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第 03 讲 平行线的判定
课程标准 学习目标
1．掌握同位角、内错角、同旁内角的位置关系；
①同位角、内错角、同旁内角
2．掌握利用同位角、内错角、同旁内角判定判定两条直线平行
②平行线的判定
的条件。
知识点01 同位角、内错角、同旁内角的概念
1.同位角、内错角和同旁内角：
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学科网（北京）股份有限公司填空：(1)如图，∠1和∠5，分别在直线AB，CD的上方（同一方），在直线EF的右侧（同侧）.具有这种
位置关系的一对角是同位角.
(2)如图，∠3和∠5，在直线AB，CD之间，在直线EF的两侧.具有这种位置关系的一对角叫做内错角.
(3)如图，∠3和∠6，在直线AB，CD之间，在直线EF的同侧.具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角.
【总结】(1)同位角：在被截直线的同一方向，截线的同侧的一对角.
(2)内错角：在被截直线的内侧，截线的两侧的一对角.
(3)同旁内角：在被截直线的内侧，截线的同侧的一对角.
【即学即练1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线DE和BC被直线AB所截．
(1) 与 、 与 ， 与 各有什么特殊的位置关系？
(2) 与 是内错角吗？为什么？
(3)如果 ，那么 等于 吗？ 和 互补吗？为什么？
【答案】(1) 与 是内错角， 与 是同旁内角， 与 是同位角
(2) 与 不是内错角．因为内错角必须在截线的两侧，两条被截直线之间
(3) ， 和 互补，理由见解析
【知识点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行；两直线
平行，同位角相等．也考查了同位角、内错角和同旁内角的定义．
（1）回忆内错角、同位角和同旁内角的定义：在两被切直线的内侧，且在切线异侧的两个角叫作内错角，
在被切直线同一侧， 而且在切线同侧的两个角叫作同位角，在两被切直线的内侧，且在切线同侧的两个
角叫作同旁内角．再根据图形中角的位置关系，即可得到答案；
（2）根据图形中 和 的位置关系，可知 和 不在一条直线的两侧，即可判断答案；
（3）根据同旁内角互补两直线平行，可得到 再根据平行线的性质，即可得到答案．
【详解】（1）∵ 与 两个角都在两直线的中间， 截线的两侧，
∴ 与 是内错角，
∵ 与 两个角都在两直线的中间， 截线的同旁，
∴ 与 是同旁内角，
∵ 与 两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧位置，
∴ 与 是同位角．
故答案为： 与 是内错角， 与 是同旁内角， 与 是同位角
（2）∵内错角必须在两条被截直线之间，
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学科网（北京）股份有限公司∴ 与 不是内错角．
故答案为： 与 不是内错角．因为内错角必须在截线的两侧，两条被截直线之间
（3）理由: ∵ ，而 ，
，
∵ 和 互补， ，
∴ 和 也互补．
故答案为： ， 和 互补
知识点02 平行线的定义及表示
(1)定义：在同一平面内内，不相交的两条直线.
(2)表示：平行用“∥”符号表示，读作“平行于”.
1.同一平面内，两条直线的位置关系：(1)平行 (2)相交
2.利用直尺和三角尺画平行线：一“落”、二“靠”、三“移”、四“画”.
【注意】平行线的画法四字诀
1.“落”：三角板的一边落在已知直线上；
2.“靠”：用直尺紧靠三角板的另一边；
3.“移”：沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点；
4.“画”：沿三角板过已知点的边画直线.
【即学即练1】（23-24七年级上·河南周口·期末）在同一平面内，两条直线的位置关系有（ ）
A．相交、垂直 B．相交、平行
C．垂直、平行 D．相交、垂直和平行
【答案】B
【知识点】平面内两直线的位置关系
【分析】本题考查了直线的位置关系，垂直是相交的特殊情况，这也是同学们容易出错的地方．根据同一
平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系即可解答．
【详解】解：同一平面内的两条直线只有相交和平行两种位置关系，
故选：B．
【即学即练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，
画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c
也平行，这就说明了（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．平行于同一条直线的两直线平行
B．同旁内角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【知识点】平行公理推论的应用
【分析】本题主要考查了平行线公理推论，根据平行线公理推论进行判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴这说明了平行于同一条直线的两直线平行，
故选A．
知识点03 平行公理及推论
(1)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
(2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即如果b∥a，c∥a，那么 b ∥ c .
【注意】平行公理
(1)“有且只有”强调直线的存在性和唯一性.
(2)前提条件“经过直线外一点”，若点在直线上，不可能有平行线.
【即学即练1】（23-24七年级下·广西防城港·期末）已知直线 ， ，则下列结论正确的是
（ ）
A．直线a与c互相垂直 B．直线a与c互相平行
C．直线a与c相交 D．直线a与b相交
【答案】B
【知识点】平行公理的应用
【分析】本题主要考查了平行公理的应用，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，进行判断即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
即直线a与c互相平行．
故选：B．
知识点04 平行线的判定方法
平行线的判定方法1：
(1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角
相等，两直线平行.
(2)几何语言：
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学科网（北京）股份有限公司∵∠1= ∠ 5(或者∠2= ∠ 6，∠4= ∠ 8，∠3= ∠ 7)，
∴AB∥CD.
平行线的判定方法2：
(1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角
相等，两直线平行.
(2)几何语言：
∵∠2= ∠ 8(或者∠3= ∠ 5)，
∴AB∥CD.
平行线的判定方法3：
(1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内
角互补，两直线平行.
(2)几何语言：
∵∠2+ ∠ 5=180°(或者∠3+ ∠ 8=180°)，
∴AB∥CD.
平行线的其他判定方法：
(1)在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行.
(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
【总结】判定两直线平行的方法
方法一：平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线就是平行线.
方法二：平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
方法三：同位角相等，两直线平行.
方法四：内错角相等，两直线平行.
方法五：同旁内角互补，两直线平行.
方法六：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
【即学即练1】（23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图，点 ， ， 在一条直线上，要根据“同旁内角
互补，两直线平行”判定 ，需添加的一个条件是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同旁内角互补两直线平行、同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行
【分析】本题考查了平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③
同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定方法逐项分析即可．
【详解】解：A． ，根据内错角相等，两直线平行可得 ，故不符合题意；
B． ，根据同旁内角互补，两直线平行可得 ，故符合题意；
C． ，根据两同位角相等，两直线平行可得 ，故不符合题意；
D． ，根据同旁内角互补，两直线平行可得 ，故不符合题意；
故选B．
【即学即练2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知直线 和 被直线 所截．
(1)如图①，若 平分 ， 平分 ，则 与 满足什么条件时， ？为什么？
(2)如图②，若 平分 ， 平分 ，则 与 满足什么条件时， ？为什么？
(3)如图③，若EG平分 ， 平分 ，则 与 满足什么条件时， ？为什么？
【答案】(1) ，理由见解析
(2) ，理由见解析
(3) ，理由见解析
【知识点】同旁内角互补两直线平行、角平分线的有关计算、内错角相等两直线平行、同位角相等两直线
平行
【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义的应用，注意：平行线的判定是：①同位角相等，两直
线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．
（1）根据角平分线定义得出 ， ， 时，求出 ，
根据平行线的判定推出即可．
（2）根据角平分线定义得出 ， ，求出 ，根据平行线的判定推出
即可．
（3）根据角平分线定义得出 ， ，求出 ，根据平行线的判定推出
即可．
【详解】（1）解：当 时， ．理由如下：
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学科网（北京）股份有限公司平分 ， 平分
．
，
，
．
（2）解：当 时， ．理由如下：
平分 ， 平分 ，
．
，
，
．
（3）解：当 时， ．理由如下：
平分 ， 平分 ，
．
，
，
．
题型01 同位角、内错角、同旁内角的辨别
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，若 ，则 的同位角的大小是 ，
的内错角的大小是 ， 的同旁内角的大小是 ．
【答案】
【知识点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】本题主要考查内错角、同位角以及同旁内角，观察图形易得 的同位角、内错角都为 的邻补
角，接下来结合 的度数计算即可；同样由图可得 的同旁内角为 的对顶角， 与 为对顶角，
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学科网（北京）股份有限公司据此解答．
【详解】解：由图可得 的同位角、内错角都为 的邻补角，
又 ，
则其同位角大小为 ；
的内错角大小为 ；
的同旁内角为 的对顶角，则大小为 ；
故答案为： ； ； ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线 上有一点 和 是直线 被直线
所截形成的 角； 和 是直线 和 被直线 所截形成的 角； 和
是直线 和 被直线 所截形成的 角．
【答案】 同位 内错 同旁内
【知识点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内
角的边构成“U”形．根据同位角、内错角、同旁内角的定义解答即可．
【详解】解：直线 上有一点 和 是直线 被直线 所截形成的同位角； 和
是直线 和 被直线 所截形成的内错角； 和 是直线 和 被直线 所截形成的同旁
内角．
故答案为： ，同位； ，内错； ， ， ，同旁内．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线DE和BC被直线AB所截．
(1) 与 、 与 ， 与 各有什么特殊的位置关系？
(2) 与 是内错角吗？为什么？
(3)如果 ，那么 等于 吗？ 和 互补吗？为什么？
【答案】(1) 与 是内错角， 与 是同旁内角， 与 是同位角
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学科网（北京）股份有限公司(2) 与 不是内错角．因为内错角必须在截线的两侧，两条被截直线之间
(3) ， 和 互补，理由见解析
【知识点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行；两直线
平行，同位角相等．也考查了同位角、内错角和同旁内角的定义．
（1）回忆内错角、同位角和同旁内角的定义：在两被切直线的内侧，且在切线异侧的两个角叫作内错角，
在被切直线同一侧， 而且在切线同侧的两个角叫作同位角，在两被切直线的内侧，且在切线同侧的两个
角叫作同旁内角．再根据图形中角的位置关系，即可得到答案；
（2）根据图形中 和 的位置关系，可知 和 不在一条直线的两侧，即可判断答案；
（3）根据同旁内角互补两直线平行，可得到 再根据平行线的性质，即可得到答案．
【详解】（1）∵ 与 两个角都在两直线的中间， 截线的两侧，
∴ 与 是内错角，
∵ 与 两个角都在两直线的中间， 截线的同旁，
∴ 与 是同旁内角，
∵ 与 两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧位置，
∴ 与 是同位角．
故答案为： 与 是内错角， 与 是同旁内角， 与 是同位角
（2）∵内错角必须在两条被截直线之间，
∴ 与 不是内错角．
故答案为： 与 不是内错角．因为内错角必须在截线的两侧，两条被截直线之间
（3）理由: ∵ ，而 ，
，
∵ 和 互补， ，
∴ 和 也互补．
故答案为： ， 和 互补
题型02 平面内两直线的位置关系
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．垂直
【答案】C
【知识点】平面内两直线的位置关系
【分析】本题考查平面内直线的位置关系，根据平面内两条直线的位置关系进行判断即可．
【详解】解：同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是相交或平行；
故选C．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·全国·课后作业）在同一平面内有三条不同的直线 ，若 ，则a与b的
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学科网（北京）股份有限公司位置关系为（ ）
A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．无法确定
【答案】C
【知识点】垂线的定义理解、平面内两直线的位置关系
【分析】本题主要考查垂直的定义，熟练掌握垂直的定义是解题关键．根据在同一平面内，垂直于同一条
直线的两条直线平行，即可得出结果．
【详解】 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
，
故选：C．
2．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习） 、 、 为同一平面内的三条直线，若 与 不平行， 与 不
平行，那么 与 （ ）
A．一定不平行 B．一定平行
C．一定互相垂直 D．可能相交或平行
【答案】D
【知识点】平面内两直线的位置关系
【分析】本题主要考查了直线的位置关系，在同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交．
根据关键语句“若 与 不平行， 与 不平行，”画出图形，图形有两种情况，根据图形可得答案．
【详解】根据题意可得图形：
根据图形可知：若 与 不平行， 与 不平行，则 与 可能相交或平行，
故选：D．
题型03 平行公理及推论应用
例题：（24-25七年级上·全国·课后作业）平行线的基本事实：过 与这条直线平行．
【答案】直线外一点有且只有一条直线
【知识点】平行公理的应用
【分析】本题考查了平行线的基本事实，根据平行线的基本事实解答即可，熟练掌握此知识点是解此题的
关键．
【详解】解：平行线的基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，
故答案为：直线外一点有且只有一条直线．
【变式训练】
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学科网（北京）股份有限公司1．（24-25七年级上·全国·课后作业）有下列说法：①两条不相交的直线是平行线；②过一点有且只有一
条直线与已知直线平行；③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行；④在同一平面内，不
相交的两条射线必平行．其中，正确的有 个．
【答案】1
【知识点】平面内两直线的位置关系、平行公理的应用
【分析】本题考查了平行线的定义和平行公理，根据平行线的定义、平行公理进行判断，即可得出结论，
熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：①在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故原说法错误；
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误；
③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行，故原说法正确；
④在同一平面内，不相交的两条射线不一定平行，故原说法错误；
综上所述，正确的为③，共 个，
故答案为： ．
2．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法：①在同一平面内，若直线 ， ，则 ；②在
同一平面内，若直线 ，直线 与 相交，则直线 与 相交；③若直线 与直线 相交，直线 与直线
相交，则直线 与直线 相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是
．（填序号）
【答案】 /
【知识点】平面内两直线的位置关系、平行公理的应用、平行公理推论的应用
①② ②①
【分析】本题考查平行线的性质和判定、相交线．利用同一个平面内，两条直线的位置关系依次对各选项
进行判断即可．掌握平行线的性质和判定是解题的关键．
【详解】解：①在同一平面内，若直线 ， ，则 ；故此说法正确；
②在同一平面内，若直线 ，直线 与 相交，则直线 与 相交，故此说法正确；
③若直线 与直线 相交，直线 与直线 相交，则直线 与直线 也有可能平行，故此说法错误；
④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故此说法错误．
∴说法正确的是①②．
故答案为：①②．
题型04 同位角相等，两直线平行
例题：（24-25八年级上·吉林·开学考试）把下面的证明过程补充完整：
如图，已知直线AB，CD被直线 所截， 为CD与 的交点， 于点 ， ， ，
求证： ．
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学科网（北京）股份有限公司证明：∵ （已知），
∴ （ ）．
又∵ （已知），
∴ ，
∴ （ ）（____________）．
又∵ （已知），
∴ ，
∴ （____________）．
【答案】垂直的定义； ，对顶角相等；同位角相等，两直线平行．
【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等、同位角相等两直线平行
【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，对顶角相等，由 ，得 ，从而有
，通过等量代换求出 即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】证明：∵ （已知），
∴ （垂直的定义），
又∵ （已知），
∴ ，
∴ （对顶角相等）．
又∵ （已知），
∴ ，
∴ （同位角相等，两直线平行），
故答案为：垂直的定义； ，对顶角相等；同位角相等，两直线平行．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）如图： ， 平分 ， 平分 ，
，试说明： ．请完成下面的解题过程．
解：∵ 平分 ， 平分 （已知），
____________， _________（角平分线的定义），
又 （已知）
________ ________．
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学科网（北京）股份有限公司又 （已知）
________，
（________）．
【答案】 ； ； ； ； ；同位角相等，两直线平行
【知识点】角平分线的有关计算、同位角相等两直线平行
【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
根据角平分线的定义结合题意推出 ，即可判定 ．
【详解】解：∵ 平分 ， 平分 （已知），
， （角平分线的定义）.
又 （已知），
，
又 （已知），
，
（同位角相等，两直线平行）．
故答案为： ； ； ； ； ；同位角相等，两直线平行．
2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在三角形 中， ，点 分别在边 的
延长线上，作射线 ，如果 平分 ，那么 与 平行吗？为什么？
【答案】 ，见解析
【知识点】同位角相等两直线平行
【分析】此题考查了平行线的判定．根据角平分线得到 ，对顶角相等得到 ，
利用等量代换得到 ，即可证明 ．
【详解】解： ．
证明：∵ 平分 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
又∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴
题型05 内错角相等，两直线平行
例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）完成下面证明：
如图， 平分 ， ．求证 ．
证明：∵ 平分
∴ （ ）
∵ ．
∴ ．（ ）
∴ （ ）．
【答案】角平分线的定义，3，等量代换，内错角相等两直线平行
【知识点】内错角相等两直线平行
【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．根据角平分线的定义得
到 ，而 ，则得到 ，根据“内错角相等两直线平行”即可得到结论．
【详解】证明：∵ 平分 ．
∴ ．（角平分线的定义）
∵ ．
∴ ．（等量代换）
∴ （内错角相等两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义，3，等量代换，内错角相等两直线平行．
【变式训练】
1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点G在 上，已知 ， 平分 ，
平分 ，请说明 的理由．
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学科网（北京）股份有限公司解： （已知），
（_______）
（_______）．
∵ 平分 ，
_______（_______）．
平分 ，
_______，
得 （_______），
（_______）．
【答案】邻补角的定义；同角的补角相等； ；角平分线的定义； ；等量代换；内错角相等，
两直线平行；理由见解析
【知识点】内错角相等两直线平行
【分析】本题主要考查平行线的判定，由题意可求得 ，再由角平分线的定义得 ，
，从而得 ，即可判定 ．
【详解】解：∵ （已知），
（邻补角的定义），
∴ （同角的补角相等）．
∵ 平分 ，
∴ （角平分线的定义）．
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ （等量代换），
∴ （内错角相等，两直线平行）．
故答案为：邻补角的定义；同角的补角相等； ；角平分线的定义； ；等量代换；内错角相等，
两直线平行．
2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点O在直线 上， 平分 平分 是
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学科网（北京）股份有限公司上一点，连接 ．
(1)判断 与 是否垂直，并说明理由；
(2)若 与 互余，判断 与 是否平行，并说明理由．
【答案】(1) ，见解析；
(2) ，见解析
【知识点】角平分线的有关计算、同(等)角的余(补)角相等的应用、内错角相等两直线平行
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，解题的关键是：
（1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明；
（2）利用 ，结合已知求得 ，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明．
【详解】（1）解： ，
证明： 平分 ， 平分 ，
， ，
，
；
（2）证明： ，
，
与 互余，
，
，
．
题型06 同旁内角互补，两直线平行
例题：（23-24七年级下·河北唐山·期中）如图，已知
．将下列推理过程补充
完整．
∵ （已知），
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学科网（北京）股份有限公司∴ ________（________________）
∵ （已知）
∴ ________（________________）
∵ （已知），
∴________ _________（________________）．
【答案】见解析
【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行
【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，作答即可．
【详解】解：∵ （已知），
∴ （同位角相等，两直线平行）
∵ （已知）
∴ （内错角相等，两直线平行）
∵ （已知），
∴ （同旁内角互补，两直线平行）．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·福建漳州·期中）完成下面的证明．
已知：如图， ．
求证： ．
证明： ，
______ ________（_______）．
，
______ ________．
（_______）．
【答案】AB；CD；同旁内角互补，两直线平行； ；CD；同平行于一条直线的两条直线互相平行
【知识点】平行公理推论的应用、同旁内角互补两直线平行
【分析】本题考查平行线的判定，熟记并灵活运用这两条定理是解本题的关键．
先由 ，得到 再由 ，得到 ，最后得到 ．
【详解】证明： ，
（同旁内角互补，两直线平行）．
，
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学科网（北京）股份有限公司．
（同平行于一条直线的两条直线互相平行）．
2．（23-24七年级下·河南安阳·期中）完成下面的证明：
如图， 平分 ， 平分 ，且 ，求证 ．
证明：∵ 平分 （已知），
∴ （ ）
∵ 平分 （已知），
∴ _________（ ）
∴ （ ）
∵ （已知），
∴ _________（ ）
∴ （ ）
【答案】角平分线的定义； ；角平分线的定义；等量代换； ；等量代换；同旁内角互补，两直线
平行
【知识点】同旁内角互补两直线平行
【分析】本题考查平行线的判定，根据角平分线的定义以及同旁内角互补，两直线平行，进行作答即可．
【详解】证明：∵ 平分 （已知），
∴ （角平分线的定义）
∵ 平分 （已知），
∴ （角平分线的定义）
∴ （等量代换）
∵ （已知），
∴ （等量代换）
∴ （同旁内角互补，两直线平行）
题型07 添加一条件使两直线平行
例题：（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，已知 ，点 ， 分别在射线 ， 上，点
为 内一点，连接 ， ，不添加辅助线，请添加一个条件使得 ，则可添加为 ．
（写出一个即可）
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 （答案不唯一）
【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行
【分析】本题主要考查了平行线的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理．平行线判定方法
有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此可得结论．
【详解】解：添加 利用同位角相等，两直线平行判定 ；
添加 利用内错角相等，两直线平行判定 ；
添加 利用同旁内角互补，两直线平行判定 ．
故答案为： (答案不唯一)·
【变式训练】
1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，E是线段 的延长线上一点，添加一个条件，使 ，
则可添加的条件为 （写出一种情况即可）．
【答案】
【知识点】同旁内角互补两直线平行、内错角相等两直线平行、同位角相等两直线平行
【分析】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角
互补，两直线平行．
同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行解答（答案
不唯一）．
【详解】解：若 ，则 ；
若 ，则 ；
若 ，则 ；
若 ，则 ；
故答案为 或 或 或 ．（答案不唯一）
2．（2024七年级上·全国·专题练习）中考新趋势·结论开放性试题 如图，已知 ，请你
添加一个条件，使得能利用“内错角相等，两直线平行”来判断 ，你添加的条件是 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 平分 （答案不唯一）
【知识点】内错角相等两直线平行
【分析】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，
两直线平行．
根据内错角相等，两直线平行，当 时， ，由于 ，易得 要平分
．
【详解】解∶当 时， ，
，
所以 需平分 ，
即添加的条件是 平分 ，
故答案为： 平分 （答案不唯一）．
题型08 垂直于同一条直线的两条直线平行
例题：（23-24七年级下·广东河源·期中）如图，已知 ， ，试探究 与 的位置关
系，并说明理由．
【答案】 ，理由见解析
【知识点】同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、垂直于同一直线的两直线平行
【分析】本题主要考查了平行线的判定，先根据同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行得
到 ，再根据平行于同一直线的两直线平行可得 ．
【详解】解： ，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·广东梅州·期末）如图， ， ，垂足分别是 ， ， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)判断 与 的位置关系；（不需要证明）
(2)求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】同位角相等两直线平行、垂直于同一直线的两直线平行
【分析】（1）根据垂直于同一直线的两条直线互相平行，即可得出结论；
（2）根据 可得 ，则 ，即可求证．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ．
（2）证明： ， ，
（等式的性质），
即 ，
（同位角相等，两直线平行）．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线互相平行，同位角
相等，两直线平行．
题型09 平行线的判定去判断两线的位置关系
例题：（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知点 在 上， 平分 ， 平分 ．
(1)试说明： ；
(2)若 ， ，则 与 平行吗？为什么？
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析．
【知识点】垂线的定义理解、内错角相等两直线平行、平行公理推论的应用
【分析】本题考查了平行线的判定，平行公理推论，角平分线的定义，掌握平行线的性质和角平分线定义
是解题的关键．
（1）先利用角平分线的定义得到 ， ，根据平角的定义得到
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学科网（北京）股份有限公司，根据垂直的定义求解即可；
（2）根据平行线的判定及平行公理推论即可求解；
【详解】（1）解：∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2） ，理由如下：
由（1）得 ，∠3＝∠4．
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形 中，点E在 的延长线上，点F在 的延
长线上，连接 相交于点O， ， 平分 ， ．
(1)试说明 ；
(2) 与 的位置关系如何？为什么？
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、角平分线的有关计算
【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义：
（1）根据平角的定义和已知条件证明 ，即可证明 ；
（2）由角平分线的定义和已知条件证明 ，即可证明 ．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）解： ，理由如下：
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
2．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，点 在 上，过 作 于 ，点 是 上一点，
过点 作 于 ．
(1)求证： ；
(2)点 在 上，若 ，则试判断 与 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ，见解析
【知识点】垂线的定义理解、同位角相等两直线平行
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质及三角形内角和定理，熟练使用平行线的性质是解题的关键．
（1）根据垂直的定义求出 ，根据“同位角相等，两直线平行”得到 ；
（2）由垂直定义及直角三角形的性质求出 ，根据“等角的余角相
等”求出 ，再根据“同位角相等，两直线平行”即可得解．
【详解】（1）证明： ， ，
．
（2）解： ，理由如下：
，
，
，
，
，
．
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学科网（北京）股份有限公司一、单选题
1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线a、b被直线c所截， ，下列条件中可以判定
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同位角相等两直线平行
【分析】本题主要考查了平行线的判定，先标注 ，根据同位角相等，两直线平行判断即可．
【详解】如图所示．
根据题意可知 ，
∵ ，
∴ ．
故选：A．
2．（2024·山西大同·二模）若 ，则下列图形一定能推出 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同旁内角互补两直线平行
【分析】此题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理求解即可．
【详解】A．∵ 和 是同位角，
∴ 无法推出 ，不符合题意；
B．∵ 和 是内错角，
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学科网（北京）股份有限公司∴ 无法推出 ，不符合题意；
C．如图所示，
∵ ，
∵
∴
∴ ，符合题意；
D．如图所示，
∵ ，
∴
∵ 和 是同位角，
∴ 无法推出 ，故不符合题意；
故选：C．
3．（23-24七年级下·云南玉溪·阶段练习）如图，描述同位角、内错角、同旁内角的关系不正确的是（ ）
A． 与 是同位角 B． 与 是内错角
C． 与 是同旁内角 D． 与 是同旁内角
【答案】D
【知识点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键熟记同位角、内错角、同旁内角的特征．
利用同位角、内错角、同旁内角的定义判定即可．
【详解】解：A、 与 是同位角，故A选项正确；
B、 与 是内错角，故B选项正确；
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学科网（北京）股份有限公司C、 与 是同旁内角，故C选项正确；
D、 与 不是同旁内角，故D选项错误．
故选：D．
4．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）下列说法中：①若 ， ，则 ；②若 与 相交，
与 相交，则 与 相交；③相等的角是对顶角；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．不正确的有
（ ）．
A．①② B．②③ C．②③④ D．③④
【答案】C
【知识点】平面内两直线的位置关系、平行公理的应用、对顶角相等
【分析】本题主要考查平行公理，对顶角相等，两条直线的位置关系，熟练掌握两条直线位置关系的相关
概念是解题的关键．
根据平行公理，对顶角，两条直线的位置关系，逐个进行判断即可．
【详解】解：①若 ， ，则 ，故本项符合题意；
②若 与 相交， 与 相交，则 与 不一定相交，故本项不符合题意；
③相等的角不一定是对顶角，故本项不符合题意；
④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本项不符合题意；
故选：C．
5．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，给出四个条件：① ；② ；③
；④ ，其中能判定 的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】D
【知识点】同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、内错角相等两直线平行
【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定定理．根据内错角相等，两
直线平行，同位角相等，两直线平行，以及同旁内角互补两直线平行，逐个分析即可．
【详解】① ，能判定 ，不能判定 ，不符合题意；
② ，能判定 ，符合题意；
③ ，能判定 ，不能判定 ，不符合题意；
④ ，能判定 ，符合题意，故②④正确．
故选：D．
二、填空题
6．（23-24七年级下·河南郑州·期末）小明按如图所示的方法画出了两条平行线，依据是 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】同位角相等，两直线平行
【知识点】同位角相等两直线平行
【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行得出结果即可．
【详解】解：如图，
（同位角相等，两直线平行），
故答案为：同位角相等，两直线平行．
7．（24-25七年级上·海南海口·期末）如图，要得到 ，则需要条件 （填一个你认为正确的
条件即可），理由是 ．
【答案】 （答案不唯一） 同位角相等，两直线平行
【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行
【分析】本题考查平行线的判定，涉及同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两
直线平行等，根据图形，结合平行线的判定定理验证即可得到答案，熟记平行线的判定定理是解决问题的
关键．
【详解】解：要得到 ，利用平行线的判定：
同位角相等两直线平行，可填 ；
内错角相等两直线平行，可填 ；
①
同旁内角互补两直线平行，可填 ； ；
②
③故答案为： （答案不唯一）；同位角相等，两直线平行；
8．（23-24七年级下·全国·单元测试）根据图形填空：
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学科网（北京）股份有限公司（1）若直线 ， 被直线 所截，则 和 是同位角；
（2）若直线 ， 被直线 所截，则 和 是内错角；
（3） 和 是直线 ， 被直线 所截构成的 角；
【答案】 内错
【知识点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】本题考查了同位角和内错角的定义，解题的关键是掌握同位角和内错角的定义．
（1）根据同位角的定义求解即可；
（2）根据内错角的定义求解即可；
（3）根据内错角的定义求解即可．
【详解】解：（1）直线 ， 被直线 所截，则 和 是同位角；
（2）直线 ， 被直线 所截，则 和 是内错角；
（3） 和 是直线 ， 被直线 所截构成的内错角；
故答案为： ， ， ，内错．
9．（2024七年级上·全国·专题练习）观察如图所示的长方体，回答问题：
（1）与线段 平行的线段是 ；
（2） 与 所在直线不相交，它们 平行线（填“是”或“不是”）．由此可知，在
内，两条不相交的直线才是平行线．
【答案】 ， ， 不是 同一平面
【知识点】平面内两直线的位置关系
【分析】本题考查了平行线的定义，熟练掌握平行线的定义是解此题的关键．
（1）根据平行线的定义即可得解；
（2）根据平行线的定义即可得解．
【详解】解：（1）由平行线的定义可知，与线段 平行的线段有 ， ， ，
故答案为： ， ， ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）由平行线的定义可得： 与 所在直线不相交，它们不是平行线，由此可知，在同一平面内，两
条不相交的直线才是平行线
故答案为：不是，同一平面．
10．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图， 三根木棒钉在一起，交点分别为
．现将木棒 分别绕点 顺时针旋转，同时开始，速度分别为 和 ，
当两根木棒都转满了一周时，它们同时停止转动．转动 s时，木棒 平行．
【答案】 或 或 或
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、同位角相等两直线平行
【分析】本题主要考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想，准确找出角度之间
的数量关系是解题关键．
设经过t秒时木棒a，b平行，分情况讨论：当 秒时；当 秒时；当 时；当
时，利用同位角相等两直线平行，列方程求解即可得到答案
【详解】解：设经过t秒时木棒a，b平行，根据题意得：
当 秒时， ，解得： ；
当 秒时， ，解得： ；
当 秒时，木棒a停止运动，
当 时， ，解得： ，不符合题意；
当 时， ，解得： ；
，解得： ，
当 时，木棒b停止运动，
综上所述，经过3或21或75或165秒时木棒a，b平行，
故答案为： 或 或 或 ．
三、解答题
11．（23-24七年级下·陕西延安·期末）如图，已知 ， 交 于点D， 平分 ，
，求证： ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】证明见解析
【知识点】角平分线的有关计算、同位角相等两直线平行
【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，先由角平分线的定义得到
，再由平角的定义得到 ，则可由同位角相等，两直线平行证明
．
【详解】证明：∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
12．（23-24七年级下·吉林延边·期中）如图，在 的方格纸中，每个小正方形的边长为1， 、 、
均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺完成以下操作．
(1)过点 作 的平行线．
(2)过点 作 的平行线，与（1）中的平行线交于点 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】用直尺、三角板画平行线
【分析】本题考查了作平行线．熟练掌握作平行线是解题的关键．
（1）过 作水平线 即可；
（2）格点 向上2个格点，向左2个格点为 ，连接 即可．
【详解】（1）解：过 作水平线 ，如图1， ， 即为所作；
图1
（2）解：如图2，格点 向上2个格点，向左2个格点为 ，连接 ， ，点 即为所作；
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学科网（北京）股份有限公司图2
13．（23-24七年级下·山东临沂·期末）把下面的证明过程补充完整：
如图，已知直线 ， 被直线 所截， 为 与 的交点， 于点 ， ，
．求证： ．
证明： （已知），
（______）．
又 （已知），
（______） ．
（______）．
又 （已知），
，
（______）．
【答案】垂直的定义；60；对顶角相等；同位角相等，两直线平行
【知识点】对顶角相等、同位角相等两直线平行、垂线的定义理解
【分析】此题考查了平行线的判定，垂线的定义，对顶角相等，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
由已知条件结合垂线定义和对顶角性质，得 ，然后根据同位角相等，两直线平行即可得到结
论．
【详解】证明： （已知），
（垂直的定义）．
又 （已知），
．
（对顶角相等）．
又 （已知），
，
（同位角相等，两直线平行）．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：垂直的定义；60；对顶角相等；同位角相等，两直线平行．
14．（23-24七年级下·河北保定·期中）数学活动课上，嘉嘉和淇淇两名同学借助一副三角板画平行线．
(1)嘉嘉是这样做的：如图1，先画一条直线 ，之后摆放三角板，得到 ．依据是______．
(2)淇淇按如图2所示的方式摆放三角板，也得到 ．依据是______．
(3)李老师将一副直角三角板（ ， ）按如图3所示的方式放置，若 ，则可得
到 ．请说明理由．
【答案】(1)同位角相等，两直线平行（或同旁内角互补，两直线平行）
(2)内错角相等，两直线平行
(3)见解析
【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行
【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法解题即可．
（1）根据 或者 即可得出答案．
（2）根据 即可得出答案．
（3）证明 ，即可得出 ．
【详解】（1）解∶∵ ，
∴ ，
或∵ ，
∴ ，
故答案为：同位角相等，两直线平行（或同旁内角互补，两直线平行）．
（2）∵
∴ ，
故答案为：内错角相等，两直线平行．
（3）理由： ， ，
．
又 ，
，
．
15．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）如图，已知点 、 、 、 在一条直线上，
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学科网（北京）股份有限公司， 平分 ， ．
（1） 与 平行吗？请说明理由；
（2） 与 的位置关系如何？请说明理由．
解：（1） ，理由如下：
（ ），
（已知），
．
（ ）．
（2） 与 的位置关系是：（ ）．
请完成说理过程：
【答案】（1）平角定义； ；同位角相等，两直线平行；（2）平行，理由见解析
【知识点】内错角相等两直线平行、角平分线的有关计算、同位角相等两直线平行
【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的判定．
（1）根据平角定义可得 ，从而利用同角的补角相等可得 ，然后根据同
位角相等，两直线平行可得 ；
（2）根据角平分线的定义可得 ，从而可得 ，然后利用内错角相等，两直线平
行可得 ，即可解答．
【详解】解：（1） ，理由如下：
（平角定义），
（已知），
，
（同位角相等，两直线平行），
故答案为：平角定义； ；同位角相等，两直线平行；
（2） 与 的位置关系是：（平行），理由如下：
平分 ，
，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：平行．
16．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，已知点 、 、 都是方格纸中的格点（图中每1个小方格
都是边长为1的正方形），请用直尺画图．
(1)在网格中找一个格点 ，连结 ，使 ；
(2)在网格中找一个格点 ，作直线 ，使 ；
(3)连接 ， ，则 的面积为________．
【答案】(1)见解析
(2)图见解析
(3)4
【知识点】作垂线(尺规作图)、无刻度直尺作图
【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，画图即可；
（2）根据垂直的定义，三角形的内角和定理，解答即可；
（3）根据面积公式解答即可．
本题考查了利用网格线画平行线，画垂线，三角形的面积的计算，掌握作图的基本方法是解本题的关键．
【详解】（1）解：如图，连接 ，
交水平直线于点Q，B、G，Q，F四点共线，
根据题意，得 ， ，
∴ ，
∴ ．
则 即为所求．
（2）解：如图，连接 ，
设 交 于点M，E，N共线，N，C，H三点共线，
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学科网（北京）股份有限公司根据题意，得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由 ，
∴ ，
故 ．
则点 即为所求．
（3）解：连接 ， ，
则 的面积为： ．
故答案为：4．
17．（23-24七年级下·陕西·期中）如图，点O在直线 上，F是 上一点，连接 ， 平分 ，
平分 交 于点D．
(1)试说明 ；
(2)若 与 互余，试说明 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【知识点】角平分线的有关计算、内错角相等两直线平行
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的判定等知识点．
（1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明；
（2）利用 结合已知求得 ，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论．
【详解】（1）解：因为 平分 ， 平分
所以 ， .
因为 ，
所以 ，
所以 ；
（2）解：由（1）知 ，
所以
因为 与 互余，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
18．（23-24七年级下·山西朔州·期中）如图，直线 分别交 于G，H两点， 平分 ，
于点H，且 ， ．
(1)求 的大小．
(2)猜想 与 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
【知识点】内错角相等两直线平行、对顶角相等、垂线的定义理解、角平分线的有关计算
【分析】本题考查的是平行线的判定、角平分线的定义，理解同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，
两直线平行是解题的关键．
（1）根据对顶角相等可得 ，再根据 平分 即可求解；
（2）根据条件可证明 ，即可求解．
【详解】（1）解： ，
．
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学科网（北京）股份有限公司平分 ，
．
（2） ．
理由： ，
，
．
，
，
，
，
．
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学科网（北京）股份有限公司
