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第 20 课 成比例线段（含黄金分割）
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．下列各组线段的长度成比例的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cm B．3cm，4cm，5cm，6cm
C．5cm，10cm，15cm，20cm D．6cm，4cm，3cm，2cm
【答案】D
【解析】根据成比例线段的定义，把线段按照由大到小或由小到大的顺序排列，验证第一项×第四项是否
与中间两项乘积相等即可．
A、1×4≠2×3，因此不成比例；
B、3×6≠4×5，因此不成比例；
C、5×20≠10×15，因此不成比例；
D、6×2＝4×3，因此成比例；
故选D．
【点睛】本题考查成比例线段的定义，属于基础题．
2．地图上乐山到峨眉的图上距离为3.8厘米，比例尺是1：1000000，那么乐山到峨眉的实际距离是
（ ）
A．3800米 B．38000米 C．380000米 D．3800000米
【答案】B
【解析】设乐山到峨眉的实际距离为x cm，利用比例尺的定义得到3.8：x=1：1000000，然后利用比例的
性质求出x，再化单位化为米即可．
解：设乐山到峨眉的实际距离为x厘米，
根据题意得3.8：x=1：1000000，
解得x=3800000，
所以乐山到峨眉的实际距离是3800000厘米，即38000米．
故选：B．
【点睛】本题考查了比例线段，正确理解比例尺的定义是解决问题的关键．
3．已知点C是线段AB延长线上一点，且AB：BC＝3：2，则AC：AB为（ ）A．3：2 B．5：3 C．5：2 D．3：5
【答案】B
【解析】设AB＝3k，BC＝2k，则AC＝5k，计算求解．
设AB＝3k，BC＝2k，则AC＝5k，
∴ ，
故选B．
【点睛】本题考查了比例线段，设出BC＝2k，用含k的代数式表示出AC与AB是解题的关键．
4．如果 ，那么下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：A、由合比性质， 可得 ，故本选项不符合要求；
B、由等比性质， 可得 ，故本选项不符合要求；
C、由 得，ad=bc，由 得，ad=bc，故本选项不符合要求；
D、由 得，ab=cd，所以，不能由 得 ，故本选项符合要求．
故选：D．
5．已知线段 是线段 、 的比例中项，且 ， ，则 等于（ ）．
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【解析】线段b是线段a，c的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积
即可得出答案．
解：∵a=3，c=4，
∴ = ，
∴b2=ac=3×4=12，
∴b= ，b=- (舍去).故答案为
【点睛】本题考查了比例中项，解题的关键是熟练的掌握利用比例中项的定义来列方程.
6．下列说法正确的是（ ）
A．每一条线段有且只有一个黄金分割点
B．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段是这条线段的0.618倍
C．若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项
D．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段与较长的一段的比值约为0.618
【答案】D
【解析】根据比例中项和黄金分割的概念分析各个说法.
解：A、每一条线段有两个黄金分割点，错误；
B、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段是这条线段的0.618倍，错误；
C、若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项，错误；
D、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段与这条线段的比值约为0.618，正确；
故选D．
【点睛】此题考查黄金分割问题，理解比例中项、黄金分割的概念，是解题的关键．
7．如果a=2，b=4，c=8，那么（ ）
A．a、b、c的第四比例项是7 B．3a、2b和3c的第四比例项为18
C．c是ab的比例中项 D．b是ac的比例中项
【答案】D
【解析】根据线段成比例进行判断即可．
A选项a、b、c的第四比例项是16，因为 ，
B选项3a、2b和3c的第四比例项为32，因为 ，
C选项c不是ab的比例中项，因为 ，
D选项b是ac的比例中项，因为
故选：D
【点睛】本题考查线段成比例的问题．关键是根据线段成比例的性质解答．
8．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点（其中AC＞BC），则下列结论正确的是（ ）A． B． C．AB2＝AC2+BC2 D．BC2＝AC•BA
【答案】A
【解析】根据黄金分割的定义得出 ，从而判断各选项．
解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴ ，
∴选项A符合题意，
，
∴选项D不符合题意；
∵ ，
∴选项B不符合题意；
∵ ，
∴选项C不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题关键．
9．已知 ，且 ，则下列结论中：① ；② ；③ ，正确的有
（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【解析】根据合分比定理： ，可得 ，再根据合分比定理： ．
由合分比定理，得 ，故①错误，故②正确；
由 ，合分比定理，得 ，故③正确；
故选； ．
【点睛】本题考查了比例的性质，利用了合分比定理，要熟练掌握．10．下列结论不一定成立的是（ ）
A．如果 ，那么
B．如果 ，那么
C．如果 ，（ ），那么
D．如果 ，那么
【答案】D
【解析】对于A、B选项，设 ，则 ， ，分别代入验证左右两端是否相等即可；对于
C、D选项，设 ，则 ， ， ，分别代入计算，验证两边是否相等即可．
解：A：设 ，
则 ， ，
∴ ， ，
∴ ，故A不符合题意；
B：利用A中的方法，同理可知 也成立，故B不符合题意；
C：设 ，则 ， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，故C不符合题意；D：设 ，则 ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】 本题考查比例的性质，熟练掌握等比、合比的性质是解题的关键．
二、填空题
11．如果 ，那么 ________．
【答案】
．设 ，则 ．
12．已知线段 长是 是线段 上的一点，且满足 那么 长为____．
【答案】
【解析】先证出点P是线段AB的黄金分割点，再由黄金分割点的定义得到 ，把AB=2代入
计算即可．
解：∵点P在线段AB上，AP2=AB•BP，
∴点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和
整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，较长线段是整个线段的 倍．
13．大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图， 为 的黄金分割点 ，
如果 的长度为 ，那么 的长度是______ ．
【答案】
【解析】先根据黄金分割的定义求出AP，然后把AP的长度代入求出AB的长即可．
解： 为 的黄金分割点（ ），
，
．
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查了黄金分割点的定义，若把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），且使AC
是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中
．
14．已知 ，则 _________．
【答案】
【解析】由 ，设 则 再代入代数式求值即可得到答案．
解： ，
设 则故答案为：
【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握利用设参数法解决比例的问题是解题的关键．
15．如图，在 中，点 是线段 的黄金分割点（ ），若 的面积是 ，则
的面积是_______．
【答案】 ．
【解析】根据黄金分割的定义，以及等高的两个三角形面积之比等于底之比，即可求出 的面积．
解：∵在 中，点 是线段 的黄金分割点（ ），
∴
∵ 的面积是
∴ 的面积
故答案为： ．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念，也考查了三角形的面积公式，解题的关键是正确理解黄金分割的概
念．
16．已知三条线段的长分别为1cm，2cm， cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，则另外一条
线段的长为__________________．
【答案】2 cm或 cm或 cm
设另外一条线段的长为acm，因四条线段成比例，可得 或 或 ，解得a= 或a=或a= ，所以另外一条线段的长为2 cm或 cm或 cm.
点睛：本题主要考查了成比例线段的关系，已知成比例线段的四条中的三条，即可求得第四条，解决本题
要注意分类讨论.
三、解答题
17．（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项．
（2）已知x：y＝4：3，求 的值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两
外项之积即可得出答案．
（2）设x＝4k，y＝3k，代入计算，于是得到结论．
解：（1）设线段x是线段a，b的比例中项，
∵a＝3，b＝6，
x2＝3×6＝18，
x＝ （负值舍去）．
∴线段a，b的比例中项是3 ．
（2）设x＝4k，y＝3k，
∴ ＝ ＝ ．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
18．如果 ，且 ，求 的值．
【答案】
【解析】设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求出k的值，从而得到a、b、c的值，然后代
入代数式进行计算即可得解．
解：设 ＝k（k≠0），则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
代入 得，6k−6k＋4k＝8，
解得k＝2，
所以，a＝4，b＝6，c＝8，
所以， ＝4-6+8＝6．
【点睛】本题考查了比例的性质，此类题目，利用“设k法”求解更简便．
19．若 且x＋y＋z＝18，分别求x、y、z的值．
【答案】x＝4，y＝6，z＝8
【解析】设 ，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，代入x＋y＋z＝18即可求解；
解：设 ，
则x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∵x+y+z＝18，
∴2k+3k+4k＝18，
解得：k＝2，
∴x＝2k＝4，y＝3k＝6，z＝4k=8．
【点睛】本题主要考查比例的性质，正确计算是解本题的关键．
20．已知x：y：z＝3：5：7，求 的值．
【答案】
【解析】根据x：y：z＝3：5：7设x＝3k、y＝5k、z＝7k，然后代入 化简求解即可．
∵x：y：z＝3：5：7，
∴设x＝3k、y＝5k、z＝7k，
∴
＝
＝【点睛】此题考查了比例的性质，解题的关键是根据比例的性质转化成含同一字母的式子．
21．如图，设线段AC＝1.
（1）过点C画CD⊥AC，使CD AC；连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E；
以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B．
（2）在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？
【答案】（1）作图见解析；（2）是，理由见解析
【解析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）设AC＝1，则DE＝DC ，利用勾股定理得到AD ，所以AE ，则AB ，然后
利用黄金分割的定义可判断点B是线段AC的黄金分割点．
解：（1）如图，点B为所作；
（2）点B是线段AC的黄金分割点．
理由如下：设AC＝1，则CD ，
∴DE＝DC ，
∵AD= ，
∴AE＝AD﹣DE ，
∴AB ， BC ，即 ，
∴点B是线段AC的黄金分割点．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的
比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．求出线
段长是解决问题的关键
22．若 ，（1）求 的值；（2）求 的值．
【答案】（1）3；（2）
【解析】（1）由 得 ，代入即可求解；
（2）根据 ，可设 ， ， ，代入即可求解．
（1）∵
∴
∴
（2）∵ ，
∴设 ， ， ，
原式 ．
【点睛】利用这个题目中的设法，把三个未知数的问题转化为一个未知数的问题，是解题的关键．
23．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形 ．（1）若这个矩形的面积等于 ，求 的长度；
（2）这个矩形的面积可能等于 吗？若能，求出 的长度，若不能，说明理由；
（3）若这个矩形为黄金矩形（ 与 之比等于黄金比 ），求该矩形的面积．（结果保留根号）
【答案】（1）11cm；（2）不能，理由见解析；（3）
【解析】（1）设 ，则 ，根据矩形面积公式得到 ，再解方程得 ，
，由于 ，则可得到 的长为 ；
（2）与（1）一样得到方程 ，整理得 ，计算判别式的值，根据判别式的意义
得到方程没有实数解，于是可判断这个矩形的面积可能等于 ；
（3）设 ，则 ，根据黄金分割的定义得 ，解得 ，再计算
出 ，然后计算矩形的面积．
解：（1）设 ，则 ，
根据题意得 ，
整理得 ，解得 ， ，
当 时， ；当 时， ，
而 ，
所以 ，即 的长为 ；
（2）不能．理由如下：
设 ，则 ，
根据题意得 ，整理得 ，
因为△ ，
所以方程没有实数解，
所以这个矩形的面积不可能等于 ；
（3）设 ，则 ，
根据题意得 ，
解得 ，
则 ，
所以矩形的面积 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和黄金分割：把线段 分成两条线段 和 ，且使
是 和 的比例中项（即 ，叫做把线段 黄金分割，点 叫做线段 的黄金分
割点．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．一组不为零的数a，b，c，d，满足 ，则以下等式不一定成立的是（ ）
A． ＝ B． ＝
C． ＝ D． ＝
【答案】C
【解析】根据比例的性质，对所给选项进行整理，找到不一定正确的选项即可．
解： 一组不为零的数 ， ， ， ，满足 ，
， ，即 ，故A、B一定成立；
设 ，∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，故D一定成立；
若 则 ，则需 ，
∵ 、 不一定相等，故不能得出 ，故D不一定成立．
故选： ．
【点睛】本题考查了比例性质；根据比例的性质灵活变形是解题关键．
2．已知线段AB的长为2厘米，点P是AB的黄金分割点，线段PB的长是（ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】B
【解析】根据黄金分割的定义和黄金比值 ，分PB为较长线段和PB为较短线段求解即可．
解：∵线段AB的长为2厘米，点P是AB的黄金分割点，
∴PB= AB= ×2= ，
或PB=2－（ ）= ，
故选：B．
【点睛】本题考查黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和CB（AC＞BC），且AC为AB和BC的
比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=
AB，熟记黄金比值 是解答的关键．
3．已知a、b、c均不为0,且 ,若 ，则k=（）
A．-1 B．0 C．2 D．3
【答案】D【解析】分别用含有k的代数式表示出2b+c，2c+a，2a+b，再相加即可求解.
∵
∴ ， ，
三式相加得，
∵
∴k=3.
故选D.
【点睛】本题考查了比的性质，解题的关键是求得2b+c=ak，2c+a=bk，2a+b=ck.
4．如图，在 ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则 ADE的
面积为（ △） △
A．10﹣4 B．3 ﹣5 C． D．20﹣8
【答案】A
【解析】过点A作AF⊥BC于点F，由题意易得 ，再根据点 ， 是边 的两个黄金分割点，
可得 ，根据勾股定理可得 ，进而可得 ，然后根
据三角形的面积计算公式进行求解．
解：过点A作AF⊥BC于点F，如图所示：∵ ， ，
∴ ，
∴在Rt△AFB中， ，
∵点 ， 是边 的两个黄金分割点，
∴ ，
∵ ， ，
∴DF=EF，
∴ ，
∴ ；
故选：A
【点睛】本题主要考查二次根式的运算、勾股定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握二次根式的运算、
勾股定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
5．有以下命题：
①如果线段 是线段 ， ， 的第四比例项，则有 ；
②如果点 是线段 的中点，那么 是 、 的比例中项；
③如果点 是线段 的黄金分割点，且 ，那么 是 与 的比例中项；
④如果点 是线段 的黄金分割点， ，且 ，则 ．
其中正确的判断有（ ）
A．②④ B．①②③④ C．①③④ D．②③④【答案】C
【解析】根据比例线段、黄金分割的定义逐个判断即可得．
①如果线段 是线段 ， ， 的第四比例项，则有 ，正确；
②如果点 是线段 的中点，则 ，
所以 ，
所以 不是 、 的比例中项，错误；
③如果点 是线段 的黄金分割点，且 ，
则 ，
所以 ，即 ，
所以 是 与 的比例中项，正确；
④如果点 是线段 的黄金分割点， ，且 ，
则 ，即 ，
所以 ，正确；
综上，正确的判断有①③④，
故选：C．
【点睛】本题考查了比例线段、黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题关键．
6．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分
割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（ ）
A．（40 ﹣40）cm B．（80 ﹣40）cm
C．（120﹣40 ）cm D．（80 ﹣160）cm
【答案】D【解析】根据黄金分割的概念和黄金比值求出AC＝BD＝40 40，进而得出答案．
解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，
∴AC＝BD＝80 40 40，
∴CD＝BD﹣（AB﹣BD）＝2BD﹣AB＝80 160，
故选：D．
【点睛】此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段
的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值 叫做黄金比．
7．若 ，设 ， ， ，则 、 、 的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据 ，设x=2a，y=7a，z=5a，进而代入A，B，C分别求出即可．
解：∵ ，设x=2a，y=7a，z=5a，
∴ = ，
= =1，
= =2．
∴A＜B＜C．
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质，根据比例式用同一个未知数得出x，y，z的值进而求出是解题的关键．
8．已知实数a、b、c、d满足2 005a3=2 006b3=2 007c3=2 008d3，
=
则a-1+b-1+c-1+d-1的值为( ).A．1 B．0 C．-1 D．±1
【答案】D
试题分析：设2005a3=2006b3=2007c3=2008d3=k，则 ， ， ， ，
， ， ， ，所以 =
=±1
故选D
点睛：此题是一个阅读题，通过阅读分析题目，根据比例的性质，设出一个共性的k，由此根据降低幂指
数，化简即可求解.
二、填空题
9．若 ，给出下列各式：① ；② ；③
；④ ，其中正确的是________.（填写所有正确的序号）
【答案】①②④
【解析】根据等比性质判断即可.
解：由比例的性质易知①正确；
由已知得 ，再由等比性质可知②④正确；，
故③是错误的.
【点睛】本题考查了等比性质的灵活应用，其中由已知式 变形得到
是判断的关键.
10．若 = = （x，y，z均不为0）， =1，则m的值为______ ．
【答案】4
【解析】可以设 = = =a，进而可以得出x、y、z的值，代入所要求的方程中即可得出答案．
解：设 = = =a，
∴x=2a，y=3a，z=am，
∵ = =1，
∴m=4，
故答案为4．
【点睛】本题考查了比例的性质，解决此类问题要求不拘泥于形式，能够根据不同的条件来得出不同的求
解方法．在平时要多加练习，熟能生巧，解题会很方便．
11．如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 ，点C叫做线段AB的黄金分割点．
设AB=a，AC=x，则 ， ，即 叫做黄金比．一些美术家认为：人的上、下身
长之比接近黄金比，可以增加美感．如图2的人体雕像高为m，为增加视觉美感，若图中m为2米，则n
为____米．【答案】
【解析】根据黄金分割定义，人的上、下身长之比接近黄金比即可求解．
解：根据题意得：
得
解得
经检验： 是原方程的根
故答案为：
【点睛】本题考查了黄金分割，分式方程的应用，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．
12．五角星是我们生活中常见的一种图形，如图五角星中，点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分
割点，已知黄金比为 ，且AB＝2，则图中五边形CDEFG的周长为________．
【答案】
【解析】根据点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，可得AC=BD= AB，BC=
AB，再根据CD=BD-BC求出CD的长度，然后乘以5即可求解．
∵点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，
∴AC=BD= AB= ，BC= AB ，
∴CD=BD﹣BC=( )﹣( )=2 ﹣4，
∴五边形CDEFG的周长=5（2 ﹣4）=10 ﹣20．故答案为：10 ﹣20．
【点睛】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线
段和整个线段的比例中项，则这个点叫这条线段的黄金分割点．
13． ， ， ， ， ， 满足关系： ，则代数式 的值是______．
【答案】
【解析】根据等比性质求解求解即可．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查等比性质，掌握并应用等比性质是解题的关键．
14．已知 满足 ，试求 的最大值__________．
【答案】25
【解析】设 ，得到关于k的等式，利用配方法和非负数的性质即可求解．
解：设 ，
∴a-1=2k，b+1=3k，c-2=4k，即a=2k+1，b=3k-1，c=4k+2，
∴a2+b2−c2= (2k+1)2+(3k-1)2−(4k+2)2
=4k2+4k+1+9k2-6k+1-(16k2+16k+4)
=4k2+4k+1+9k2-6k+1-16k2-16k-4
=-3k2-18k-2
=-3(k2+6k+9-9)-2
=-3(k+3) 2+25
∵(k+3) 2≥0，则-3(k+3) 2≤0，
∴a2+b2−c2的最大值为25，
故答案为：25．
【点睛】本题考查了比例的性质，完全平方公式，掌握配方法和非负数的性质是解题的关键．15．如图，线段AB的长为1，线段AB上取点P 满足关系式AP2＝BP•AB，则线段AP 的长度为_____；
1 1 1 1
线段AP 上取点P 满足关系式AP2＝PP•AP，线段AP 上的点P 满足关系式AP2＝PP•AP，依次以此类
1 2 2 1 2 1 2 3 3 2 3 2
推，APn的长度为_____．
【答案】 （ ）n
【解析】根据图形的变化寻找规律，利用黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞
BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即 ），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB
的黄金分割点．其中AC＝ AB≈0.618AB．即可得结论．
∵线段AB的长为1，线段AB上取点P 满足关系式AP 2＝BP•AB，
1 1 1
则线段AP 的长度为： ；
1
线段AP 上取点P 满足关系式AP 2＝PP•AP，
1 2 2 1 2 1
则线段AP 的长度为：（ ）2；
2
线段AP 上的点P 满足关系式AP 2＝PP•AP，
2 3 3 2 3 2
则线段AP 的长度为：（ ）3；
3
依次以此类推，
AP 的长度为：（ ）n．
n
故答案为： ；（ ）n．
【点睛】本题考查了黄金分割、规律型-图形的变化类，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．16．若 ，则 的值为_____________．
【答案】 或﹣1
【解析】设 ，根据比例的性质得出 ， ，
，将它们相加得出 ，再分 与 两种情况进行讨论即可．
解：设 ，
则 ， ， ，
①如果 ，那么 ，
此时 ， ， ，
，
②如果 ，那么 ， ，
此时 ， ， ，
，
故答案为： 或﹣1．
【点睛】本题考查了比例的性质，进行分类讨论是解题的关键．
三、解答题
17．已知线段 ， ， 满足 ，且 ．
求 ， ， 的值；
若线段 是线段 ， 的比例中项，求 ．
【答案】（1） ， ， ；（2）【解析】 设比值为 ，然后用 表示出 ， ， ，再代入等式求解得到 ，然后求解即可；
根据比例中项的定义列式求解即可．
解： 设 ，
则 ， ， ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
，
．
∵ 线段 是线段 ， 的比例中项，
∴ ，
∴ 线段 ．
【点睛】此题考查的是比例的性质和比例中项，掌握比例的性质和比例中项的定义是解决此题的关键．
18．已知 ，求:
(1) 的值；
(2) 的值．
【答案】(1)3;(2)
【解析】（1）根据 ，设a=3x，b=5x，c=7x，进而代入所式求出即可；
（2）设a=3x，b=5x，c=7x，进而代入所式求出即可．
(1) ，
∴ ，
∴ = ；(2)设 ，则 ， ， ，
∴ ．
【点睛】此题考查比例的性质，掌握比例的和比性质和等比性质是解题的关键.
19．（1）已知 ，求 的值．
（2）已知 ，求 的值．
【答案】（1）﹣ ；（2）
【解析】（1）依据比例的性质可得到2b=1.5a，然后代入计算即可；
（2）设 =k（k≠0），则x=2k，y=3k，z=4k，然后代入计算即可．
解：（1）∵ ，
∴2b=1.5a，
∴ =﹣ ；
（2）设 =k（k≠0），则x=2k，y=3k，z=4k，
∴ = ．
【点评】本题主要考查的是比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
20．已知 =k，求k2-3k-4的值．
【答案】- 或6．
【解析】当a+b+c+d≠0时，依据等比性质可得 =k，当a+b+c+d=0时，得b+c+d=﹣a，代入即可
计算出k的值．
∵ =k，
∴当a+b+c+d≠0时，由等比性质可得， =k，k= = ；
当a+b+c+d=0时，b+c+d=﹣a，
∴k= =-2；
当k= 时， ；
当 时， ．
【点睛】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质．
21．阅读理解：
已知：a，b，c，d都是不为0的数，且 ，求证： ．
证明：∵ ，
∴ ．
∴ ．
根据以上方法，解答下列问题：
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，且a≠b，c≠d，证明 ．
【答案】（1） ；（2）证明过程见解析
【解析】（1）根据 计算即可；
（2）先在等式两边同时减去1再结合 计算即可；
（1）∵ ，
∴ ；
（2）∵ ，∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了比例的性质应用，准确计算是解题的关键．
22．已知a，b，c，d都是互不相等的正数.
（1）若 ， ，则 ， （用“＞”，“＜”或“=”填空）；
（2）若 请判断 和 的大小关系，并证明；
（3）令 若分式 的值为3，求t的值.
【答案】（1）=；=；（2） ，理由见解析；（3）
【解析】（1）由 ， ，得到a=2b，c=2d，代入化简即可得到结论；
（2）设 ，则 ，得到a=bt，c=dt，代入化简即可得到结论；
（3）由已知得到：a=ct，b=dt.代入分式，化简后解方程即可得出结论.
（1）∵ ， ，
∴a=2b，c=2d，
∴ ， .
故答案为：==；
（2） = .理由如下：
设 ，则 ，
∴a=bt，c=dt，∴ ，
，
∴ = ；
（3）∵ ，
∴a=ct，b=dt.
∵ 2=3，
∴ .
解得：t= .
经检验：t= 是原方程的解.
【点睛】本题考查了比例的性质以及解分式方程.设参法是解答本题的关键.
23．已知 ，且 .求证： .
【答案】见解析
【解析】根据已知设 ，分别用k表示a、b、c，相加得出k的值，代入方程组即可得出
设 ，从而 ， ， ，
于是 （ + ），
又因为 ，所以 ；
.
【点睛】本题考查了分式的运算和比例的性质，整体代入的思想即将一个表达式来表示另外一个，求出k
的值是解题的关键
24．所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中较长部分对于全部之比，等于较短部分对
于该部分之比，其比值是 ．(1)如图①，在 中，∠A＝36°， ，∠ACB的平分线CD交腰AB于点D．请你根据所学知识
证明：点D为腰AB的黄金分割点：
(2)如图②，在 中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的高， ， ，若点D是AB
的黄金分割点，求BC的长，
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【解析】（1）根据三角形内角和定理，等边对等角，等角对等边确定BC=AD，∠BCD=∠A，根据相似三
角形的判定定理和性质即可证明．
（2）根据黄金分割的定义求出BD的长度，根据相似三角形的判定定理和性质求出BC2，进而即可求出
BC的长度．
(1)
证明：∵在 中，∠A＝36°， ，
∴ ．
∵CD为∠ACB的平分线，
∴ ，
∴∠ACD=∠BCD=∠A．
∴AD=DC．
∴ ．
∴∠BDC=∠B，∠BDC>∠BCD．
∴DC=BC，BC>BD．
∴BC=AD．
∴AD>BD．∵ ，
∴ ．
∴ ，即 ．
∴点D是腰AB的黄金分割点．
(2)
解：∵点D是AB的黄金分割点， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，CD是△ABC斜边上的高，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，等边对等角，等角对等边，相似三角形的判定定理和性质，综合应
用这些知识点是解题关键．
25．（1）数学活动一
宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建
筑，都采用了黄金矩形的设计．在数学活动课上，小红按如下步骤折叠出一个矩形：
第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABCD，然后把纸片展平；
第二步，如图②，把这个正方形ABCD对折成两个完全重合的矩形，再把纸片展平；
第三步，如图③，折出内侧矩形EFBC的对角线CF，并把CF折到图中所示FN处；
第四步，如图④，展平纸片，按照点N折出NM，得到矩形BNMC．若 ，请证明矩形BNMC是黄金矩形．
（2）数学活动二
如图⑤，点C在线段AB上，且满足 ，即 ，此时，我们说点C是线段AB
的黄金分割点，且通过计算可得 ．小红发现还可以从活动一的第三步开始修改折叠方式，如
图⑥，折出右侧矩形EFBC的对角线EB，把AB边沿BG折叠，使得A点落在对角线BE上的K点处，若
，请通过计算说明G点是AD的黄金分割点．
【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析
【解析】（1）由正方形ABCD的边长为2，根据折叠可知FB，由勾股定理可得FC，易得出BN的值，再
求BN：BC的值即可判断；
（2）如图，连接 设 则 再利用轴对称的性质与勾股定理求解
再利用勾股定理建立方程求解 ，从而可得答案．证明：（1）根据第一步折叠可知，ABCD是正方形，
由正方形边长为2，
根据第二步可知，
在△FCB中，根据勾股定理， 得
根据第三步可知，
∴
∴
∴矩形BNMC是黄金矩形．
（2）如图，连接 正方形的边长
由对折可得：
设
所以由勾股定理可得：
解得：所以G点是AD的黄金分割点．
【点睛】本题考查的是成比例线段，黄金分割点的含义，正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，
理解题意利用轴对称的性质逐步计算是解本题的关键．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2011·内蒙古呼和浩特·中考真题）如果 成立，那么下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
已知 成立，根据比例的性质可得选项A、B、C都不成立；选项D ，由 ＝ 可得
，即可得 ，选项D正确，故选D.
点睛：本题主要考查了比例的性质，熟练运用比例的性质是解决问题的关键.
2．（2019·四川雅安·中考真题）若 ，且 ，则 的值是（ ）
A．4 B．2 C．20 D．14
【答案】A
【解析】根据比例的性质得到 ，结合 求得 的值，代入求值即可．
解：由a：b＝3：4 知 ，
所以 ．
所以由 得到： ，
解得 ．
所以 ．
所以 ．
故选A．
【点睛】考查了比例的性质，内项之积等于外项之积．若 ，则 ．
3．（2005·江苏南京·中考真题）在比例尺为1：40000的工程示意图上，将于2005年9月1日正式通车的南京地铁一号线（奥体中心至迈皋桥段）的长度约为54.3cm，它的实际长度约为（ ）
A．0.2172km B．2.172km C．21.72km D．217.2km
【答案】C
比例尺= ，得实际长度=21.72km，故选C
4．（2017·贵州六盘水·中考真题）矩形的两边长分别为、，下列数据能构成黄金矩形的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
试题分析：黄金矩形的长宽之比为黄金分割比，即 ，只有选项D中a:b= ，故选
D．
考点：黄金分割．
5．（2022·湖南衡阳·中考真题）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度
比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为 的雷锋雕像，那
么该雕像的下部设计高度约是（ ）（结果精确到 ．参考数据： ， ，
）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设雕像的下部高为x m，由黄金分割的定义得 求解即可．
解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（2-x）m，∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，
雷锋雕像为2m，
∴
∴ ，
即该雕像的下部设计高度约是1.24m，
故选：B．
【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．
6．（2021·四川巴中·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P
是线段AB上一点（AP＞BP），若满足 ，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中
处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，
主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对
【答案】A
【解析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，则 ，即可求解．
解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，
且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，
∴ ，
∴（20−x）2＝20x，
故选：A．
【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关
键．
二、填空题7．（2020·湖南湘潭·中考真题）若 ，则 ________．
【答案】
【解析】根据比例的基本性质变形，代入求职即可；
由 可设 ， ，k是非零整数，
则 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了比的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．
8．（2021·黑龙江大庆·中考真题）已知 ，则 ________
【答案】
【解析】设 ，再将 分别用 的代数式表示，再代入约去 即可求解．
解：设 ，
则 ，
故 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了比例的性质，正确用同一字母表示各数是解决此类题的关键．
9．（2022·陕西·中考真题）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选
法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做 将矩形窗框 分为上
下两部分，其中E为边 的黄金分割点，即 ．已知 为2米，则线段 的长为______米．【答案】 ##
【解析】根据点E是AB的黄金分割点，可得 ，代入数值得出答案．
∵点E是AB的黄金分割点，
∴ ．
∵AB=2米，
∴ 米．
故答案为：（ ）．
【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．
10．（2021·四川内江·中考真题）已知非负实数 ， ， 满足 ，设 的最大值
为 ，最小值为 ，则 的值为 __．
【答案】 +##0.6875
【解析】设 ，则 ， ， ，可得 ；利用a，b，c为非
负实数可得k的取值范围，从而求得m，n的值，结论可求．
解：设 ，则 ， ， ，
．
， ， 为非负实数，，
解得： ．
当 时， 取最大值，当 时， 取最小值．
，
．
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了比例的性质，解不等式组，非负数的应用等，设 是解题的关
键．
