文档内容
第 07 讲 章节复习专题：相交线与平行线
目录
【考点一 对顶角的定义】........................................................................................................................................3
【考点二 利用对顶角相等求角】............................................................................................................................5
【考点三 求一个角的余角、补角】........................................................................................................................7
【考点四 垂线的定义的理解与应用】....................................................................................................................8
【考点五 利用垂线的定义求角的度数】..............................................................................................................10
【考点六 点到直线的距离与垂线段最短】..........................................................................................................15
【考点七 同位角、内错角、同旁内角的辨别】..................................................................................................19
【考点八 添加一条件使两条直线平行】..............................................................................................................21
【考点九 平行线的判定和性质多结论题】..........................................................................................................23
【考点十 平行线的性质在生活中的应用】..........................................................................................................28
【考点十一 平行线的判定和性质综合问题】......................................................................................................31
【考点十二 根据平行线的判定与性质探究角的关系】......................................................................................34
【考点十三 根据平行线的判定与性质接解决光线问题】..................................................................................38
【考点十四 根据平行线的判定和性质解决三角形旋转问题】...........................................................................43
【知识点1】对顶角、余角、补角
1.对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个
角叫做对顶角.
2.对顶角的性质：对顶角相等.
3.互补与互余的概念
互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那
么称这两个角互为余角，也称互余.
4.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等.
【知识点2】垂线及性质、点到直线的距离
（1）垂线的定义：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另
一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O.
特别提醒：
要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指
这两条线段所在的直线垂直.
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学科网（北京）股份有限公司（2）垂线的性质：
垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记).
垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.
（3）点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图 2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离
是垂线段PO的长.
特别提醒：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.
【知识点3】同位角、内错角与同旁内角
角的名称 位置特征 图形结构特征
同位角 既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧 形如字母“F”（或倒置、反转、旋
转）
内错角 既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即 形如字母“Z”（或倒置、反转、旋
被截线“错开” 转）
同旁内角 既位于接线的同侧，又位于被截两直线之间. 形如字母“U”（或倒置、反转、旋
转）
【知识点4】平行线
1.平行线的定义
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示.
2.平行线的画法
一“落”：把三角尺一边落在已知直线上；
二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边；
三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；
四“画”：沿三角尺过已知点的变化直线.
3.平行线的公理
（1）平行公理：经过直线过一点，有且只有一条只限于这条直线平行.
（2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
【知识点5】平行线的判定和性质
1.平行线的判定
判定方法1 判定方法2 判定方法3
两条直 两条直线被第三条直线所 两条直线被第三条直线所 两条直线被第三条直
线平行 截，如果同位角相等，那 截，如果同位内角相等，那 线所截，如果同旁内
的判定 么这两条直线平行，即同 么这两条直线平行，即内错 角互补，那么这两条
位角相等，两直线平行 角相等，两直线平行 直线平行，即同旁内
角互补，两直线平行
符号语 那么∠1=∠2 那么∠1=∠2 那 么
言 ∠1+∠2=180°
那么AB//CD 那么AB//CD
那么AB//CD
2.平行线的性质
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等.
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学科网（北京）股份有限公司性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，同位角相等.
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补.
【考点一 对顶角的定义】
例题：（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列图形中， 与 互为对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列选项中， 与 是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25七年级下·全国·单元测试）在下列图形中， 和 是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列图形中， 与 互为对顶角的是（）
A． B．
C． D．
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学科网（北京）股份有限公司【考点二 利用对顶角相等求角】
例题：（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发
现表示 的点在直线a上，表示 的点在直线b上，则 ．
【变式训练】
1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知直线 、 相交， ，则 .
2．（23-24七年级下·全国·期末）如图所示，直线 ， ， 两两相交， ， ，则
．
3．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，直线 与 相交于点 ， ， ，
，则 ， ．
【考点三 求一个角的余角、补角】
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）已知 ．
（1） 的余角 ；
（2） 的补角 ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·北京丰台·期末）若 ，则 的余角等于 ．
2．（24-25七年级上·江西宜春·期末）已知 ，若 与 互余，则 ．
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学科网（北京）股份有限公司3．（24-25七年级上·云南昭通·期末）已知 ，则 的补角是 ．
4．（24-25七年级上·广西贺州·期末）已知 是 的补角． 是 的补角，若 ，
，则 为 ．
【考点四 垂线的定义的理解与应用】
例题：（2024七年级上·全国·专题练习） 为直线 上的一点， 为 外一点，下列说法不正确的是（ ）
A．过 可画直线垂直于 B．过 可画直线 的垂线
C．连结 使 D．过 只能画1条直线与 垂直
【变式训练】
1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知 ， ，所以 与 在同一条直线上的理
由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C．过一点只能作一条垂线
D．垂线段最短
2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图， ， 垂足为D，则下面说法中不正确
的是（ ）
A．点B到 的垂线段是线段CA B．CD与AB互相垂直
C． 与 互相垂直 D．线段 的长度是点A到 的距离
【考点五 利用垂线的定义求角的度数】
例题：（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）如图， 是直线 上一点， ， 平分 ，
过点 作 垂直 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求 的度数；
(2) 是否平分 ？并说明理由．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·湖北黄石·期末）如图，直线 与 相交于点O， ， 分别是 ，
的平分线．
(1)图中 的补角有 个；
(2)试判断 和 的位置关系，并说明理由；
(3)若 ，求 的度数．
2．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，已知点 为直线AB上一点， ， ，
平分 ， ．
(1)求 的度数；
(2)试说明： 平分 ；
(3)若改变 的大小，其余条件不变，设 ，(2)中的结论是否依然成立？若成
立，请说明理由；若不成立，请用 表示 ．
3．（24-25七年级上·全国·期末）已知 是直线 上一点， 是直角， 平分 ．
(1)如图1，当 ，求 的度数；
(2)如图2， 平分 ，求 的度数；
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学科网（北京）股份有限公司(3)当 时， 绕点 以每秒 沿逆时针方向旋转 秒 ，旋转过程中 始终平分
，请直接写出 和 之间的数量关系．
【考点六 点到直线的距离与垂线段最短】
例题：（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点， ，
， ，则点P到直线m的距离为（ ）
A． B． C．小于 D．不大于
【变式训练】
1．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图， 四点在直线 上，点 在直线 外， ，若
，则点 到直线 的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图是测量学生跳远成绩的示意图，即 的长为某同学的跳远成绩，
其依据是（ ）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
3．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，点A，E在直线 上，点B，C，D在直线 上， 于点
B， 于点A， 于点E，下列线段的长度是点A到直线 的距离的是（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司4．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，天然气主管道 的同侧有 ， 两个小区，某市计划从主管道
引一条支管道连接 ， 两小区，下面的四个铺设方案中，所引天然气支管道长度最短的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点
称为格点，点 、 、 、 均在格点上，只用直尺在给定的网格中，按下列要求作图．
(1)作线段 ，作射线 ；
(2)点 到直线 的距离为线段________的长度；
(3)在线段 上找一点 ，使它到 、 、 、 四个点的距离之和最小，作图的理由为________．
【考点七 同位角、内错角、同旁内角的辨别】
例题：（24-25七年级下·全国·随堂练习） 和 是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·云南昆明·期末）下列判断错误的是( )
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学科网（北京）股份有限公司A． 与 是同旁内角 B． 与 是内错角
C． 与 是同旁内角 D． 与 是同位角
2．（24-25七年级上·云南文山·期中）下列各图中， 与 是内错角的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，给出下列说法：① 和 是同位角；② 和 是对顶角；
③ 和 是内错角；④ 和 是同旁内角．其中说法错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点八 添加一条件使两条直线平行】
例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，有下列条件：① ；② ；③ ；④
．其中能得到 的是 ．（请填写序号）
【变式训练】
1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知 ，要使 ，还需添加一个条件，你想添
加的条件是 ．
2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，直线 分别与直线 ， 相交于点E，C，若要使
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学科网（北京）股份有限公司，则可添加的条件是 ．（写出一个即可）
3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，E是线段 的延长线上一点，添加一个条件，使 ，
则可添加的条件为 （写出一种情况即可）．
【考点九 平行线的判定和性质多结论题】
例题：（24-25七年级上·四川内江·期末）将一副三角尺按如图所示的方式放置，其中 ，
， ， ，给出下列结论：①若 ，则 ；②若 ，
则 ；③ ；④若 ，则 ．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【变式训练】
1．（23-24七年级下·山东德州·期中）如图，在四边形 中，过点D作 交 于点A，连接
，若 ．以下四个结论：① ；② ；③ 平分 ；
④ ．其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图， ， ， 平分 ， 平分 ，
关于下列结论：① ，② ，③ 平分 ，④ ，正确的有（
）
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学科网（北京）股份有限公司A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
3．（22-23七年级下·广东深圳·期中）如图， ， 平分 ， ， ，
，则下列结论：① ；② 平分 ；③ ；④
．其中正确的有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④
4．（23-24七年级下·重庆渝北·期中）如图， ， 为 上一点， ，过点 作
于点 ，且 ，且 平分 ，则下列结论：① ；② ；③
平分 ；④ 平分 ．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③④ D．①②③
【考点十 平行线的性质在生活中的应用】
例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如图是某射箭运动员射箭的一个瞬间．已知 ，
， ， ， ，则运动员两腿之间的夹角 的度数为 ．
【变式训练】
1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图是小明写字桌上的一款折叠护眼台灯的简易图，支柱 与桌面
DE交于点 ，灯管 与桌面CE平行，若 ， ，则 的度数为 ．
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学科网（北京）股份有限公司2．（2025七年级下·全国·专题练习）[传统文化]为增强学生体质，让学生感受中国的传统文化，某校将国
家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小
聪把它抽象成了数学问题：如图②，已知 ， ，则 的度数是 ．
3．（2025七年级下·全国·专题练习）探照灯、汽车灯以及很多其他灯具都可以反射光线．如图是一探照灯
灯碗，从 上一点O照射到灯碗上的光线 ， 经反射后都沿着与 平行的方向射出．若
，则 °．
4．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上
一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重
力作用，便能轻易把水提拉至所需处，若已知支架 ，AB可以绕着点 自由旋转，当点 旋转到
如图所示的位置时， ，此时 为 ．
【考点十一 平行线的判定和性质综合问题】
例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知点E、F在直线 上，点G在线段 上， 与
交于点H， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)猜想 与 是否平行，并说明理由；
(2)若 ，求 的度数．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，点E、F分别在线段 上，连接 ，过点F
作 分别交 于点H、G， ．
(1)求证： ；
(2)若 平分 ， ，求 的度数．
2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图， 交 于点F，点C在 的延长线上， ．
(1)若 ，求 的度数．
(2)若 ，求证： ．
3．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在四边形 中， 平分 ，交 于点G，交 的延
长线于点E，F为 延长线上一点， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【考点十二 根据平行线的判定与性质探究角的关系】
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学科网（北京）股份有限公司例题：（23-24七年级下·云南曲靖·期中）如图，已知射线 ，连接 ，点P是射线 上的一个
动点（与点A不重合）， 平分 交 于点C、 平分 交 于点D．
(1)若 ，求 的度数；
(2)数学兴趣小组探索后发现无论点P在射线 上的什么位置， 与 之间的数量关系都保持
不变，请你写出它们的关系，并说明理由．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·吉林四平·期末）已知：如图，点 是直线 上一动点，连接 ，过点 作
交直线 于点 ．(图2，图3为备用图)
(1)如图1，当点 在线段 上时，
①依题意，在图1中补全图形；
②若 ，则 __________(填度数)．
(2)当点 在线段 的延长线上时，请写出 的数量关系，并证明．
(3)当点 在直线 上时，请直接写出 的数量关系，不需要证明．
2．（23-24七年级下·甘肃平凉·期末）【问题背景】
如图，线段 的端点M、N分别在直线 ， 上，E为 ， 之间一点，连接NE，过点E作
，交 于点F， ．
【问题探究】
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，延长 交 于点P，若 平分 ， 交 于点Q．
①若 ，求 的度数；
②判断 与 之间的数量关系，并说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司【考点十三 根据平行线的判定与性质接解决光线问题】
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）跨学科试题·物理 如图1，将支架平面镜 放置在水平桌面
上，激光笔 与水平天花板 的夹角 为 ，激光笔发出的入射光线 射到 上后，反射光
线 与 形成 ．由光的反射定律可知， 、 与 的垂线 所形成的夹角始终相等，即
．
(1) 的度数为_____．
(2)如图2，点 固定不动，调节支架平面镜 ，调节角为 ．
①若 ，求 的度数；
②若反射光线 恰好与 平行，求 的度数．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·广东珠海·期末）综合与实践
台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，它能够集中光线，使得周围环境适合
于阅读、学习或工作，对于保护眼睛健康也具有重要意义．如图1是一盖可折叠台灯．图2、图3是其平
面示意图，底座MN位于水平位置，支架 、 为固定支撑杆，支架 可绕点 旋转，从而调节灯光
照射方向．已知灯体顶角 ， 的平分线 始终与 垂直．
(1)求 的度数：
(2)如图2，当支架 旋转至水平位置时， 恰好与 平行，求支架 与水平方向夹角 的度数；
(3)若（2）中支架 与水平方向的夹角 的度数保持不变，将 绕点 旋转到如图3的位置，旋转后
，求此时 与水平方向 的夹角 的度数．
2．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图所示的是一个潜望镜模型示意图，它由入射镜筒、直管、反射
镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直， ， 代表两块平面镜摆
放的位置．镜筒上下壁和直管左右壁可视作分别相互平行的直线． 是进入潜望镜的光线，它与入射镜
筒壁平行，与直管壁垂直， 是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足入射角等于反射角的
原理，如： ， ．设 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图1，当 时，
①求证： ；
②若光线 与直管壁平行，则 的度数为________；
(2)如图2，当光线经过B处镜面反射后照射到直管右壁 处时，若在 处放置一块平面镜，使光线经平
面镜上的点C处反射到平面镜 上的点D处，并调整平面镜 的位置，使 ．则此时 与 满
足怎样的数量关系？并说明理由．
【考点十四 根据平行线的判定和性质解决三角形旋转问题】
例题：（23-24七年级下·广西百色·期末）【问题背景】
在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》，
【实践操作】
(1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点E落在 上，且 ，求 的度数；
(2)如图2，小红将一个三角板 放在一组直线 与 之间，并使顶点A在直线 上，顶点C在直
线 上，现测得 ， ，请判断直线 ， 是否平行，并说明理由；
(3)现将三角板 按图3方式摆放，使顶点C在直线 上，顶点A在直线 上，若 ，请求出
与 之间的关系式．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）若将一副三角板按如图1所示的方式放置（其中
， ， ），将三角形 固定不动，三角形 绕点 逆时
针旋转，旋转角为 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图2，若 ，则 ， ．
(2)如图3，若 于点 ，则 与 平行吗？请说明理由．
(3)如图4，若 ，则图中有哪两条线平行？请说明理由．
2．（2023七年级下·浙江·专题练习）如图，直线 ，一副三角尺（
）按如图①放置，其中点E在直线
上，点B，C均在直线 上，且 平分 ．
(1)求 的度数．
(2)如图②，若将三角形 绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），
设旋转时间为t（s）（ ）．
①在旋转过程中，若边 ，求t的值．
②若在三角形 绕点B旋转的同时，三角形 绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的
对应点为H，K）．请直接写出当边 时t的值．
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