐标减去点 的
横坐标的差为2，则点 的纵坐标减去点 的纵坐标的差为 __．
【答案】2
【解析】
【分析】
设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，用点 的纵坐标减去点 的纵坐标即可求出结
论．【详解】
解答：解：设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握图象上的点的坐标满足图象解析式是本题的关键．
22．在平面直角坐标系中，对于点 和 ，给出如下定义：如果当 时， ；当 时，
．那么称点Q为点P的“关联点”．例如点 的“关联点”为 ．如果点 是
一次函数 图象上点M的“关联点”，那么n的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
分n+1>0和n+1<0两种情况考虑，根据“关联点”的含义及点在直线上的坐标特征，即可求得n的值．
【详解】
若n+1>0，即n>−1，则点M坐标为(n+1，3)
由于点M在直线 上，则有
解得：
而n>−1，故不合题意；
若n+1<0，即n<−1，则点M坐标为(n+1，−3)
由于点M在直线 上，则有
解得：
所以满足条件的n的值为
故答案为：
【点睛】本题是新定义问题，考查了点在直线上的坐标特征，关键是理解“关联点”的含义，分情况考虑．
23．已知 ， 与 成正比例，y 与 成正比例，当 时， ；当 时， ．
2
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）求当 时y的值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）设y=kx2，y=a（x-2），得出y=kx2+a（x-2），把x=1，y=5和x=-1，y=11代入得出方程组，求出方
1 2
程组的解即可；
（2）把x=2代入函数解析式，即可得出答案．
【详解】
解：（1）设 ， ，
则 ，
把 ， 和 ， 代入得：
即 ， ，
∴y与x之间的函数表达式是 ，
（2）把 代入得： ．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求出正比例函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力．
24．“五一”假期，小明一家将随团到某风景区旅游，集体门票的收费标准是：25人以内（含25人），
每人30元；超过25人时，超过部分每人20元．
(1)写出应收门票费y（元）与游览人数x（人）之间的关系式；
(2)若小明一家所在的旅游团购门票花了1250元，则该旅游团共有多少人．【答案】(1) （x为整数）
(2)旅游团共有50人
【解析】
【分析】
（1）当 时，票价是每人30元，则 ，当 时，超过部分每人20元，则此时的门票费
为： ；
（2）根据花费为 元， ，据此可以判断人数超过25人，即可得到
，解方程即可得到答案．
(1)
解：（1）由题意得：当 时，票价是每人30元
∴ ；
当 时，超过部分每人20元，
∴ ，
∴综上所述： （x为整数）；
(2)
解：∵小明一家所在的旅游团购门票花了1250元，
∴ ，
∴旅游团购门票的张数超过25张，
∴ ，
解得 ，
∴该旅游团共有50人．
答：该旅游团共有50人．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
25．临近双十一，某家电公司特推出优惠酬宾活动：
方案一：双十一当天线上购买家电，所有商品均按原价的八折出售；方案二：在双十一之前线上预定购买家电，并办理酬宾卡（m元一张），双十一当天在原价的基础上可享
受5折优惠．
经计算，某款电视若采用方案一购买，则购买一台需付款2479.2元，若采用方案二购买则购买一台需付款
2149.5元．若方案一实际消费金额为y 元，方案二实际消费金额为y 元，商品原价为x元．
1 2
(1)分别求出y，y 与x之间的函数关系式；
1 2
(2)若任老师打算在双十一期间在该公司通过线上购买一台冰箱，原价为1999元，则任老师选择哪种购买
方案最省钱？
【答案】(1)y=0.8x（x>0），y=0.5x+600（x>0）；
1 2
(2)任老师选择方案一购买最省钱．
【解析】
【分析】
（1）依据公式“现价＝原价×折扣”可得y 与x之间的函数关系式．对于y 与x之间的函数关系式，根据
1 2
题意可得y2=0.5x+m（x>0），先由方案一的已知条件代入y 函数解析式求出该商品原价x，再由方案二的
1
已知条件和求出的原价x代入y 函数解析式求出m，从而确定y 与x之间的函数关系式；
2 2
（2）把x＝1999分别代入y，y 与x之间的函数关系式中求出对应的y，y 的值，然后比较大小，小的那
1 2 1 2
个对应的方案最省钱．
(1)
由题意，得y 与x之间的函数关系式为y=0.8x（x>0），
1 1
y 与x之间的函数关系式为y2=0.5x+m（x>0）．
2
将y=2479.2代入y=0.8x（x>0），得x=2479.2÷0.8=3099，即该款电视的原价为3099元．
1
将x=3099，y=2149.5代入y=0.5x+m（x>0）中，得0.5×3099+m=2 149.5，
2
解得m=600．
∴y=0.5x+600（x>0）．
2
(2)
由(1)知，y=0.8x（x>0），y=0.5x+600（x>0）．
1 2
若选择方案一，则需付款0.8×1999=1599.2(元)，
若选择方案二，则需付款0.5×1999+600=1599.5(元)．
∵1599.2<1599.5，
∴任老师选择方案一购买最省钱．培优第三阶——中考沙场点兵
26．（2018·广西玉林·中考真题）等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一次函数的定义，可得答案．
【详解】
设等腰三角形的底角为y，顶角为x，由题意，得
x+2y=180，
所以，y=﹣ x+90°，即等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是一次函数关系，
故选B．
【点睛】
本题考查了实际问题与一次函数，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键.
27．（2022·湖南永州·中考真题）已知一次函数 的图象经过点 ，则 ______．
【答案】1
【解析】
【分析】
把点（m，2）代入一次函数y=x+1，列出关于m的一元一次方程，解之即可得m的值．
【详解】
解：∵一次函数y=x+1的图象经过点（m，2）
∴把点（m，2）代入一次函数，得
m+1=2
解得：m=1
故答案为：1．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．根据一次函数图像上
点的特征得出关于m的一元一次方程是解题的关键．
28．（2018·江苏宿迁·中考真题）某种型号汽车油箱容量为40L，每行驶100km耗油10L.设一辆加满油的
该型号汽车行驶路程为x（km），行驶过程中油箱内剩余油量为y（L）
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时油箱内剩余油量不低于油箱容量的四分之一，按
此建议，求该辆汽车最多行驶的路程.
【答案】 （1）y与x之间的函数表达式为：y=40- x（0≤x≤400）；（2）该辆汽车最多行驶的路程为
300.
【解析】
【详解】
【分析】（1）根据题意可得y与x之间的函数表达式为：y=40- x（0≤x≤400）；
（2）根据题意可得不等式：40- x≥40× ，解之即可得出答案.
【详解】（1）由题意得：y=40- x，即y=40- x（0≤x≤400），
答：y与x之间的函数表达式为：y=40- x（0≤x≤400）；
（2）解：依题可得：40- x≥40× ，∴- x≥-30，
∴x≤300.
答：该辆汽车最多行驶的路程为300km.
【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，弄清题意，找出各个量之间的关系是解题
的关键.
