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第 06 讲 相交线与平行线单元提升卷
（范围：全章，时间：120分钟，满分：120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．若 ，则 的余角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的单位与角度制、求一个角的余角
【分析】本题考查了求一个角的余角，熟练掌握余角的定义是解题的关键：如果两个角的和等于 ，则
这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角．
根据余角的定义即可直接得出答案．
【详解】解： ，则 的余角是 ，
故选：D．
2．如图，直线 ， 被直线 所截，若 ， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用邻补角互补求角度、两直线平行同位角相等
【分析】本题考查平行线的性质，由邻补角的性质求出 ，由平行线的性质推出
．解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：C．
3．下列所示的四个图形中， 和 是同位角的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．②④ B．①②④ C．①②③ D．①④
【答案】B
【知识点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】此题在于考查同位角的概念，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角，所以
①②④符合要求．判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两
个角是同位角．
【详解】解：图①、②、④中， 与 在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；
图③中， 与 的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．
故选：B．
4．如图，直线AB、CD相交于点O， ，垂足为O， ．则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线的定义理解、利用邻补角互补求角度、与余角、补角有关的计算
【分析】本题主要考查了垂直的定义，求一个角的邻补角，余角等知识点，根据邻补角求得 ，根据
余角的定义即可求得 的度数，熟练掌握其性质，数形结合是解决此题的关键．
【详解】解： ，
，
，
，
故选：C．
5．如图所示，点E在 的延长线上，下列条件中能判断 的是（ ）
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． D．
【答案】B
【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补
【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键．
根据平行线的判定定理逐项判断即可得出答案．
【详解】A．因为 ， 所以 ， 不能判断 ，故本选项不符合题意；
B．因为 ， 所以 ，能判断 ，故本选项符合题意；
C．因为 ， 所以 ，不能判断 ，故本选项不符合题意；
D．因为 ， 所以 ，不能判断 ，故本选项不符合题意．
故选：B．
6．如图，是一个可折叠衣架，AB是地平线，当 ， 时，就可以确定点 ， ， 在同
一直线上，这样判定的依据是（ ）
A．两点确定一条直线
B．同角的补角相等
C．平行于同一直线的两直线平行
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】D
【知识点】平行公理的应用
【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条
直线平行解决问题即可，熟练掌握平行线的判定，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行是解
题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，
∴点 ， ， 在同一直线上，
故选： ．
7．如图，三角形ABC中， ， 于点D，若 ，则点C
到直线AB的距离是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】点到直线的距离
【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，点到直线的距离:直线外一点到直线的垂线段的长度,叫
做点到直线的距离，
根据定义可知点C到直线 的距离即垂线段 的长即可解答．
【详解】解：∵ ， ，
∴点C到直线 的距离是 ，
故选A．
8．用尺规过 的边 上一点C（图①）作 （图②）．作图步骤如下：
①作射线 ；
②以点O为圆心，小于 的长为半径作弧，分别交 于点N，M；
③以点P为圆心， 的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；
④以点C为圆心， 的长为半径作弧，交 于点P．下列排序正确的是（ ）
A．④③②① B．④③①② C．②③④① D．②④③①
【答案】D
【知识点】尺规作一个角等于已知角
【分析】本题考查的知识点是简单的尺规作图，直接根据利用尺规作图的方法，作一个角等于已知角的作
图顺序即可得出正确的排列顺序．本题的解题关键是掌握“尺规作图：画一个角等于已知角”
【详解】解：正确的排序为：②以点O为圆心，小于 的长为半径作弧，分别交 于点N，M；
④以点C为圆心， 的长为半径作弧，交 于点P；
③以点P为圆心， 的长为半径作弧，交上一段弧于点Q．
①作射线 ；
故选：D．
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学科网（北京）股份有限公司9．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面 平行，
， ， 与CB平行，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
根据平行得到 ，进而求出 的度数， 求出 的度数，再根
据两直线平行，内错角相等，即可得出结果．
【详解】解： ，CD都与地面l平行，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
10．如图， ， 平分 交 于点E， 于点E， ．下列结论：①
；② 与 互余；③ ；④ 平分 ．其中结论正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算、垂线的定义理解
【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义，由平行得到 ，再根据余角的性质逐个判断即
可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故①正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 与 互余，
故②正确；
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 交 于点E，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 与 不一定相等，即 不一定成立，
故③错误；
∵ ， ， ，
∴ ，即 平分 ，
故④正确，
综上所述，正确的有①②④，
故选：C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．用剪刀剪东西时，剪刀张开的角度如图所示，若 ，则 的度数为 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【知识点】对顶角相等
【分析】本题考查了对顶角，首先判断所求 与 的关系，然后利用对顶角的性质求解．
【详解】解：由图知： 与 是对顶角，
又 ，
∴ ，
故答案为： ．
12．如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，应在铁路上 处建设才能使李庄到铁路的距离最短，这
样做依据的数学道理是 ．
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短
【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短，进行作答即可．
【详解】解：这样做依据的数学道理是：垂线段最短；
故答案为：垂线段最短．
13．如图， 于点O，直线 经过点O，且 ，则 的度数为 ．
【答案】 /144度
【知识点】几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解
【分析】本题考查的是平角、垂线的定义，解题的关键是找到互余、互补的两个角．根据 ，得到
，再由 ，结合 ，求出 ，最后根
据平角的定义即可得到 的度数．
【详解】解： ，
，即 ，
，
，
直线 经过点O，
，
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司14．如图，直线 ，点 ， 位于直线 上，点 ， 位于直线 上，且 ，如果 的
面积为10，那么 的面积为 ．
【答案】20
【知识点】利用平行线间距离解决问题
【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线间间距相等可得点C到 与点B到 的距离相等，
设点C到 与点B到 的距离为h，则可得到 ，据此可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴点C到 与点B到 的距离相等，
设点C到 与点B到 的距离为h，
∵ ，
∴ ，
∵ 的面积为10，
∴ 的面积为20，
故答案为：20．
15．如图， ，则结论：① ；② ；③ ；④
中，正确的结论为 ．（填序号）．
【答案】①②③
【知识点】根据平行线判定与性质证明、垂线的定义理解
【分析】本题主要考查了垂直、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．根据平
行线的判定可得 ，由此即可判断③正确；根据平行线的性质即可判断①正确；过点 作
，则 ，根据平行线的性质可得 ，再根据垂直的定义可得
， ，由此即可判断②正确；假设 ，则 ，
再根据平行线的性质可得 ，从而可得 ，由此即可判断④错误．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵ ，
∴ ，则结论③正确；
∴ ，则结论①正确；
如图，过点 作 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，则结论②正确；
假设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由①②可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，但根据已知条件不能得出 ，
∴假设不成立，即结论④错误；
综上，正确的结论为①②③，
故答案为：①②③．
16．如图，直线 与 相交于点O， ， 平分 ， ， 平分 ．
若射线 从射线 的位置出发，绕点O以每秒 的速度逆时针旋转一周，当旋转时间为t秒时，
三条射线中恰好有一条射线是另外两条射线所组成的角的平分线，请写出旋转时间t的值为
秒．（旋转过程中 ， ， 都只考虑小于 的角）
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学科网（北京）股份有限公司【答案】1或13或25
【知识点】与余角、补角有关的计算、角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题
【分析】利用角平分线求出 ， ，求出 ， ，求出 ，由角
平分线，求出 ， ，再分 平分 ， 平分 ， 平分 三种
情况讨论求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
分情况讨论：
①当 平分 时，
∵ ，
∴ ，即： ，
∴ ，
∴ ；
② 平分 时，
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学科网（北京）股份有限公司则： ，
∴ ，
∴ ；
③当 平分 时：
则： ，
∴ ，
∴点 旋转的角度为： ，
∴ ；
综上： 的值为：1或13或25．
故答案为：1或13或25．
【点睛】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角的和差关系，是解题的关键．
三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分.
17．如图，直线 和直线 被直线 所截， ， ，那么 与 平行吗？请
说明理由．
【答案】平行，理由见解析．
【知识点】同位角相等两直线平行
【分析】本题考查的是平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键．
由已知结合等式的性质，可得 ，根据同位角相等，两直线平行可得 ．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解： ，
理由如下：
（已知），
，
即 ，
（同位角相等，两直线平行）．
18．如图所示， 是 的平分线， 是 的平分线．
(1)如果 ， 与 互余，求 ．
(2)如果 与 互补，求 ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算、几何图形中角度计算问题
【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的和差运算等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键．
（1）由角平分线的定义可得 ， ，再由角平分线的定义可得 ，
最后根据角的和差即可解答；
（2）由 与 互补，可得 ，结合角平分线的定义可得
，进一步即可解答．
【详解】（1）解：∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ 与 互余，
∴ ．
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ 与 互补，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线， 是 的平分线，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
19．如图，已知 ， ．
(1) 与 是什么关系？为什么？
(2)若要 与 相等，则 与 要满足什么关系？为什么？
【答案】(1) ，理由见解析
(2) ，理由见解析
【知识点】与余角、补角有关的计算
【分析】本题考查了余角和补角的概念．若两个角的和为 ，则这两个角互余；若两个角的和等于 ，
则这两个角互补．熟练掌握余角和补角的概念是解题的关键．
（1）根据同角的余角相等解答即可；
（2）根据同角的余角相等解答即可．
【详解】（1）解： ， ，
．
（2）解： ， ，
．
20．如图，把一根筷子的一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光
的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．
(1)请指出 的同位角的有哪些？
(2)若 ，测得 ，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯的 的度数
为多少？
【答案】(1) ，
(2)
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】同位角、内错角、同旁内角、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了对同位角定义的应用，平行线的性质，主要考查学生的理解能力，题目是一道比较好
的题目，难度适中．平行线的性质：（1）两直线平行同位角相等；（2）两直线平行内错角相等；（3）
两直线平行同旁内角互补．
（1）根据同位角的定义（两条直线被第三条直线所截，处于两条直线的同旁，位于第三条直线的一侧的
两个角叫同位角）逐个判断即可．
（2）根据平行线的性质解答即可．
【详解】（1）解：与 是同位角的有 ， ；
（2）解：∵ ，
．
∵ ，
∴ ．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
21．填空：如图， ， ， ，求 的度数．
解：∵ ，
∴ ________，（两直线平行，同位角相等）．
又∵ ，
∴ （等量代换），
∴ （________），
∴ ________ （两直线平行，同旁内角互补）．
∵ ，
∴ ________ ．
【答案】 ；内错角相等，两直线平行； ； ．
【知识点】根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，由 ，得到 ，从而得到 ，则
，即可求解，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ （两直线平行，同位角相等），
又∵ ，
∴ （等量代换），
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学科网（北京）股份有限公司∴ （内错角相等，两直线平行），
∴ （两直线平行，同旁内角互补），
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；内错角相等，两直线平行； ； ．
22．用无刻度直尺在网格中画图（图中的点 都在网格的格点上）：
(1)过点 画直线 ，使得 且 ，标出点 的位置（请用 铅笔或黑色水笔加黑加粗）；
(2)在直线 上画出点 ，使 最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】垂线段最短、用直尺、三角板画平行线、画垂线
【分析】本题考查了画平行线，画垂线，垂线段最短；
（1）根据题意过点 画直线 ，使得 且 ，即可求解；
（2）根据垂线段最短，找到 的格点 ，连接 ，则 交点为 ，则 点即为所求；
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解：如图所示，点 即为所求；
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学科网（北京）股份有限公司∵
∴当 垂足 时， 最小，
23．如图， ， 与 交于点P．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ， ，求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质．
（1）根据平行线的判定得出 ，再根据平行线的性质得出 ，即可得出答案；
（2）根据平行线的性质得出 ，根据 ，得出 ，求出
，根据平行线的性质得出 ，即可证明结论．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）可知， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
24．如图，已知 ， ．点 是射线 上一动点（与点 不重合），CE，CF分别平分
和 交射线 于点E，F．
(1)求 的度数，若 ，请直接用含 的式子表示 ；
(2)随着点 的运动，设 ， ， 与 之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此
数量关系；若改变，请说明理由；
(3)当 时，请直接写出 的度数．
【答案】(1) ，
(2)不改变，恒为 ，理由见解析
(3)
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义的运用等知识点，掌握两直线平行，内错角相等
是解题的关键．
（1）先根据平行线的性质得出 ，再根据 分别平分 和 ，即可得出
的度数；同理：当 ，用含 的式子表示 即可；
（2）根据平行线的性质得出 ，再根据 平分 ，即可得到
进而得出 ，进而完成解答；
（3）根据 ，得出 ，进而得 ，根据
，进而求得 的度数．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ 分别平分 和 ，
∴
∴ ；
若 ，
∵ ， ．
∴ ，
∴ ，
∵ 分别平分 和 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：不变．恒为 ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴ ， ，
当 时，则有 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
25．已知直线 ，现将一个含 的三角板 按照如图1放置，使点 ， 分别在直线 ，
上， ， ， 平分 交直线 于点 ，且 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求 的度数；
(2)将一个含有 的三角板 按照如图2所示放置，直角顶点 与点 重合，直角边 与 重合．
若将三角板 绕点 以每秒 的速度顺时针旋转，设旋转时间为 秒 ．
①若三角板 保持不动，作 的角平分线 ，当 时，求 的值；
②若三角板 同时绕点 以每秒 的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边 与三角板 的一条
直角边平行时，直接写出所有满足条件的 的值．
【答案】(1)
(2)① 或 ；② ， ， ，
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、几何问题(一元一次方程的应用)、三角板中角度计算问题、角
平分线的有关计算
【分析】（1）根据题意可得 ，由平行线的性质可得 ，再结合角平分线的定义，角
的和差关系，可得 的度数．
（2）①根据题意分成 在 内部时， 在 外部时两种情况分别讨论，结合角平分线的定义，
一元一次方程即可求解．
②当 时，分成两种情况和当 时，分成两种情况，共四种情况分别讨论，结合平行线的
性质，邻补角，一元一次方程的应用，三角形内角和即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，三角板 中含 ，
∴ ，
，
，
，
，
，
，
平分 ，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司．
（2）解：①若 在 内部时，则 ，
又∵ ， 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
；
若 在 外部时，则 ，
又∵ ， 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
综上， 或 ．
②当 时，第一种情况：延长 交 于点 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司解得： ；
第二种情况：延长 交 于点 ，
∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴当 时， 或 ；
当 时，第一种情况：延长 交 于点 ，
∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
第二种情况：延长 交 于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴当 时， 或 ；
∴当边 与三角板 的一条直角边平行时， 的值为 ， ， ， ．
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